1.2 位置矢量 位移 速度 加速度

1.2.1 位置矢量

为了表示运动质点的位置，首先应该选定参考系，然后在参考系上选定坐标系的原点和坐标轴．如图 1.1所示，质点$P$在直角坐标系中的位置可由$P$点的三个坐标$x$、$y$、$z$来确定，或者用从原点$O$到$P$点的有向线段 $\overrightarrow{OP}=r$ 来表示，矢量$r$称为位置矢量(简称位矢，又称矢径).坐标$x$、$y$、$z$也就是位矢$r$在坐标轴上的三个分量．

图 1.1 直角坐标系下的位矢

在直角坐标系中，位矢 $r$ 可以表示成

r = xi + yj + zk (1.1)$$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

式中，$\mathbf{i}、\mathbf{j}、\mathbf{k}$ 分别表示沿 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向的单位矢量。位矢 $r$ 的大小为

|r| = r = √(x² + y² + z²) (1.2)$$|\mathbf{r}|=r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

位矢的方向余弦为

cos α = frac xr, cos β = frac yr, cos γ = frac zr$$\cos \alpha =\frac{x}{r},\cos \beta =\frac{y}{r},\cos \gamma =\frac{z}{r}$$

质点的运动是质点的空间位置随时间变化的过程．这时质点的坐标 $x$、$y$、$z$ 和位矢 $r$ 都是时间 $t$ 的函数．表示运动过程的函数式称为运动方程，可以写作

x = x (t), y = y (t), z = z (t) (1.3a)$$x=x(t),y=y(t),z=z(t)\text{\hspace{1em}(1.3a)}$$

或

boldsymbol r = boldsymbol r (t) (1.3b)$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(t)\text{\hspace{1em}(1.3b)}$$

知道了运动方程，就能确定任意时刻质点的位置，从而确定质点的运动．力学的主要任务之一，正是根据各种问题的具体条件，求解质点的运动方程． 质点在空间的运动路径称为轨迹．质点的运动轨迹为直线时，称为直线运动．质点的运动轨迹为曲线时，称为曲线运动．从式(1.3a) 中消去 $t$ 即可得到轨迹方程．式(1.3a) 就是轨迹的参数方程． 轨迹方程和运动方程最明显的区别就在于，轨迹方程不是时间 $t$ 的显函数．例如，已知某质点的运动方程为

x = 3 sin frac π6 t, y = 3 cos frac π6 t, z = 0$$x=3\sin \frac{\pi }{6}t,y=3\cos \frac{\pi }{6}t,z=0$$

式中，$t$ 以 $s$ 为单位，$x$、$y$、$z$ 均以 $m$ 为单位。从 $x$、$y$ 的表达式中消去 $t$ 后，得轨迹方程为
质点运动的描述

x ^ 2 + y ^ 2 = 9, z = 0$$x^2+y^2=9,z=0$$

其表明质点在平面 z = 0 内做以坐标原点为圆心、半径为 3 m 的圆周运动．

1.2.2 位移

如图 1.2 所示，设质点沿曲线轨迹运动，在 $t$ 时刻，质点在 $A$ 点处，在 $t+\Delta t$ 时刻，质点运动到 $B$ 点处，$A$、$B$ 两点的位矢分别用 $r_1$ 和 $r_2$ 表示．在 $\Delta t$ 时间间隔内质点位矢的增量

Δ boldsymbol r = boldsymbol r _ 2 - boldsymbol r _ 1$$\Delta \mathbf{r}={\mathbf{r}}_2-{\mathbf{r}}_1$$

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位移和路程的计算及理解 (1.4) 称为位移，它是描述物体位置变化大小和方向的物理量，在图 1.2中就是由起始位置$A$指向终止位置$B$的一个矢量．位移是矢量，它的运算遵循矢量加法的平行四边形定则(或三角形定则). 位移的大小只能记作 $|\Delta r|$ ，不能记作 $\Delta r$ . $\Delta r$ 通常表示位矢大小的增量，即 $\Delta r=|r_2|-|r_1|$ 则是位矢增量的模（位移的大小），如图 1.3所示．在通常情况下， $|\Delta r|$ 则是位矢增量的模（位移的大小），如图1.3所示．在通常情况下， 图 1.2 位移 图 1.3 位移的大小 必须注意，位移表示物体位置的改变，并非质点所经历的路程．例如，在图 1.2中，位移是有向线段
图1.2 位移
图1.3 位移的大小 必须注意，位移表示物体位置的改变，并非质点所经历的路程．例如，在图1.2中，位移是有向线段 $\overrightarrow{AB}$，它的量值 $|\Delta r|$ 为割线段AB的长度．路程是标量，即曲线段 $\widehat{AB}$ 的长度，通常记作 $\Delta s$．一般来说，$|\Delta r|\ne \Delta s$．显然，只有在 $\Delta t$ 趋近于零时，才有 $|dr|=ds$．应当指出，即使 $\Delta t\to 0,\left|dr\right|=dr$ 这个等式也不成立． 在直角坐标系中，位移的表达式为

r l Δ r & = (x _ 2 - x _ 1) i + (y _ 2 - y _ 1) j + (z _ 2 - z _ 1) k & = Δ x i + Δ y j + Δ z k (1.5)$$\begin{array}{rl}\Delta r& =(x_2-x_1)i+(y_2-y_1)j+(z_2-z_1)k\\ & =\Delta xi+\Delta yj+\Delta zk\end{array}\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

位移的模为

r l | Δ r | & = sqrt (x _ 2 - x _ 1) ^ 2 + (y _ 2 - y _ 1) ^ 2 + (z _ 2 - z _ 1) ^ 2 & = sqrt Δ x ^ 2 + Δ y ^ 2 + Δ z ^ 2 (1.6)$$\begin{array}{rl}\mid \Delta r\mid & =\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}\\ & =\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}\end{array}\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

位移和路程的单位均是长度的单位，在国际单位制(SI)中为 $m$.

1.2.3 速度

研究质点的运动，不仅要知道质点的位移，还必须知道在多长时间内通过这段位移，亦即要知道质点运动的快慢程度． 如图 1.2 所示，在时刻 $t$ 到 $t+\Delta t$ 这段时间内，质点的位移为 $\Delta r$ ，那么 $\Delta r$ 与 $\Delta t$ 的比值，称为质点在时刻 $t$ 附近 $\Delta t$ 时间内的平均速度，即

overline boldsymbol v = frac overrightarrow A BΔ t = frac Δ rΔ t (1.7)$$\overline{\mathbf{v}}=\frac{\overrightarrow{AB}}{\Delta t}=\frac{\Delta r}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

这就是说，平均速度的方向与位移 $\Delta r$ 的方向相同，平均速度的大小与在相应的时间 $\Delta t$ 内单位时间的位移大小相同． 显然，用平均速度描述物体的运动是比较粗糙的。因为在 $\Delta t$ 时间内，质点在各个时刻的运动情况不一定相同，质点的运动可以时快时慢，方向也可以不断地改变，平均速度不能反映质点运动的真实状态。如果要精确地知道质点在某一时刻或某一位置的实际运动状态，应使 $\Delta t$ 尽可能小，即 $\Delta t\to 0$ ，用平均速度的极限值——瞬时速度（简称速度）来描述。 质点在某一时刻或某一位置的瞬时速度，等于该时刻附近 $\Delta t$ 趋近于零时平均速度的极限值，数学表达式为

±b v = lim _ Δ t arrow 0 frac Δ ±b rΔ t = frac d ±b rd t (1.8)$$v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

可见，速度等于位矢对时间的一阶导数． 速度的方向就是 $\Delta t$ 趋近于零时，平均速度 $\frac{\Delta r}{\Delta t}$ 或位移 $\Delta r$ 的极限方向，即沿质点所在处轨迹的切线方向，并指向质点前进的一方． 速度是矢量，具有大小和方向．描述质点运动时，也常采用一个叫作速率的物理量．速率是标量，等于质点在单位时间内所行经的路程，而不考虑质点运动的方向．如图 1.2 所示，在 $\Delta t$ 时间内质点所行经的路程为曲线段 $\widehat{AB}$．设曲线段 $\widehat{AB}$ 的长度为 $\Delta s$，那么 $\Delta s$ 与 $\Delta t$ 的比值就称为 $t$ 时刻附近 $\Delta t$ 时间内的平均速率，即

overline v = frac Δ sΔ t (1.9)$$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

平均速率与平均速度不能等同看待．例如，在某一段时间内，质点环行了一个闭合路径，显然质点的位移等于零，平均速度也为零，而质点的平均速率则不等于零． 尽管如此，在 $\Delta t\to 0$ 的极限条件下，曲线段 $AB$ 的长度 $\Delta s$ 与线段 $AB$ 的长度 $|\Delta r|$ 相等，即在 $\Delta t\to 0$ 时， $\mathrm{ds}=|\mathrm{dr}|$ ，所以瞬时速率

v = lim _ Δ t arrow 0 frac Δ sΔ t = frac d sd t = frac | d r |d t = | boldsymbol v | (1.10)$$v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\frac{|\mathrm{d}r|}{\mathrm{d}t}=|\mathbf{v}|\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

即瞬时速率等于瞬时速度的大小．瞬时速率也称速率． 由式 $(1.1)$ 可知，在直角坐标系中，速度可表示成

boldsymbol v = frac d boldsymbol rd t = frac d xd t boldsymbol i + frac d yd t boldsymbol j + frac d zd t boldsymbol k = v _ x boldsymbol i + v _ y boldsymbol j + v _ z boldsymbol k (1.11)$$\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\mathbf{i}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\mathbf{j}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\mathbf{k}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

式中， $v_x=\frac{dx}{dt},v_y=\frac{dy}{dt},v_z=\frac{dz}{dt}$ ，分别称为速度$v$在$x$轴、$y$轴、$z$轴方向上的分量。这时速度$v$的模可以表示成

v = | boldsymbol v | = sqrt v _ x ^ 2 + v _ y ^ 2 + v _ z ^ 2 (1.12)$$v=|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\text{\hspace{1em}(1.12)}$$

速度和速率在量值上都是长度与时间的比值，其单位为 m/s.

1.2.4 加速度

在力学中，位矢 $r$ 和速度 $v$ 都是描述物体机械运动的状态参量，即若 $r$ 和 $v$ 已知，质点的力学运动状态就确定了．下面即将引入的加速度则是用来描述速度随时间的变化率的物理量． 在变速运动中，物体的速度是随时间变化的．这个变化可以是运动快慢的变化，也可以是运动方向的变化，一般情况下速度的方向和大小都在变化．加速度就是描述质点的速度(大小和方向)随时间变化快慢的物理量．如图 1.4所示，$v_A$ 表示质点在时刻$t$、位置$A$处的速度，$v_B$ 表示质点在时刻 $t+\Delta t$ 、位置$B$处的速度．从速度矢量图可以看出，在 $\Delta t$ 时间内质点速度的增量为 图 1.4 速度的增量
图1.4 速度的增量

Δ ±b v = ±b v _ B - ±b v _ A$$\Delta v=v_B-v_A$$

与平均速度的定义类似，比值 $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 称为时刻$t$附近 $\Delta t$ 时间内的平均加速度，记为 $\overline{a}$，即

overline a = frac ±b v _ B - ±b v _ AΔ t = frac Δ ±b vΔ t (1.13)$$\overline{a}=\frac{v_B-v_A}{\Delta t}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(1.13)}$$

平均加速度只反映在 $\Delta t$ 时间内速度的平均变化率．为了准确地描述质点在某一时刻 t（或某一位置处）的速度变化率，须引入瞬时加速度． 质点在某一时刻或某一位置处的瞬时加速度(简称加速度)等于该时刻附近 $\Delta t$ 趋近于零时平均加速度的极限值，其数学表达式为

boldsymbol a = lim _ Δ t arrow 0 frac Δ boldsymbol vΔ t = frac d boldsymbol vd t = frac d ^ 2 boldsymbol rd t ^ 2 (1.14)$$\mathbf{a}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \mathbf{v}}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}\text{\hspace{1em}(1.14)}$$

可见，加速度是速度对时间的一阶导数，或位矢对时间的二阶导数． 在直角坐标系中，加速度的表达式为

boldsymbol a = frac d ^ 2 boldsymbol rd t ^ 2 = frac d ^ 2 xd t ^ 2 boldsymbol i + frac d ^ 2 yd t ^ 2 boldsymbol j + frac d ^ 2 zd t ^ 2 boldsymbol k = a _ x boldsymbol i + a _ y boldsymbol j + a _ z boldsymbol k (1.15)$$\mathbf{a}=\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{r}}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}\mathbf{i}+\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}\mathbf{j}+\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{d}{t}^2}\mathbf{k}=a_x\mathbf{i}+a_y\mathbf{j}+a_z\mathbf{k}\text{\hspace{1em}(1.15)}$$

式中， $a_x=\frac{\mathrm{d}{v}_x}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2},a_y=\frac{\mathrm{d}{v}_y}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2},a_z=\frac{\mathrm{d}{v}_z}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}z}{\mathrm{d}{t}^2}$ ，分别称为加速度 $a$ 在 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴方向上的分量．加速度的模为

a = | boldsymbol a | = sqrt a _ x ^ 2 + a _ y ^ 2 + a _ z ^ 2 (1.16)$$a=|\mathbf{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\text{\hspace{1em}(1.16)}$$

加速度的方向是当 $\Delta t\to 0$ 时平均加速度 $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ 或速度增量的极限方向．

例 1.1

如图 1.5 所示，一人用绳子拉着小车前进，小车位于高出绳端 $h$ 的平台上，人的速率 $v_0$ 不变，求小车的速度和加速度的大小．

解

小车沿直线运动，以小车前进方向为 $x$ 轴正方向，以定滑轮为坐标原点 $O$，小车的坐标为 $x$，人的坐标为 $\xi$，由速度的定义知，小车和人的速度大小应分别为

v _ 车 = frac d xd t, v _ 人 = frac d ξd t = v _ 0$$v_{\mathrm{车}}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},v_{\mathrm{人}}=\frac{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{d}t}=v_0$$

由于定滑轮不改变绳长，所以小车坐标的变化率等于定滑轮与人之间的绳长的变化率，即

v _ 车 = frac d xd t = frac d ld t$$v_{\mathrm{车}}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}$$

又由图 1.5可得 $l^2={\xi }^2+h^2$ ，两边对 $t$ 求导得

2 l frac d ld t = 2 ξ frac d ξd t$$2l\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}=2\xi \frac{\mathrm{d}\xi }{\mathrm{d}t}$$

联立以上各式，得

v _ 车 = frac v _ 人 ξl = v _ 人 frac ξsqrt ξ^ 2 + h ^ 2 = frac v _ 0 ξsqrt ξ^ 2 + h ^ 2$$v_{\mathrm{车}}=\frac{v_{\mathrm{人}}\xi }{l}=v_{\mathrm{人}}\frac{\xi }{\sqrt{{\xi }^2+h^2}}=\frac{v_0\xi }{\sqrt{{\xi }^2+h^2}}$$

小车的加速度大小为

a = frac d v _ 车d t = frac v _ 0 ^ 2 h ^ 2(ξ^ 2 + h ^ 2) ^ frac 32$$a=\frac{\mathrm{d}{v}_{\mathrm{车}}}{\mathrm{d}t}=\frac{v_0^2{h}^2}{({\xi }^2+h^2{)}^{\frac{3}{2}}}$$

图1.5 例1.1图