8.5 无失真信道

信号通过实际物理信道时，由于传输媒质对不同频率分量的衰减不一致、相移非线性，会导致接收端信号波形产生严重的畸变失真。在通信系统设计中，明确信号在信道中无失真传输的数学充要条件具有根本的指导意义。

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8.5.1 绝对波形无失真（Waveform Distortionless）

1. 时域定义

若输入信号 $s(t)$ 穿过信道后，输出信号 $y(t)$ 仅在幅度上产生整体比例缩放，在时间轴上产生整体平移延迟，而波形本身轮廓形态未发生任何改变，则称该信道为理想无失真信道或波形无失真信道：

y(t) = K · s(t - t₀)$$y(t)=K\cdot s(t-t_0)$$

式中 $K>0$ 为信道固定传输增益（或衰减），$t_0>0$ 为信道固有的绝对物理传输时延。

2. 频域传输函数充要条件

对上式两端进行傅里叶变换：

Y(f) = K · S(f) e⁻j 2π f t₀$$Y(f)=K\cdot S(f)e^{-j2\pi f{t}_0}$$

信道的频域传递函数为：

H(f) = (Y(f))/(S(f)) = K e⁻j 2π f t₀$$H(f)=\frac{Y(f)}{S(f)}=K{e}^{-j2\pi f{t}_0}$$

定理：波形无失真传输的充要条件

连续线性时不变信道实现绝对波形无失真传输，必须在输入信号占用的全部频带范围内同时满足两大条件：

1. 幅频特性平坦（无幅频失真）： |H(f)| = K = 常数$$|H(f)|=K=\text{常数}$$ 信道对输入信号中的所有频率分量具有完全相同的幅度增益（全通无衰减波动）；
2. 相频特性线性且过原点（无相频失真）： φ(f) = angle H(f) = -2π f t₀$$\varphi (f)=\angle H(f)=-2\pi f{t}_0$$ 信道的相移特性必须是一条斜率为负、且严格穿过坐标原点的倾斜直线。

定义信道的相时延（Phase Delay, $t_p$）：

tₚ(f) = -(φ(f))/(2π f) = t₀ = 常数$$t_p(f)=-\frac{\varphi (f)}{2\pi f}=t_0=\text{常数}$$

相时延恒定表明：信号中包含的所有单频正弦余弦谐波分量，穿过信道后经历严格相等的物理时间延迟 $t_0$，各分量在时域上保持原有的相对时差排列，绝不产生波形重组错位。

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8.5.2 带通信号复包络无失真（Complex Envelope Distortionless）

在现代数字带通传输系统中，发射信号均为高频带通波形：

s(t) = operatornameRe{ s_L(t) e^(j 2π f_c t) }$$s(t)=\mathrm{Re}\left\{s_L(t)e^{j2\pi f_{c}t}\right\}$$

式中 $s_L(t)$ 为承载有效基带信息的复包络，$f_c$ 为载波中心频率。

由于接收端解调的核心任务是完整提取调制信息，只要复包络 $s_L(t)$ 未发生波形畸变，高频载波本身的恒定相位偏转完全可通过接收端载波同步环路校正。因此引入更为实用的复包络无失真准则。

1. 复包络无失真定义

若带通信道输出的带通信号 $y(t)=\mathrm{Re}\{y_L(t)e^{j2\pi f_{c}t}\}$ 其复包络满足：

y_L(t) = z · s_L(t - t₀) = K e^(j θ) s_L(t - t₀)$$y_L(t)=z\cdot s_L(t-t_0)=K{e}^{j\theta }{s}_L(t-t_0)$$

式中 $z=K{e}^{j\theta }$ 为复常数，则称该信道对带通信号复包络无失真。

2. 带通信道的频域特征与群时延

展开计算带通信道在正频率区间的传递函数：

H(f) = K e⁻j (2π f t₀ + φ₀), f > 0$$H(f)=K{e}^{-j(2\pi f{t}_0+{\varphi }_0)},f>0$$

式中常数相移截距为 ${\varphi }_0=-(\theta +2\pi f_c{t}_0)$。

这表明：复包络无失真信道的相频特性 $\varphi (f)=-(2\pi f{t}_0+{\varphi }_0)$ 仍为一条直线，但不必强求穿过坐标原点，允许存在非零的相移截距 ${\varphi }_0$！

定义带通信道的群时延（Group Delay, $t_g$）：

t_g(f) = -(1)/(2π) (dφ(f))/(df) = -(1)/(2π) (-2π t₀) = t₀ = 常数$$t_g(f)=-\frac{1}{2\pi }\frac{\mathrm{d}\varphi (f)}{\mathrm{d}f}=-\frac{1}{2\pi }(-2\pi t_0)=t_0=\text{常数}$$

复包络无失真传输的充要条件

带通信道实现复包络无失真传输的充要条件是：在带通信号通频带内，信道的幅频特性为常数，且群时延特性为常数（$t_g(f)=t_0$）。

群时延表征了由不同频率分量构成的信号包络整体穿过信道所需的传播时延。若群时延随频率变化（$\frac{\mathrm{d}{t}_g}{\mathrm{d}f}\ne 0$），不同频率的包络分量到达接收端产生先后色散，将导致接收数字脉冲剧烈展宽并引发严重的码间串扰（ISI）。

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8.5.3 波形无失真与复包络无失真的辩证关系

1. 正向充分性： 若信道满足绝对波形无失真条件（$\varphi (f)=-2\pi f{t}_0$，截距 ${\varphi }_0=0$），则其必满足群时延恒定准则，因此波形无失真必带来复包络无失真；
2. 反向非必要性： 复包络无失真并不保证高频波形绝对无失真。 例如：双边带调幅信号 $s(t)=m(t)\cos (2\pi f_{c}t)$ 通过一个引入 ${\varphi }_0=-\pi /2$ 相移的带通信道，输出变为 $y(t)=m(t)\sin (2\pi f_{c}t)$。基带调制信息复包络仅经历纯虚数相乘（$y_L(t)=-jm(t)$），信息未发生任何非线性畸变（复包络完全无失真）；但带通时域物理波形已从余弦波完全转化为正交正弦波，波形本身发生了根本性改变。

在数字载波调制系统（QPSK, QAM, OFDM）中，保障信道通带内群时延平坦与幅频平坦（复包络无失真） 是抑制码间串扰、实现无差错高速通信的核心设计指标。

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8.5 无失真信道 思考题与自测