3.3 多维随机变量函数的分布

设 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为$n$维随机变量，则 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的函数 $Y=g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是一维随机变量。现在的问题是：如何由 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布，求出$Y$的分布。这是一类技巧性很强的工作，不仅对离散场合和连续场合有不同方法，而且对不同形式的函数 $g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 要采用不同的方法，甚至有些方法只对特殊形式的 $g(\cdot )$ 适用。下面分别介绍一些常用的方法。

3.3.1 多维离散随机变量函数的分布

设 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 为$n$维离散随机变量，则某一函数 $Y=g(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 是一维离散随机变量．当 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 所有可能取值较少时，可将$Y$的取值一一列出，然后再合并整理就可得出结果，见下例．

例 3.3.1

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列如下所示：

X	Y
	-1	1	2
-1	5/20	2/20	6/20
2	3/20	3/20	1/20

试求：（1） $Z_1=X+Y$ ；（2） $Z_2=X-Y$ ；（3） $Z_3=\max \{X,Y\}$ 的分布列．

解

将 $(X,Y)$ 及各个函数的取值对应列于同一表中：

P	5/20	2/20	6/20	3/20	3/20	1/20
(X,Y)	(-1,-1)	(-1,1)	(-1,2)	(2,-1)	(2,1)	(2,2)
$Z_1=X+Y$	-2	0	1	1	3	4
$Z_2=X-Y$	0	-2	-3	3	1	0
$Z_3=\max \{X,Y\}$	-1	1	2	2	2	2

然后经过合并整理就可得最后结果：

$Z_1=X+Y$	-2	0	1	3	4
P	5/20	2/20	9/20	3/20	1/20

$Z_2=X-Y$	-3	-2	0	1	3
P	6/20	2/20	6/20	3/20	3/20

$Z_3=\max \{X,Y\}$	-1	1	2
P	5/20	2/20	13/20

例 3.3.2 泊松分布的可加性

设随机变量 $X\sim P({\lambda }_1)$ , $Y\sim P({\lambda }_2)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，证明 $Z=X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$ .

证明

首先指出，$Z=X+Y$ 可取0,1,2,…所有非负整数．而事件 $\{Z=k\}$ 是如下诸互不相容事件

{X = i, Y = k - i }, i = 0, 1, … , k$$\{X=i,Y=k-i\},i=0,1,\dots ,k$$

的并，再考虑到独立性，则对任意非负整数 $k$，有

P (Z = k) = ∑_ i = 0 ^ k P (X = i) P (Y = k - i). (3.3.1)$$P(Z=k)=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i).\text{\hspace{1em}(3.3.1)}$$

这个概率等式被称为离散场合下的卷积公式．利用此公式可得

r l P (Z = k) & = ∑_ i = 0 ^ k (frac λ_ 1 ^ ii ! e ^ - λ_ 1) (frac λ_ 2 ^ k - i(k - i) ! e ^ - λ_ 2) & = frac (λ_ 1 + λ_ 2) ^ kk ! e ^ - (λ_ 1 + λ_ 2) ∑_ i = 0 ^ k frac k !i ! (k - i) ! (frac λ_ 1λ_ 1 + λ_ 2) ^ i (frac λ_ 2λ_ 1 + λ_ 2) ^ k - i & = frac (λ_ 1 + λ_ 2) ^ kk ! e ^ - (λ_ 1 + λ_ 2) (frac λ_ 1λ_ 1 + λ_ 2 + frac λ_ 2λ_ 1 + λ_ 2) ^ k & = frac (λ_ 1 + λ_ 2) ^ kk ! e ^ - (λ_ 1 + λ_ 2), k = 0, 1, … ,$$\begin{array}{rl}P(Z=k)& ={\sum }_{i=0}^k\left(\frac{{\lambda }_1^i}{i!}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_1}\right)\left(\frac{{\lambda }_2^{k-i}}{(k-i)!}{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_2}\right)\\ & =\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}{\sum }_{i=0}^k\frac{k!}{i!(k-i)!}{\left(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^i{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^{k-i}\\ & =\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)}{\left(\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}+\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}\right)}^k\\ & =\frac{({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)},k=0,1,\dots ,\end{array}$$

这表明 $X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$，结论得证．注意 $X-Y$ 不服从泊松分布． 泊松分布的这个性质可以叙述为:泊松分布的卷积仍是泊松分布，并记为

P (λ_ 1) * P (λ_ 2) = P (λ_ 1 + λ_ 2). (3.3.2)$$P({\lambda }_1)\ast P({\lambda }_2)=P({\lambda }_1+{\lambda }_2).\text{\hspace{1em}(3.3.2)}$$

这里卷积是指“寻求两个独立随机变量和的分布运算”.显然这个性质可以推广到有限个独立泊松变量之和的分布上去，即

P (λ_ 1) * P (λ_ 2) * … * P (λ_ n) = P (λ_ 1 + λ_ 2 + … + λ_ n). (3.3.3)$$P({\lambda }_1)\ast P({\lambda }_2)\ast \cdots \ast P({\lambda }_n)=P({\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n).\text{\hspace{1em}(3.3.3)}$$

特别，当 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=\lambda$ 时，有

P (λ) * P (λ) * … * P (λ) = P (n λ). (3.3.4)$$P(\lambda )\ast P(\lambda )\ast \cdots \ast P(\lambda )=P(n\lambda ).\text{\hspace{1em}(3.3.4)}$$

这些结论在理论上和应用上都是重要的． 以后我们称性质“同一类分布的独立随机变量和的分布仍属于此类分布”为此类分布具有可加性．上例说明泊松分布具有可加性，下例又说明二项分布具有可加性．

例 3.3.3 二项分布的可加性

设随机变量 $X\sim b(n,p)$ , $Y\sim b(m,p)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独 立，证明 $Z=X+Y\sim b(n+m,p)$ .

证明

首先指出，$Z=X+Y$ 可取0,1,2, $\cdots$ , $n+m$ 等 $n+m+1$ 个不同的值，利用离散场合的卷积公式(3.3.1),可把事件 $\{Z=k\}$ 的概率表示为

P (Z = k) = ∑_ i = 0 ^ k P (X = i) P (Y = k - i).$$P(Z=k)=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i).$$

因为 $X\sim b(n,p),Y\sim b(m,p)$ ，所以上式中只需考虑： $i⩽n,k-i⩽m$ ，即 $i⩽n,i⩾k-m$．因此记

a = max {0, k - m }, b = min {n, k },$$a=\max \{0,k-m\},b=\min \{n,k\},$$

则

r l P (Z = k) & = ∑_ i = a ^ b P (X = i) P (Y = k - i) & = ∑_ i = a ^ b binom n i p ^ i (1 - p) ^ n - i · binom m k - i p ^ k - i (1 - p) ^ m - (k - i) & = p ^ k (1 - p) ^ n + m - k ∑_ i = a ^ b binom n i binom m k - i.$$\begin{array}{rl}P(Z=k)& ={\sum }_{i=a}^{b}P(X=i)P(Y=k-i)\\ & ={\sum }_{i=a}^b\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)p^i(1-p{)}^{n-i}\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i})p^{k-i}(1-p{)}^{m-(k-i)}\\ & =p^k(1-p{)}^{n+m-k}{\sum }_{i=a}^b(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\left)\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i}).\end{array}$$

利用超几何分布可证明：

∑_ i = a ^ b frac binom n i binom m k - ibinom n + m k = 1 text 或 ∑_ i = a ^ b binom n i binom m k - i = binom n + m k.$$\sum _{i=a}^b\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k}\right)}=1\text{或}\sum _{i=a}^b\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-i}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k}\right).$$

由此可得

P (Z = k) = binom n + m k p ^ k (1 - p) ^ n + m - k, k = 0, 1, … , n + m.$$P(Z=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n+m-k},k=0,1,\dots ,n+m.$$

这表明 $Z=X+Y\sim b(n+m,p)$ ，即在参数 $p$ 相同情况下，二项分布的卷积仍是二项分布，即 $b(n,p)\ast b(m,p)=b(n+m,p)$．这个性质可以推广到有限个场合，即

b (n _ 1, p) * b (n _ 2, p) * … * b (n _ k, p) = b (n _ 1 + n _ 2 + … + n _ k, p). (3.3.5)$$b\left(n_1,p\right)\ast b\left(n_2,p\right)\ast \cdots \ast b\left(n_k,p\right)=b\left(n_1+n_2+\cdots +n_k,p\right).\text{\hspace{1em}(3.3.5)}$$

特别当 $n_1=n_2=\cdots =n_k=1$ 时，有

b (1, p) * b (1, p) * … * b (1, p) = b (k, p), (3.3.6)$$b(1,p)\ast b(1,p)\ast \cdots \ast b(1,p)=b(k,p),\text{\hspace{1em}(3.3.6)}$$

这表明: 如果 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，都服从 $b(1,p)$ 分布，则其和 ${\sum }_{i=1}^n{X}_i\sim b(n,p)$．或者说，服从二项分布 $b(n,p)$ 的随机变量可以分解成 $n$ 个相互独立的 0-1 分布的随机变量之和．

3.3.2 最大值与最小值的分布

考察某地区的年降雨量 $X$，它是一个随机变量，其分布函数记为 $F(x)$．若要研究近五十年内该地区涝灾或干旱发生的可能性，就需要研究近五十年中该地区最大的年降雨量和最小的年降雨量，它们可表示为

l Y = max {X _ 1, X _ 2, … , X _ 5 0 }, Z = min {X _ 1, X _ 2, … , X _ 5 0 },$$\begin{array}{l}Y=\max \left\{X_1,X_2,\dots ,X_{50}\right\},\\ Z=\min \left\{X_1,X_2,\dots ,X_{50}\right\},\end{array}$$

其中 $X_i$ 表示近五十年中第 $i$ 年的降雨量．由于地区相同，所以诸 $X_i$ 可看成是独立同分布的随机变量．因此研究若干个独立同分布随机变量的最大值 $Y$ 与最小值 $Z$ 的分布是一件很有意义的工作．下面将以例子形式来讨论寻求最大值与最小值的概率分布的方法．

例 3.3.4 最大值分布

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是相互独立的 $n$ 个随机变量，若 $Y=\max \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$．试在以下情况下求 $Y$ 的分布: (1) $X_i\sim F_i(x),i=1,2,\cdots ,n;$ (2) 诸 $X_i$ 同分布，即 $X_i\sim F(x),i=1,2,\cdots ,n;$ （3）诸 $X_i$ 为连续随机变量，且诸 $X_i$ 同分布，即 $X_i$ 的密度函数均为 $p(x),i=1,2,\cdots ,n;$ (4) $X_i\sim Exp(\lambda ),i=1,2,\cdots ,n.$

解

（1） $Y=\max \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ 的分布函数为

r l F _ Y (y) & = P (max {X _ 1, X _ 2, … , X _ n } ≤slant y) = P (X _ 1 ≤slant y, X _ 2 ≤slant y, … , X _ n ≤slant y) & = P (X _ 1 ≤slant y) P (X _ 2 ≤slant y) … P (X _ n ≤slant y) = ∏_ i = 1 ^ n F _ i (y). (3.3.7)$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =P(\max \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}⩽y)=P(X_1⩽y,X_2⩽y,\dots ,X_n⩽y)\\ & =P(X_1⩽y)P(X_2⩽y)\dots P(X_n⩽y)={\prod }_{i=1}^n{F}_i(y).\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.7)}$$

(2) 将 $X_i$ 的共同分布函数 $F(x)$ 代入上式得

F _ y (y) = [ F (y) ] ^ n. (3.3.8)$$F_y(y)={\left[F(y)\right]}^n.\text{\hspace{1em}(3.3.8)}$$

(3) Y 的分布函数仍为上式，密度函数可对上式关于 $y$ 求导得

p _ Y (y) = F _ Y ^ prime (y) = n [ F (y) ] ^ n - 1 p (y). (3.3.9)$$p_Y(y)=F_Y^{\prime }(y)=n[F(y){]}^{n-1}p(y).\text{\hspace{1em}(3.3.9)}$$

(4) 将 $Exp(\lambda )$ 的分布函数和密度函数代入 (3.3.8) 式和 (3.3.9) 式得

l F _ Y (y) = { l l 0, & y < 0, (1 - e ^ - λ y) ^ n, & y ≥slant 0. . p _ Y (y) = { l l 0, & y < 0, n (1 - e ^ - λ y) ^ n - 1 λ e ^ - λ y, & y ≥slant 0. .$$\begin{array}{l}{F}_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ (1-{\mathrm{e}}^{-\lambda y}{)}^n,& y⩾0.\end{array}\\ p_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ n(1-{\mathrm{e}}^{-\lambda y}{)}^{n-1}\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda y},& y⩾0.\end{array}\end{array}$$

例 3.3.5 最小值分布

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是相互独立的 $n$ 个随机变量，若 $Z=\min \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$．试在以下情况下求 $Z$ 的分布: (1) $X_i\sim F_i(x),i=1,2,\cdots ,n;$ (2) 诸 $X_i$ 同分布，即 $X_i\sim F(x),i=1,2,\cdots ,n;$ （3）诸 $X_i$ 为连续随机变量，且诸 $X_i$ 同分布，即 $X_i$ 的密度函数均为 $p(x),i=1,2,\cdots ,n;$ (4) $X_i\sim Exp(\lambda ),i=1,2,\cdots ,n.$

解

（1） $Z=\min \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\right\}$ 的分布函数为

r l F _ Z (z) & = P (min {X _ 1, X _ 2, … , X _ n } ≤slant z) & = 1 - P (min {X _ 1, X _ 2, … , X _ n } > z) & = 1 - P (X _ 1 > z, X _ 2 > z, … , X _ n > z) & = 1 - P (X _ 1 > z) P (X _ 2 > z) … P (X _ n > z) & = 1 - ∏_ i = 1 ^ n [ 1 - F _ i (z) ]. (3.3.10)$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P(\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}⩽z)\\ & =1-P(\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}>z)\\ & =1-P(X_1>z,X_2>z,\dots ,X_n>z)\\ & =1-P(X_1>z)P(X_2>z)\dots P(X_n>z)\\ & =1-{\prod }_{i=1}^n[1-F_i(z)].\end{array}\text{\hspace{1em}(3.3.10)}$$

(2) 将 $X_i$ 的共同分布函数 $F(x)$ 代入上式得

F _ z (z) = 1 - [ 1 - F (z) ] ^ n. (3.3.11)$$F_z(z)=1-{\left[1-F(z)\right]}^n.\text{\hspace{1em}(3.3.11)}$$

(3) Z 的分布函数仍为上式，密度函数可对上式关于 $z$ 求导得

p _ z (z) = F _ z ^ prime (z) = n [ 1 - F (z) ] ^ n - 1 p (z). (3.3.12)$$p_z(z)=F_z^{\prime }(z)=n[1-F(z){]}^{n-1}p(z).\text{\hspace{1em}(3.3.12)}$$

(4) 将 $Exp(\lambda )$ 的分布函数和密度函数代入 (3.3.11) 式和 (3.3.12) 式得

F _ z (z) = { l l 0, & z < 0, 1 - e ^ - n λ z, & z ≥slant 0. .$$F_z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z<0,\\ 1-{\mathrm{e}}^{-n\lambda z},& z⩾0.\end{array}$$p _ z (z) = { l l 0, & z < 0, n λ e ^ - n λ z, & z ≥slant 0. .$$p_z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z<0,\\ n\lambda {\mathrm{e}}^{-n\lambda z},& z⩾0.\end{array}$$

由上面例3.3.4 和例3.3.5 可以看出: 若 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，$X_i$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则 $\max \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ 不服从指数分布，而 $\min \{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}$ 仍服从指数分布，参数为 $n\lambda$ .

例 3.3.6

某段道路原来有 5 个路灯，道路改建后有 20 个路灯用于此道路的晚间照明．改建后道路管理人员总认为灯泡更容易坏了，请解释其中原因．

解

设所有灯泡的使用寿命是相互独立、同分布的随机变量，其共同分布为指数分布 $Exp(\lambda )$，其平均寿命(即期望值)为 ${\lambda }^{-1}=2000$ 小时，则按例3.3.5, 道路改建前 5 个灯泡中第一个灯泡烧坏的时间 $T_1=\min \left\{X_1,X_2,X_3,X_4,X_5\right\}$，且 $T_1\sim Exp(5\lambda )$．若每只灯泡每天用 10 小时，则 30 天内需换灯泡的概率为

P (T _ 1 ≤slant 3 0 0) = 1 - exp {- 5 λ · 3 0 0 } = 1 - exp {- frac 1 5 0 02 0 0 0 } = 0. 5 2 7 6.$$P(T_1⩽300)=1-\exp \{-5\lambda \cdot 300\}=1-\exp \left\{-\frac{1500}{2000}\right\}=\mathrm{0.5276.}$$

而道路改建后,20 只灯泡中第一只烧坏的时间 $T_2=\min \left\{X_1,X_2,\cdots ,X_{20}\right\}$ ，且 $T_2\sim Exp(20\lambda )$ ，则 30 天内需换灯泡的概率为

P (T _ 2 ≤slant 3 0 0) = 1 - exp {- 2 0 λ · 3 0 0 } = 1 - exp {- frac 6 0 0 02 0 0 0 } = 0. 9 5 0 2.$$P(T_2⩽300)=1-\exp \{-20\lambda \cdot 300\}=1-\exp \left\{-\frac{6000}{2000}\right\}=\mathrm{0.9502.}$$

这表明:道路改建后，在30天内需要更换灯泡的概率提高了很多．也就是改建后，道路管理人员认为灯泡“更容易坏”的原因． 设想一条道路上有 100 个路灯，则 30 天内需要换灯泡的概率更大．为此路灯要使用高寿命(节能)灯泡，才能减少更换灯泡的次数．

3.3.3 连续场合的卷积公式

定理 3.3.1

设 $X$ 与 $Y$ 是两个相互独立的连续随机变量，其密度函数分别为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$，则其和 $Z=X+Y$ 的密度函数为

p _ z (z) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p _ x (z - y) p _ y (y) d y = ∫_ - ∞ ^ ∞ p _ x (x) p _ y (z - x) d x. (3.3.13)$$p_z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_x(z-y)p_y(y)\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_x(x)p_y(z-x)\mathrm{d}x.\text{\hspace{1em}(3.3.13)}$$

证明

$Z=X+Y$ 的分布函数为

r l F _ Z (z) & = P (X + Y ≤slant z) = iint_ x + y ≤slant z p _ X (x) p _ Y (y) d x d y & = ∫_ - ∞ ^ ∞ {∫_ - ∞ ^ z - y p _ X (x) d x } p _ Y (y) d y = ∫_ - ∞ ^ ∞ ∫_ - ∞ ^ z p _ X (t - y) p _ Y (y) d t d y & = ∫_ - ∞ ^ z (∫_ - ∞ ^ ∞ p _ X (t - y) p _ Y (y) d y) d t.$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P(X+Y⩽z)={\iint }_{x+y⩽z}{p}_X(x)p_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }\left\{{\int }_{-\infty }^{z-y}{p}_X(x)\mathrm{d}x\right\}{p}_Y(y)\mathrm{d}y={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^z{p}_X(t-y)p_Y(y)\mathrm{d}t\mathrm{d}y\\ & ={\int }_{-\infty }^z\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X(t-y)p_Y(y)\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}t.\end{array}$$

由此可得 $Z$ 的密度函数为

p _ z (z) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p _ x (z - y) p _ y (y) d y.$$p_z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_x(z-y)p_y(y)\mathrm{d}y.$$

在上式积分中令 $z-y=x$ ，则可得

P _ z (z) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p _ x (x) p _ y (z - x) d x.$$P_z(z)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_x(x)p_y(z-x)\mathrm{d}x.$$

这就是连续场合下的卷积公式．

卷积公式也可用于 $X$ 与 $Y$ 不独立的情况，此时只要将(3.3.13)式(同理对(3.3.1)式)中的边际分布密度(列)的乘积改写成联合分布密度(列)即可． 下面对正态分布和伽马分布分别使用上述卷积公式．

例 3.3.7 正态分布的可加性

设随机变量 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ , $Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，证明 $Z=X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$ .

证明

首先指出 $Z=X+Y$ 仍在 $(-\infty ,\infty )$ 上取值，利用卷积公式(3.3.13)可得

p _ z (z) = frac 12 π σ_ 1 σ_ 2 ∫_ - ∞ ^ ∞ exp {- frac 12 [ frac (z - y - μ_ 1) ^ 2σ_ 1 ^ 2 + frac (y - μ_ 2) ^ 2σ_ 2 ^ 2 ] } d y,$$p_z(z)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}{\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{1}{2}\left[\frac{(z-y-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}dy,$$

对上式被积函数中的指数部分按 $y$ 的幂次展开，再合并同类项，不难得到

frac (z - y - μ_ 1) ^ 2σ_ 1 ^ 2 + frac (y - μ_ 2) ^ 2σ_ 2 ^ 2 = A (y - frac BA) ^ 2 + frac (z - μ_ 1 - μ_ 2) ^ 2σ_ 1 ^ 2 + σ_ 2 ^ 2,$$\frac{(z-y-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}=A{\left(y-\frac{B}{A}\right)}^2+\frac{(z-{\mu }_1-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2},$$

其中

A = frac 1σ_ 1 ^ 2 + frac 1σ_ 2 ^ 2, B = frac z - μ_ 1σ_ 1 ^ 2 + frac μ_ 2σ_ 2 ^ 2.$$A=\frac{1}{{\sigma }_1^2}+\frac{1}{{\sigma }_2^2},B=\frac{z-{\mu }_1}{{\sigma }_1^2}+\frac{{\mu }_2}{{\sigma }_2^2}.$$

代回原式，可得

p _ z (z) = frac 12 π σ_ 1 σ_ 2 exp {- frac 12 frac (z - μ_ 1 - μ_ 2) ^ 2σ_ 1 ^ 2 + σ_ 2 ^ 2 } · ∫_ - ∞ ^ ∞ exp {- frac A2 (y - frac BA) ^ 2 } d y.$$p_z(z)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(z-{\mu }_1-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}\right\}\cdot {\int }_{-\infty }^{\infty }\exp \left\{-\frac{A}{2}{\left(y-\frac{B}{A}\right)}^2\right\}dy.$$

利用正态密度函数的正则性，上式中的积分应为 $\sqrt{2\pi }/\sqrt{A}$，于是

p _ z (z) = frac 1sqrt 2 π (σ_ 1 ^ 2 + σ_ 2 ^ 2) exp {- frac 12 frac (z - μ_ 1 - μ_ 2) ^ 2σ_ 1 ^ 2 + σ_ 2 ^ 2 },$$p_z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi ({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)}}\exp \left\{-\frac{1}{2}\frac{(z-{\mu }_1-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}\right\},$$

这正是均值为 ${\mu }_1+{\mu }_2$ ，方差为 ${\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$ 的正态密度函数． 上述结论表明:两个独立的正态变量之和仍为正态变量，其分布中的两个参数分别对应相加，即

N (μ_ 1, σ_ 1 ^ 2) * N (μ_ 2, σ_ 2 ^ 2) = N (μ_ 1 + μ_ 2, σ_ 1 ^ 2 + σ_ 2 ^ 2). (3.3.14)$$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)\ast N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)=N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2).\text{\hspace{1em}(3.3.14)}$$

显然，这个结论可以推广到有限个独立正态变量之和的场合． 另外我们知道，若随机变量 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则对任意非零实数 $a$ 有 $aX\sim N(a\mu ,a^2{\sigma }^2)$．由此我们可得另一个重要结论: 任意 $n$ 个相互独立的正态变量的线性组合仍是正态变量，即

a _ 1 X _ 1 + a _ 2 X _ 2 + … + a _ n X _ n ∼ N (μ_ 0, σ_ 0 ^ 2), (3.3.15)$$a_1{X}_1+a_2{X}_2+\cdots +a_n{X}_n\sim N({\mu }_0,{\sigma }_0^2),\text{\hspace{1em}(3.3.15)}$$

若 $X_i\sim N({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$ , $i=1,2,\cdots ,n$ ，则参数 ${\mu }_0$ 与 ${\sigma }_0^2$ 分别为

μ_ 0 = ∑_ i = 1 ^ n a _ i μ_ i, σ_ 0 ^ 2 = ∑_ i = 1 ^ n a _ i ^ 2 σ_ i ^ 2.$${\mu }_0=\sum _{i=1}^n{a}_i{\mu }_i,{\sigma }_0^2=\sum _{i=1}^n{a}_i^2{\sigma }_i^2.$$

譬如，已知 $X\sim N(-3,1),Y\sim N(2,1)$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则

Z = X - 2 Y + 7 ∼ N (0, 5).$$Z=X-2Y+7\sim N(0,5).$$

例 3.3.8 伽马分布的可加性

设随机变量 $X\sim Ga({\alpha }_1,\lambda )$ , $Y\sim Ga({\alpha }_2,\lambda )$ ，且 $X$ 与 $Y$ 独立，证明 $Z=X+Y\sim Ga({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$ .

证明

首先指出 $Z=X+Y$ 仍在 $(0,\infty )$ 上取值，所以当 $z⩽0$ 时， $p_Z(z)=0$ 。而当 $z>0$ 时，可用卷积公式(3.3.13)，此时被积函数 $p_X(z-y)p_Y(y)$ 的非零区域为 $0<y<z$ ，故

r l p _ Z (z) & = frac λ^ α_ 1 + α_ 2Γ (α_ 1) Γ (α_ 2) ∫_ 0 ^ z (z - y) ^ α_ 1 - 1 e ^ - λ (z - y) · y ^ α_ 2 - 1 e ^ - λ y d y & = frac λ^ α_ 1 + α_ 2 e ^ - λ zΓ (α_ 1) Γ (α_ 2) ∫_ 0 ^ z (z - y) ^ α_ 1 - 1 y ^ α_ 2 - 1 d y & = frac λ^ α_ 1 + α_ 2 e ^ - λ zΓ (α_ 1) Γ (α_ 2) z ^ α_ 1 + α_ 2 - 1 ∫_ 0 ^ 1 (1 - t) ^ α_ 1 - 1 t ^ α_ 2 - 1 d t,$$\begin{array}{rl}{p}_Z(z)& =\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{\int }_0^z(z-y{)}^{{\alpha }_1-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda (z-y)}\cdot y^{{\alpha }_2-1}{\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{d}y\\ & =\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}{\mathrm{e}}^{-\lambda z}}{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{\int }_0^z(z-y{)}^{{\alpha }_1-1}{y}^{{\alpha }_2-1}\mathrm{d}y\\ & =\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}{\mathrm{e}}^{-\lambda z}}{\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)}{z}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}{\int }_0^1(1-t{)}^{{\alpha }_1-1}{t}^{{\alpha }_2-1}\mathrm{d}t,\end{array}$$

最后的积分是贝塔函数，它等于 $\Gamma ({\alpha }_1)\Gamma ({\alpha }_2)/\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2)$．代入上式得

p _ z (z) = frac λ^ α_ 1 + α_ 2Γ (α_ 1 + α_ 2) z ^ α_ 1 + α_ 2 - 1 e ^ - λ z.$$p_z(z)=\frac{{\lambda }^{{\alpha }_1+{\alpha }_2}}{\Gamma ({\alpha }_1+{\alpha }_2)}{z}^{{\alpha }_1+{\alpha }_2-1}{e}^{-\lambda z}.$$

这正是形状参数为 ${\alpha }_1+{\alpha }_2$ ，尺度参数仍为 $\lambda$ 的伽马分布． 这个结论表明:两个尺度参数相同的独立的伽马变量之和仍为伽马变量，其尺度参数不变，而形状参数相加，即

G a (α_ 1, λ) * G a (α_ 2, λ) = G a (α_ 1 + α_ 2, λ). (3.3.16)$$Ga({\alpha }_1,\lambda )\ast Ga({\alpha }_2,\lambda )=Ga({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda ).\text{\hspace{1em}(3.3.16)}$$

显然这个结论可推广到有限个尺度参数相同的独立伽马变量之和上． 另外由第二章中我们知道，伽马分布有两个常用的特例:指数分布和卡方分布，即

E x p (λ) = G a (1, λ), χ^ 2 (n) = G a (frac n2, frac 12),$$Exp(\lambda )=Ga(1,\lambda ),{\chi }^2(n)=Ga\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right),$$

由此又可以得到另两个结论： (1) m 个独立同分布的指数变量之和为伽马变量，即

underbrace E x p (λ) * E x p (λ) * … * E x p (λ) _ m text 个 = G a (m, λ). (3.3.17)$$\underset{m\text{个}}{\underbrace{Exp(\lambda )\ast Exp(\lambda )\ast \cdots \ast Exp(\lambda )}}=Ga(m,\lambda ).\text{\hspace{1em}(3.3.17)}$$

(2) m 个独立的 ${\chi }^2$ 变量之和为 ${\chi }^2$ 变量 ( ${\chi }^2$ 分布的可加性), 即

χ^ 2 (n _ 1) * χ^ 2 (n _ 2) * … * χ^ 2 (n _ m) = χ^ 2 (n _ 1 + n _ 2 + … + n _ m). (3.3.18)$${\chi }^2\left(n_1\right)\ast {\chi }^2\left(n_2\right)\ast \cdots \ast {\chi }^2\left(n_m\right)={\chi }^2\left(n_1+n_2+\cdots +n_m\right).\text{\hspace{1em}(3.3.18)}$$

例 3.3.9

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是 $n$ 个相互独立同分布的标准正态变量，证明其平方和 $Y=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$ 服从自由度为 $n$ 的 ${\chi }^2$ 分布．

证明

由上一章例2.6.3, 我们已经证得: 当 $X_i\sim N(0,1)$，有 $X_i^2\sim {\chi }^2(1)$．所以再由 ${\chi }^2$ 分布的可加性即可得结论．

由此可见，${\chi }^2(n)$ 分布中的参数$n$就体现在:$n$是独立的标准正态变量的个数，因此人们称这个参数$n$为自由度．

3.3.4 变量变换法

在此我们仅介绍寻求二维连续随机变量函数的分布的方法，而寻求 $n$ 维连续随机变量函数的分布的方法是类似的．

一、变量变换法

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$ ，如果函数

{ l u = g _ 1 (x, y), v = g _ 2 (x, y) .$$\{\begin{array}{l}u=g_1(x,y),\\ v=g_2(x,y)\end{array}$$

有连续偏导数，且存在唯一的反函数

{ l x = x (u, v), y = y (u, v), .$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v),\\ y=y(u,v),\end{array}$$

其变换的雅可比行列式

J = frac ∂ (x , y)∂ (u , v) = | l l frac ∂ x∂ u & frac ∂ x∂ v frac ∂ y∂ u & frac ∂ y∂ v | = (frac ∂ (u , v)∂ (x , y)) ^ - 1 = (| l l frac ∂ u∂ x & frac ∂ u∂ y frac ∂ v∂ x & frac ∂ v∂ y |) ^ - 1 ≠ 0. (3.3.19)$$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|={\left(\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right)}^{-1}={\left(\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right|\right)}^{-1}\ne 0.\text{\hspace{1em}(3.3.19)}$$

若

{ l U = g _ 1 (X, Y), V = g _ 2 (X, Y), .$$\{\begin{array}{l}U=g_1(X,Y),\\ V=g_2(X,Y),\end{array}$$

则 $(U,V)$ 的联合密度函数为

p (u, v) = p (x (u, v), y (u, v)) | J | . (3.3.20)$$p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v))\mid J\mid .\text{\hspace{1em}(3.3.20)}$$

这个方法实际上就是二重积分的变量变换法，其证明可参阅数学分析教科书．

例 3.3.10

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，都服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$．记

{ l U = X + Y, V = X - Y. .$$\{\begin{array}{l}U=X+Y,\\ V=X-Y.\end{array}$$

试求 $(U,V)$ 的联合密度函数，且问$U$与$V$是否独立?

解

因为

{ l u = x + y, v = x - y .$$\{\begin{array}{l}u=x+y,\\ v=x-y\end{array}$$

的反函数为

{ l x = frac u + v2, y = frac u - v2, .$$\{\begin{array}{l}x=\frac{u+v}{2},\\ y=\frac{u-v}{2},\end{array}$$

则

J = | c c frac ∂ x∂ u & frac ∂ x∂ v frac ∂ y∂ u & frac ∂ y∂ v | = | c c frac 12 & frac 12 frac 12 & - frac 12 | = - frac 12.$$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right|=-\frac{1}{2}.$$

所以得 $(U,V)$ 的联合密度函数为

p (u, v) = p (x (u, v), y (u, v)) | J | = p _ X (frac u + v2) p _ Y (frac u - v2) | - frac 12 |$$p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v))\mid J\mid =p_X\left(\frac{u+v}{2}\right)p_Y\left(\frac{u-v}{2}\right)\left|-\frac{1}{2}\right|$$l = frac 12 sqrt 2 π σ exp {- frac [ (u + v) / 2 - μ ] ^ 22 σ^ 2 } frac 1sqrt 2 π σ exp {- frac [ (u - v) / 2 - μ ] ^ 22 σ^ 2 } = frac 14 π σ^ 2 exp {- frac (u - 2 μ) ^ 2 + v ^ 24 σ^ 2 }.$$\begin{array}{l}=\frac{1}{2\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{{\left[(u+v)/2-\mu \right]}^2}{2{\sigma }^2}\right\}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \left\{-\frac{{\left[(u-v)/2-\mu \right]}^2}{2{\sigma }^2}\right\}\\ =\frac{1}{4\pi {\sigma }^2}\exp \left\{-\frac{(u-2\mu {)}^2+v^2}{4{\sigma }^2}\right\}.\end{array}$$

这正是二元正态分布 $N(2\mu ,0,2{\sigma }^2,2{\sigma }^2,0)$ 的密度函数，其边际分布为 $U\sim N(2\mu ,2{\sigma }^2)$ ， $V\sim N(0,2{\sigma }^2)$ ，所以由 $p(u,v)=p_U(u)p_V(v)$ 知 $U$ 与 $V$ 相互独立．

在变量变换法中，并没有要求 $X$ 与 $Y$ 是独立的．所以例3.3.10 可改成 $(X,Y)$ 服从二元正态分布，仍可以计算得 $(U,V)$ 服从二元正态分布．进一步我们可得:多元正态变量经线性变换后仍是多元正态变量．这个结论在统计中经常用到．

二、增补变量法

增补变量法实质上是变量变换法的一种应用:为了求出二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的函数 $U=g(X,Y)$ 的密度函数，增补一个新的随机变量 $V=h(X,Y)$，一般令V=X或V=Y.先用变量变换法求出 $(U,V)$ 的联合密度函数 $p(u,v)$，再对 $p(u,v)$ 关于$v$积分，从而得出关于$U$的边际密度函数． 下面我们以例子形式，给出两个随机变量的积与商的公式．

例 3.3.11 积的公式

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，其密度函数分别为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$．则 U = XY 的密度函数为

p _ U (u) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p _ X (frac uv) p _ Y (v) frac 1| v | d v. (3.3.21)$$p_U(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X\left(\frac{u}{v}\right)p_Y(v)\frac{1}{|v|}\mathrm{d}v.\text{\hspace{1em}(3.3.21)}$$

证明

记 $V=Y$ ，则 $\{\begin{array}{l}u=xy,\\ v=y\end{array}$ 的反函数为 $\{\begin{array}{l}x=\frac{u}{v},\\ y=v,\end{array}$ 雅可比行列式为

J = | c c frac 1v & - frac uv ^ 2 0 & 1 | = frac 1v,$$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{v}& -\frac{u}{v^2}\\ 0& 1\end{array}\right|=\frac{1}{v},$$

所以 $(U,V)$ 的联合密度函数为

p (u, v) = p _ X (frac uv) · p _ Y (v) | J | = p _ X (frac uv) p _ Y (v) frac 1| v |.$$p(u,v)=p_X\left(\frac{u}{v}\right)\cdot p_Y(v)|J|=p_X\left(\frac{u}{v}\right)p_Y(v)\frac{1}{|v|}.$$

对 $p(u,v)$ 关于 $v$ 积分，就可得 U=XY 的密度函数为 (3.3.21) 式．

例 3.3.12 商的公式

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，其密度函数分别为 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$．则 U = X / Y 的密度函数为

p _ U (u) = ∫_ - ∞ ^ ∞ p _ X (u v) p _ Y (v) | v | d v. (3.3.22)$$p_U(u)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X(uv)p_Y(v)|v|dv.\text{\hspace{1em}(3.3.22)}$$

证明

记 $V=Y$ ，则 $\{\begin{array}{l}u=x/y,\\ v=y\end{array}$ 的反函数为 $\{\begin{array}{l}x=uv,\\ y=v,\end{array}$ 雅可比行列式为

J = | c c v & u 0 & 1 | = v ,$$J=\left|\begin{array}{cc}v& u\\ 0& 1\end{array}\right|=v,$$

所以 $(U,V)$ 的联合密度函数为

p (u, v) = p _ X (u v) · p _ Y (v) | J | = p _ X (u v) p _ Y (v) | v |.$$p(u,v)=p_X(uv)\cdot p_Y(v)|J|=p_X(uv)p_Y(v)|v|.$$

对 $p(u,v)$ 关于 $v$ 积分，就可得 U=X/Y 的密度函数为 (3.3.22) 式． 在以上两个例子中，如果 $X$ 与 $Y$ 不是相互独立的，则只需在 (3.3.21) 式和 (3.3.22) 式中将边际密度的乘积改写成联合密度即可．

习题3.3

1. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列为

   X	Y
   	1	2	3
   0	0.05	0.15	0.20
   1	0.07	0.11	0.22
   2	0.04	0.07	0.09

   试分别求 $U=\max \{X,Y\}$ 和 $V=\min \{X,Y\}$ 的分布列．
2. 设 $X$ 和 $Y$ 是相互独立的随机变量，且 $X\sim Exp(\lambda ),Y\sim Exp(\mu )$．如果定义随机变量

Z = { l l 1, & text 当 X ≤slant Y, 0, & text 当 X > Y. .$$Z=\{\begin{array}{ll}1,& \text{当}X⩽Y,\\ 0,& \text{当}X>Y.\end{array}$$

求 $Z$ 的分布列． 3. 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的分布列分别为

X	-1	0	1
P	1/4	1/2	1/4

Y	0	1
P	1/2	1/2

已知 $P(XY=0)=1$ ，试求 $Z=\max \{X,Y\}$ 的分布列． 4. 设随机变量 $X,Y$ 独立同分布，在以下情况下求随机变量 $Z=\max \{X,Y\}$ 的分布列： (1) X 服从 p=0.5 的 0-1 分布； (2) X 服从几何分布，即 $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots .$ 5. 设 $X$ 和 $Y$ 为两个随机变量，且

P (X ≥slant 0, Y ≥slant 0) = frac 37, P (X ≥slant 0) = P (Y ≥slant 0) = frac 47.$$P(X⩾0,Y⩾0)=\frac{3}{7},P(X⩾0)=P(Y⩾0)=\frac{4}{7}.$$

试求 $P(\max \{X,Y\}⩾0)$ 6. 设 $X$ 与 $Y$ 的联合密度函数为

p ( x , y ) = { l l e ^ - (x + y) , & x > 0 , y > 0 , 0 , & text 其他. .$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-\left(x+y\right)},& x>0,y>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求以下随机变量的密度函数： (1) $Z=(X+Y)/2$ ; (2) $Z=Y-X$ . 7. 设 $X$ 与 $Y$ 的联合密度函数为

p ( x , y ) = { l l 3 x , & 0 < x < 1 , 0 < y < x , 0 , & text 其他. .$$p\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}3x,& 0<x<1,0<y<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $Z=X-Y$ 的密度函数． 8. 某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为

p _ 1 (t) = { l l t e ^ - t, & t > 0, 0, & t ≤slant 0. .$$p_1(t)=\{\begin{array}{ll}t{e}^{-t},& t>0,\\ 0,& t⩽0.\end{array}$$

设各周的需要量是相互独立的，试求: (1) 两周需要量的密度函数 $p_2(x)$ ; (2) 三周需要量的密度函数 $p_3(x)$ . 9. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，试在以下情况下求 $Z=X+Y$ 的密度函数: (1) $X\sim U(0,1),Y\sim U(0,1)$ ; (2) $X\sim U(0,1),Y\sim Exp(1)$ . 10. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，试在以下情况下求 $Z=X/Y$ 的密度函数: (1) $X\sim U(0,1),Y\sim Exp(1)$ ; (2) $X\sim Exp({\lambda }_1),Y\sim Exp({\lambda }_2)$ . 11. 设 $X_1,X_2,X_3$ 为相互独立的随机变量，且都服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，求三者中最大者大于其他两者之和的概率． 12. 设随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 相互独立同分布，其密度函数为

p ( x ) = { l l 2 x , & 0 < x < 1 , 0 , & text 其他. .$$p\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

试求 $Z=\max \{X_1,X_2\}-\min \{X_1,X_2\}$ 的分布． 13. 设某一设备装有 3 个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布．当 3 个元件都正常工作时，设备才正常工作．试求设备正常工作时间 $T$ 的密度函数． 14. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 在矩形

G = {(x, y): 0 ≤slant x ≤slant 2, 0 ≤slant y ≤slant 1 }$$G=\{(x,y):0⩽x⩽2,0⩽y⩽1\}$$

上服从均匀分布，试求边长分别为 $X$ 和 $Y$ 的矩形面积 $Z$ 的密度函数． 15. 设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布，求极坐标

R = sqrt X ^ 2 + Y ^ 2, θ = arctan (Y / X)$$R=\sqrt{X^2+Y^2},\theta =\arctan (Y/X)$$

的联合密度函数． 16. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，其密度函数为

p (x) = { l l e ^ - x, & x > 0, 0, & x ≤slant 0. .$$p(x)=\{\begin{array}{ll}{\mathrm{e}}^{-x},& x>0,\\ 0,& x⩽0.\end{array}$$

(1) 求 $U=X+Y$ 与 $V=X/(X+Y)$ 的联合密度函数 $p(u,v)$ ; (2) 以上的 $U$ 与 $V$ 独立吗? 17. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 独立同分布，且都服从标准正态分布 $N(0,1)$，试证: $U=X^2+Y^2$ 与 $V=X/Y$ 相互独立． 18. 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X\sim Ga({\alpha }_1,\lambda ),Y\sim Ga({\alpha }_2,\lambda )$．试证： $U=X+Y$ 与 $V=X/(X+Y)$ 相互独立，且 $V\sim Be({\alpha }_1,{\alpha }_2)$ . 19. 设随机变量 $U_1$ 与 $U_2$ 相互独立，且都服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，试证明: (1) $Z_1=-2\ln U_1\sim Exp(1/2),Z_2=2\pi U_2\sim U(0,2\pi )$ (2) $X=\sqrt{Z_1}\cos Z_2$ 和 $Y=\sqrt{Z_1}\sin Z_2$ 是相互独立的标准正态随机变量． 20. 设随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，且 $X_i\sim Exp({\lambda }_i)$ ，试证：

P (X _ i = min {X _ 1, X _ 2, … , X _ n }) = frac λ_ iλ_ 1 + λ_ 2 + … + λ_ n.$$P(X_i=\min \{X_1,X_2,\dots ,X_n\})=\frac{{\lambda }_i}{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n}.$$

21. 设连续随机变量 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立同分布，试证：

P (X _ n > max {X _ 1, X _ 2, … , X _ n - 1 }) = frac 1n.$$P(X_n>\max \{X_1,X_2,\dots ,X_{n-1}\})=\frac{1}{n}.$$