1. 两点间的距离

知识点 4.4

设 $P_1(x_1,y_2)$ , $P_1(x_2,y_2)$ ，则 $|P_1{P}_2|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ .

三种距离公式中，两点间的距离用得最多，也最重要，我们先从一道简单的例题开始．

例 4.9

（2022 江苏期中）已知 $A(a,2)$ , $B(-2,-3)$ , $C(1,6)$ 三点，且 $|AB|=|AC|$ ，则实数 $a$ 的值为 ____.

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由 $|AB|=|AC|$ 可得 $\sqrt{(a+2{)}^2+(2+3{)}^2}=\sqrt{(a-1{)}^2+(2-6{)}^2}$，解得 $a=-2$，故填-2.

有时候出题人不直接体现出两点间的距离，而是要求同学们根据公式的结构特征来构造两点间的距离公式，比如下面的例题:

例 4.10

(2014 全国 II 理 12) 设函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin \frac{\pi x}{m}$．若存在 $f(x)$ 的极值点 $x_0$ 满足 $x_0^2+[f(x_0){]}^2<m^2$ ，则 $m$ 的取值范围是（）.

A. $(-\infty ,-6)\cup (6,+\infty )$ B. $(-\infty ,-4)\cup (4,+\infty )$ C. $(-\infty ,-2)\cup (2,+\infty )$ D. $(-\infty ,-1)\cup (4,+\infty )$

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极值点 $x_0$ 满足 $x_0^2+[f(x_0){]}^2<m^2$ ，即 $(x_0-0{)}^2+[f(x_0)-0{]}^2<m^2$ ，其等价于 $(x_0,f(x_0))$ 到 $(0,0)$ 距离的平方小于 $m^2$ ，画出 $f(x)=\sqrt{3}\sin \frac{\pi x}{m}$ 的图像，如图 4-2所示，则题意等价于 $|OP{|}^2<m^2$ 。因为 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{\frac{\pi }{|m|}}=|2m|$ ，所以点 $P$ 的横坐标为 $\frac{1}{4}\times |2m|=\frac{|m|}{2}$ ，故点 $P$ 坐标为 $\left(\frac{|m|}{2},\sqrt{3}\right)$ ，因此 ${\left(\frac{|m|}{2}-0\right)}^2+(\sqrt{3}-0{)}^2<m^2,$ 解得 $m<-2$ 或 $m>2$ ，故选$C$.

图4-2

这种通过平方和来构造两点间距离的方法，同学们务必要熟悉，用到这种方法的高考题往往出现在选填的压轴位置．

经验总结 4.1

形如 $(x-a{)}^2+[f(x)-b{]}^2$ 的方程，一般转化为 $(x,f(x))$ 到 $(a,b)$ 距离的平方．