7.1 假设检验的基本思想与概念

第7章 假设检验

7.1.1 假设检验问题

先从一个实例来考察假设检验的基本思想．

例 7.1.1 女士品茶试验

一种奶茶由牛奶与茶按一定比例混合而成，可以先倒茶后倒奶(记为 TM),也可以反过来(记为 MT).某女士声称她可以鉴别是 TM 还是 MT,周围品茶的人对此产生了议论，“这怎么可能呢?”“她在胡言乱语.”“不可想象.”在场的费希尔也在思索这个问题，他提议做一项试验来检验如下假设(命题)是否可以接受:

text 假设 H text : 该女士无此种鉴别能力.$$\text{ 假设 }H\text{: 该女士无此种鉴别能力. }$$

他准备了 10 杯调制好的奶茶， TM 与 MT 都有．服务员一杯一杯地奉上，让该女士品尝，说出是 TM 还是 MT, 结果那位女士竟然正确地分辨出 10 杯奶茶中的每一杯．这时该如何对此作出判断呢? 费希尔的想法是:假如假设 $H$ 是正确的，即该女士无此种鉴别能力，她只能猜，每次猜对的概率为 1/2,10 次都猜对的概率为 $2^{-10}<0.001$，这是一个很小的概率，在一次试验中几乎不会发生，如今该事件竟然发生了，这只能说明原假设 $H$ 不当，应予以拒绝，而认为该女士确有辨别奶茶中 TM 与 MT 的能力．费希尔用试验结果对假设 $H$ 的对错进行判断的思维方式可归纳如下:

假如试验结果与假设 $H$ 发生矛盾就拒绝原假设 $H$，否则就接受原假设．

当然，实际操作远非这么简单，假如该女士说对了9杯(或8杯等),又该如何对$H$作出判断呢?判断会发生错误吗?发生错误的概率是多少?能被控制吗?这里还有很多细节需要研究，费希尔对这些细节作了周密的研究，提出一些新的概念，建立一套可行的方法，形成假设检验理论，为进一步发展假设检验理论与方法打下了牢固基础． 本章将详细讨论其中基础和实用部分，进一步结果可参阅文献[15]. 下面再用一个实例引出假设检验中的一些基本概念和操作步骤．

例 7.1.2

某厂生产的合金强度服从正态分布 $N(\theta ,16)$ ，其中 $\theta$ 的设计值为不低于 110 Pa。为保证质量，该厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生产是否正常进行，即该合金的平均强度是否不低于 110 Pa。某天从生产的产品中随机抽取 25 块合金，测得其强度值为 $x_1,x_2,\cdots ,x_{25}$ ，均值为 $\bar{x}=108.2$ Pa，问当日生产是否正常？ 对这个实际问题可作如下分析： (1) 这不是一个参数估计问题． （2）这是在给定总体与样本下，要求对命题“合金平均强度不低于110 Pa”作出回答：“是”还是“否”？这类问题称为统计假设检验问题，简称假设检验问题。 （3）命题：“合金平均强度不低于 $110Pa$ ”仅涉及参数 $\theta$ 范围，因此该命题是否正确将涉及如下两个参数集合：

Θ_ 0 = {θ : θ ≥slant 1 1 0 }, Θ_ 1 = {θ : θ < 1 1 0 }.$${\Theta }_0=\{\theta :\theta ⩾110\},{\Theta }_1=\{\theta :\theta <110\}.$$

命题成立对应于“ $\theta \in {\Theta }_0$ ”，命题不成立则对应“ $\theta \in {\Theta }_1$ ”。在统计学中这两个非空不相交参数集合都称作统计假设，简称假设。 （4）我们的任务是利用所给总体 $N(\theta ,16)$ 和样本均值 $\bar{x}=108.2\mathrm{Pa}$ 判断假设（命题）“ $\theta \in {\Theta }_0$ ”是否成立。通过样本对一个假设作出“对”或“不对”的具体判断规则就称为该假设的一个检验或检验法则。检验的结果若是否定该命题，则称拒绝这个假设，否则就称接受该假设。 （5）若假设可用一个参数的集合表示，该假设检验问题称为参数假设检验问题，否则称为非参数假设检验问题。例7.1.2就是一个参数假设检验问题，而对假设“总体为正态分布”作出检验的问题就是一个非参数假设检验问题。

7.1.2 假设检验的基本步骤

接下来我们来叙述假设检验的基本步骤．

一、建立假设

这里主要叙述参数假设检验问题．设有来自某一个参数分布族 $\{F(x,\theta )\mid \theta \in \Theta \}$ 的样本 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ，其中 $\Theta$ 为参数空间，设 ${\Theta }_0\subset \Theta$ ，且 ${\Theta }_0\ne \varnothing$ ，则命题 $H_0:\theta \in {\Theta }_0$ 称为一个假设或原假设或零假设（null hypothesis），若有另一个 ${\Theta }_1({\Theta }_1\subset \Theta ,{\Theta }_1{\Theta }_0=\varnothing$ ，常见的一种情况是 ${\Theta }_1=\Theta -{\Theta }_0$ ），则命题 $H_1:\theta \in {\Theta }_1$ 称为 $H_0$ 的对立假设或备择假设（alternative hypothesis）.于是，我们感兴趣的一对假设就是

H _ 0: θ ∈ Θ_ 0 vs H _ 1: θ ∈ Θ_ 1 (7.1.1)$$H_0:\theta \in {\Theta }_0\mathrm{vs}{H}_1:\theta \in {\Theta }_1\text{\hspace{1em}(7.1.1)}$$

其中“vs”是 versus 的缩写，是“对”的意思，即表示 $H_0$ 对 $H_1$ 的假设检验问题． 对于假设(7.1.1)，如果 ${\Theta }_0$ 只含一个点，则我们称之为简单（simple）原假设，否则就称为复杂(composite)或复合原假设．同样，对于备择假设也有简单与复杂之别．当 $H_0$ 为简单假设时，其形式可写成 $H_0:\theta ={\theta }_0$．此时的备择假设通常有如下三种可能：

H _ 1 ^ prime: θ ≠ θ_ 0, H _ 1 ^ prime prime: θ < θ_ 0, H _ 1 ^ prime prime prime: θ > θ_ 0.$$H_1^{\prime }:\theta \ne {\theta }_0,H_1^{\prime \prime }:\theta <{\theta }_0,H_1^{\prime \prime \prime }:\theta >{\theta }_0.$$

我们称 $H_0$ vs $H_1^{\prime }$ 为双侧假设或双边假设（因备择假设分散在原假设两侧而得名）， $H_0$ vs $H_1^{\prime \prime }$ 以及 $H_0$ vs $H_1^{\prime \prime \prime }$ 为单侧假设或单边假设（因备择假设位于原假设的一侧而得名）. 在假设检验中，通常将不宜轻易加以否定的假设作为原假设．在例7.1.2中，我们可建立如下一对假设:

H _ 0: θ ∈ Θ_ 0 = {θ : θ ≥slant 1 1 0 } vs H _ 1: θ ∈ Θ_ 1 = {θ : θ < 1 1 0 }$$H_0:\theta \in {\Theta }_0=\{\theta :\theta ⩾110\}\mathrm{vs}{H}_1:\theta \in {\Theta }_1=\{\theta :\theta <110\}$$

或简写为

H _ 0: θ ≥slant 1 1 0 vs H _ 1: θ < 1 1 0.$$H_0:\theta ⩾110\mathrm{vs}{H}_1:\theta <110.$$

二、选择检验统计量，给出拒绝域形式

对于假设(7.1.1)的检验就是指这样的一个法则:当有了具体的样本后，按该法则就可决定是接受 $H_0$ 还是拒绝 $H_0$，即检验就等价于把样本空间划分成两个互不相交的部分$W$和 $\overline{W}$，当样本属于$W$时，拒绝 $H_0$ ;否则接受 $H_0$．于是，我们称$W$为该检验的拒绝域，而 $\overline{W}$ 称为接受域． 由样本对原假设进行检验总是通过一个统计量完成的，该统计量称为检验统计量．比如，在例7.1.2中，样本均值 $\bar{x}$ 是总体均值的充分统计量．在例7.1.2中，总体均值 $\bar{x}$ 是总体均值的充分统计量．在例7.1.2中，总体均值 $\theta$ 越大，$\bar{x}$ 取大值的概率越大．亦即，$\bar{x}$ 越大越支持原假设，$\bar{x}$ 越小越支持备择假设，所以拒绝域形如

W = {(x _ 1, x _ 2, … , x _ n): overline x ≤slant c } = {overline x ≤slant c }$$W=\left\{\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right):\overline{x}⩽c\right\}=\left\{\overline{x}⩽c\right\}$$

是合理的，其中临界值 $c$ 待定． 当拒绝域确定了，检验的判断准则跟着也确定了: - 如果 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in W$ ，则拒绝 $H_0$ . - 如果 $(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in \overline{W}$，接受 $H_0$ . 由此可见，一个拒绝域 $W$ 唯一确定一个检验法则，反之，一个检验法则也唯一确定 一个拒绝域．在两个观测值 $(n=2)$ 场合，图 7.1.1给出拒绝域的示意图． 通常我们将注意力放在拒绝域上．正如在数学上不能用一个例子去证明一个结论一样，用一个样本(例子)不能证明一个命题(假设)是成立的，但可以用一个例子(样本)推翻一个命题．因此，从逻辑上看，注重拒绝域是适当的．事实上，在“拒绝原假设”和“拒绝备择假设(从而接受原假设)”之间还有一个模糊域，如今我们把它并入接受域(参

图7.1.1 拒绝域示意图

见图 7.1.1), 所以接受域是复杂的，将之称为保留域也许更恰当，但习惯上已把它称为接受域，没有必要再进行改变，只是应注意它的含义．

三、选择显著性水平

由于样本是随机的，故当我们应用某种检验作判断时，可能做出正确的判断，也可能做出错误的判断，因此，可能犯如下两种错误:当 $\theta \in {\Theta }_0$ 时，样本由于随机性却落入了拒绝域 $W$，于是我们采取了拒绝 $H_0$ 的错误决策，称这样的错误为第一类错误(type I error); 当 $\theta \in {\Theta }_1$ 时，样本却落入了接受域 $W$，于是我们采取了接受 $H_0$ 的错误决策，称这样的错误为第二类错误 (type II error). 具体的可见表 7.1.1. 表 7.1.1 检验的两类错误

观测数据情况	总体情况
	$H_0$ 为真	$H_1$ 为真
$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in W$	犯第一类错误	正确
$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in \overline{W}$	正确	犯第二类错误

在实际中，分别称第一类、第二类错误为拒真错误与取伪错误． 由于检验结果受样本的影响，具有随机性，于是，可用总体分布定义犯第一类、第二类错误概率如下: 犯第一类错误概率: $\alpha (\theta )=P_{\theta }\{X\in W\},\theta \in {\Theta }_0.$ 犯第二类错误概率: $\beta (\theta )=P_{\theta }\{X\in W\},\theta \in {\Theta }_1.$ 事实上，每一个检验都无法避免犯错误的可能，那能否找到一个检验，使其犯两类错误的概率都尽可能地小呢?实际上，我们也做不到这一点．为了说明其原因，先引进如下的势函数或功效函数(power function)的概念．

定义 7.1.1

设检验问题

H _ 0: θ ∈ Θ_ 0 vs H _ 1: θ ∈ Θ_ 1$$H_0:\theta \in {\Theta }_0\mathrm{vs}{H}_1:\theta \in {\Theta }_1$$

的拒绝域为 $W$，则样本观测值 $X$ 落在拒绝域 $W$ 内的概率称为该检验的势函数，记为

g (θ) = P _ θ (X ∈ W), θ ∈ Θ = Θ_ 0 ∪ Θ_ 1. (7.1.2)$$g(\theta )=P_{\theta }(X\in W),\theta \in \Theta ={\Theta }_0\cup {\Theta }_1.\text{\hspace{1em}(7.1.2)}$$

显然，势函数 $g(\theta )$ 是定义在参数空间 $\Theta$ 上的一个函数．当 $\theta \in {\Theta }_0$ 时，$g(\theta )=\alpha (\theta )$，当 $\theta \in {\Theta }_1$ 时 $g(\theta )=1-\beta (\theta )$．由此可见，犯两类错误的概率都是参数 $\theta$ 的函数，并可由势函数得到，即

g (θ) = { l l α (θ), & θ ∈ Θ_ 0, 1 - β (θ), & θ ∈ Θ_ 1, . text 或 { l l α (θ) = g (θ), & θ ∈ Θ_ 0, β (θ) = 1 - g (θ), & θ ∈ Θ_ 1. .$$g(\theta )=\{\begin{array}{ll}\alpha (\theta ),& \theta \in {\Theta }_0,\\ 1-\beta (\theta ),& \theta \in {\Theta }_1,\end{array}\text{或}\{\begin{array}{ll}\alpha (\theta )=g(\theta ),& \theta \in {\Theta }_0,\\ \beta (\theta )=1-g(\theta ),& \theta \in {\Theta }_1.\end{array}$$

下面通过例7.1.2 说明无法使一个检验犯第一类、第二类错误概率同时变小。对例7.1.2，其拒绝域为 $W=\left\{\bar{x}⩽c\right\}$ ，由（7.1.2）可以算出该检验的势函数

g (θ) = P _ θ (bar x ≤slant c) = P _ θ (frac bar x - θ4 / 5 ≤slant frac c - θ4 / 5) = Φ (frac c - θ4 / 5),$$g(\theta )=P_{\theta }(\bar{x}⩽c)=P_{\theta }\left(\frac{\bar{x}-\theta }{4/5}⩽\frac{c-\theta }{4/5}\right)=\Phi \left(\frac{c-\theta }{4/5}\right),$$

意到 $\bar{x}\sim N(\theta ,16/25)$ ，这个势函数是 $\theta$ 的减函数（见图 7.1.2）.

图7.1.2 例7.1.2的势函数 $g(\theta )$

利用这个势函数容易写出其犯两类错误的概率分别为

α (θ) = Φ (frac c - θ4 / 5), θ ∈ Θ_ 0, (7.1.3)$$\alpha (\theta )=\Phi \left(\frac{c-\theta }{4/5}\right),\theta \in {\Theta }_0,\text{\hspace{1em}(7.1.3)}$$ β (θ) = 1 - Φ (frac c - θ4 / 5), θ ∈ Θ_ 1. (7.1.4)$$\beta (\theta )=1-\Phi \left(\frac{c-\theta }{4/5}\right),\theta \in {\Theta }_1.\text{\hspace{1em}(7.1.4)}$$

由上述两个式子可以看出犯两类错误的概率 $\alpha (\theta )$ , $\beta (\theta )$ 间的关系： - 当 $\alpha (\theta )$ 减小时，由(7.1.3)知，$c$ 也随之减小，再由(7.1.4)知，$c$ 的减小必导致 $\beta (\theta )$ 的增大． - 当 $\beta (\theta )$ 减小时，由(7.1.4)知， $c$ 会增大，再由(7.1.3)知， $c$ 的增大必导致 $\alpha (\theta )$ 的增大． 这一现象说明:在样本量给定的条件下，$\alpha (\theta )$ 与 $\beta (\theta )$ 中一个减小必导致另一个增大，这不是偶然的，而具有一般性．这进一步说明:在样本量一定的条件下不可能找到一个使 $\alpha (\theta ),\beta (\theta )$ 都小的检验．还应注意，犯第二类错误的概率在不少场合不易求出． 既然我们不可能同时控制一个检验的犯第一类、第二类错误的概率，在此背景下，只能采取折中方案．通常的做法是仅限制犯第一类错误的概率，这就是费希尔的显著性检验，下面给出正式定义．

定义 7.1.2

对检验问题 $H_0:\theta \in {\Theta }_0$ vs $H_1:\theta \in {\Theta }_1$，如果一个检验满足对任意的 $\theta \in {\Theta }_0$，都有

g (θ) ≤slant α ,$$g(\theta )⩽\alpha ,$$

则称该检验是显著性水平为 $\alpha$ 的显著性检验，简称水平为 $\alpha$ 的检验． 提出显著性检验的概念就是要控制犯第一类错误的概率 $\alpha$ ，但也不能使得 $\alpha$ 过小（ $\alpha$ 过小会导致 $\beta$ 过大），在适当控制 $\alpha$ 中制约 $\beta$ 。最常用的选择是 $\alpha =0.05$ ，有时也选择 $\alpha =0.10$ 或 $\alpha =0.01$ 。

四、给出拒绝域

在确定显著性水平后，我们可以定出检验的拒绝域 $W$．在例7.1.2 中，对给定的显著性水平 $\alpha$，则要求对任意的 $\theta ⩾110$ 有 $g(\theta )=\Phi \left(\frac{5(c-\theta )}{4}\right)⩽\alpha$，由于 $g(\theta )$ 的单调减函数(见图 7.1.2), 只需要$\theta$ 的单调减函数(见图 7.1.2), 只需要

g (1 1 0) = Φ (frac 5 (c - 1 1 0)4) = α$$g(110)=\Phi \left(\frac{5(c-110)}{4}\right)=\alpha$$

成立即可．用标准正态分布分位数可把上式改写为 $\frac{5(c-110)}{4}=u_{\alpha }$ ，从而 $c$ 的值为 $c=110+$ $0.8u_{\alpha }$ ，检验的拒绝域为

W = {bar x ≤slant 1 1 0 + 0. 8 u _ α }.$$W=\{\bar{x}⩽110+0.8u_{\alpha }\}.$$

若取 $\alpha =0.05$ ，则 $u_{0.05}=-u_{0.95}$ ，具体 $c$ 值为

c = 1 1 0 + 0. 8 u _ 0. 0 5 = 1 1 0 - 0. 8 × 1. 6 4 5 = 1 0 8. 6 8 4.$$c=110+0.8u_{0.05}=110-0.8\times 1.645=\mathrm{108.684.}$$

所以，检验的拒绝域为

W = {overline x ≤slant 1 0 8. 6 8 4 }.$$W=\{\overline{x}⩽108.684\}.$$

若令 $u=\frac{\overline{x}-110}{4/5}$ ，则拒绝域有另一种表示，即

W = {u ≤slant u _ 0. 0 5 } = {u ≤slant - 1. 6 4 5 }.$$W=\{u⩽u_{0.05}\}=\{u⩽-1.645\}.$$

今后主要用检验统计量 $u$ 表示拒绝域．

五、做出判断

在有了明确的拒绝域 $W$ 后，根据样本观测值我们可以作出判断: - 当 $u⩽-1.645$ 时，则拒绝 $H_0$，即接受 $H_1$ . - 当 $u>-1.645$ 时，则接受 $H_0$ . 在例7.1.2 中，由于

u _ 0 = frac 1 0 8 . 2 - 1 1 04 / 5 = - 2. 2 5 < - 1. 6 4 5$$u_0=\frac{108.2-110}{4/5}=-2.25<-1.645$$

因此拒绝原假设，即认为该日生产不正常． 综上，一般情况下，寻找某对假设的显著性检验的步骤如下: - 根据实际问题，建立统计假设 $H_0$ vs $H_1$ . - 选取一个合适的检验统计量 $T(X)$，使当 $H_0$ 成立时 (或 $H_0$ 中某个具体参数下), $T$ 的分布完全已知，并根据 $H_0$ 及 $H_1$ 的特点，确定拒绝域 $W$ 的形式． - 选择合适的显著性水平 $\alpha$，确定具体的拒绝域 $W$ . - 由样本观测值 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，计算检验统计量的 $T(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，由 $T(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 是否属于 $W$，作出最终判断．

7.1.3 检验的 $p$ 值

假设检验的结论通常是简单的．在给定的显著性水平下，不是拒绝原假设就是接受原假设．然而有时也会出现这样的情况: 在一个较大的显著性水平 (比如 $\alpha =0.05$ ) 下得到拒绝原假设的结论，而在一个较小的显著性水平 (比如 $\alpha =0.01$ ) 下却会得到相反的结论．这种情况在理论上很容易解释: 因为显著性水平变小后会导致检验的拒绝域变小，于是原来落在拒绝域中的观测值就可能落入接受域，但这种情况在应用中会带来一些麻烦: 假如这时一个人主张选择显著性水平 $\alpha =0.05$，而另一个人主张选 $\alpha =0.01$，则第一个人的结论是拒绝 $H_0$，而后一个人的结论是接受 $H_0$，我们该如何处理这一问题呢? 下面用例7.1.2 来讨论这个问题． 在上一小节中，我们给出了例7.1.2的检验统计量及拒绝域 $W=\{\bar{x}⩽110+0.8u_{\alpha }\}$．对一些显著性水平，表7.1.2列出了相应的拒绝域和检验结论． 表 7.1.2 例7.1.2 中的拒绝域 $W=\{u⩽u_{\alpha }\}$，其中 $u_0=1.25(\bar{x}-110)=-2.25$．对一些显著性水平，表7.1.2列出了相应的拒绝域和检验结论． 表 7.1.2 例 7.1.2 中的拒绝域

显著性水平	拒绝域	对应的结论( $u_0=-2.25$ )
$\alpha =0.1$	$u⩽-1.282$	拒绝 $H_0$
$\alpha =0.05$	$u⩽-1.645$	拒绝 $H_0$
$\alpha =0.025$	$u⩽-1.96$	拒绝 $H_0$
$\alpha =0.01$	$u⩽-2.326$	接受 $H_0$
$\alpha =0.005$	$u⩽-2.576$	接受 $H_0$

我们看到，不同的 $\alpha$ 有不同的结论． 现在换一个角度来看，在 $\mu =110$ 时，检验统计量 $u$ 的分布是 N(0,1). 此时由样本可算得 $u$ 的值 $u_0=-2.25$，据此可算得一个概率 $p=P(u⩽u_0)=P(u⩽-2.25)=\Phi (-2.25)=0.0122$，若以此为基准来看上述检验问题，亦可作出判断，具体如下: - 当 $\alpha <0.0122$ 时， $u_{\alpha }<-2.25$ ，由于拒绝域为 $W=\{u⩽u_{\alpha }\}$ ，于是观测值 $u_0=-2.25$ 不在拒绝域里，应接受原假设。 - 当 $\alpha ⩾0.0122$ 时， $u_{\alpha }⩾-2.25$ ，由于拒绝域为 $W=\{u⩽u_{\alpha }\}$ ，于是观测值 $u_0=-2.25$ 落在拒绝域里，应拒绝原假设。 由此可以看出,0.0122 是能用观测值 $u_0=-2.25$ 作出“拒绝 $H_0$ ”的最小的显著性水平，这就是 $p$ 值．

定义 7.1.3

在一个假设检验问题中，利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显著性水平称为检验的 $p$ 值． 由检验的 $p$ 值与人们心目中的显著性水平 $\alpha$ 进行比较可以很容易作出检验的结论： - 如果 $p⩽\alpha$ ，则在显著性水平 $\alpha$ 下拒绝 $H_0$ . - 如果 $p>\alpha$ ，则在显著性水平 $\alpha$ 下接受 $H_0$ p 值在实际中很有用，如今的统计软件中对检验问题一般都会给出检验的 $p$ 值． 我们后面的检验可从两方面进行，其一是建立拒绝域，考察样本观测值是否落入拒绝域而加以判断;其二是根据样本观测值计算检验的 $p$ 值，通过将 $p$ 值与事先设定的显著性水平 $\alpha$ 比较大小而作出判断．两者是等价的，哪个方便用哪个． 实际中， $p$ 很小时（如 $p⩽0.001$ ）即可拒绝原假设， $p$ 很大时（如 $p>0.5$ ）即可接受原假设。只有当 $p$ 与 $\alpha$ 接近时才需比较。这样至少可减少部分争论。

习题7.1

1. 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是来自 $N(\mu ,1)$ 的样本，考虑如下假设检验问题

H _ 0: μ = 2 vs H _ 1: μ = 3,$$H_0:\mu =2\mathrm{vs}{H}_1:\mu =3,$$

若检验由拒绝域为 $W=\{\bar{x}⩾2.6\}$ 确定． (1) 当 n=20 时求检验犯两类错误的概率； (2) 如果要使得检验犯第二类错误的概率 $\beta ⩽0.01,n$ 最小应取多少？ (3) 证明: 当 $n\to \infty$ 时，$\alpha \to 0,\beta \to 0$ . 2. 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_{10}$ 是来自 0-1 总体 $b(1,p)$ 的样本，考虑如下检验问题：

H _ 0: p = 0. 2 vs H _ 1: p = 0. 4,$$H_0:p=0.2\mathrm{vs}{H}_1:p=0.4,$$

取拒绝域为 $W=\{\bar{x}⩾0.5\}$ ，求该检验犯两类错误的概率． 3. 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_{16}$ 是来自正态总体 $N(\mu ,4)$ 的样本，考虑检验问题

H _ 0: μ = 6 vs H _ 1: μ ≠ 6,$$H_0:\mu =6\mathrm{vs}{H}_1:\mu \ne 6,$$

拒绝域取为 $W=\{|x-6|⩾c\}$ ，试求 $c$ 使得检验的显著性水平为0.05，并求该检验在 $\mu =6.5$ 处犯第二类错误的概率． 4. 设总体为均匀分布 $U(0,\theta )$ , $x_1$ , $x_2$ , $\cdots$ , $x_n$ 是样本，考虑检验问题

H _ 0: θ ≥slant 3 vs H _ 1: θ < 3,$$H_0:\theta ⩾3\mathrm{vs}{H}_1:\theta <3,$$

拒绝域取为 $W=\{x_{(n)}⩽2.5\}$ ，求检验犯第一类错误的最大值 $\alpha$ ，若要使得该最大值 $\alpha$ 不超过0.05， $n$ 至少应取多大？ 5. 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误? 若检验结果是拒绝原假设，则又有可能犯哪一类错误? 6. 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_{20}$ 是来自 0-1 总体 $b(1,p)$ 的样本，考虑如下检验问题：

H _ 0: p = 0. 2 vs H _ 1: p ≠ 0. 2,$$H_0:p=0.2\mathrm{vs}{H}_1:p\ne 0.2,$$

取拒绝域为 $W=\left\{{\sum }_{i=1}^{20}{x}_i⩾7\text{ 或 }{\sum }_{i=1}^{20}{x}_i⩽1\right\}$ , (1) 求 $p=0,0.1,0.2,\cdots ,0.9,1$ 时的势并由此画出势函数的图； (2) 求在 p=0.05 时犯第二类错误的概率． 7. 设一个单一观测的样本 $x$ 取自密度函数为 $p(x)$ 的总体，对 $p(x)$ 考虑统计假设

H _ 0: p _ 0 (x) = I _ {0, 1 } (x) text vs H _ 1: p _ 1 (x) = 2 x I _ {0, 1 } (x).$$H_0:p_0(x)=I_{\{0,1\}}(x)\text{ vs }{H}_1:p_1(x)=2x{I}_{\{0,1\}}(x).$$

若其拒绝域的形式为 $W=\{x:x⩾c\}$ ，试确定一个 $c$ ，使得犯第一类、第二类错误的概率满足 $\alpha +2\beta$ 为最小，并求其最小值． 8. 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_{30}$ 为取自泊松分布 $P(\lambda )$ 的随机样本． (1) 试给出单侧假设检验问题 $H_0:\lambda ⩽0.1$ vs $H_1:\lambda >0.1$ 的显著性水平 $\alpha =0.05$ 的检验； (2) 求此检验的势函数 $\beta (\lambda )$ 在 $\lambda =0.05,0,2,0.3,\cdots ,0,9$ 时的值，并据此画出 $\beta (\lambda )$ 的图像．