【知识点 3.18】三角形三条高所在直线的交点为垂心.

找垂心需要先找垂直，而找垂直我们只需判断数量积是否为 0, 请看下面例题:

例 3.86

已知 $O$ 为 $△ABC$ 所在平面上一点，若 $|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{OB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2=|\overrightarrow{OC}{|}^2+|\overrightarrow{AB}{|}^2$，则点 $O$ 是 $△ABC$ 的 ( ). A. 外心 $B$．重心 $C$．垂心 $D$．内心

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由条件 $|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{BC}{|}^2=|\overrightarrow{OB}{|}^2+|\overrightarrow{AC}{|}^2$ ，可得

| overrightarrow O A | ^ 2 + | overrightarrow O C - overrightarrow O B | ^ 2 = | overrightarrow O B | ^ 2 + | overrightarrow O C - overrightarrow O A | ^ 2 Longrightarrow overrightarrow O A · overrightarrow O C - overrightarrow O B · overrightarrow O C = 0,$$|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}{|}^2=|\overrightarrow{OB}{|}^2+|\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}{|}^2⟹\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=0,$$

即 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{OC}=0$．同理可得 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{OB}=0,\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{OA}=0$，即 $O$ 是 $△ABC$ 的垂心．故选 $C$.

变式 3.86.1

已知 $O$ 是平面上一定点，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\lambda \left(\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|\cos B}+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|\cos C}\right)$ , $\lambda \in [0,+\infty )$，则点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ABC$ 的 ( ).

A. 外心 $B$．内心 $C$．重心 $D$．垂心