8.1 方差分析

第8章 方差分析与回归分析

8.1.1 问题的提出

前面几章我们讨论的都是一个总体或两个总体的统计分析问题，在实际工作中我们还会经常碰到多个总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法．本节将叙述这个方法，先看一个例子．

例 8.1.1

在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方: $A_1$ 是以鱼粉为主的饲料，$A_2$ 是以槐米粉为主的饲料，$A_3$ 是以苜蓿粉为主的饲料．为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料， 60 天后观察它们的质量．试验结果如表 8.1.1 所示: 表 8.1.1 鸡饲料试验数据
单位：g

饲料A	鸡的质量
$A_1$	1 073	1 009	1 060	1 001	1 002	1 012	1 009	1 028
$A_2$	1 107	1 092	990	1 109	1 090	1 074	1 122	1 001
$A_3$	1 093	1 029	1 080	1 021	1 022	1 032	1 029	1 048

本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同．为此，把饲料称为因子，记为 $A$，三种不同的配方称为因子 $A$ 的三个水平，记为 $A_1,A_2,A_3$，使用配方 $A_i$ 下第 $j$ 只鸡 60 天后的质量用 $y_{ij}$ 表示，$i=1,2,3,j=1,2,\cdots ,8$．我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均质量是否相等，为此，需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用方差分析的方法进行分析．若相等，可任选一种饲料，特别可选廉价饲料; 若不等，应选增肥效果好的饲料．

8.1.2 单因子方差分析的统计模型

在例8.1.1 中我们只考察了一个因子，称其为单因子试验．通常，在单因子试验中，记因子为 $A$，设其有 $r$ 个水平，记为 $A_1,A_2,\cdots ,A_r$，在每一水平下考察的指标可以看成一个总体，现有 $r$ 个水平，故有 $r$ 个总体，假定: (1) 每一总体均为正态总体，记为 $N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$ , $i=1,2,\cdots ,r$ . (2) 各总体的方差相同，记为 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2=\cdots ={\sigma }_r^2={\sigma }^2$ . （3）从每一总体中抽取的样本是相互独立的，即所有的试验结果 $y_{ij}$ 都相互独立． 这三个假定都可以用统计方法进行验证．譬如，利用正态性检验(§7.5节)验证(1)成立，利用后面§8.3的方差齐性检验验证(2)成立，而试验结果 $y_{ij}$ 的独立性可由随机化实现，这里的随机化是指所有试验按随机次序进行． 我们要做的工作是比较各水平下的均值是否相同，即要对如下的一个假设进行检验:

H _ 0: μ_ 1 = μ_ 2 = … = μ_ r, (8.1.1)$$H_0:{\mu }_1={\mu }_2=\cdots ={\mu }_r,\text{\hspace{1em}(8.1.1)}$$

其备择假设为 $H_1:{\mu }_1,{\mu }_2,\cdots ,{\mu }_r$ 不全相等， 在不会引起误解的情况下，$H_1$ 通常可省略不写． 如果 $H_0$ 成立，因子 $A$ 的 $r$ 个水平均值相同，称因子 $A$ 的 $r$ 个水平间没有显著差异，简称因子 $A$ 不显著; 反之，当 $H_0$ 不成立时，因子 $A$ 的 $r$ 个水平均值不全相同，这时称因子 $A$ 的不同水平间有显著差异，简称因子 $A$ 显著． 为对假设(8.1.1)进行检验，需要从每一水平下的总体抽取样本，设从第$i$个水平下的总体获得$m$个试验结果(简单起见，这里先假设各水平下试验的重复数相同，后面会看到，重复数不同时的处理方法与此基本一致，略有差异),用 $y_{ij}$ 表示第$i$个总体的第$j$次重复试验结果，共得如下 $r\times m$ 个试验结果:

y _ i j, i = 1, 2, … , r, j = 1, 2, … , m,$$y_{ij},i=1,2,\dots ,r,j=1,2,\dots ,m,$$

其中 $r$ 为水平数，$m$ 为重复数，$i$ 为水平编号，$j$ 为重复序号． 水平 $A_i$ 下的试验结果 $y_{ij}$ 与该水平下的指标均值 ${\mu }_i$ 总是有差距的，记 ${\epsilon }_{ij}=y_{ij}-{\mu }_i,{\epsilon }_{ij}$ 称为随机误差．于是有

y _ i j = μ_ i + ε_ i j. (8.1.2)$$y_{ij}={\mu }_i+{\epsilon }_{ij}.\text{\hspace{1em}(8.1.2)}$$

(8.1.2)式称为试验结果 $y_{ij}$ 的数据结构式．把三个假定用于数据结构式就可以写出单因子方差分析的统计模型：

{ l l y _ i j = μ_ i + ε_ i j, i = 1, 2, … , r, j = 1, 2, … , m, text 诸 ε_ i j text 相互独立, text 且都服从 N (0, σ^ 2). . (8.1.3)$$\{\begin{array}{l}{y}_{ij}={\mu }_i+{\epsilon }_{ij},i=1,2,\dots ,r,j=1,2,\dots ,m,\\ \text{诸}{\epsilon }_{ij}\text{相互独立},\text{且都服从}N(0,{\sigma }^2).\end{array}\text{\hspace{1em}(8.1.3)}$$

为了能更好地描述数据，常在方差分析中引入总均值与水平效应的概念．诸 ${\mu }_i$ 的平均(所有试验结果的均值的平均)

μ = frac 1r (μ_ 1 + μ_ 2 + … + μ_ r) = frac 1r ∑_ i = 1 ^ r μ_ i (8.1.4)$$\mu =\frac{1}{r}({\mu }_1+{\mu }_2+\cdots +{\mu }_r)=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{\mu }_i\text{\hspace{1em}(8.1.4)}$$

称为总均值，也称一般平均．第 $i$ 个水平下的均值 ${\mu }_i$ 与总均值 $\mu$ 的差

a _ i = μ_ i - μ , i = 1, 2, … , r (8.1.5)$$a_i={\mu }_i-\mu ,i=1,2,\dots ,r\text{\hspace{1em}(8.1.5)}$$

称为因子 $A$ 的第 $i$ 个水平的主效应，简称为 $A_i$ 的水平效应． 容易看出

∑_ i = 1 ^ r a _ i = 0, (8.1.6)$$\sum _{i=1}^r{a}_i=0,\text{\hspace{1em}(8.1.6)}$$ μ_ i = μ + a _ i, (8.1.7)$${\mu }_i=\mu +a_i,\text{\hspace{1em}(8.1.7)}$$

这表明第 $i$ 个总体的均值是由总均值与该水平的效应叠加而成的，从而模型(8.1.3)可以改写为

{ l l y _ i j = μ + a _ i + ε_ i j, i = 1, 2, … , r, j = 1, 2, … , m, ∑_ i = 1 ^ r a _ i = 0, text 诸 ε_ i j text 相互独立, text 且都服从 N (0, σ^ 2). . (8.1.8)$$\{\begin{array}{l}{y}_{ij}=\mu +a_i+{\epsilon }_{ij},i=1,2,\dots ,r,j=1,2,\dots ,m,\\ {\sum }_{i=1}^r{a}_i=0,\\ \text{诸}{\epsilon }_{ij}\text{相互独立},\text{且都服从}N(0,{\sigma }^2).\end{array}\text{\hspace{1em}(8.1.8)}$$

假设(8.1.1)可改写为

H _ 0: a _ 1 = a _ 2 = … = a _ r = 0,$$H_0:a_1=a_2=\cdots =a_r=0,$$

其备择假设为

H _ 1: a _ 1, a _ 2, … , a _ r text 不全为 0. (8.1.9)$$H_1:a_1,a_2,\dots ,a_r\text{ 不全为 }0.\text{\hspace{1em}(8.1.9)}$$

8.1.3 平方和分解

对两个正态总体均值间有无差异可用 $t$ 检验，但对三个及以上正态总体均值间有无差异再用 $t$ 检验就行不通了．费希尔等人另辟思路，改用数据的平方和及其分解导出 $F$ 分布来进行显著性检验．下面我们介绍这个思想．

一、试验数据

通常在单因子方差分析中可将试验数据列成如下表格形式． 表 8.1.2 单因子方差分析试验数据

因子水平	试验数据				和	均值
$A_1$	$y_{11}$	$y_{12}$	$\cdots$	$y_{1m}$	$T_1$	${\overline{y}}_1$ .
$A_2$	$y_{21}$	$y_{22}$	$\cdots$	$y_{2m}$	$T_2$	${\overline{y}}_2$ .
$⋮$	$⋮$	$⋮$		$⋮$	$⋮$	$⋮$
$A_r$	$y_{r1}$	$y_{r2}$	$\cdots$	$y_{rm}$	$T_r$	${\overline{y}}_r$ .
					$T$	$\overline{y}$

表 8.1.2 中的最后两列的和与均值的含义如下：

r l & T _ i = ∑_ j = 1 ^ m y _ i j, overline y _ i. = frac T _ im, i = 1, 2, … , r, & T = ∑_ i = 1 ^ r T _ i, overline y = frac Tr · m = frac Tn, & n = r · m = text 总试验次数.$$\begin{array}{rl}& T_i={\sum }_{j=1}^m{y}_{ij},{\overline{y}}_i.=\frac{T_i}{m},i=1,2,\dots ,r,\\ & T={\sum }_{i=1}^r{T}_i,\overline{y}=\frac{T}{r\cdot m}=\frac{T}{n},\\ & n=r\cdot m=\text{总试验次数}.\end{array}$$

二、组内偏差与组间偏差

数据间是有差异的．数据 $y_{ij}$ 与总均值 $\bar{y}$ 间的偏差可用 $y_{ij}-\bar{y}$ 表示，它可分解为两个偏差之和

y _ i j - bar y = (y _ i j - bar y _ i.) + (bar y _ i. - bar y). (8.1.10)$$y_{ij}-\bar{y}=(y_{ij}-{\bar{y}}_{i.})+({\bar{y}}_{i.}-\bar{y}).\text{\hspace{1em}(8.1.10)}$$

记

overline ε _ i. = frac 1m ∑_ j = 1 ^ m ε_ i j, overline ε = frac 1r ∑_ i = 1 ^ r overline ε _ i. = frac 1n ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m ε_ i j.$${\overline{\epsilon }}_{i.}=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{\epsilon }_{ij},\overline{\epsilon }=\frac{1}{r}\sum _{i=1}^r{\overline{\epsilon }}_{i.}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m{\epsilon }_{ij}.$$

由于

γ_ i j - bar γ _ i. = (μ_ i + ε_ i j) - (μ_ i + bar ε _ i.) = ε_ i j - bar ε _ i., (8.1.11)$${\gamma }_{ij}-{\bar{\gamma }}_{i.}=({\mu }_i+{\epsilon }_{ij})-({\mu }_i+{\bar{\epsilon }}_{i.})={\epsilon }_{ij}-{\bar{\epsilon }}_{i.},\text{\hspace{1em}(8.1.11)}$$

所以 $y_{ij}-{\bar{y}}_i$．仅反映组内数据与组内均值的随机误差，称为组内偏差．而

overline y _ i. - overline y = (μ_ i + overline ε _ i.) - (μ + overline ε) = a _ i + overline ε _ i. - overline ε, (8.1.12)$${\overline{y}}_{i.}-\overline{y}=({\mu }_i+{\overline{\epsilon }}_{i.})-(\mu +\overline{\epsilon })=a_i+{\overline{\epsilon }}_{i.}-\overline{\epsilon },\text{\hspace{1em}(8.1.12)}$$

${\overline{y}}_i.-\overline{y}$ 除了反映随机误差外，还反映了第 $i$ 个水平效应，称为组间偏差．

三、偏差平方和及其自由度

在统计学中，把 $k$ 个数据 $y_1,y_2,\cdots ,y_k$ 分别对其均值 $\bar{y}=(y_1+y_2+\cdots +y_k)/k$ 的偏差平方和

Q = (y _ 1 - bar y) ^ 2 + (y _ 2 - bar y) ^ 2 + … + (y _ k - bar y) ^ 2 = ∑_ i = 1 ^ k (y _ i - bar y) ^ 2$$Q={\left(y_1-\bar{y}\right)}^2+{\left(y_2-\bar{y}\right)}^2+\cdots +{\left(y_k-\bar{y}\right)}^2=\sum _{i=1}^k{\left(y_i-\bar{y}\right)}^2$$

称为 $k$ 个数据的偏差平方和，有时简称平方和．偏差平方和常用来度量若干个数据分散的程度，它是用来度量若干个数据间差异(即波动)的大小的一个重要的统计量． 在构成偏差平方和 $Q$ 的 $k$ 个偏差 $y_1-\bar{y},y_2-\bar{y},\cdots ,y_k-\bar{y}$ 间有一个恒等式

∑_ i = 1 ^ k (y _ i - bar y) = 0,$$\sum _{i=1}^k\left(y_i-\bar{y}\right)=0,$$

这说明在 $Q$ 中独立的偏差只有 $k-1$ 个．在统计学中把平方和中独立偏差个数称为该平方和的自由度，常记为 $f$，如 $Q$ 的自由度为 $f_Q=k-1$．自由度是偏差平方和的一个重要参数．

四、总平方和分解公式

各 $y_{ij}$ 间总的差异大小可用总偏差平方和 $S_T$ 表示

S _ T = ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - bar y) ^ 2, f _ T = n - 1, (8.1.13)$$S_T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m{\left(y_{ij}-\bar{y}\right)}^2,f_T=n-1,\text{\hspace{1em}(8.1.13)}$$

仅由随机误差引起的数据间的差异可以用组内偏差平方和表示，也称为误差偏差平方和，记为 $S_e$，即

S _ e = ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - overline y _ i.) ^ 2, f _ e = r (m - 1) = n - r. (8.1.14)$$S_e=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m(y_{ij}-{\overline{y}}_{i.}{)}^2,f_e=r(m-1)=n-r.\text{\hspace{1em}(8.1.14)}$$

由于组间差异除了随机误差外，还反映了效应间的差异，故效应不同引起的数据差异可用组间偏差平方和表示，也称为因子 $A$ 的偏差平方和，记为 $S_A$，即

S _ A = m ∑_ i = 1 ^ r (overline y _ i. - overline y) ^ 2, f _ A = r - 1. (8.1.15)$$S_A=m\sum _{i=1}^r{\left({\overline{y}}_i.-\overline{y}\right)}^2,f_A=r-1.\text{\hspace{1em}(8.1.15)}$$

定理 8.1.1

在上述符号下，总平方和 $S_T$ 可以分解为因子平方和 $S_A$ 与误差平方和 $S_e$ 之和，其自由度也有相应分解公式，具体为

S _ T = S _ A + S _ e, f _ T = f _ A + f _ e, (8.1.16)$$S_T=S_A+S_e,f_T=f_A+f_e,\text{\hspace{1em}(8.1.16)}$$

(8.1.16)式通常称为总平方和分解式．

证明

注意到

∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - bar y _ i.) (bar y _ i. - bar y) = ∑_ i = 1 ^ r [ (bar y _ i. - bar y) ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - bar y _ i.) ] = 0,$$\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m(y_{ij}-{\bar{y}}_{i.})({\bar{y}}_{i.}-\bar{y})=\sum _{i=1}^r[({\bar{y}}_{i.}-\bar{y})\sum _{j=1}^m(y_{ij}-{\bar{y}}_{i.})]=0,$$

故有

r l S _ T & = ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - overline y) ^ 2 = ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m [ (y _ i j - overline y _ i.) + (overline y _ i. - overline y) ] ^ 2 & = S _ e + S _ A + 2 ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - overline y _ i.) (overline y _ i. - overline y) = S _ e + S _ A,$$\begin{array}{rl}{S}_T& ={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m(y_{ij}-\overline{y}{)}^2={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m[(y_{ij}-{\overline{y}}_{i.})+({\overline{y}}_{i.}-\overline{y}){]}^2\\ & =S_e+S_A+2{\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m(y_{ij}-{\overline{y}}_{i.})({\overline{y}}_{i.}-\overline{y})=S_e+S_A,\end{array}$$

诸自由度间的等式是显然的．

8.1.4 检验方法

偏差平方和 $Q$ 的大小与数据个数(或自由度)有关，一般说来，数据越多，其偏差平方和越大．为了便于在诸偏差平方和间进行比较，统计上引入了均方的概念，它定义为

M S = frac Qf _ Q,$$MS=\frac{Q}{f_Q},$$

其意为平均每个自由度上有多少平方和． 如今要对因子平方和 $S_A$ 与误差平方和 $S_e$ 进行比较，用其均方

M S _ A = frac S _ Af _ A, M S _ e = frac S _ ef _ e$$M{S}_A=\frac{S_A}{f_A},M{S}_e=\frac{S_e}{f_e}$$

进行比较更为合理，因为均方排除了自由度不同所产生的干扰．故用

F = frac M S _ AM S _ e = frac S _ A / f _ AS _ e / f _ e (8.1.17)$$F=\frac{M{S}_A}{M{S}_e}=\frac{S_A/f_A}{S_e/f_e}\text{\hspace{1em}(8.1.17)}$$

作为检验 $H_0$ 的统计量，为给出检验拒绝域，我们需要如下定理:

定理 8.1.2

在单因子方差分析模型(8.1.8)及前述符号下，有 (1) $S_e/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(n-r)$ ，从而 $E(S_e)=(n-r){\sigma }^2$ (2) $E(S_A)=(r-1){\sigma }^2+m{\sum }_{i=1}^r{a}_i^2$ ，进一步，若 $H_0$ 成立，则有 $S_A/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(r-1)$ ； (3) $S_A$ 与 $S_e$ 独立．

证明

由(8.1.11)式和(8.1.14)式，$S_e={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m({\epsilon }_{ij}-{\overline{\epsilon }}_{i.}{)}^2$，在单因子方差分析模型 (8.1.8) 下，我们知道，诸 ${\epsilon }_{ij}(i=1,2,\cdots ,r,j=1,2,\cdots ,m)$ 独立同分布于 $N(0,{\sigma }^2)$，由定理5.4.1 知，$\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{j=1}^m({\epsilon }_{ij}-{\overline{\epsilon }}_{i.}{)}^2(i=1,2,\cdots ,r)$ 相互独立，其共同分布为 ${\chi }^2(m-1)$，由 ${\chi }^2$ 分布的可加性，有 $\frac{S_e}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-r)$，这给出 $E(S_e/{\sigma }^2)=n-r=f_e$ , (1) 得证． 类似地，由(8.1.12)式和(8.1.15)式，有

S _ A = m ∑_ i = 1 ^ r (a _ i + overline ε _ i. - overline ε) ^ 2.$$S_A=m\sum _{i=1}^r{\left(a_i+{\overline{\epsilon }}_i.-\overline{\epsilon }\right)}^2.$$

由定理5.4.1 知，对每个 $i$，平方和 ${\sum }_{j=1}^m{\left({\epsilon }_{ij}-{\overline{\epsilon }}_{i.}\right)}^2$ 与均值 ${\overline{\epsilon }}_{i.}$ 独立，从而 ${\overline{\epsilon }}_{1.},{\overline{\epsilon }}_{2.},\cdots ,{\overline{\epsilon }}_{r.}$ 与 $S_e$ 独立，而 $S_A$ 只是 ${\overline{\epsilon }}_{1.},{\overline{\epsilon }}_{2.},\cdots ,{\overline{\epsilon }}_{r.}$ 的函数，由此 (3) 得证． 在模型(8.1.8)下，$S_A$ 的期望是

E (S _ A) = m ∑_ i = 1 ^ r a _ i ^ 2 + E [ m ∑_ i = 1 ^ r (overline ε _ i. - overline ε) ^ 2 ],$$E(S_A)=m\sum _{i=1}^r{a}_i^2+E\left[m\sum _{i=1}^r({\overline{\epsilon }}_i.-\overline{\epsilon }{)}^2\right],$$

由于诸误差均值 ${\overline{\epsilon }}_{1.},{\overline{\epsilon }}_{2.},\cdots ,{\overline{\epsilon }}_{r.}$ 独立同分布于 $N(0,{\sigma }^2/m)$ ，从而由诸误差均值组成的偏差平方和除以 ${\sigma }^2/m$ 服从 ${\chi }^2$ 分布，即

frac 1σ^ 2 ∑_ i = 1 ^ r m (overline ε _ i. - overline ε) ^ 2 ∼ χ^ 2 (r - 1),$$\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^{r}m({\overline{\epsilon }}_{i.}-\overline{\epsilon }{)}^2\sim {\chi }^2(r-1),$$

于是

E [ ∑_ i = 1 ^ r m (overline ε _ i. - overline ε) ^ 2 ] = (r - 1) σ^ 2.$$E\left[\sum _{i=1}^{r}m({\overline{\epsilon }}_i.-\overline{\epsilon }{)}^2\right]=(r-1){\sigma }^2.$$

在 $H_0$ 成立下， $S_A/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(r-1)$ ，这就完成了(2)的证明． 由定理8.1.2知，若 $H_0$ 成立，则(8.1.17)定义的检验统计量 $F$ 服从自由度为 $f_A$ 和 $f_e$ 的 $F$ 分布，考虑到统计量 $F$ 的值愈大愈倾向于拒绝原假设，故该检验的拒绝域为

W = {F ≥slant F _ 1 - α (f _ A, f _ e) }. (8.1.18)$$W=\{F⩾F_{1-\alpha }(f_A,f_e)\}.\text{\hspace{1em}(8.1.18)}$$

通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析表，见表8.1.3. 表 8.1.3 单因子方差分析表

来源	平方和	自由度	均方	F比	p值
因子	$S_A$	$f_A=r-1$	$M{S}_A=S_A/f_A$	$F=M{S}_A/M{S}_e$	p
误差	$S_e$	$f_e=n-r$	$M{S}_e=S_e/f_e$
总和	$S_T$	$f_T=n-1$

对给定的 $\alpha$ ，可作如下判断： - 如果 $F⩾F_{1-\alpha }(f_A,f_e)$，则认为因子 $A$ 显著． - 若 $F<F_{1-\alpha }(f_A,f_e)$，则说明因子 $A$ 不显著． 该检验的 $p$ 值也可利用统计软件求出，若以 $Y$ 记服从 $F(f_A,f_e)$ 的随机变量，则检验的 $p$ 值为 $p=P(Y⩾F)$．利用 $p$ 值进行判断与第七章相同． 经过简单推导，可以给出常用的各偏差平方和的计算公式如下:

l S _ T = ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m y _ i j ^ 2 - frac T ^ 2n, S _ A = frac 1m ∑_ i = 1 ^ r T _ i ^ 2 - frac T ^ 2n, S _ e = S _ T - S _ A. (8.1.19)$$\begin{array}{l}{S}_T={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m{y}_{ij}^2-\frac{T^2}{n},\\ S_A=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^r{T}_i^2-\frac{T^2}{n},\\ S_e=S_T-S_A.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.1.19)}$$

一般可将计算过程列表进行，见下例．

例 8.1.2

采用例8.1.1 的数据，由偏差平方和的公式可以看出，对数据作一个线性变换是不影响方差分析的结果的，本例中，我们将原始数据同时减去 1000,并用列表(如表 8.1.4)的办法给出计算过程: 表 8.1.4 鸡饲料试验数据及计算表

水平			数 据(原始数据-1 000)						$T_i$	$T_i^2$	${\sum }_{j=1}^m{y}_{ij}^2$
$A_1$	73	9	60	1	2	12	9	28	194	37 636	10 024
$A_2$	107	92	-10	109	90	74	122	1	585	342 225	60 355
$A_3$	93	29	80	21	22	32	29	48	354	125 316	20 984
和									1 133	505 177	91 363

利用(8.1.19)，可算得各偏差平方和为：

l l S _ T = 9 1 3 6 3 - frac 1 1 3 3 ^ 22 4 = 3 7 8 7 5. 9 6, & f _ T = 2 4 - 1 = 2 3, S _ A = frac 5 0 5 1 7 78 - frac 1 1 3 3 ^ 22 4 = 9 6 6 0. 0 8, & f _ A = 3 - 1 = 2, S _ e = S _ T - S _ A = 3 7 8 7 5. 9 6 - 9 6 6 0. 0 8 = 2 8 2 1 5. 8 8, & f _ e = 3 (8 - 1) = 2 1.$$\begin{array}{ll}{S}_T=91363-\frac{1133^2}{24}=37875.96,& f_T=24-1=23,\\ S_A=\frac{505177}{8}-\frac{1133^2}{24}=9660.08,& f_A=3-1=2,\\ S_e=S_T-S_A=37875.96-9660.08=28215.88,& f_e=3(8-1)=21.\end{array}$$

把上述诸平方和及其自由度填入方差分析表，并继续计算得到各均方以及 $F$ 比，$p$ 值，见表 8.1.5. 表 8.1.5 鸡饲料试验的方差分析表

来源	平方和	自由度	均方	F比	p值
因子A	9660.08	2	4830.04	3.59	0.0456
误差e	28215.88	21	1343.61
总和T	37875.96	23

若取 $\alpha =0.05$ ，则 $F_{0.95}(2,21)=3.47$ ，由于 F=3.59>3.47，故认为因子 A（饲料）是显著的，即三种饲料对鸡的增肥作用有明显的差别。 本例中 $p$ 值为 0.0456, 由于 $p$ 值小于 $\alpha$，故拒绝原假设．

8.1.5 参数估计

在检验结果为显著时，我们可进一步求出总均值 $\mu$ 、各水平效应 $a_i$ 和误差方差 ${\sigma }^2$ 的估计．

一、点估计

由模型(8.1.8)知诸 $y_{ij}$ 相互独立，且 $y_{ij}\sim N(\mu +a_i,{\sigma }^2)$ ，因此，可使用最大似然方法求出总均值 $\mu$ 、各水平效应 $a_i$ 和误差方差 ${\sigma }^2$ 的估计。 首先，写出似然函数

L (μ , a _ 1, a _ 2, … , a _ r, σ^ 2) = ∏_ i = 1 ^ r ∏_ j = 1 ^ m {frac 1sqrt 2 π σ^ 2 exp {- frac (y _ i j - μ - a _ i) ^ 22 σ^ 2 } },$$L(\mu ,a_1,a_2,\dots ,a_r,{\sigma }^2)=\prod _{i=1}^r\prod _{j=1}^m\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp \left\{-\frac{{\left(y_{ij}-\mu -a_i\right)}^2}{2{\sigma }^2}\right\}\right\},$$

其对数似然函数为

l (μ , a _ 1, a _ 2, … , a _ r, σ^ 2) = - frac n2 ln (2 π σ^ 2) - frac 12 σ^ 2 ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - μ - a _ i) ^ 2,$$l(\mu ,a_1,a_2,\dots ,a_r,{\sigma }^2)=-\frac{n}{2}\ln (2\pi {\sigma }^2)-\frac{1}{2{\sigma }^2}\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^m(y_{ij}-\mu -a_i{)}^2,$$

求偏导，得似然方程为

{ l frac ∂ l∂ μ = frac 1σ^ 2 ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - μ - a _ i) = 0, frac ∂ l∂ a _ i = frac 1σ^ 2 ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - μ - a _ i) = 0, i = 1, 2, … , r, frac ∂ l∂ σ^ 2 = - frac n2 σ^ 2 + frac 12 σ^ 4 ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - μ - a _ i) ^ 2 = 0. .$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial l}{\partial \mu }=\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m(y_{ij}-\mu -a_i)=0,\\ \frac{\partial l}{\partial a_i}=\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{j=1}^m(y_{ij}-\mu -a_i)=0,i=1,2,\dots ,r,\\ \frac{\partial l}{\partial {\sigma }^2}=-\frac{n}{2{\sigma }^2}+\frac{1}{2{\sigma }^4}{\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m(y_{ij}-\mu -a_i{)}^2=0.\end{array}$$

考虑到约束条件(8.1.6)，可求出前述各参数的最大似然估计为

l hat μ = overline y, hat a _ i = overline y _ i. - overline y, i = 1, 2, … , r, hat σ _ M ^ 2 = frac 1n ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m (y _ i j - overline y _ i.) ^ 2 = frac S _ en. (8.1.20)$$\begin{array}{l}\hat{\mu }=\overline{y},\\ {\hat{a}}_i={\overline{y}}_{i.}-\overline{y},i=1,2,\dots ,r,\\ {\hat{\sigma }}_M^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^m(y_{ij}-{\overline{y}}_{i.}{)}^2=\frac{S_e}{n}.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.1.20)}$$

由最大似然估计的不变性，各水平均值 ${\mu }_i$ 的最大似然估计为

hat μ _ i = bar y _ i., (8.1.21)$${\hat{\mu }}_i={\bar{y}}_{i.},\text{\hspace{1em}(8.1.21)}$$

由于 ${\hat{\sigma }}_M^2$ 不是 ${\sigma }^2$ 的无偏估计，实用中通常采用如下误差方差的无偏估计

hat σ ^ 2 = M S _ e. (8.1.22)$${\hat{\sigma }}^2=M{S}_e.\text{\hspace{1em}(8.1.22)}$$

二、置信区间

以下讨论各水平均值 ${\mu }_i$ 的置信区间．由定理8.1.2知，${\overline{y}}_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }^2/m),S_e/{\sigma }^2\sim {\chi }^2(f_e)$，且两者独立，故

frac sqrt m (bar y _ i . - μ_ i)sqrt S _ e / f _ e ∼ t (f _ e),$$\frac{\sqrt{m}({\bar{y}}_{i.}-{\mu }_i)}{\sqrt{S_e/f_e}}\sim t(f_e),$$

由此给出 $A_i$ 的水平均值 ${\mu }_i$ 的 $1-\alpha$ 的置信区间为

[ bar y _ i. ± t _ 1 - α / 2 (f _ e) hat σ / sqrt m ], (8.1.23)$$\left[{\bar{y}}_i.\pm t_{1-\alpha /2}(f_e)\hat{\sigma }/\sqrt{m}\right],\text{\hspace{1em}(8.1.23)}$$

其中 ${\hat{\sigma }}^2$ 由(8.1.22)给出．

例 8.1.3

我们在例8.1.2 中已经检验出饲料因子是显著的，此处我们给出诸水平均值的估计．因子 $A$ 的三个水平均值的估计分别为

r l & hat μ _ 1 = 1 0 0 0 + frac 1 9 48 = 1 0 2 4. 2 5, & hat μ _ 2 = 1 0 0 0 + frac 5 8 58 = 1 0 7 3. 1 3, & hat μ _ 3 = 1 0 0 0 + frac 3 5 48 = 1 0 4 4. 2 5,$$\begin{array}{rl}& {\hat{\mu }}_1=1000+\frac{194}{8}=1024.25,\\ & {\hat{\mu }}_2=1000+\frac{585}{8}=1073.13,\\ & {\hat{\mu }}_3=1000+\frac{354}{8}=1044.25,\end{array}$$

从点估计来看，水平 $A_2$ (以槐米粉为主的饲料)是最优的．误差方差的无偏估计为

hat σ ^ 2 = M S _ e = 1 3 4 3. 6 1.$${\hat{\sigma }}^2=M{S}_e=\mathrm{1343.61.}$$

进一步，利用(8.1.23)可以给出诸水平均值的置信区间．此处，$\hat{\sigma }=\sqrt{1343.61}=36.66$，若取 $\alpha =0.05$ ，则 $t_{1-\alpha /2}(f_e)=t_{0.975}(21)=2.0796,t_{0.975}(21)\hat{\sigma }/\sqrt{8}=26.95$ ，于是三个水平均值的0.95置信区间分别为

μ_ 1: [ 1 0 2 4. 2 5 ± 2 6. 9 5 ] = [ 9 9 7. 3 0, 1 0 5 1. 2 0 ],$${\mu }_1:[1024.25\pm 26.95]=[997.30,1051.20],$$μ_ 2: [ 1 0 7 3. 1 3 ± 2 6. 9 5 ] = [ 1 0 4 6. 1 8, 1 1 0 0. 0 8 ],$${\mu }_2:[1073.13\pm 26.95]=[1046.18,1100.08],$$μ_ 3: [ 1 0 4 4. 2 5 ± 2 6. 9 5 ] = [ 1 0 1 7. 3 0, 1 0 7 1. 2 0 ],$${\mu }_3:[1044.25\pm 26.95]=[1017.30,1071.20],$$

至此，我们可以看到:在单因子试验的数据分析中可得到如下三个结果: - 因子 $A$ 是否显著． - 试验的误差方差 ${\sigma }^2$ 的估计． - 诸水平均值 ${\mu }_i$ 的点估计与区间估计． 在因子 $A$ 显著时，通常只需对较优的水平均值作参数估计，在因子 $A$ 不显著场合，参数估计无需进行．

8.1.6 重复数不等情形

有时，每个水平下重复试验次数不全相等，在此情况下进行方差分析与重复数相等情况下的方差分析极为相似，只在几处略有差别．下面我们指出差异之处．

一、数据

设从第 $i$ 个水平下的总体获得 $m_i$ 个试验结果，记为 $y_{i1},y_{i2},\cdots ,y_{i{m}_i},i=1,2,\cdots ,r$ ，故总试验次数为 $n=m_1+m_2+\cdots +m_r$ ，从而，其统计模型为

{ l l y _ i j = μ_ i + ε_ i j, i = 1, 2, … , r, j = 1, 2, … , m _ i, text 各 ε_ i j text 相互独立, text 且都服从 N (0, σ^ 2). . (8.1.24)$$\{\begin{array}{l}{y}_{ij}={\mu }_i+{\epsilon }_{ij},i=1,2,\dots ,r,j=1,2,\dots ,m_i,\\ \text{各}{\epsilon }_{ij}\text{相互独立},\text{且都服从}N(0,{\sigma }^2).\end{array}\text{\hspace{1em}(8.1.24)}$$

二、总均值

诸 ${\mu }_i$ 的加权平均(所有试验结果的均值的平均)

μ = frac 1n (m _ 1 μ_ 1 + m _ 2 μ_ 2 + … + m _ r μ_ r) = frac 1n ∑_ i = 1 ^ r m _ i μ_ i (8.1.25)$$\mu =\frac{1}{n}(m_1{\mu }_1+m_2{\mu }_2+\cdots +m_r{\mu }_r)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^r{m}_i{\mu }_i\text{\hspace{1em}(8.1.25)}$$

称为总均值，它是所有观测值期望的平均．第 $i$ 个水平下的均值 ${\mu }_i$ 与总均值 $\mu$ 的差

a _ i = μ_ i - μ , i = 1, 2, … , r (8.1.26)$$a_i={\mu }_i-\mu ,i=1,2,\dots ,r\text{\hspace{1em}(8.1.26)}$$

称为因子 $A$ 的第 $i$ 个水平效应．

三、效应约束条件

由(8.1.25)和(8.1.26)容易看出关于效应的约束条件为

∑_ i = 1 ^ r m _ i a _ i = 0, μ_ i = μ + a _ i,$$\sum _{i=1}^r{m}_i{a}_i=0,{\mu }_i=\mu +a_i,$$

这表明第 $i$ 个总体的均值是由总均值与该水平的效应叠加而成的．类似于(8.1.8)，有

{ l y _ i j = μ + a _ i + ε_ i j, i = 1, 2, … , r, j = 1, 2, … , m _ i, ∑_ i = 1 ^ r m _ i a _ i = 0, . (8.1.27)$$\{\begin{array}{l}{y}_{ij}=\mu +a_i+{\epsilon }_{ij},i=1,2,\dots ,r,j=1,2,\dots ,m_i,\\ {\sum }_{i=1}^r{m}_i{a}_i=0,\end{array}\text{\hspace{1em}(8.1.27)}$$

诸 ${\epsilon }_{ij}$ 相互独立，且都服从 $N(0,{\sigma }^2)$

四、各平方和的计算

要考虑的问题仍是检验(8.1.9)给出的假设．整个分析思路与方法基本一样，重要的区别是计算公式稍有不同，特别要注意 $S_A$ 的计算公式．类似地记

T _ i = ∑_ j = 1 ^ m _ i y _ i j, overline y _ i. = frac T _ im _ i,$$T_i=\sum _{j=1}^{m_i}{y}_{ij},{\overline{y}}_{i.}=\frac{T_i}{m_i},$$ T = ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m _ i y _ i j = ∑_ i = 1 ^ r T _ i, overline y = frac Tn,$$T=\sum _{i=1}^r\sum _{j=1}^{m_i}{y}_{ij}=\sum _{i=1}^r{T}_i,\overline{y}=\frac{T}{n},$$

则

l l S _ T = ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m _ i (y _ i j - overline y) ^ 2 = ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m _ i y _ i j ^ 2 - frac T ^ 2n, & f _ T = n - 1, S _ A = ∑_ i = 1 ^ r m _ i (overline y _ i. - overline y) ^ 2 = ∑_ i = 1 ^ r frac T _ i ^ 2m _ i - frac T ^ 2n, & f _ A = r - 1, S _ e = ∑_ i = 1 ^ r ∑_ j = 1 ^ m _ i (y _ i j - overline y _ i.) ^ 2 = S _ T - S _ A, & f _ e = n - r. (8.1.28)$$\begin{array}{ll}{S}_T={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^{m_i}(y_{ij}-\overline{y}{)}^2={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^{m_i}{y}_{ij}^2-\frac{T^2}{n},& f_T=n-1,\\ S_A={\sum }_{i=1}^r{m}_i({\overline{y}}_{i.}-\overline{y}{)}^2={\sum }_{i=1}^r\frac{T_i^2}{m_i}-\frac{T^2}{n},& f_A=r-1,\\ S_e={\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^{m_i}(y_{ij}-{\overline{y}}_{i.}{)}^2=S_T-S_A,& f_e=n-r.\end{array}\text{\hspace{1em}(8.1.28)}$$

方差分析表以及参数估计是一样的．

例 8.1.4

某食品公司对一种食品设计了四种新包装。为考察哪种包装最受顾客欢迎，选了 10 个地段繁华程度相似、规模相近的商店做试验，其中两种包装各指定两个商店销售，另两种包装各指定三个商店销售。在试验期内各店货架排放的位置、空间都相同，营业员的促销方法也基本相同，经过一段时间，记录其销售量数据，列于表 8.1.6 左侧，其相应的计算结果列于右侧。 表 8.1.6 销售量数据及计算表

包装类型	销售量数据			$m_i$	$T_i$	$T_i^2/m_i$	${\sum }_{j=1}^{m_i}{y}_{ij}^2$
$A_1$	12	18		2	30	450	468
$A_2$	14	12	13	3	39	507	509
$A_3$	19	17	21	3	57	1 083	1 091
$A_4$	24	30		2	54	1 458	1 476
	和			n=10	T=180	${\sum }_{i=1}^r\frac{T_i^2}{m_i}=3498$	${\sum }_{i=1}^r{\sum }_{j=1}^{m_i}{y}_{ij}^2=3544$

由此可求得各类偏差平方和如下（其中 $\frac{T^2}{n}=\frac{180^2}{10}=3240$ ）

S _ T = 3 5 4 4 - 3 2 4 0 = 3 0 4, f _ T = 1 0 - 1 = 9,$$S_T=3544-3240=304,f_T=10-1=9,$$S _ A = 3 4 9 8 - 3 2 4 0 = 2 5 8, f _ A = 4 - 1 = 3,$$S_A=3498-3240=258,f_A=4-1=3,$$S _ e = 3 0 4 - 2 5 8 = 4 6, f _ e = 1 0 - 4 = 6.$$S_e=304-258=46,f_e=10-4=6.$$

方差分析表如表 8.1.7 所示． 表 8.1.7 销售量的方差分析表

来源	平方和	自由度	均方	F比	p值
因子A	258	3	86	11.21	0.0071
误差e	46	6	7.67
总和T	304	9

若取 $\alpha =0.01$ ，由于 $p$ 值为 0.0071，小于 $\alpha$ ，故我们可认为各水平间有显著差异。 由于因子显著，我们还可以给出诸水平均值的估计．因子 $A$ 的四个水平均值的估计分别为

hat μ _ 1 = 3 0 / 2 = 1 5, hat μ _ 2 = 3 9 / 3 = 1 3,$${\hat{\mu }}_1=30/2=15,{\hat{\mu }}_2=39/3=13,$$hat μ _ 3 = 5 7 / 3 = 1 9, hat μ _ 4 = 5 4 / 2 = 2 7,$${\hat{\mu }}_3=57/3=19,{\hat{\mu }}_4=54/2=27,$$

由此可见，第四种包装方式效果最好．误差方差的无偏估计为

hat σ ^ 2 = M S _ e = 7. 6 7.$${\hat{\sigma }}^2=M{S}_e=\mathrm{7.67.}$$

进一步，利用(8.1.23)也可以给出诸水平均值的置信区间，只是在这里要用不同的 $m_i$ 代替那里相同的$m$．此处，$\hat{\sigma }=\sqrt{7.67}=2.7695$，若取 $\alpha =0.05$，则 $t_{1-\alpha /2}(f_e)=t_{0.975}(6)=2.4469,t_{0.975}(6)\hat{\sigma }=6.7767$，于是效果较好的第四个水平均值的0.95置信区间为

μ_ 4: [ 2 7 ± 6. 7 7 6 7 / sqrt 2 ] = [ 2 2. 2 1, 3 1. 7 9 ].$${\mu }_4:[27\pm 6.7767/\sqrt{2}]=[22.21,31.79].$$

习题8.1

1. 在一个单因子试验中，因子 $A$ 有三个水平，每个水平下各重复 4 次，具体数据如下:

   水平	数据
   一水平	8	5	7	4
   二水平	6	10	12	9
   三水平	0	1	5	2

   试计算误差平方和 $S_e$ 、因子 $A$ 的平方和 $S_A$ 、总平方和 $S_T$ ，并指出它们各自的自由度．
2. 在一个单因子试验中，因子 $A$ 有 4 个水平，每个水平下重复次数分别为 5, 7, 6, 8. 那么误差平方和、 $A$ 的平方和及总平方和的自由度各是多少?
3. 在单因子试验中，因子 $A$ 有 4 个水平，每个水平下各重复 3 次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为 1.5, 2.0, 1.6, 1.2, 则其误差平方和为多少? 误差的方差 ${\sigma }^2$ 的估计值是多少?
4. 在单因子方差分析中，因子 $A$ 有三个水平，每个水平各做 4 次重复试验，请完成下列方差分析表，并在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下对因子 $A$ 是否显著作出检验． 方差分析表

   来源	平方和	自由度	均方	F比	p值
   因子A	4.2
   误差e	2.5
   总和T	6.7

5. 用 4 种安眠药在兔子身上进行试验，特选 24 只健康的兔子，随机把它们均分为 4 组，每组各服一种安眠药，安眠时间 (单位: $h$) 如下所示． 安眠药试验数据

   安眠药	安眠时间
   $A_1$	6.2	6.1	6.0	6.3	6.1	5.9
   $A_2$	6.3	6.5	6.7	6.6	7.1	6.4
   $A_3$	6.8	7.1	6.6	6.8	6.9	6.6
   $A_4$	5.4	6.4	6.2	6.3	6.0	5.9

   在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下对其进行方差分析，可以得到什么结果？
6. 为研究咖啡因对人体功能的影响，随机选择 30 名体质大致相同的健康男大学生进行手指叩击训练，此外咖啡因选三个水平:

A _ 1 = 0 mg, A _ 2 = 1 0 0 mg, A _ 3 = 2 0 0 mg.$$A_1=0\mathrm{mg},A_2=100\mathrm{mg},A_3=200\mathrm{mg}.$$

每个水平下冲泡 10 杯水，外观无差别，并加以编号，然后让 30 名大学生每人从中任选一杯服下， 2 小时后，请每人做手指叩击，统计员记录其每分钟叩击次数，试验结果统计如下表:

咖啡因剂量	叩击次数
$A_1$ : 0 mg	242	245	244	248	247	248	242	244	246	242
$A_2$ : 100 mg	248	246	245	247	248	250	247	246	243	244
$A_3$ : 200 mg	246	248	250	252	248	250	246	248	245	250

请对上述数据进行方差分析，从中可得到什么结论? 7. 某粮食加工厂试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响．现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过一段时间后测得的含水率 (单位: %) 如下表:

储藏方法	含水率数据
$A_1$	7.3	8.3	7.6	8.4	8.3
$A_2$	5.4	7.4	7.1	6.8	5.3
$A_3$	7.9	9.5	10.0	9.8	8.4

（1）假定各种方法储藏的粮食的含水率服从正态分布，且方差相等，试在 $\alpha =0.05$ 下检验这三种方法对含水率有无显著影响； (2) 对每种方法的平均含水率给出置信水平为 0.95 的置信区间． 8. 在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验:从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机地分为五个组，每一组用一种推销方法进行培训，培训相同时间后观察他们在一个月内的推销额(单位:千元),数据如下:

组别	推销额
第一组	20.0	16.8	17.9	21.2	23.9	26.8	22.4
第二组	24.9	21.3	22.6	30.2	29.9	22.5	20.7
第三组	16.0	20.1	17.3	20.9	22.0	26.8	20.8
第四组	17.5	18.2	20.2	17.7	19.1	18.4	16.5
第五组	25.2	26.2	26.9	29.3	30.4	29.7	28.2

（1）假定数据满足进行方差分析的假定，对数据进行分析，在 $\alpha =0.05$ 下，这五种方法在平均月推销额上有无显著差异？ （2）哪种推销方法的效果最好？试对该种方法一个月的平均推销额求置信水平为0.95的置信区间．