3.3 平稳过程

实际中的随机信号往往非常复杂。通信中经常采用一些理想化模型。平稳过程是随机信号分析中常用的一种理想化模型。

3.3.1 平稳过程

平稳的意思，大致来说就是随机过程经过任意时延后，其统计特性不变。按“统计特性”所指不同，可分出不同的平稳类型：若统计特性指随机过程上所有随机变量的联合分布，就是严平稳；若统计特性指均值和自相关函数，就是宽平稳。

1. 严平稳

严平稳（Strict-Sense Stationary, SSS）

若对任意正整数 $n$、任意时刻 $t_1,t_2,\dots ,t_n$ 以及任意时移 $\Delta$，随机变量 $X(t_1),X(t_2),\dots ,X(t_n)$ 与时移后的随机变量 $X(t_1+\Delta ),X(t_2+\Delta ),\dots ,X(t_n+\Delta )$ 具有完全相同的联合概率分布，即：

p_X(x₁, …, xₙ, t₁, …, tₙ) = p_X(x₁, …, xₙ, t₁+Δ, …, tₙ+Δ) (3.3.1)$$p_X(x_1,\dots ,x_n,t_1,\dots ,t_n)=p_X(x_1,\dots ,x_n,t_1+\Delta ,\dots ,t_n+\Delta )\text{\hspace{1em}(3.3.1)}$$

则称 $X(t)$ 为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。

2. 广义平稳

广义平稳（Wide-Sense Stationary, WSS）

若随机过程 $X(t)$ 满足：

1. 均值为常数：$\mathbb{E}[X(t)]=m_X$
2. 自相关函数只与时间差有关：$\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]=R_X(t_1-t_2)$

则称 $X(t)$ 为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。在通信中，最常用到的是广义平稳过程，本书此后提到的平稳过程默认指广义平稳过程。

• 若 $X(t),Y(t)$ 分别平稳，且其互相关函数 $\mathbb{E}[X(t+\tau )Y(t)]=R_{XY}(\tau )$ 与绝对时间 $t$ 无关，则称 $X(t),Y(t)$ 联合平稳。
• 平稳过程是一般随机过程的特例，前面 3.2.3 节中给出的性质对平稳过程继续成立：
  • 自相关函数为偶函数：$R_X(\tau )=R_X(-\tau )$；
  • 自相关函数在 $\tau =0$ 处最大且最大值是平均功率：$R_X(\tau )\le R_X(0)=\mathbb{E}[X^2(t)]=P_X$；
  • 互相关函数时序调换：$R_{XY}(\tau )=R_{YX}(-\tau )$；
  • 维纳-辛钦定理：自相关函数的傅氏变换是功率谱密度：$P_X(f)=\mathcal{F}[R_X(\tau )]$；互相关函数的傅氏变换是互功率谱密度：$P_{XY}(f)=\mathcal{F}[R_{XY}(\tau )]$。

平稳过程的均值是常数。对于电压信号，常数是直流，直流在功率谱密度中表现为 $f=0$ 处的冲激 $\delta (f)$。因此，如果平稳过程的功率谱密度中不包含 $\delta (f)$，说明它没有直流，均值为零：$\mathbb{E}[X(t)]=0$。但注意，从 $\mathbb{E}[X(t)]=0$ 不能反推功率谱密度无 $\delta (f)$。

零均值但功率谱含冲激的特例

设有随机信号 $X(t)=Z$，其中 $Z$ 以等概方式取值于 $\pm 1$。

$X(t)$ 的均值为 $\mathbb{E}[X(t)]=\mathbb{E}[Z]=0$。自相关函数为：

mathbbE[X(t+τ)X(t)] = mathbbE[Z²] = 1$$\mathbb{E}[X(t+\tau )X(t)]=\mathbb{E}[Z^2]=1$$

均值与自相关函数均与 $t$ 无关，$X(t)$ 是平稳过程。其功率谱密度为：

P_X(f) = mathcalF[1] = δ(f)$$P_X(f)=\mathcal{F}[1]=\delta (f)$$

此例表明：即使过程均值为 0，其样本函数可能是不随时间改变的直流电平（随机选取正负极性），因此在功率谱中依然具有直流分量 $\delta (f)$。

若 $X(t),Y(t)$ 联合平稳，则 $X(t)+Y(t)$ 的均值为 $m_X+m_Y$，自相关函数为：

mathbbE[(X(t+τ) + Y(t+τ))(X(t) + Y(t))] &= mathbbE[X(t+τ)X(t)] + mathbbE[X(t+τ)Y(t)] & + mathbbE[Y(t+τ)X(t)] + mathbbE[Y(t+τ)Y(t)] &= R_X(τ) + R_(XY)(τ) + R_(XY)(-τ) + R_Y(τ) (3.3.2)$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[(X(t+\tau )+Y(t+\tau ))(X(t)+Y(t))]& =\mathbb{E}[X(t+\tau )X(t)]+\mathbb{E}[X(t+\tau )Y(t)]\\ & +\mathbb{E}[Y(t+\tau )X(t)]+\mathbb{E}[Y(t+\tau )Y(t)]\\ & =R_X(\tau )+R_{XY}(\tau )+R_{XY}(-\tau )+R_Y(\tau )\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.2)}$$

与 $t$ 无关，说明联合平稳随机过程之和依然是平稳过程。

各自平稳但不联合平稳的反例

设有两随机信号 $X(t)=\cos (2\pi t+\theta )$，$Y(t)=\cos (3\pi t+\theta )$，其中 $\theta \sim U[0,2\pi ]$。

根据例3.2.6 可知，$X(t)$ 与 $Y(t)$ 都是零均值平稳过程。但由前面算得的互相关函数：

R_(XY)(t+τ, t) = 1/2cos(2πτ - π t)$$R_{XY}(t+\tau ,t)=\frac{1}{2}\cos (2\pi \tau -\pi t)$$

显见 $R_{XY}(t+\tau ,t)$ 与绝对时间 $t$ 有关，故 $X(t),Y(t)$ 不是联合平稳。

3. 平稳序列

若随机序列 $\{X_n\}$ 满足均值为常数，自相关函数只与时间差有关，即：

mathbbE[Xₙ] &= m_X mathbbE[Xₙ+mXₙ] &= R_X(m) (3.3.3)$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[X_n]& =m_X\\ \mathbb{E}[X_{n+m}{X}_n]& =R_X(m)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.3)}$$

则称 $\{X_n\}$ 为广义平稳序列。

3.3.2 遍历性

对随机过程 $X(e,t)$ 按 $e$ 取平均和按 $t$ 取平均是有区别的：

• 若 $X(e,t)$ 具有平稳性，则按 $e$ 平均后的结果与 $t$ 无关；
• 若 $X(e,t)$ 具有遍历性（Ergodicity，亦称各态历经性），则按 $t$ 平均后的结果与 $e$ 无关。

遍历性的物理含义是：每一个样本函数都能经历其他样本的各种状态，使得只要观察一个样本函数，就能推知随机过程整体的统计特性。

设 $X(e,t)$ 是平稳过程，其均值为 $m_X$，自相关函数为 $R_X(\tau )$。一般说来，$X(e,t)$ 按时间平均计算的样本均值 $\overline{X(e,t)}$、样本自相关函数 $\overline{X(e,t+\tau )X(e,t)}$ 与所抽到的波形有关，具有随机性。

广义平稳过程的遍历性条件

若样本均值以概率 1 等于随机过程的统计均值，样本自相关函数以概率 1 等于随机过程的自相关函数，即：

P{ overlineX(e,t) = m_X } = 1 (3.3.4)$$P\{\overline{X(e,t)}=m_X\}=1\text{\hspace{1em}(3.3.4)}$$P{ overlineX(e, t+τ)X(e, t) = R_X(τ) } = 1 (3.3.5)$$P\{\overline{X(e,t+\tau )X(e,t)}=R_X(\tau )\}=1\text{\hspace{1em}(3.3.5)}$$

则称 $X(e,t)$ 为广义平稳遍历过程或各态历经过程。简单来说，就是时间平均等于统计平均。

遍历过程的每个样本函数具有相同的样本均值、样本自相关函数和功率谱密度。观察一个样本函数就能得到整个随机过程的均值、自相关函数及功率谱密度。

随机相位正弦波的各态历经性

设 $X(t)=\cos (2\pi f_{0}t+\theta )$，其中 $f_0$ 是常数，$\theta$ 是在 $[0,2\pi ]$ 上均匀分布的随机变量。

由例3.2.6 可知，$X(t)$ 是零均值平稳过程，自相关函数为 $R_X(\tau )=\frac{1}{2}\cos (2\pi f_0\tau )$，功率谱密度为：

P_X(f) = 1/4[δ(f - f₀) + δ(f + f₀)]$$P_X(f)=\frac{1}{4}[\delta (f-f_0)+\delta (f+f_0)]$$

计算样本均值：

overlineX(e,t) = overlinecos[2π f₀ t + θ(e)] = 0 = mathbbE[X(e,t)]$$\overline{X(e,t)}=\overline{\cos [2\pi f_{0}t+\theta (e)]}=0=\mathbb{E}[X(e,t)]$$

样本自相关函数为：

overlineX(e, t+τ)X(e,t) = overlinecos[2π f₀(t+τ) + θ(e)]cos[2π f₀ t + θ(e)] = 1/2cos(2π f₀ τ) = R_X(τ)$$\overline{X(e,t+\tau )X(e,t)}=\overline{\cos [2\pi f_0(t+\tau )+\theta (e)]\cos [2\pi f_{0}t+\theta (e)]}=\frac{1}{2}\cos (2\pi f_0\tau )=R_X(\tau )$$

因此 $X(t)$ 是遍历过程。

3.3.3 循环平稳

按是否平稳可将随机过程分为平稳过程和非平稳过程两类。平稳过程的均值、自相关函数与绝对时间 $t$ 无关，非平稳过程的均值或自相关函数中至少有一个与 $t$ 有关。

循环平稳（Cyclostationarity）

若非平稳过程的均值或自相关函数是 $t$ 的周期函数，称为循环平稳过程或周期平稳过程。

循环平稳过程可按一个周期的时间平均来求其平均自相关函数：

overlineR_X(τ) = (1)/(T₀)∫_(-T₀/2)^(T₀/2) R_X(t+τ, t) dt (3.3.6)$${\overline{R}}_X(\tau )=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T_0/2}^{T_0/2}{R}_X(t+\tau ,t)\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(3.3.6)}$$

数字通信脉冲成形信号的循环平稳性

设 $X(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}g(t-n{T}_s)$，其中 $\{a_n\}$ 的元素以独立等概方式取值于 $\{\pm 1\}$，$g(t)$ 是确定实信号，其傅氏变换为 $G(f)$。试判断 $X(t)$ 的平稳性。

查看解析与步骤

$X(t)$ 的均值为：

mathbbE[X(t)] = mathbbE[∑ₘ=-∞^∞ aₘ g(t - mTₛ)] = ∑ₘ=-∞^∞ mathbbE[aₘ] g(t - mTₛ) = 0 (3.3.7)$$\mathbb{E}[X(t)]=\mathbb{E}\left[\sum _{m=-\infty }^{\infty }{a}_{m}g(t-m{T}_s)\right]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\mathbb{E}[a_m]g(t-m{T}_s)=0\text{\hspace{1em}(3.3.7)}$$

自相关函数为：

mathbbE[X(t+τ)X(t)] &= mathbbE[{∑ₙ=-∞^∞ aₙ g(t + τ - nTₛ)}{∑ₘ=-∞^∞ aₘ g(t - mTₛ)}] &= ∑ₙ=-∞^∞ ∑ₘ=-∞^∞ mathbbE[aₙ aₘ] g(t + τ - nTₛ)g(t - mTₛ) &= ∑ₙ=-∞^∞ g(t + τ - nTₛ)g(t - nTₛ) (3.3.8)$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[X(t+\tau )X(t)]& =\mathbb{E}\left[\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }{a}_{n}g(t+\tau -n{T}_s)\right\}\left\{\sum _{m=-\infty }^{\infty }{a}_{m}g(t-m{T}_s)\right\}\right]\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{m=-\infty }^{\infty }\mathbb{E}[a_n{a}_m]g(t+\tau -n{T}_s)g(t-m{T}_s)\\ & =\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(t+\tau -n{T}_s)g(t-n{T}_s)\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.8)}$$

上式右边与 $t$ 有关，因此 $X(t)$ 不是平稳过程。将右边无穷求和中的 $t$ 换成 $t+T_s$ 后结果不变，说明自相关函数是 $t$ 的周期函数，周期为 $T_s$，$X(t)$ 是循环平稳过程。

将周期函数 $\mathbb{E}[X(t+\tau )X(t)]$ 展开为傅里叶级数：

mathbbE[X(t+τ)X(t)] = ∑ₙ=-∞^∞ R_X^((n))(τ)e^(j2π (n)/(Tₛ) t) (3.3.9)$$\mathbb{E}[X(t+\tau )X(t)]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{R}_X^{(n)}(\tau ){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi \frac{n}{T_s}t}\text{\hspace{1em}(3.3.9)}$$

其中第 $n$ 项的系数展开计算为：

R_X^((n))(τ) &= (1)/(Tₛ)∫_(-Tₛ/2)^(Tₛ/2) {∑ₖ=-∞^∞ g(t + τ - kTₛ)g(t - kTₛ)}e⁻j2π (n)/(Tₛ) t dt &= (1)/(Tₛ)∫_(-∞)^∞ g(t+τ)g(t)e⁻j2π (n)/(Tₛ) t dt &= (1)/(Tₛ)∫_(-∞)^∞ G(f)e^(j2π f τ) · G^*(f - (n)/(Tₛ))df &= ∫_(-∞)^∞ [(1)/(Tₛ)G(f)G^*(f - (n)/(Tₛ))]e^(j2π f τ) df (3.3.11)$$\begin{array}{rl}{R}_X^{(n)}(\tau )& =\frac{1}{T_s}{\int }_{-T_s/2}^{T_s/2}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }g(t+\tau -k{T}_s)g(t-k{T}_s)\right\}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi \frac{n}{T_s}t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T_s}{\int }_{-\infty }^{\infty }g(t+\tau )g(t){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\pi \frac{n}{T_s}t}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T_s}{\int }_{-\infty }^{\infty }G(f){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f\tau }\cdot G^{\ast }\left(f-\frac{n}{T_s}\right)\mathrm{d}f\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left[\frac{1}{T_s}G(f)G^{\ast }\left(f-\frac{n}{T_s}\right)\right]{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}2\pi f\tau }\mathrm{d}f\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.11)}$$

即 $R_X^{(n)}(\tau )$ 是 $\frac{1}{T_s}G(f)G^{\ast }\left(f-\frac{n}{T_s}\right)$ 的傅氏反变换，后者称为 $X(t)$ 的周期谱。

$G(f)G^{\ast }\left(f-\frac{n}{T_s}\right)$ 是 $G(f)$ 与其频谱搬移 $G\left(f-\frac{n}{T_s}\right)$ 的共轭相乘。如果 $G(f)$ 的带宽不超过 $\frac{1}{2T_s}$，频移后无重叠相乘为零，则对所有 $n\ne 0$ 均有 $R_X^{(n)}(\tau )=0$。此时 $\mathbb{E}[X(t+\tau )X(t)]=R_X^{(0)}(\tau )$ 与 $t$ 无关，$X(t)$ 便直接成为平稳过程。

3.3.4 平稳过程通过滤波器

平稳过程通过线性时不变滤波器后仍然是平稳过程。设滤波器的冲激响应为 $h(t)$，传递函数为 $H(f)$，滤波器输入平稳过程 $X(t)$ 的均值为 $m_X$，自相关函数为 $R_X(\tau )$，则：

1. 输出过程的均值

m_Y(t) = ∫_(-∞)^∞ h(t-τ)m_X dτ = m_X ∫_(-∞)^∞ h(u) du = m_X H(0) (3.3.12)$$m_Y(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )m_X\mathrm{d}\tau =m_X{\int }_{-\infty }^{\infty }h(u)\mathrm{d}u=m_{X}H(0)\text{\hspace{1em}(3.3.12)}$$

输出过程的均值为常数，等于输入均值乘直流增益 $H(0)$。

2. 输出过程的自相关函数

mathbbE[Y(t₁)Y(t₂)] &= mathbbE[∫_(-∞)^∞ h(u)X(t₁-u) du ∫_(-∞)^∞ h(v)X(t₂-v) dv] &= iint_(-∞)^∞ h(u)h(v)mathbbE[X(t₁-u)X(t₂-v)] dudv &= iint_(-∞)^∞ h(u)h(v)R_X(t₁-t₂ + v-u) dudv (3.3.13)$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y(t_1)Y(t_2)]& =\mathbb{E}\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }h(u)X(t_1-u)\mathrm{d}u{\int }_{-\infty }^{\infty }h(v)X(t_2-v)\mathrm{d}v\right]\\ & ={\iint }_{-\infty }^{\infty }h(u)h(v)\mathbb{E}[X(t_1-u)X(t_2-v)]\mathrm{d}u\mathrm{d}v\\ & ={\iint }_{-\infty }^{\infty }h(u)h(v)R_X(t_1-t_2+v-u)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.13)}$$

结果仅依赖于 $\tau =t_1-t_2$，与绝对时间无关：

R_Y(τ) = R_X(τ) * h(τ) * h^*(-τ)$$R_Y(\tau )=R_X(\tau )\ast h(\tau )\ast h^{\ast }(-\tau )$$

3. 互相关函数

mathbbE[Y(t₁)X(t₂)] &= mathbbE[X(t₂)∫_(-∞)^∞ h(v)X(t₁-v) dv] &= ∫_(-∞)^∞ h(v)R_X(t₂ - t₁ + v) dv &= ∫_(-∞)^∞ h(v)R_X(v - τ) dv = R_X(τ) * h(τ) (3.3.14)$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[Y(t_1)X(t_2)]& =\mathbb{E}\left[X(t_2){\int }_{-\infty }^{\infty }h(v)X(t_1-v)\mathrm{d}v\right]\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }h(v)R_X(t_2-t_1+v)\mathrm{d}v\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }h(v)R_X(v-\tau )\mathrm{d}v=R_X(\tau )\ast h(\tau )\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.14)}$$

均值、自相关函数、互相关函数都与绝对时间无关，说明 $X(t)$ 与 $Y(t)$ 平稳且联合平稳。

平稳过程希尔伯特变换的正交性

设 $X(t)$ 是零均值平稳过程，其自相关函数为 $R_X(\tau )$，功率谱密度为 $P_X(f)$。求 $X(t)$ 的希尔伯特变换 $\hat{X}(t)$ 的自相关函数、功率谱密度，并求互相关函数 $R_{X\hat{X}}(\tau )$ 及 $R_{\hat{X}X}(\tau )$。

查看解析与步骤

希尔伯特变换是传递函数为 $H(f)=-\mathrm{j}\mathrm{sgn}(f)$ 的全通型移相滤波器。

零均值平稳过程通过该滤波器后，零均值、平稳这两个特性继续保持，故 $\hat{X}(t)$ 是零均值平稳过程，且 $X(t)$ 与 $\hat{X}(t)$ 联合平稳。传递函数的模值为 $|H(f)|=1$，因此 $\hat{X}(t)$ 与 $X(t)$ 有完全相同的功率谱密度和自相关函数：

P_(widehatX)(f) = |H(f)|² P_X(f) = P_X(f), R_(widehatX)(τ) = R_X(τ)$$P_{\hat{X}}(f)=|H(f){|}^2{P}_X(f)=P_X(f),R_{\hat{X}}(\tau )=R_X(\tau )$$

根据式 (3.3.14)，$\hat{X}(t)$ 与 $X(t)$ 的互相关函数是 $R_X(\tau )$ 与 $h(v)$ 的卷积。由于 $h(t)$ 是希尔伯特变换的冲激响应，卷积结果就是 $R_X(\tau )$ 的希尔伯特变换：

R_(widehatX)X(τ) = widehatR_X(τ) (3.3.15)$$R_{\hat{X}X}(\tau )={\hat{R}}_X(\tau )\text{\hspace{1em}(3.3.15)}$$

$R_X(\tau )$ 是偶函数，根据希尔伯特变换性质，偶函数的希尔伯特变换是奇函数，故 $R_{\hat{X}X}(\tau )$ 及 $R_{X\hat{X}}(\tau )=-R_{\hat{X}X}(-\tau )$ 都是奇函数。

对于奇函数，原点处取值必为零：

R_(widehatX)X(0) = 0 implies mathbbE[widehatX(t)X(t)] = 0$$R_{\hat{X}X}(0)=0⟹\mathbb{E}[\hat{X}(t)X(t)]=0$$

这证明了非常重要的经典定理：零均值平稳过程与其希尔伯特变换在同一时刻互不相关（正交）。