3.4.2 等和线

如果 $P$ 是直线 $AB$ 上一动点且 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则 $x+y$ 恒为定值且为 1; 反之，若 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ 且 $x+y$ 恒为 1, 则 $P$ 的轨迹是直线 $AB$．现在，我们的问题是:

问题

设 $A$, $B$ 是平面上两定点，是否存在异于直线 AB 的直线 $\ell$，使得当点 $P$ 在 $\ell$ 上移动且 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ 时，始终能保持 $x+y$ 为定值?

如图 3-36 所示，作直线 AB 的平行线 $\ell$，延长 OA, OB 分别交直线 $\ell$ 于 $M$, $N$ 两点．设 $P$ 是 MN 上任意一点，由 $M$, $N$, $P$ 三点共线可得 $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OM}+(1-\lambda )\overrightarrow{ON}$．注意到 $△OAB$ 与 $△OMN$ 相似，不妨设相似比为 $k$，即 $\frac{OM}{OA}=\frac{ON}{OB}=\frac{OP}{O{P}_1}=k$．于是

overrightarrow O P = λ overrightarrow O M + (1 - λ) overrightarrow O N = λ k overrightarrow O A + (1 - λ) k overrightarrow O B.$$\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OM}+(1-\lambda )\overrightarrow{ON}=\lambda k\overrightarrow{OA}+(1-\lambda )k\overrightarrow{OB}.$$

因为 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，利用平面向量基本定理可得 $x=\lambda k,y=(1-\lambda )k$，即 $x+y=k$ (定值).

图3-36

在上面的讨论中，$AB$ 介于起点 $O$ 与 $MN$ 之间，这只是其中一种情形．另外一种情形，即起点 $O$ 落在 $AB$ 与 $MN$ 之间，此时 $x+y=-k$，细节请大家自己推导．

也就是说，只要 $\ell //AB$，则无论 $P$ 如何移动，其系数和始终为定值．正是基于这个原因，大家称呼这样与 $AB$ 平行的直线 $\ell$ 叫“等和线”. 在实际解题中，我们往往用到的是如下定理．

等和线定理

设 $A$, $B$ 是平面上两定点，且 $\ell \parallel AB$．若 $P$ 是 $\ell$ 上一动点，且有 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则 $x+y$ 恒为定值且 $\ell$ 称为 “等和线”. 另外，设 OP 与 AB 交于 $P_1$，则

(1) 若 $O$ 位于 $AB$ 与“等和线 $\ell$ ”之外时，$x+y=\frac{OP}{O{P}_1}$ ;

(2) 若 $O$ 位于 $AB$ 与“等和线 $\ell$ ”之间时，$x+y=-\frac{OP}{O{P}_1}$ .

将等和线 $\ell$ 沿着与 $AB$ 平行的方向移动，再结合等和线定理可得如下结论:

① 当 $AB$ 位于 $O$ 与“等和线”之间时，$x+y>1$ ; ② 当“等和线”恰好为直线 $AB$ 时，$x+y=1$ ; ③ 当“等和线”位于点 $O$ 与 $AB$ 之间时，$0<x+y<1$ ; ④ 当“等和线”过点 $O$ 时，$x+y=0$ .

例 3.41

(2006 湖南 15) 如图 3-37 所示，$OM\parallel AB$，点 $P$ 在由射线 $OM$，线段 $OB$ 及 $AB$ 的延长线围成的区域内 (不含边界) 运动，且 $\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则 $x$ 的取值范围是____; 当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，$y$ 的取值范围是____.

查看解析与步骤

因为 $P$ 介于 OM 和 AB 之间，所以延长 OP 必与 AB 相交，设交点为 $P_1$，则存在 $\lambda >0$ 使得 $\overrightarrow{O{P}_1}=\lambda \overrightarrow{OP}=\lambda x\overrightarrow{OA}+\lambda y\overrightarrow{OB}$．注意到 $P_1$ 落在线段 AB 外且离 $A$ 远，所以 $\overrightarrow{OA}$ 的系数为负，即 $\lambda x<0$，解得 x < 0.

又因为 $P$ 介于 $AB$ 和 $OM$ 之间，所以 $0<x+y<1$．结合 $x=-\frac{1}{2}$ 可得 $\frac{1}{2}<y<\frac{3}{2}$ .

故填 $(-\infty ,0)$ ; $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ .

图3-37

图3-38

例 3.42

(2009 安徽理 14) 给定两个长度为 1 的平面向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ ，其夹角为 $120^{\circ }$ ，如图 3-38 所示，点 $C$ 在以 $O$ 为圆心的圆弧 AB 上变动，若 $\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$ ，其中 $x,y\in R$ ，则 $x+y$ 的最大值为 ____.

查看解析与步骤

连接 $AB$ ，设 $OC$ 与 $AB$ 的交点为 $D$ ，由等和线定理可知 $x+y=\frac{OC}{OD}$ 。因为 $C$ 是圆弧 $AB$ 上一点，所以 $OC=1$，于是 $x+y=\frac{1}{OD}$．因此，求 $x+y$ 的最大值等价于求 $OD$ 的最小值．显然，当 $OD\perp AB$ 时，$OD$ 最小，即如图 3-39所示 $D_1$ 的位置，此时 $|O{D}_1|=|OA|\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，所以 $x+y⩽\frac{1}{O{D}_1}=2$．故填2.

在例3.42中，当 $C$ 运动时，由三点共线得到 $x+y=\frac{OC}{OD}$．因为 $OC=1$，故问题转化为通过求单变量 $OD$ 的范围进而求 $x+y$ 的范围．

图3-39

例 3.43

在矩形 ABCD 中， AB = 2, AD = 1, 点 $P$ 为矩形 ABCD 内部及其边界上的动点，若 $\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，则 $x+y$ 的取值范围为 ( ) . A. [0,2] B. [0,3] C. [1,2] D. [1,3]

查看解析与步骤

如图 3-40 所示，作 BD 的平行线 $\ell$，设 $P$ 是 $\ell$ 上一点，$Q$ 为 AP 与 BD 的交点，$O$ 为 BD 的中点，连接 AO 并延长交 $\ell$ 于点 $K$，则由等和线原理可知 $x+y=\frac{AP}{AQ}=\frac{AK}{AO}$ 沿着与 BD 平行的方向移动，尽管 AP 与 AQ 都在变，但是 AO 保持不变，因此只要 AK 取最值即可．显然图 3-40 中的 $\ell$ 沿着与 BD 平行的方向移动，尽管 AP 与 AQ 都在变，但是 AO 保持不变，因此只要 AK 取最值即可．显然图 3-40 中的 ${\ell }_1$ 和 ${\ell }_2$ 是两极端位置．当 $P$ 与 $A$ 重合时，$x+y=0$ ; 当 $P$ 与 $C$ 重合时，$x+y=\frac{AC}{AQ}=2$．故选 $A$.

在例3.43中，我们由三点共线得到 $x+y=\frac{AP}{AQ}=\frac{AK}{AO}$．当 $P$ 在运动时，$AP$ 和 $AQ$ 都是变化的，是双变量问题．但是 $AO$ 即可．这种将双变量问题转化为单变量问题的方式值得我们学习．另外例3.43的解析过程也给我们提供了针对这类问题 (向量系数和最值，双变量) 的一个方法，总结如下:$AK$ 即可．这种将双变量问题转化为单变量问题的方式值得我们学习．另外例3.43的解析过程也给我们提供了针对这类问题 (向量系数和最值，双变量) 的一个方法，总结如下:

方法总结 3.1

利用等和线求向量系数和取值范围的步骤如下:

第一步:确定系数和为1的直线;

第二步:平移该直线，结合题给出的动点范围，分析在何处取得最值．

图3-40

例 3.44

(2017 全国 III 理 12) 在矩形 ABCD 中， AB = 1, AD = 2, 动点 $P$ 在以点 $C$ 为圆心且与 BD 相切的圆上．若 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}$，则 $\lambda +\mu$ 的最大值为 ( ). A. 3 B. $2\sqrt{2}$ C. $\sqrt{5}$ D. 2

查看解析与步骤

如图 3-41所示，作 $BD$ 的平行线 $\ell$，设 $P$ 是圆上一点，$Q$ 为 $AP$ 与 $BD$ 的交点，$H$ 为 $AH\perp BD$ 的垂足，连接 $AH$ 并延长交 $\ell$ 于点 $O$．由等和线原理可知 $\lambda +\mu =\frac{AP}{AQ}=\frac{AO}{AH}$．现考虑将直线 $\ell$ 沿着与 $BD$ 平行的方向移动，尽管 $AP$ 与 $AQ$ 都在变，但是 $AH$ 取最值即可．显然图 3-41中的 $AO$ 取最值即可．显然图3-41中的 $KL$ 是取最大值的位置．此时，

λ + μ = frac | A M || A H | = frac | A H | + | H M || A H | = frac | A H | + | G P _ 1 || A H | = frac 3 | A H || A H | = 3,$$\lambda +\mu =\frac{|AM|}{|AH|}=\frac{|AH|+|HM|}{|AH|}=\frac{|AH|+|G{P}_1|}{|AH|}=\frac{3|AH|}{|AH|}=3,$$

即 $\lambda +\mu$ 的最大值为 3. 故选 $A$.

图3-41

通过前面例题的讲解，我们知道，“等和线” 是求基底向量系数和最值的利器，那么问题来了，如果所求的表达式与基底向量的系数和形式不一致，那么能否用 “等和” 来处理呢? 答案是肯定的，我们只需要 “调节” 基底，使得新基底向量的系数与所求表达式的形式一致即可，见下例．

例 3.45

在扇形 OAB 中，$\angle AOB=60^{\circ }$ , $C$ 为弧 AB 上一动点，若 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，则 $m+4n$ 的取值范围为 ( ). A. [0,2] B. [0,4] C. [1,2] D. [1,4]

思路分析

如果直接找“等和线”，那么只能得到 $m+n$ 的取值范围，为了能用等和线求 $m+4n$ 的范围，我们需要“调节”基向量，使“调节”的基向量的系数分别是 $m$ 和 $4n$ ，即 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+4n\cdot \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$ 则以 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$ 为新的基底，那么就可以构造“等和线”求 $m+4n$ 的取值范围了．

查看解析与步骤

如图 3-42所示，令 $\overrightarrow{OE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$，则 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+4n\cdot \overrightarrow{OE}$．过 $C$ 作 $AE$ 的平行线 $\ell$ 交 $OB$ 于点 $F$，则由等和线原理可知 $m+4n=\frac{OC}{OD}=\frac{OF}{OE}$．现考虑将直线 $\ell$ 沿着与 $AE$ 平行的方向移动，注意到 $OE$ 保持不变，因此只要 $OF$ 取最值即可．当 $F$ 与 $E$ 重合时，$m+4n=1$ ; 当 $F$ 与 $B$ 重合时，$m+4n=\frac{OB}{OE}=4$．所以 $m+4n$ 的取值范围为[1,4], 故选$D$.

图3-42

变式 3.45.1

已知 $A$, $B$, $C$ 是圆 $O$ 上的三点， CO 的延长线与线段 BA 的延长线交于圆 $O$ 外的点 $D$，若 $\overrightarrow{OC}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，则 $m+n$ 的取值范围是 ( ). A. (0,1) B. (1, +∞) C. (-∞, -1) D. (-1,0)

我们之前给出了连续的五个例子，分别是例 $3.41\sim$ 例3.45. 现在让我们回过头来看看这五个例子中的相似之处．令人惊讶的是，这五个例子中的向量共起点．然而，这引发了一个直观的问题: 如果向量没有共起点，那么我们能否直接使用等和线呢? 不幸的是，答案是否定的．

经验总结 3.4

向量共起点是等和线直接使用的前提．

不必感到沮丧，因为向量是可以进行任意平移的．因此，在使用等和线时，我们可以对具有不同起点的向量进行平移，以使它们的起点一致．下面请看一个例子:

例 3.46

在正方形 ABCD 中，$E$ 为 AB 的中点，$P$ 为以 $A$ 为圆心， AB 为半径的圆弧上的任意一点，若 $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{DE}+\mu \overrightarrow{AP}$，则 $\lambda +\mu$ 的取值范围为 ____.

查看解析与步骤

由 $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{DE}+\mu \overrightarrow{AP}$ 可知，右端两向量的起点分别为 $D$ 与 $A$，与左端起点 $A$ 不一致．为统一起点，构造向量 $\overrightarrow{AM}$，使得 $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AM}$．具体方法如下: 如图 3-43 所示，作正方形 $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$，取边 $C^{\prime }{D}^{\prime }$ 的中点 $M$，连接 EM, 则四边形 DAME 为平行四边形，故 $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AM}$．于是原式可改写为

overrightarrow A C = λ overrightarrow A M + μ overrightarrow A P.$$\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AM}+\mu \overrightarrow{AP}.$$

连接 $PM$，设其与 $AC$ 交于点 $N$．由于 $A,N,C$ 共线，故可设 $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$，代入上式得

overrightarrow A N = k λ overrightarrow A M + k μ overrightarrow A P.$$\overrightarrow{AN}=k\lambda \overrightarrow{AM}+k\mu \overrightarrow{AP}.$$

另一方面，由于 $P,N,M$ 三点共线，故

k λ + k μ = 1 Longrightarrow λ + μ = frac 1k = frac A CA N.$$k\lambda +k\mu =1⟹\lambda +\mu =\frac{1}{k}=\frac{AC}{AN}.$$

由于 $AC$ 为定长，故求 $\lambda +\mu$ 的取值范围，等价于求 $AN$ 的取值范围．

(1) 如图 3-44 所示，当点 $P$ 与点 $D$ 重合时，$AN$ 取得最小值．设 $PM$ 与 $AB$ 交于点 $H$，连接 $ME$．由于四边形 $ADEM$ 为平行四边形，$PM$ 与 $AE$ 为其对角线，故 $H$ 为 $AE$ 的中点，进而 $AH=\frac{1}{4}AB$．又因 $△AHN\sim △CDN$，有

frac C NA N = frac C DA H = frac A Bfrac 14 A B = 4 ⇒ frac A CA N = 1 + frac C NA N = 5 ⇒ (λ + μ) _ max = frac A CA N = 5.$$\frac{CN}{AN}=\frac{CD}{AH}=\frac{AB}{\frac{1}{4}AB}=4\Rightarrow \frac{AC}{AN}=1+\frac{CN}{AN}=5\Rightarrow (\lambda +\mu {)}_{\max }=\frac{AC}{AN}=5.$$

(2) 如图 3-45 所示，当点 $P$ 与点 $B$ 重合时，$AN$ 取得最大值．由图中所示，$CB$ 为 $△GFM$ 的中位线，故 $CG=\frac{1}{2}FG$．又因为 $F$ 为 $DC$ 的中点，得 $CG=CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$，且 $CG\parallel AB$，所以 $CG$ 为 $△NAB$ 的中位线，故

frac A CA N = frac 12 ⇒ (λ + μ) _ min = frac 12.$$\frac{AC}{AN}=\frac{1}{2}\Rightarrow (\lambda +\mu {)}_{\min }=\frac{1}{2}.$$

frac A CA N = frac 12 ⇒ (λ + μ) _ min = frac 12.$$\frac{AC}{AN}=\frac{1}{2}\Rightarrow (\lambda +\mu {)}_{\min }=\frac{1}{2}.$$

图3-43

图3-44

图3-45

综上所述，$\lambda +\mu$ 的取值范围为 $\left[\frac{1}{2},5\right]$，故填 $\left[\frac{1}{2},5\right]$ .