15.4 粒子的波动性

15.4.1 德布罗意波

1924 年，法国青年物理学家德布罗意在光的波粒二象性的启发下想到:自然界在许多方面都是明显地对称的，既然光具有波粒二象性，那么实物粒子，如电子、质子、中子等也应该具有波粒二象性．他假设:实物粒子也具有波动性．一个实物粒子的能量为 $E$、动量大小为 $p$，跟它们联系的波的频率 $\nu$ 和波长 $\lambda$ 的关系为

E = m c ^ 2 = h ν (15.21)$$E=m{c}^2=h\nu \text{\hspace{1em}(15.21)}$$

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p = m v = frac hλ$$p=mv=\frac{h}{\lambda }$$

(15.22) 这两个公式称为德布罗意公式．它是从光子所遵从的式(15.8)、式(15.10)推广而得出的．和实物粒子相联系的波，称为德布罗意波或物质波．

例 15.9

由德布罗意公式计算微粒的德布罗意波长．设电子由静止被加速电压 $U$ 加速，求加速后电子的德布罗意波长．

解

电子加速后获得的动能 $E_k=eU$ ，按照相对论公式 $E=E_k+m_0{c}^2$ ，$E$ 为电子的总能量 $E=m{c}^2$ ，则

E - m _ 0 c ^ 2 = e U$$E-m_0{c}^2=eU$$

若忽略相对论效应，则有

E _ k = frac 12 m _ 0 v ^ 2 = e U$$E_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}{m}_0{v}^2=eU$$

又

E ^ 2 = c ^ 2 p ^ 2 + m _ 0 ^ 2 c ^ 4$$E^2=c^2{p}^2+m_0^2{c}^4$$λ = frac hp = frac hm _ 0 v$$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{m_{0}v}$$

从以上两式解得电子加速后的动量为

r l p & = frac 1c sqrt 2 E _ 0 E _ k + E _ k ^ 2 & = frac 1c sqrt 2 m _ 0 c ^ 2 e U + (e U) ^ 2$$\begin{array}{rl}p& =\frac{1}{c}\sqrt{2E_0{E}_{\mathrm{k}}+E_{\mathrm{k}}^2}\\ & =\frac{1}{c}\sqrt{2m_0{c}^{2}eU+(eU{)}^2}\end{array}$$λ = frac hp = frac h csqrt 2 m _ 0 c ^ 2 e U + (e U) ^ 2$$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{hc}{\sqrt{2m_0{c}^{2}eU+(eU{)}^2}}$$

由式(15.22)，得 由上两式消去 $v$ ，得电子的德布罗意波长为

r l λ & = sqrt frac h ^ 22 m _ 0 e U & = sqrt frac (6 . 6 3 × 1 0 ^ - 3 4) ^ 22 × 9 . 1 1 × 1 0 ^ - 3 1 × 1 . 6 0 × 1 0 ^ - 1 9 frac 1sqrt U & = frac 1 . 2 3 × 1 0 ^ - 9sqrt U (m) = frac 1 . 2 3sqrt U (nm)$$\begin{array}{rl}\lambda & =\sqrt{\frac{h^2}{2m_{0}eU}}\\ & =\sqrt{\frac{(6.63\times 10^{-34}{)}^2}{2\times 9.11\times 10^{-31}\times 1.60\times 10^{-19}}}\frac{1}{\sqrt{U}}\\ & =\frac{1.23\times 10^{-9}}{\sqrt{U}}(\mathrm{m})=\frac{1.23}{\sqrt{U}}(\mathrm{nm})\end{array}$$

若 U = 150 V，则 $\lambda =0.1nm$ ，与软 $X$ 射线的波长同数量级。可见，微粒的德布罗意波长一般非常短。

例 15.10

计算质量 $m=0.01kg$ 、速率 $v=300m/s$ 的子弹的德布罗意波长．

解

根据德布罗意公式，可得子弹的德布罗意波长为

λ = frac hm v = frac 6 . 6 3 × 1 0 ^ - 3 40 . 0 1 × 3 0 0 m = 2. 2 1 × 1 0 ^ - 3 4 m$$\lambda =\frac{h}{mv}=\frac{6.63\times 10^{-34}}{0.01\times 300}\mathrm{m}=2.21\times 10^{-34}\mathrm{m}$$

可以看出，因为普朗克常量很小，所以宏观物体的波长小到实验难以测量的程度，因而宏观物体仅表现出粒子性．

证明波的相速度u=λv.根据德布罗意公式,λ=h/mv,ν=mc2/h,两式相乘，得u=λν=c2/v.因为v

德布罗意假设为许多实验所证实.1927年，戴维孙和革末做了电子束在晶体表面的散射实验，证实了电子的波动性，实验装置如图 15.13所示．把电子束看作$X$射线，整个实验和$X$射线在晶体点阵结构上的衍射完全类同，只有满足布拉格公式

2 d sin φ = k λ = k frac 1 . 2 3sqrt U (k = 1, 2, 3, …)$$2d\sin \phi =k\lambda =k\frac{1.23}{\sqrt{U}}(k=1,2,3,\dots )$$

时，电子束才有最强的反射，进入集电器的电子流最大。实验结果如图 15.14所示。该曲线是取 $\phi =80^{\circ },d=0.203\mathrm{nm}$ （镍单晶）代入上式得到的。当 $\sqrt{U}=k\times 3.06$ 时，电流出现峰值。实验结果与理论一致，证实了电子的波动性。

图 15.13 戴维孙-革末电子衍射实验装置示意图

图 15.14 电子在镍单晶上衍射时，电子束强度与加速电压的关系

同年(1927年)，汤姆孙做了电子衍射实验，实验装置如图 15.15所示。将电子束穿过金属片（多晶膜），在感光片上产生的圆环衍射图样和$X$射线通过多晶膜产生的衍射图样极其相似，这也证实了电子的波动性。后来，人们又分别做了中子、质子、原子、分子的衍射实验，实验结果都说明这些粒子具有波动性。波粒二象性是光子和一切微观粒子共同具有的特性，

图 15.15 电子衍射实验装置

德布罗意公式是描述微观粒子波粒二象性的基本公式．

15.4.2 德布罗意波的统计解释

对于实物粒子波动性的解释，是 1926 年玻恩提出概率波的概念后得到一致公认的． 对比光和实物粒子的衍射图样，可以看出实物粒子的波动性和粒子性之间的联系．对光的强度问题，爱因斯坦已从统计学的观点提出:光强的地方，光子到达的概率大;光弱的地方，光子到达的概率小．玻恩用同样的观点来分析戴维孙-革末实验(或电子衍射图样),他认为:电子流出现峰值(或衍射图样出现亮条纹)处，电子出现的概率大;不是峰值处，电子出现的概率小．此结论对其他微观粒子也同样适用．至于个别粒子在何处出现，则有一定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律．物质波的这种统计解释把粒子的波动性和粒子性正确地联系起来了，成为量子力学的基本观点之一． 有人让电子一个一个地照射金属片做汤姆孙电子衍射实验，发现一个一个的衍射电子出现在感光片上的位置好像是无规律的。但长时间照射，衍射电子越来越多，大量的衍射电子才形成了确定的衍射图样。1909年，泰勒用极弱的光照射缝衣针的针孔，曝光三个月才获得衍射图样，与用强光短时间曝光的结果相同。这些实验都说明了德布罗意波是概率波。