2.1 信号

通信的原理总的来说就是：在发端设计一个合适的携带信息的信号，信号到达收端后可能有失真，并有噪声干扰，在收端设法从中提取出信息。有关信号的数学分析是理解通信原理，设计、研究通信系统的基础。

2.1.1 信号

1. 信号的数学模型

信号是携带信息的物理存在，可以是电、光、声等任何形态。本章主要考虑电信号，表现为电压、电流等随时间的变化。根据欧姆定律，给定阻抗后，电压和电流之间是简单的比例关系，电压的变化完全能反映电流的变化，故以下主要考虑电压信号。我们用 $v,s$ 等字母来表示电压，用 $t$ 来表示时间，用数学函数 $v(t),s(t)$ 等来表示电压信号。

用数学函数来表示实际信号时，需要意识到实际信号一般具有持续时间有限、取值范围有限、变化连续的特征。例如，手机中信号的持续时间不可能超过手机的生存期，其电压值也不可能取到无穷。手机信号是连续的，电压从一个值变到另一个值需要时间，也许非常短，但不可能是零时间。尽管实际信号具有这些特性，但为了使信号的数学表示具有一般性，方便数学分析，我们常常采用理想化建模。具体来说，如果实际信号 $s(t)$ 的持续时间充分大，可近似认为 $-\infty <t<\infty$；如果取值范围充分大，可近似认为 $-\infty <s<\infty$。如果 $s(t)$ 在某个时刻 $t_0$ 处电压发生跳变的过渡时间小到可以忽略不计，则可近似认为 $s(t)$ 在 $t_0$ 时刻是间断点。

信号有确定信号和随机信号之分。确定信号也叫确知信号，是说信号的取值在任何时刻都是确定已知的，比如 $s(t)=2\cos (20\pi t)$，只要给定 $t$，就能算出 $s(t)$ 的值。再比如存储在手机里的一段录音，任意给定一个时刻，就能读出该时刻的信号值。随机信号的取值具有不确定性，给定 $t$ 时，$s(t)$ 是一个随机变量。本章介绍确定信号分析，第 3 章介绍随机信号分析。

2. 常用信号模型

(1) 直流信号

电池、充电宝、直流稳压电源等输出的是直流信号，其电压不随时间变化。电压为 $A$ 伏的直流信号可以表示为：

v(t) = A, -∞ < t < ∞$$v(t)=A,-\infty <t<\infty$$

(2) 正弦波

正弦振荡器、正弦信号发生器等的输出可以表示为正弦类函数：

v(t) = Acos(2π f₀ t + θ), -∞ < t < ∞$$v(t)=A\cos (2\pi f_{0}t+\theta ),-\infty <t<\infty$$

上式是用余弦函数表示，也可以写成正弦函数形式：

v(t) = Asin(2π f₀ t + φ), -∞ < t < ∞$$v(t)=A\sin (2\pi f_{0}t+\varphi ),-\infty <t<\infty$$

其中 $\varphi =\theta +\pi /2$。由于两种表示方式只是相位不同，没有实质区别，因此本书中除了需要特别区分的情形外，所有形式的信号都统一称为正弦波。

正弦波的角度为 $\phi (t)=2\pi f_{0}t+\theta$，角度随时间的变化率（一阶导）是角频率 ${\omega }_0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi (t)=2\pi f_0$，角频率除以 $2\pi$ 是频率。

正弦波有三个参量，分别是幅度 $A$、频率 $f_0$、初相 $\theta$，初相也称为相位。把正弦信号发生器的输出连接到示波器，可以测量出它的幅度与频率，但不能得知相位。因为相位是相对值，与时间原点的位置有关。同一个正弦波，如果改变时间原点的定义，其相位也将不同。例如在图 2.1.1 中，时间原点位于 $A$ 点时，信号的数学表示为 $v(t)=A\cos (2\pi f_{0}t)$，其初相为 0。时间原点位于 $B$ 点时，$v(t)=-A\sin (2\pi f_{0}t)$，其初相为 $\pi /2$。如果不关心时间原点，或者说不关心初相，则可以在表达式中略去，简化为：

v(t) = Acos(2π f₀ t), -∞ < t < ∞$$v(t)=A\cos (2\pi f_{0}t),-\infty <t<\infty$$

图 2.1.1 时间原点与初相（原书影印参考）

将任意信号 $v(t)$ 的时间变量从 $t$ 变成 $at$，就是将信号沿时间轴缩窄或拉伸，$a>1$ 是缩窄，$0<a<1$ 是拉伸。正弦波在时间上拉伸或缩窄将会改变频率。例如，$\cos (20\pi t)$ 的频率为 $10\text{ Hz}$，将 $t$ 变成 $2t$ 得到 $\cos (40\pi t)$，其频率变成 $20\text{ Hz}$；将 $t$ 变成 $t/2$ 得到 $\cos (10\pi t)$，频率变成 $5\text{ Hz}$。时间轴无限拉宽时，$v(t)=A\cos \left(\frac{2\pi t}{T_0}\right)$ 的波形被无限拉宽，其极限为：

lim_(T₀ → ∞) { Acos((2π t)/(T₀)) } = A, -∞ < t < ∞$$\underset{T_0\to \infty }{\lim }\left\{A\cos \left(\frac{2\pi t}{T_0}\right)\right\}=A,-\infty <t<\infty$$

上式右边是与时间 $t$ 无关的直流电压。因此，可以把直流信号看成是频率为零的正弦波。

将任意信号 $v(t)$ 的时间变量从 $t$ 变成 $-t$，则时间轴镜像反转，时间倒流。此时 $A\cos (2\pi f_{0}t+\theta )$ 变成 $A\cos (-2\pi f_{0}t+\theta )=A\cos (2\pi f_{0}t-\theta )$，说明时间反转后，幅度与频率不变，相位反极性。

(3) 受调制的正弦波

若正弦波中的 $A$ 或 $\theta$ 随 $t$ 变化，如图 2.1.2 所示，则称其为受调制的正弦波，表达式为：

v(t) = A(t)cos[2π f₀ t + θ(t)]$$v(t)=A(t)\cos [2\pi f_{0}t+\theta (t)]$$

图 2.1.2 受调制的正弦波（原书影印参考）

无线通信的发射信号一般都是受调制的正弦波，信息携带在 $A(t)$ 或 $\theta (t)$ 中。频率是角度的一阶导除以 $2\pi$，频率的变化可以包含在相位的变化中，因此只需引入 $A,\theta$ 随 $t$ 的变化，不需要专门再引入频率随时间的变化。

(4) 矩形脉冲

脉冲一般指全部或大部分能量聚集在较短时间内的信号。图 2.1.3 是几种常见脉冲的波形示例。

图 2.1.3 常见脉冲的波形示例（原书影印参考）

图 2.1.3($a$) 是矩形脉冲。宽度为 $T$、高度为 $A$、中心在原点的矩形脉冲可以表示为：

A · operatornamerect(t/T) = A, & |t| ≤slant T/2 0, & 其他 t$$A\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t}{T}\right)=\{\begin{array}{ll}A,& |t|⩽\frac{T}{2}\\ 0,& \text{其他 }t\end{array}$$

其中：

operatornamerect(x) = 1, & |x| < 1/2 0, & 其他 x$$\mathrm{rect}(x)=\{\begin{array}{ll}1,& |x|<1/2\\ 0,& \text{其他 }x\end{array}$$

将矩形脉冲沿时间无限拉宽就是直流：

lim_(T → ∞) { A · operatornamerect(t/T) } = A$$\underset{T\to \infty }{\lim }\left\{A\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t}{T}\right)\right\}=A$$

(5) sinc 脉冲

图 2.1.3($b$) 称为 sinc 脉冲，其数学表达式为：

v(t) = A · operatornamesinc(t/T)$$v(t)=A\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)$$

其中 $\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin (\pi x)}{\pi x}=\mathrm{Sa}(\pi x)$，规定 $\mathrm{sinc}(0)=1$。

sinc 脉冲持续时间无限，其波形有等间隔的零点。按间隔 $T$ 对波形采样，结果只有一处不为零：

v(kT) = A, & k = 0 0, & k = ± 1, ± 2, …$$v(kT)=\{\begin{array}{ll}A,& k=0\\ 0,& k=\pm 1,\pm 2,\dots \end{array}$$

与矩形脉冲一样，将 sinc 脉冲沿时间轴无限拉宽，结果也是直流：

lim_(T → ∞) { A · operatornamesinc(t/T) } = A$$\underset{T\to \infty }{\lim }\left\{A\cdot \mathrm{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\right\}=A$$

(6) 狄拉克冲激

狄拉克冲激脉冲 $\delta (t)$ 表示非常窄、非常高的窄脉冲。在图 2.1.4 中，保持矩形脉冲的面积为 1，脉冲不断变窄时，其高度不断变高，最终的极限就是狄拉克冲激。

图 2.1.4 狄拉克冲激代表无限窄、无限高、面积为 1 的窄脉冲（原书影印参考）

面积为 1 的狄拉克冲激称为单位冲激，称其强度为 1。可以直观地将单位冲激表示为：

δ(t) = ∞, & t = 0 0, & t ≠ 0$$\delta (t)=\{\begin{array}{ll}\infty ,& t=0\\ 0,& t\ne 0\end{array}$$ ∫_(-∞)^(∞) δ(t) dt = 1$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\mathrm{d}t=1$$

单位冲激更准确的定义是一种极限：

δ(t) triangleq lim_T → 0⁺ { 1/T · g(t/T) }$$\delta (t)\triangleq \underset{T\to 0^{+}}{\lim }\left\{\frac{1}{T}\cdot g\left(\frac{t}{T}\right)\right\}$$

其中 $g(t)$ 是面积为 1、在 $t=0$ 处连续且 $g(0)>0$ 的任意脉冲。上式中，当 $T$ 从大变小时，$\frac{1}{T}g\left(\frac{t}{T}\right)$ 的脉冲变窄、变高。这个定义可以理解为：$\delta (t)$ 是一个记号，指代的是极限。所有出现 $\delta (t)$ 的地方可以认为是记号替换：把 ${\lim }_{T\to 0^{+}}\left\{\frac{1}{T}\cdot g\left(\frac{t}{T}\right)\right\}$ 替换成了 $\delta (t)$。

将极限表达式中的 $t$ 换成 $-t$ 后，极限不变。因此冲激函数是偶函数：$\delta (t)=\delta (-t)$。

单位冲激 $\delta (t)$ 乘以常数 $a$，则 $a\cdot \delta (t)$ 的强度是 $a$。注意冲激的强度不是其在冲激位置处的函数高度（高度是无穷大），而是函数的面积。

冲激函数最重要的特性是其采样性，写成公式就是：

x(t)δ(t - t₀) = x(t₀)δ(t - t₀)$$x(t)\delta (t-t_0)=x(t_0)\delta (t-t_0)$$ ∫_(-∞)^(∞) x(t)δ(t - t₀) dt = x(t₀)$${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-t_0)\mathrm{d}t=x(t_0)$$

即任意信号 $x(t)$ 与位于 $t_0$ 时刻的单位冲激相乘后，结果是一个强度为 $x(t_0)$、仍然位于 $t_0$ 时刻的冲激。进一步积分，结果是 $x(t)$ 在 $t_0$ 时刻的采样值 $x(t_0)$。信号 $x(t)$ 只有在 $t=t_0$ 时刻的值影响结果，其他所有 $t\ne t_0$ 处无论 $x(t)$ 的取值是什么，都不影响乘法器及积分器的结果，这就是冲激函数的采样性。

graph LR
    X["x(t)"] --> Mul(("×"))
    Delta["δ(t - t₀)"] --> Mul
    Mul -->|"x(t₀)δ(t - t₀)"| Int["∫(·)dt"]
    Int --> Out["x(t₀)"]

将 $x(t)$ 换成冲激也能成立，即若 $x(t)=\delta (t-\tau )$，则有：

δ(t - τ)δ(t - t₀) = δ(t₀ - τ)δ(t - t₀)$$\delta (t-\tau )\delta (t-t_0)=\delta (t_0-\tau )\delta (t-t_0)$$

(7) 周期信号

若存在 $T>0$ 使得：

s(t) = s(t + T), -∞ < t < ∞$$s(t)=s(t+T),-\infty <t<\infty$$

则称 $s(t)$ 是周期为 $T$ 的周期信号。

若 $s(t)=s(t+T)$，则 $s(t+T)=s(t+2T)$，因而 $s(t)=s(t+2T)$，说明若 $T$ 是周期信号 $s(t)$ 的周期，则 $2T,3T,\dots$ 都是 $s(t)$ 的周期。所有周期中的最小周期叫基本周期。一般所称的周期默认指最小周期。例如，对于频率为 $50\text{ Hz}$ 的正弦波 $\cos (100\pi t+\theta )$，$20\text{ ms},40\text{ ms},60\text{ ms}$ 等都是其周期，基本周期是 $20\text{ ms}$。一般称 $50\text{ Hz}$ 正弦波的周期为 $20\text{ ms}$。

直流信号是一种特殊的周期信号。若按定义，直流信号的最小周期似乎应该是 0。但考虑到“周期性”这个词反映的是变化，而直流永远不变，因此一般把直流信号看成是频率为零的正弦波，其周期是无穷大。

用任意脉冲 $g(t)$ 可以构造出如下周期信号：

s(t) = ∑ₙ=-∞^(∞) g(t - nT)$$s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g(t-nT)$$

上式明显满足 $s(t)=s(t+T)$。图 2.1.6 中示出了用 $g(t)=A\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{2t}{T}\right)$ 形成的周期方波以及用 $g(t)=\delta (t)$ 形成的周期冲激序列。

图 2.1.6 周期信号示例（原书影印参考）

周期脉冲展开中 $s(t)$ 的最小周期一般等于 $T$，但在一些特殊情况下，右边的级数可能会收敛到常数。例如在图 2.1.7 中，$g(t)$ 是梯形脉冲，其底宽为 4，顶宽为 1，高度为 1。当 $T=2.5$ 时，$g(t)$ 左右搬移后叠成一条直线。此时 $s(t)=1,-\infty <t<\infty$。

图 2.1.7 脉冲左右搬移叠加（原书影印参考）

用任意脉冲 $g(t)$ 可以构造周期信号。反之，一切周期信号都可以表示为脉冲周期延拓的形式。设 $s(t)$ 是周期为 $T$ 的周期信号，取 $g(t)$ 为 $s(t)$ 在区间 $[-T/2,T/2]$ 内的截短部分，就可以将 $s(t)$ 表示为脉冲搬移求和形式。

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2.1.2 能量与功率

1. 信号的功率与能量

直流电压 $A$ 在 $R$ 欧姆电阻上的功率是 $P=A^2/R$。功率是单位时间内的能量。电压 $A$ 在持续时间 $T$ 内所产生的能量是 $E=PT=A^{2}T/R$。电阻值的具体大小不影响通信的原理。因此，为了简化公式记号，可取 $R=1\Omega$。此时，功率等于电压的平方，$P=A^2$，能量则为 $E=A^{2}T$。

考虑持续时间限制在区间 $[-T/2,T/2]$ 内的信号 $v(t)$。在任意时刻 $t$，$v(t)$ 是电压，其平方 $v^2(t)$ 是功率，称为 $v(t)$ 在时刻 $t$ 的瞬时功率。对于充分小的区间 $[t,t+\Delta ]$，$v(t)$ 在该区间内近似不变（实际信号的连续性），该区间内的信号能量是 $v^2(t)\Delta$。$v(t)$ 在时间区间 $[-T/2,T/2]$ 内的总能量（简称能量）为：

E_T = ∫_(-T/2)^(T/2) v²(t) dt$$E_T={\int }_{-T/2}^{T/2}{v}^2(t)\mathrm{d}t$$

按时间区间 $[-T/2,T/2]$ 计算的平均功率（简称功率）为：

P_T = (E_T)/(T) = 1/T∫_(-T/2)^(T/2) v²(t) dt$$P_T=\frac{E_T}{T}=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{v}^2(t)\mathrm{d}t$$

直观来说，信号的能量是其瞬时功率 $v^2(t)$ 的积分（面积），信号的功率是瞬时功率 $v^2(t)$ 的时间平均（平均高度）。时间平均是本课常用的概念，图 2.1.8 直观示出了函数 $x(t)$ 的时间平均。以下用记号 $\overline{x(t)}$ 表示函数 $x(t)$ 的时间平均。

图 2.1.8 时间平均的概念（原书影印参考）

信号的持续时间无穷时，取极限 $T\to \infty$ 得到：

Eᵥ = lim_(T → ∞) ∫_(-T/2)^(T/2) v²(t) dt = ∫_(-∞)^(∞) v²(t) dt$$E_v=\underset{T\to \infty }{\lim }{\int }_{-T/2}^{T/2}{v}^2(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }{v}^2(t)\mathrm{d}t$$ Pᵥ = lim_(T → ∞) { 1/T∫_(-T/2)^(T/2) v²(t) dt } = overlinev²(t)$$P_v=\underset{T\to \infty }{\lim }\left\{\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{v}^2(t)\mathrm{d}t\right\}=\overline{v^2(t)}$$

能量信号与功率信号的互斥分类

以上两个极限不可能同时成为非零有限值，即当信号的持续时间 $T\to \infty$ 时，能量和功率二者中必有一个无意义：

• 能量信号：若无穷时间内的能量有限（$0<E_v<\infty$），则按无穷时间计算的平均功率是零（$P_v=0$）。一般将能量非零有限的信号称为能量信号；
• 功率信号：若无穷时间内的平均功率非零有限（$0<P_v<\infty$），则总能量为无穷（$E_v=\infty$）。将功率非零有限的信号称为功率信号。

例 2.1.1

矩形脉冲 $g(t)=A\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{t}{\tau }\right)$ 的能量计算。

解

E_g = ∫_(-∞)^(∞) g²(t) dt = ∫_(-τ/2)^(τ/2) A² dt = A² τ$$E_g={\int }_{-\infty }^{\infty }{g}^2(t)\mathrm{d}t={\int }_{-\tau /2}^{\tau /2}{A}^2\mathrm{d}t=A^2\tau$$

例 2.1.2

信号 $s(t)=\mathrm{rect}\left(\frac{t}{T}\right)\cdot A\cos (2\pi f_{0}t+\theta )$ 是幅度为 1 的矩形脉冲与幅度为 $A$ 的正弦波相乘，也就是将正弦波截短于区间 $[-T/2,T/2]$ 内，如图 2.1.9 所示。求截短信号的能量。

图 2.1.9 正弦波的截短（原书影印参考）

解

截短信号的能量为：

Eₛ &= ∫_(-∞)^(∞) s²(t) dt = ∫_(-T/2)^(T/2) A² cos²(2π f₀ t + θ) dt &= A² ∫_(-T/2)^(T/2) [ 1/2 + (cos(4π f₀ t + 2θ))/(2) ]dt &= (A²)/(2) { T + (1)/(4π f₀) [sin(2π f₀ T + 2θ) - sin(-2π f₀ T + 2θ)] } &= (A² T)/(2){ 1 + (1)/(2π f₀ T) sin(2π f₀ T)cos(2θ) } &= (A² T)/(2) [1 + cos(2θ)operatornamesinc(2f₀ T)]$$\begin{array}{rl}{E}_s& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2(t)\mathrm{d}t={\int }_{-T/2}^{T/2}{A}^2{\cos }^2(2\pi f_{0}t+\theta )\mathrm{d}t\\ & =A^2{\int }_{-T/2}^{T/2}\left[\frac{1}{2}+\frac{\cos (4\pi f_{0}t+2\theta )}{2}\right]\mathrm{d}t\\ & =\frac{A^2}{2}\left\{T+\frac{1}{4\pi f_0}[\sin (2\pi f_{0}T+2\theta )-\sin (-2\pi f_{0}T+2\theta )]\right\}\\ & =\frac{A^{2}T}{2}\left\{1+\frac{1}{2\pi f_{0}T}\sin (2\pi f_{0}T)\cos (2\theta )\right\}\\ & =\frac{A^{2}T}{2}[1+\cos (2\theta )\mathrm{sinc}(2f_{0}T)]\end{array}$$

若 $2f_{0}T$ 为整数，则 $\mathrm{sinc}(2f_{0}T)=0$，$s(t)$ 的能量为 $A^{2}T/2$。若 $2f_{0}T$ 虽不是整数，但远大于 1，则 $\mathrm{sinc}(2f_{0}T)$ 远小于 1，此时截短信号的能量近似是 $A^{2}T/2$。直观来说，正弦波的功率是 $A^2/2$，其在时间窗口 $[-T/2,T/2]$ 内的能量是 $A^{2}T/2$。

例 2.1.3

求图 2.1.6 中周期方波的平均功率。

解

周期信号 $s(t)$ 的瞬时功率 $s^2(t)$ 也是周期函数。周期函数在不同周期内相同，其在无限时间内的平均高度等于每个周期内的平均高等，故时间平均可按一个周期来计算。因此，$s(t)$ 的平均功率为：

overlines²(t) = 1/T∫_(-T/2)^(T/2) [ A · operatornamerect((2t)/(T)) ]² dt = (A²)/(2)$$\overline{s^2(t)}=\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}{\left[A\cdot \mathrm{rect}\left(\frac{2t}{T}\right)\right]}^2\mathrm{d}t=\frac{A^2}{2}$$

图 2.1.6 中的周期方波是将直流 $A$ 关断了一半时间。直流 $A$ 的平均功率是 $A^2$，一半时间切断，平均功率从 $A^2$ 减为 $A^2/2$。

2. 能量与功率的性质

信号的能量有以下性质：

1. 非负性：$E_v={\int }_{-\infty }^{\infty }{v}^2(t)\mathrm{d}t⩾0$；
2. 平方比例性：若 $v(t)$ 的能量为 $E_v$，$a$ 是确定实数，则 $u(t)=a\cdot v(t)$ 的能量是 $E_u=a^2{E}_v$。因为 ${\int }_{-\infty }^{\infty }[a\cdot v(t){]}^2\mathrm{d}t=a^2{\int }_{-\infty }^{\infty }{v}^2(t)\mathrm{d}t$；
3. 延迟不改变能量：$v(t)$ 与 $v(t-t_0)$ 能量相同。因为 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{v}^2(t-t_0)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }{v}^2(t)\mathrm{d}t$；
4. 时间镜像不改变能量：$v(t)$ 与 $v(-t)$ 能量相同。因为 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{v}^2(-t)\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }{v}^2(t)\mathrm{d}t$；
5. 能量不满足叠加性：若 $u(t),v(t)$ 的能量分别是 $E_u$ 和 $E_v$，则 $x(t)=u(t)+v(t)$ 的能量 $E_x$ 不一定等于 $E_u+E_v$。因为：

Eₓ &= ∫_(-∞)^(∞) [u(t) + v(t)]² dt = ∫_(-∞)^(∞) [u²(t) + 2u(t)v(t) + v²(t)] dt &= Eᵤ + Eᵥ + 2∫_(-∞)^(∞) u(t)v(t) dt$$\begin{array}{rl}{E}_x& ={\int }_{-\infty }^{\infty }[u(t)+v(t){]}^2\mathrm{d}t={\int }_{-\infty }^{\infty }[u^2(t)+2u(t)v(t)+v^2(t)]\mathrm{d}t\\ & =E_u+E_v+2{\int }_{-\infty }^{\infty }u(t)v(t)\mathrm{d}t\end{array}$$

对于任意信号 $u(t),v(t)$，上式中的最后一个积分项未必是零。

平均功率是总能量除以总时间。故此，能量的性质对功率也存在。设 $s(t)$ 的功率为 $P_s$，则 $P_s⩾0$；$as(t)$ 的功率是 $a^2{P}_s$；$s(t-t_0)$、$s(-t)$ 与 $s(t)$ 的功率相同。另外，$u(t)+v(t)$ 的功率不一定等于 $u(t),v(t)$ 各自功率之和。

3. 分贝

工程中常用分贝（deci-Bel, dB）表示两个功率的相对大小。分贝如同分米，十分米是一米，十分贝是一贝。一贝指两个数 $a,b$ 的比值为 $a/b=10$。若比值 $a/b=10^x$ 就是 $x$ 贝，$10x$ 分贝。“贝”来自人名贝尔（Bell）。将功率比值换算为分贝的公式为：

[ (P₁)/(P₂) ]_(dB) = 10lg(P₁)/(P₂)$${\left[\frac{P_1}{P_2}\right]}_{\text{dB}}=10\lg \frac{P_1}{P_2}$$

将信号功率与单位功率 $1\text{ W},1\text{ mW}$ 的比值转换为分贝，称为分贝瓦及分贝毫瓦，记为 $\text{dBW},\text{dBm}$。

分贝的对数特性使其便于描述很大的变化范围。比如功率值从 $100\text{ W}$ 降到 $0.01\text{ mW}$，相差 $10000000$ 倍。折成分贝后是从 $20\text{ dBW}=50\text{ dBm}$ 降到 $-20\text{ dBm}$，下降 $70\text{ dB}$。

由于 $10\lg 2\approx 3.0103\approx 3$，工程中习惯将 2 倍等同于相差 $3\text{ dB}$。

例 2.1.4

无线通信系统的发射机输出功率为 $47\text{ dBm}$，输出信号通过一个增益为 $18\text{ dB}$ 的天线向外辐射，电磁波在空间传输中衰减了 $113\text{ dB}$，接收天线的增益为 $2\text{ dB}$，接收天线输出的信号通过一个增益为 $46\text{ dB}$ 的放大器，求放大器输出信号功率。

解

功率变化在对数域表现为简单的加减：

47 + 18 - 113 + 2 + 46 = 0 dBm$$47+18-113+2+46=0\text{ dBm}$$

与分贝值对应的原值称为线性值。按线性值，本例中发射机输出功率是 $50\text{ W}$，接收端放大器输出功率是 $1\text{ mW}$。

graph LR
    Tx["发射机<br/>47 dBm"] --> A1["发送天线<br/>增益 18 dB"]
    A1 --> Path["路径损耗<br/>113 dB"]
    Path --> A2["接收天线<br/>增益 2 dB"]
    A2 --> Amp["放大器<br/>增益 46 dB"]
    Amp --> Out["输出<br/>0 dBm"]

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2.1.3 复信号

1. 复信号定义

复数是实数的扩展，复信号是实信号的扩展。

复数 $z$ 由两个实数构成：$z=a+\mathrm{j}b=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\phi }$，其中 $a=\mathrm{Re}\{z\},b=\mathrm{Im}\{z\}$ 分别是 $z$ 的实部和虚部，$A=|z|,\phi =\angle z$ 分别是 $z$ 的幅度与角度。复数可以表示二维平面上的点。$z=a+\mathrm{j}b$ 是直角坐标表示，$z=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\phi }$ 是极坐标表示。

与此类似，复信号 $z(t)$ 由两个实信号构成：

z(t) = a(t) + jb(t) = A(t)e^(jφ(t))$$z(t)=a(t)+\mathrm{j}b(t)=A(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\phi (t)}$$

其中：

a(t) = operatornameRe{z(t)} = (z(t) + z^*(t))/(2) = A(t)cos[φ(t)]$$a(t)=\mathrm{Re}\{z(t)\}=\frac{z(t)+z^{\ast }(t)}{2}=A(t)\cos [\phi (t)]$$ b(t) = operatornameIm{z(t)} = (z(t) - z^*(t))/(2j) = A(t)sin[φ(t)]$$b(t)=\mathrm{Im}\{z(t)\}=\frac{z(t)-z^{\ast }(t)}{2\mathrm{j}}=A(t)\sin [\phi (t)]$$ A(t) = |z(t)| = √(a²(t) + b²(t))$$A(t)=|z(t)|=\sqrt{a^2(t)+b^2(t)}$$ φ(t) = arctan(b(t))/(a(t))$$\phi (t)=\arctan \frac{b(t)}{a(t)}$$

图 2.1.11 给出了上述关系的几何表示。$z(t)$ 代表点 $z$ 在二维平面上的运动，其实部 $a(t)$、虚部 $b(t)$ 分别是 $z(t)$ 在横轴和纵轴上的投影，$A(t)$ 是 $z(t)$ 离原点的距离，$\phi (t)$ 是 $z(t)$ 所在位置的方向。

若在图 2.1.11 中的横轴位置放一面以纵轴为法线的镜子，则 $z(t)$ 在镜中的影子就是其共轭 $z^{\ast }(t)$。$z(t)$ 与 $z^{\ast }(t)$ 合成为水平方向的 $z(t)+z^{\ast }(t)=2a(t)$，其差 $z(t)-z^{\ast }(t)$ 则是垂直方向的 $2\mathrm{j}\cdot b(t)$。

图 2.1.11 复信号的几何表示（原书影印参考）

2. 复单频信号

称 $z(t)=A\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(2\pi f_{0}t+\phi )}$ 为复正弦（complex sinusoid）信号或复单频信号。若 $A=1$，则 $z(t)$ 表示单位圆上的匀速运动，如图 2.1.12 所示，其中 $\phi =0$。此时，点 $z$ 在单位时间内经过的弧长等于扫过的角度，即 $z$ 运动的线速度就是角速度，记为 ${\omega }_0$，常称为角频率，单位是 $\text{rad/s}$。$z$ 的转速 $f_0=\frac{{\omega }_0}{2\pi }$ 称为频率，单位为 $\text{c/s}$，其中 $\text{c}$ 代表 circle。为了纪念科学家赫兹（Hertz），频率的单位记为 $\text{Hz}$。

图 2.1.12 复单频信号（原书影印参考）

图 2.1.12 中，$z$ 正转（逆时针）对应正频率（$f_0>0$），反转对应负频率（$f_0<0$），静止不动对应直流（$f_0=0$）。例如，${\mathrm{e}}^{\mathrm{j}100\pi t}$ 是正转，频率为 $50\text{ Hz}$；${\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}100\pi t}$ 是反转，频率为 $-50\text{ Hz}$。而 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\frac{\pi }{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\mathrm{j}\frac{1}{\sqrt{2}}$ 则是两个直流电压组成的复信号，可称为复直流或复电压。

对 $z(t)$ 取共轭将使频率反极性。若在图 2.1.12 的横轴位置放一面以纵轴为法线的镜子，则当 $z(t)$ 正转时，镜中的影子 $z^{\ast }(t)$ 在反转。时间倒流，即 $z(t)$ 变 $z(-t)$，也将使频率反极性。例如，$(3+4\mathrm{j}){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}20\pi t}$ 的频率为 $10\text{ Hz}$，其共轭 $(3-4\mathrm{j}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}20\pi t}$、时间反转 $(3+4\mathrm{j}){\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}20\pi t}$ 的频率都是 $-10\text{ Hz}$。

频率为 $f_0$ 的实单频信号 $\cos (2\pi f_{0}t+\phi )$ 可以分解为频率一正一负的两个复单频信号之和：

cos(2π f₀ t + φ) = 1/2e^(j(2π f₀ t + φ)) + 1/2e⁻j(2π f₀ t + φ)$$\cos (2\pi f_{0}t+\phi )=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}(2\pi f_{0}t+\phi )}+\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}(2\pi f_{0}t+\phi )}$$

实信号本无正负频率的概念，扩展到复信号后，频率便有了正负之分。通过示波器能看见的是实信号，都包含正频率和负频率，缺任何一个都不可能成为实信号。

实信号天然具有一正一负两个对称的频率成分，因此工程中提及实信号的频率时，只需要说不带极性的频率值，不需要特意点出负频率。例如，“交流电频率是 $50\text{ Hz}$”，“Wi-Fi 工作在 $5\text{ GHz}$ 频段”等。

3. 复信号的意义

复信号常用来表示与正弦波有密切关系的实信号。例如，电路课程中常用的相量法就是用复数 $A\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta }$ 来表示正弦波 $A\cdot \cos (2\pi f_{0}t+\theta )$。将这一方法加以扩展，让 $A$ 和 $\theta$ 随时间变化，则复信号 $A(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta (t)}$ 可以表示受调制的正弦波 $v(t)=A(t)\cdot \cos [2\pi f_{0}t+\theta (t)]$。引入复信号是为了分析处理方便。

4. 复信号的能量与功率

复信号由实部和虚部两个实信号组成，复信号的功率或能量就是这两个实信号的功率或能量之和。因此，任意复信号 $z(t)=a(t)+\mathrm{j}\cdot b(t)$ 的瞬时功率是 $a^2(t)+b^2(t)=|z(t){|}^2$。注意，实信号的瞬时功率是信号的平方，复信号的瞬时功率是信号的模平方。除了这一差别外，其他相同或类似：复信号的能量是瞬时功率 $|z(t){|}^2$ 的积分，平均功率是瞬时功率 $|z(t){|}^2$ 的时间平均。按无穷时间范围，复信号 $z(t)$ 的能量及功率分别为：

E_z = ∫_(-∞)^(∞) |z(t)|² dt$$E_z={\int }_{-\infty }^{\infty }|z(t){|}^2\mathrm{d}t$$ P_z = lim_(T → ∞) { 1/T∫_(-T/2)^(T/2) |z(t)|² dt } = overline|z(t)|²$$P_z=\underset{T\to \infty }{\lim }\left\{\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}|z(t){|}^2\mathrm{d}t\right\}=\overline{|z(t){|}^2}$$

以上两个中只有一个有意义，使得复信号也能分为能量信号及功率信号。

复信号能量或功率的性质与实信号基本类似：

1. 非负性：$E_z⩾0,P_z⩾0$；
2. 相位/共轭/时移/镜像不变性：$z(t)$ 与其相移 $z(t){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\theta }$、共轭 $z^{\ast }(t)$、时间镜像 $z(-t)$、延迟 $z(t-t_0)$ 有相同的能量或功率；
3. 模平方比例性：设 $K$ 是任意复系数，则 $Kz(t)$ 的能量或功率是 $z(t)$ 的能量或功率的 $|K{|}^2$ 倍；
4. 不满足叠加性：和的能量或功率不一定等于各自能量或功率之和。

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2.1.4 内积

1. 内积定义

设 $x(t),y(t)$ 是两个能量信号，能量分别是 $E_x,E_y$。考虑到实信号是复信号的特例，故为了一般性，假设 $x(t),y(t)$ 是复信号。复信号 $x(t),y(t)$ 的内积定义为：

langle x, y rangle = ∫_(-∞)^(∞) x(t)y^*(t) dt$$⟨x,y⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y^{\ast }(t)\mathrm{d}t$$

由定义可以看出，$x(t),y(t)$ 交换顺序对应内积取共轭：

∫_(-∞)^(∞) y(t)x^*(t) dt = [ ∫_(-∞)^(∞) x(t)y^*(t) dt ]^*$${\int }_{-\infty }^{\infty }y(t)x^{\ast }(t)\mathrm{d}t={\left[{\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y^{\ast }(t)\mathrm{d}t\right]}^{\ast }$$

实信号是复信号的特例。若 $x(t),y(t)$ 是实信号，内积变成：

langle x, y rangle = ∫_(-∞)^(∞) x(t)y(t) dt$$⟨x,y⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(t)\mathrm{d}t$$

两个实信号的内积在交换次序后不变。

2. 内积与能量

内积中代入 $y(t)=x(t)$，得到 $x(t)$ 的能量 ${\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t){|}^2\mathrm{d}t$，即能量是信号与其自身的内积。仿照这一点，可以把信号 $x(t)$ 与 $y(t)$ 的内积称为互能量：

Eₓy = ∫_(-∞)^(∞) x(t)y^*(t) dt$$E_{xy}={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y^{\ast }(t)\mathrm{d}t$$

当 $x(t)=y(t)$ 时，互能量 $E_{xy}$ 变成能量 $E_x$。相对于互能量这个词，也可称信号 $x(t)$ 的能量 $E_x$ 为自能量。

两个信号之和的能量之所以不等于各自自能量之和，是因为有互能量：

∫_(-∞)^(∞) |x(t) + y(t)|² dt &= ∫_(-∞)^(∞) [|x(t)|² + x(t)y^*(t) + y(t)x^*(t) + |y(t)|²] dt &= Eₓ + Eₓy + E_(yx) + E_y$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|x(t)+y(t){|}^2\mathrm{d}t& ={\int }_{-\infty }^{\infty }[|x(t){|}^2+x(t)y^{\ast }(t)+y(t)x^{\ast }(t)+|y(t){|}^2]\mathrm{d}t\\ & =E_x+E_{xy}+E_{yx}+E_y\end{array}$$

注意，自能量一定是正能量，至少是 0，不可能有负能量，而互能量可正可负，还可以是复数。互能量反映两个信号叠加后额外的能量消长。例如 $x(t)+[-x(t)]=0$，能量完全抵消，互能量为负。$x(t)+x(t)=2x(t)$ 的能量是 $4E_x$，比 $E_x+E_x$ 多出 $2E_x$，多出的这部分是正的互能量。

例 2.1.5

求图 2.1.13 中信号 $x(t),y(t)$ 的内积，并求 $x(t)+y(t)$ 的能量。

图 2.1.13 x(t) 与 y(t) 的波形（原书影印参考）

解

$x(t)$ 与 $y(t)$ 都是实信号，其内积为：

Eₓy = ∫_(-∞)^(∞) x(t)y(t) dt = ∫_(τ)^(τ+1) x(t) dt$$E_{xy}={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y(t)\mathrm{d}t={\int }_{\tau }^{\tau +1}x(t)\mathrm{d}t$$

其结果是 $x(t)$ 在时间窗口 $[\tau ,\tau +1]$ 内的面积。窗口位置不同则积分值不同，结果是 $\tau$ 的函数，如图 2.1.14($a$) 所示。

$x(t)$ 的能量是 $E_x={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)\mathrm{d}t=2$，$y(t)$ 的能量是 $E_y={\int }_{-\infty }^{\infty }{y}^2(t)\mathrm{d}t=1$，代入得 $x(t)+y(t)$ 的能量为：

Eₓ+y = Eₓ + E_y + 2Eₓy = 3 + 2Eₓy$$E_{x+y}=E_x+E_y+2E_{xy}=3+2E_{xy}$$

结果示于图 2.1.14($b$)。$\tau$ 不同时，$x(t)$ 与 $y(t)$ 的互能量不同，导致 $x(t)+y(t)$ 的能量在 $E_x+E_y=3$ 周围变化。$\tau =-1$ 时，$y(t)$ 与 $x(t)$ 在区间 $[-1,0]$ 内完全抵消，$x(t)+y(t)$ 的能量是 1。$\tau =0$ 时，$x(t)$ 在区间 $[-1,0]$ 内不变，能量是 1；在区间 $[0,1]$ 内幅度变成 2，能量变成 4，$x(t)+y(t)$ 的能量是 5。

图 2.1.14 不同 τ 值下的互能量与信号之和的能量（原书影印参考）

3. 正交

若 $x(t)$ 与 $y(t)$ 的内积为零，则称 $x(t)$ 与 $y(t)$ 正交。两个信号正交时，互能量为零，故正交信号之和的能量等于各自自能量之和。例如在图 2.1.13 中，当 $\tau =-1/2$ 时，$y(t)=\mathrm{rect}(t)$ 与 $x(t)$ 正交。此时 $E_{xy}=0,E_{x+y}=E_x+E_y=3$。

若 $y(t)$ 与 $x(t)$ 不正交，说明 $y(t)$ 以线性的方式包含了一部分 $x(t)$，即 $y(t)$ 可以分解为：

y(t) = a · x(t) + z(t)$$y(t)=a\cdot x(t)+z(t)$$

上式右边的 $x(t)$ 与 $z(t)$ 正交。两边对 $x(t)$ 做内积得到 $y(t)$ 与 $x(t)$ 的互能量为 $E_{yx}=a{E}_x$，故此式中的系数为 $a=E_{yx}/E_x$。若 $z(t)$ 的能量是 $E_z$，则 $y(t)$ 的能量 $E_y=|a{|}^2{E}_x+E_z$。图 2.1.15 示出了这种信号分解关系。基于图中的几何表示，内积也可以称为投影。

图 2.1.15 y(t) 分解为两个正交信号之和（原书影印参考）

例 2.1.6

设 $x(t),y(t)$ 如图 2.1.16 所示。将 $y(t)$ 分解为两个正交信号之和：$y(t)=a\cdot x(t)+z(t)$。

图 2.1.16 正交分解（原书影印参考）

解

由正交分解公式，$a=E_{yx}/E_x$。其中：

E_(yx) = ∫_(-∞)^(∞) y(t)x(t) dt = -2∫₀¹ t dt = -1$$E_{yx}={\int }_{-\infty }^{\infty }y(t)x(t)\mathrm{d}t=-2{\int }_0^{1}t\mathrm{d}t=-1$$Eₓ = ∫_(-∞)^(∞) x²(t) dt = 2$$E_x={\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2(t)\mathrm{d}t=2$$

因此 $a=-0.5$。对应的 $z(t)$ 为：

z(t) = y(t) + 1/2x(t) = t + 0.5, & -1 < t ≤slant 0 t - 0.5, & 0 < t ≤slant 1 0, & 其他 t$$z(t)=y(t)+\frac{1}{2}x(t)=\{\begin{array}{ll}t+0.5,& -1<t⩽0\\ t-0.5,& 0<t⩽1\\ 0,& \text{其他 }t\end{array}$$

波形如图 2.1.16 右图所示。

4. 许瓦兹不等式

$x(t)$ 与 $y(t)$ 的互能量有多大，取决于 $x(t),y(t)$ 的关系以及它们自身的大小。在正交分解中代入 $a=E_{yx}/E_x$，则 $y(t)$ 的能量是 $E_y={\left|\frac{E_{yx}}{E_x}\right|}^2{E}_x+E_z=\frac{|E_{xy}{|}^2}{E_x}+E_z$。$z(t)$ 的能量 $E_z$ 非负，故 $E_y⩾\frac{|E_{xy}{|}^2}{E_x}$，即：

定理：许瓦兹不等式（Schwarz Inequality）

对任意两个能量信号 $x(t)$ 与 $y(t)$，其互能量的模值最大不超过自能量的几何平均：

|Eₓy| ≤slant √(Eₓ E_y)$$|E_{xy}|⩽\sqrt{E_x{E}_y}$$

等号成立的条件是 $E_z=0$，即 $z(t)=0$。此时 $y(t)=a\cdot x(t)$，说明互能量模值最大的条件是：两个波形的形状相同，大小相差一个常数系数。

将信号 $x(t)$ 除以 $\sqrt{E_x}$ 后，$x(t)/\sqrt{E_x}$ 的能量为 1，称 $x(t)/\sqrt{E_x}$ 为 $x(t)$ 的能量归一化信号。将两个信号 $x(t),y(t)$ 的能量归一化，然后求内积，结果称为这两个信号的归一化相关系数，简称相关系数：

ρ triangleq ∫_(-∞)^(∞) (x(t))/(√(Eₓ)) · (y^*(t))/(√(E_y)) dt = fracEₓy√(Eₓ E_y)$$\rho \triangleq {\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{x(t)}{\sqrt{E_x}}\cdot \frac{y^{\ast }(t)}{\sqrt{E_y}}\mathrm{d}t=\frac{E_{xy}}{\sqrt{E_x{E}_y}}$$

根据许瓦兹不等式，归一化相关系数的模值最大是 1，即 $|\rho |⩽1$。两个信号的相关系数反映彼此的相似程度或彼此包含对方的程度：

• 若 $\rho =0$，则 $y(t)$ 与 $x(t)$ 正交，$y(t)$ 完全不包含 $x(t)$；
• 若相关系数达到最大值 $|\rho |=1$，则 $z(t)=0$，此时 $y(t)$ 纯包含 $x(t)$，不包含其他信号；
• 当 $0<|\rho |<1$ 时，$y(t)$ 包含一部分 $x(t)$，还包含一部分与 $x(t)$ 正交的成分。$|\rho |$ 越大，$y(t)$ 中 $x(t)$ 的含量越大。

5. 功率信号的内积

功率信号 $x(t)$ 的瞬时功率 $|x(t){|}^2$ 在无穷区间内的积分（总能量）是无穷大。为了使问题有意义，将求积分变成了求时间平均，相应使能量演变为功率。

同理，两个功率信号 $x(t),y(t)$ 的互能量 ${\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)y^{\ast }(t)\mathrm{d}t$ 也可能是无穷大，此时可将求积分改成求时间平均，从而使互能量演变成互功率。两个功率信号 $x(t),y(t)$ 的内积（互功率）定义为：

Pₓy = overlinex(t)y^*(t) = lim_(T → ∞) { 1/T∫_(-T/2)^(T/2) x(t)y^*(t) dt }$$P_{xy}=\overline{x(t)y^{\ast }(t)}=\underset{T\to \infty }{\lim }\left\{\frac{1}{T}{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t)y^{\ast }(t)\mathrm{d}t\right\}$$

花括号中的积分是 $x(t),y(t)$ 在区间 $[-T/2,T/2]$ 内的互能量，互能量除以持续时间 $T$ 后变成互功率。根据许瓦兹不等式，互能量的模值小于等于自能量的几何平均，即对任意 $T$ 有：

| ∫_(-T/2)^(T/2) x(t)y^*(t) dt | ≤slant sqrt∫_(-T/2)^(T/2) |x(t)|² dt · ∫_(-T/2)^(T/2) |y(t)|² dt$$\left|{\int }_{-T/2}^{T/2}x(t)y^{\ast }(t)\mathrm{d}t\right|⩽\sqrt{{\int }_{-T/2}^{T/2}|x(t){|}^2\mathrm{d}t\cdot {\int }_{-T/2}^{T/2}|y(t){|}^2\mathrm{d}t}$$

两边同时除以持续时间 $T$，并令 $T\to \infty$，则上式左边除以 $T$ 后的极限是 $P_{xy}$，右边根号中的两项除以 $T$ 后的极限分别是自功率 $P_x,P_y$。由此得到功率信号的许瓦兹不等式：

|Pₓy| ≤slant √(Pₓ P_y)$$|P_{xy}|⩽\sqrt{P_x{P}_y}$$

即互功率的模值最大不超过自功率的几何平均。