5.4 PAM 信号通过限带信道传输

实际通信信道（如电话线双绞线、微波接力信道、卫星信道及光纤信道）均为带宽受限信道（Band-Limited Channels）。当数字基带信号通过限带系统时，由于有限带宽滤波器的冲激响应在时域具有无限延伸的拖尾振荡，前后期符号的脉冲波形会在时间上彼此重叠交织，在抽样判决时刻产生严重的码间干扰（Inter-Symbol Interference, ISI）。

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5.4.1 符号间干扰（ISI）

图 5.4.1 给出了数字 PAM 基带传输系统的通用数学模型。

flowchart LR
    src["离散幅度序列 $$\{a_n\}$$"] --> txFilter["发送滤波器\n$$G_T(f)$$"]
    txFilter -->|"$$s(t)$$"| chan["限带信道\n$$C(f)$$"]
    chan --> add(("＋"))
    nw["$$n_w(t)$$"] --> add
    add -->|"$$r(t)$$"| rxFilter["接收滤波器\n$$G_R(f)$$"]
    rxFilter -->|"$$y(t)$$"| sampler["抽样判决器\n$$t = m T_s$$"]
    sampler --> out["判决输出 $$\\hat{a}_m$$"]

图 5.4.1 数字 PAM 基带传输系统框图（原书影印参考）

系统的整体等效基带冲激响应 $x(t)$ 为发送滤波器、信道及接收滤波器的级联卷积：

x(t) = g_T(t) * c(t) * g_R(t) (5.4.8)$$x(t)=g_T(t)\ast c(t)\ast g_R(t)\text{\hspace{1em}(5.4.8)}$$

其总频域传递函数为：

X(f) = G_T(f) C(f) G_R(f) (5.4.13)$$X(f)=G_T(f)C(f)G_R(f)\text{\hspace{1em}(5.4.13)}$$

接收低通滤波器的输出信号为：

y(t) = ∑ₙ=-∞^∞ aₙ x(t - n Tₛ) + Y(t) (5.4.7)$$y(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}x(t-n{T}_s)+Y(t)\text{\hspace{1em}(5.4.7)}$$

其中 $Y(t)=n_w(t)\ast g_R(t)$ 为滤波后的加性高斯噪声。在抽样时刻 $t=m{T}_s$ 进行采样，瞬时采样值为：

yₘ = y(m Tₛ) = x₀ aₘ + ∑ₙ ≠ m aₙ xₘ-n + Yₘ (5.4.11)$$y_m=y(m{T}_s)=x_0{a}_m+\sum _{n\ne m}{a}_n{x}_{m-n}+Y_m\text{\hspace{1em}(5.4.11)}$$

其中 $x_k=x(k{T}_s)$，$Y_m=Y(m{T}_s)$。式 (5.4.11) 明确将采样值分解为三项：

1. $x_0{a}_m$：第 $m$ 个当前符号的有用信号成分；
2. ${\sum }_{n\ne m}{a}_n{x}_{m-n}$：除当前符号外，其余所有前后符号脉冲在 $t=m{T}_s$ 产生的拖尾响应之和，即码间干扰（ISI）；
3. $Y_m$：抽样时刻的加性高斯噪声。

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5.4.2 无 ISI 传输的奈奎斯特第一准则

为完全消除码间干扰（使第二项恒等于 0），总冲激响应 $x(t)$ 必须在当前符号抽样时刻取得峰值，而在所有其他符号抽样时刻严格过零：

x(n Tₛ) = 1, & n = 0 0, & n ≠ 0 (5.4.16)$$x(n{T}_s)=\{\begin{array}{ll}1,& n=0\\ 0,& n\ne 0\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.16)}$$

奈奎斯特第一准则（时域无 ISI 的频域充要条件）

基带传输系统总冲激响应满足时域无码间干扰条件式 (5.4.16) 的充分必要条件是其总传递函数 $X(f)$ 满足：

∑ₘ=-∞^∞ X(f + (m)/(Tₛ)) = Tₛ (5.4.17)$$\sum _{m=-\infty }^{\infty }X\left(f+\frac{m}{T_s}\right)=T_s\text{\hspace{1em}(5.4.17)}$$

物理意义：将总传输特性 $X(f)$ 在频率轴上按符号速率 $R_s=1/T_s$ 间隔进行周期延拓叠加后，必须恒等于常数 $T_s$（平坦无起伏响应）。

数学证明： 对式 (5.4.17) 两端做傅里叶反变换：

∑ₘ=-∞^∞ mathcalF⁻1{X(f + (m)/(Tₛ))} = x(t)∑ₘ=-∞^∞ e⁻j2π m t / Tₛ$$\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\mathcal{F}}^{-1}\left\{X\left(f+\frac{m}{T_s}\right)\right\}=x(t)\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi mt/T_s}$$

利用泊松求和公式 $\frac{1}{T_s}{\sum }_{m=-\infty }^{\infty }{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi mt/T_s}={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)$，上式等价于：

x(t) · Tₛ ∑ₙ=-∞^∞ δ(t - n Tₛ) = Tₛ ∑ₙ=-∞^∞ x(n Tₛ)δ(t - n Tₛ) = Tₛ δ(t)$$x(t)\cdot T_s\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-n{T}_s)=T_s\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)=T_s\delta (t)$$

比较两端冲激加权系数，当且仅当 $x(0)=1$ 且 $n\ne 0$ 时 $x(n{T}_s)=0$ 时等式恒成立。证毕。

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5.4.3 三种传输速率与滤波设计

设系统的物理截止频率为 $W$，根据符号间隔 $T_s$ 与信道带宽 $W$ 的关系，分为三种情况：

1. $T_s<\frac{1}{2W}$（符号速率 $R_s>2W$）

频谱搬移间隔 $1/T_s>2W$。由于 $X(f)$ 的单边带宽仅为 $W$，相邻搬移谱之间存在空白间隙，周期叠加函数 $Z(f)$ 无法填满为常数 $T_s$，如图 5.4.2 所示。因此在该速率下物理上不可能实现无码间干扰传输。

图 5.4.2 T_s < 1/(2W) 情况下的 Z(f) 曲线（原书影印参考）

2. $T_s=\frac{1}{2W}$（奈奎斯特速率 $R_s=2W$）

周期延拓刚好严丝合缝紧密拼接，如图 5.4.3 所示。满足准则的唯一解是理想低通滤波器（Brick-wall Lowpass Filter）：

X(f) = Tₛ, & |f| ≤slant W 0, & |f| > W (5.4.23)$$X(f)=\{\begin{array}{ll}{T}_s,& |f|⩽W\\ 0,& |f|>W\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.23)}$$

对应的时域冲激响应为：

x(t) = operatornamesinc(2Wt) = (sin(2π W t))/(2π W t) (5.4.24)$$x(t)=\mathrm{sinc}(2Wt)=\frac{\sin (2\pi Wt)}{2\pi Wt}\text{\hspace{1em}(5.4.24)}$$

图 5.4.3 T_s = 1/(2W) 情况下的 Z(f) 曲线（原书影印参考）

• 奈奎斯特速率：系统无 ISI 传输的最大理论符号速率为 $R_{s,\max }=2W$；
• 奈奎斯特带宽：传输速率为 $R_s$ 时所需的最小无 ISI 理论带宽为 $W_{\min }=R_s/2$；
• 极限频带利用率：${\eta }_{s,\max }=R_s/W=2\text{ Baud/Hz}$。

工程致命缺陷：

1. 理想矩形特性具有无限陡峭的垂直边缘，在物理上绝对不可实现；
2. $\mathrm{sinc}(t)$ 脉冲尾部的振荡拖尾衰减极其缓慢（按 $1/t$ 衰减）。当接收端抽样定时存在微小抖动误差时，各符号尾波叠加可能发散，造成极其严重的码间串扰。

3. $T_s>\frac{1}{2W}$（符号速率 $R_s<2W$ 与升余弦滚降）

周期延拓产生重叠区域，如图 5.4.4 所示。只要重叠过渡带满足奇对称互补条件，即可实现无 ISI。工程中最著名、应用最广的实现是升余弦滚降滤波器（Raised Cosine Filter）。

图 5.4.4 T_s > 1/(2W) 时的 Z(f) 曲线（原书影印参考）

升余弦滚降滤波器传输特性与时域脉冲

升余弦滤波器的频域传递函数为：

X(f) = Tₛ, & 0 ≤slant |f| ≤slant (1 - α)/(2Tₛ) (Tₛ)/(2){1 + cos[(π Tₛ)/(α)(|f| - (1 - α)/(2Tₛ))]}, & (1 - α)/(2Tₛ) < |f| ≤slant (1 + α)/(2Tₛ) 0, & |f| > (1 + α)/(2Tₛ) (5.4.25)$$X(f)=\{\begin{array}{ll}{T}_s,& 0⩽|f|⩽\frac{1-\alpha }{2T_s}\\ \frac{T_s}{2}\left\{1+\cos \left[\frac{\pi T_s}{\alpha }\left(|f|-\frac{1-\alpha }{2T_s}\right)\right]\right\},& \frac{1-\alpha }{2T_s}<|f|⩽\frac{1+\alpha }{2T_s}\\ 0,& |f|>\frac{1+\alpha }{2T_s}\end{array}\text{\hspace{1em}(5.4.25)}$$

其中 $\alpha \in [0,1]$ 称为滚降因子（Roll-off Factor）。系统总绝对截止带宽为：

W = (1 + α)/(2Tₛ) = (1 + α)/(2)Rₛ$$W=\frac{1+\alpha }{2T_s}=\frac{1+\alpha }{2}{R}_s$$

对应的时域总冲激响应为：

x(t) = operatornamesinc((t)/(Tₛ)) (cos((πα t)/(Tₛ)))/(1 - (4α² t²)/(Tₛ²)) (5.4.26)$$x(t)=\mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T_s}\right)\frac{\cos \left(\frac{\pi \alpha t}{T_s}\right)}{1-\frac{4{\alpha }^2{t}^2}{T_s^2}}\text{\hspace{1em}(5.4.26)}$$

图 5.4.5 升余弦滤波器的特性（alpha 为滚降因子）（原书影印参考）

从图 5.4.5 可以看出升余弦滚降滤波器的巨大工程优势：

• 时域拖尾按 $1/t^3$ 快速衰减（比 $\mathrm{sinc}$ 快两个数量级），极大地减轻了抽样定时抖动引起的码间串扰敏感性；
• 当 $\alpha =0$ 时，退化为理想低通滤波器（带宽 $W=R_s/2$，利用率 $2\text{ Baud/Hz}$）；
• 当 $\alpha =1$ 时（全升余弦滚降），绝对带宽为 $W=R_s$，频带利用率为 $1\text{ Baud/Hz}$。