8.4 信道模型

为了定量分析信号穿过信道后的波形畸变、误码率及信道容量极限，必须抛开错综复杂的具体物理细节，建立能够准确刻画输入输出对应关系的信道数学模型（Mathematical Channel Models）。

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8.4.1 连续信道模型（模拟信道）

连续信道（如调制信道或物理媒质）的输入与输出均为连续时间信号。大量实验与电磁理论表明，绝大多数物理信道满足以下四大基本准则：

1. 具有输入端与输出端端口；
2. 满足线性叠加原理：若输入信号为 $s_1(t)+s_2(t)$，输出为其单独输入时响应的线性叠加；
3. 具有传播时延与损耗：信号波形在时间轴上产生延迟，并在幅度上经历固定或时变的衰减；
4. 存在固有加性噪声：即便输入端无任何激励（$s_i(t)=0$），信道输出端依然存在随机波动的背景电噪声。

1. 连续信道的输入输出等效网络表示

基于上述性质，连续信道可严格等效为一个时变线性网络叠加加性噪声的数学结构：

图 8.4.1 单输入单输出连续信道的时变线性运算加噪声模型

对于单输入单输出信道，其输出波形可解析表示为：

sₒ(t) = fₜ[ sᵢ(t) ] + n(t)$$s_o(t)=f_t\left[s_i(t)\right]+n(t)$$

式中：

• $f_t[\cdot ]$ 代表表征信道物理响应的时变线性算子（乘性干扰项）；
• $n(t)$ 代表信道中随机叠加的加性噪声（加性干扰项）。

对于现代多天线无线通信（MIMO, 多输入多输出信道）：

图 8.4.2 多输入多输出（MIMO）连续信道矩阵时变线性网络模型

包含 $m$ 个发射输入端口与 $n$ 个接收输出端口的信道数学表达式为：

sₒj(t) = fₜj[ sᵢ1(t), sᵢ2(t), …, sᵢm(t) ] + nⱼ(t), j = 1, 2, …, n$$s_{oj}(t)=f_{tj}\left[s_{i1}(t),s_{i2}(t),\dots ,s_{im}(t)\right]+n_j(t),j=1,2,\dots ,n$$

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2. 加性噪声（Additive Noise）分类

连续信道中的噪声独立于输入信号而客观存在：

1. 按噪声物理来源分类：
   • 人为噪声：电气火花、开关电源接通冲击、电车受电弓放电、同频或邻频广播干扰；
   • 自然环境噪声：闪电雷电、磁暴暴雨、天体银河宇宙射电辐射；
   • 电子系统内部噪声：导体电阻中自由电子无规则布朗热运动产生的热噪声（Thermal Noise）、半导体器件 PN 结载流子随机越过势垒起伏产生的散弹噪声（Shot Noise）。
2. 按统计特征分类：
   • 单频窄带干扰：能量高度集中在某一特定载波频率附近的随机正弦分量；
   • 突发脉冲干扰：脉冲幅度极大、脉冲宽度极窄但时延间隔相对较长的突发冲击（具有宽阔的频带）；
   • 起伏噪声（高斯白噪声， AWGN）：热噪声的功率谱密度在极宽的频率范围（从 $0\text{ Hz}$ 到约 $10^3\text{ GHz}$）内平坦恒定，幅度在任意瞬时服从均值为零的高斯正态分布，数学上抽象为加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise, AWGN）： Pₙ(f) = (N₀)/(2) (W/Hz)$$P_n(f)=\frac{N_0}{2}(\text{W/Hz})$$

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8.4.2 离散信道模型（数字编码信道）

离散信道（编码信道）的输入端与输出端均为离散时间符号（如二进制码流）。信道在物理上的衰减、色散与加性高斯噪声干扰，在离散数学层面上均最终抽象体现为符号传输的错误翻转转移概率。

图 8.4.3 二进制离散信道的状态转移概率网格模型

1. 条件转移概率矩阵

对于二进制离散信道，输入符号集为 $\{0,1\}$，输出符号集为 $\{0,1\}$，存在 4 种条件转移概率：

• $P(0\mid 0)=P[\text{接收 }0\mid \text{发送 }0]$（正确传输）
• $P(1\mid 0)=P[\text{接收 }1\mid \text{发送 }0]$（发 0 错判为 1）
• $P(0\mid 1)=P[\text{接收 }0\mid \text{发送 }1]$（发 1 错判为 0）
• $P(1\mid 1)=P[\text{接收 }1\mid \text{发送 }1]$（正确传输）

转移特性由 $2\times 2$ 条件转移概率矩阵 $\mathbf{P}$ 完整描述：

P = P(0 | 0) & P(1 | 0) P(0 | 1) & P(1 | 1)$$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{cc}P(0\mid 0)& P(1\mid 0)\\ P(0\mid 1)& P(1\mid 1)\end{array}\right]$$

由于全概率守恒，矩阵每一行的概率之和恒等于 $1$：

P(0 | 0) + P(1 | 0) = 1, P(0 | 1) + P(1 | 1) = 1$$P(0\mid 0)+P(1\mid 0)=1,P(0\mid 1)+P(1\mid 1)=1$$

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2. 二进制对称信道（BSC）与多进制编码信道

图 8.4.4 二进制对称信道（BSC）与四进制编码信道的转移拓扑

定义：二进制对称信道 (Binary Symmetric Channel, BSC)

若二进制离散信道发 0 错译为 1 的转移概率，与发 1 错译为 0 的转移概率严格相等：

P(1 | 0) = P(0 | 1) = p$$P(1\mid 0)=P(0\mid 1)=p$$

则称该信道为二进制对称信道（BSC）。其中 $p$ 称为信道的交错翻转错误概率（Crossover Probability）。

BSC 信道的转移概率矩阵化简为：

P_(BSC) = 1 - p & p p & 1 - p$${\mathbf{P}}_{\text{BSC}}=\left[\begin{array}{cc}1-p& p\\ p& 1-p\end{array}\right]$$

BSC 模型是信息论与信道编码理论中最基础、应用最广的研究原型。

若当前码元的差错发生情况与历史前后码元完全统计独立，则称其为无记忆离散信道；若信道衰落引起成串突发错误，前后码元错误强相关，则属于有记忆离散信道（需采用交织技术予以离散化）。

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8.4 信道模型 思考题与自测