11.3 OFDM调制的数字实现

若采用传统的模拟电路实现多载波系统，系统必须包含 $N$ 个高精度正弦模拟局部振荡器与 $N$ 个窄带模拟带通滤波器。当子载波数高达数百乃至数千时，模拟元器件的离散度、温漂、频率漂移与体积功耗将导致系统在工程上完全不可实现。

1971 年 Weinstein 与 Ebert 提出的数字离散傅里叶变换（DFT）架构彻底解决了这一难题，使 OFDM 从纯理论构想飞跃成为当代全数字通信系统的工业标准。

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11.3.1 复包络抽样与离散傅里叶反变换（IDFT）推导

回顾 11.2 节中导出的连续时间 OFDM 基带复包络表达式：

a(t) = ∑ᵢ=0^(N-1) Aᵢ g(t) e^(j 2π i Δ f t), t ∈ [0, Tₛ]$$a(t)=\sum _{i=0}^{N-1}{A}_{i}g(t)e^{j2\pi i\Delta ft},t\in [0,T_s]$$

式中 $A_i$ 为第 $i$ 个子载波承载的复数星座符号，$\Delta f=1/T_s$。

为了在全数字域生成与处理该信号，在单个符号区间 $[0,T_s]$ 内对连续时间复包络 $a(t)$ 进行等间隔均匀抽样。设抽样点数为 $N$，抽样时刻为：

tₘ = m (Tₛ)/(N), m = 0, 1, …, N-1$$t_m=m\frac{T_s}{N},m=0,1,\dots ,N-1$$

此时，连续复包络在 $t_m$ 处的离散抽样序列值为：

aₘ = a( m (Tₛ)/(N) ) = ∑ᵢ=0^(N-1) Aᵢ e^(j 2π i Δ f · ( m (Tₛ)/(N) ))$$a_m=a\left(m\frac{T_s}{N}\right)=\sum _{i=0}^{N-1}{A}_i{e}^{j2\pi i\Delta f\cdot \left(m\frac{T_s}{N}\right)}$$

将正交频率间隔准则 $\Delta f\cdot T_s=1$ 代入指数项中，化简得到：

aₘ = ∑ᵢ=0^(N-1) Aᵢ e^(j 2π (i · m)/(N)), m = 0, 1, …, N-1$$a_m=\sum _{i=0}^{N-1}{A}_i{e}^{j2\pi \frac{i\cdot m}{N}},m=0,1,\dots ,N-1$$

核心定理：调制过程等价于频域符号的 IDFT

观察上述推导结果：时域离散抽样序列 $\{a_0,a_1,\dots ,a_{N-1}\}$ 在数学形式上严格等于发送端频域星座点序列 $\{A_0,A_1,\dots ,A_{N-1}\}$ 的离散傅里叶反变换（IDFT，归一化常数除外）！

这表明：在发射端完全无需产生任何连续高频子载波振荡器，只需将输入的频域数据矢量 $\{A_i\}$ 直接输入一个 IDFT 处理核，其输出即为带正交多载波调制效应的时域基带抽样序列 $\{a_m\}$。

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11.3.2 接收端解调与离散傅里叶变换（DFT）

在接收端，接收机通过单套模拟正交下变频器将射频信号搬移至基带，恢复出连续复包络 $a(t)$。

以抽样周期 $T_s/N$ 对复包络进行均匀 A/D 采样，重构出时域样值序列 $\{a_m\}=\{a_0,a_1,\dots ,a_{N-1}\}$。由于 IDFT 变换是酉空间中的严格可逆变换，接收端只需对时域采样序列实施标准离散傅里叶变换（DFT）：

Aᵢ = ∑ₘ=0^(N-1) aₘ e⁻j 2π (i · m)/(N), i = 0, 1, …, N-1$$A_i=\sum _{m=0}^{N-1}{a}_m{e}^{-j2\pi \frac{i\cdot m}{N}},i=0,1,\dots ,N-1$$

计算输出即可在频域严格无失真地恢复出发射端的各路 QAM 星座点符号 $\{A_i\}$！

• 时域序列（Time-Domain Sequence）：$\{a_m\}$ 为信号在时间轴上的瞬时物理振幅采样；
• 频域序列（Frequency-Domain Sequence）：$\{A_i\}$ 为各正交子信道所承载的数字信息调制符号。

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11.3.3 FFT/IFFT 快速算法与全数字流水线

当系统子载波数 $N$ 取为 2 的整数次幂（如 $N=64,128,512,1024,2048,4096$）时，标准的 DFT/IDFT 变换可通过 Cooley-Tukey **快速傅里叶变换（FFT/IFFT）**算法实现。

处理方案	复数乘法计算复杂度	复数加法计算复杂度	当 $N=1024$ 时的乘法运算量
标准直接 DFT/IDFT	$\mathcal{O}(N^2)$	$\mathcal{O}(N(N-1))$	$\approx 1,048,576$ 次
快速算法 FFT/IFFT	$\mathcal{O}\left(\frac{N}{2}{\log }_{2}N\right)$	$\mathcal{O}(N{\log }_{2}N)$	$\approx 5,120$ 次（骤降 99.5%）

OFDM 调制器与解调器的全数字基带处理流水线架构如下图所示：

1. 发射端全数字调制流水线（图 11.3.1($a$)）

1. 输入二进制比特流经信道编码与交织后，映射为串行复数 QAM 星座序列；
2. 串并变换器（S/P）将每 $N$ 个频域符号并排打包为频域矢量 $\mathbf{A}=[A_0,A_1,\dots ,A_{N-1}{]}^T$；
3. IFFT 硬件核将频域符号矢量转换为时域采样点矢量 $\mathbf{a}=[a_0,a_1,\dots ,a_{N-1}{]}^T$；
4. 并串变换器（P/S）将时域采样点转为时间先后排列的串行离散样值；
5. 经数模转换器（D/A）平滑成形为连续时域复包络 $a(t)$，送入正交调制器发射。

2. 接收端全数字解调流水线（图 11.3.1($b$)）

1. 正交下变频与 A/D 采样恢复出串行时域离散点；
2. 串并变换器（S/P）将时域样值分流为并行时域样值序列；
3. FFT 硬件核实施快速傅里叶正变换，直接将时域采样点分解映射回 $N$ 个频域星座点 $[A_0,A_1,\dots ,A_{N-1}]$；
4. 频域均衡与并串变换（P/S）后送入解映射与信道译码器恢复原始信息。

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11.3 OFDM调制的数字实现 思考题与自测