§4.5 对于教学的建议 · 《数学分析》

4.5.1 学习要点

学习函数极限的基本概念和计算极限的方法是这一章中的主要内容。它们为下面学习微分学中的导数计算做好了准备。这里含有许多重要的基本计算技巧。其中除了与过去相似的适当放大法、夹逼方法、单调函数的单侧极限存在定理和 $Cauchy$ 收敛准则外，还有许多新的工具。今后虽然会学到以微分学为基础的许多更有力的方法，但是本章有许多基本技巧并不能为将来的工具所覆盖或代替。在下面的参考题中有许多就是如此。
对习题课的建议对于学过此章的人来说，本章一开始举出的多种不同类型的极限 (或广义极限) 似乎很平常，但对于多数初学者来说仍然会有很大的困难．举一反三已是不易，更何况这里有二十几种极限．细心观察一些优秀教材，可以看到在安排上有很好的考虑．例如，一开始应当集中力量学习基本类型的函数极限 (即本章第一小节), 在有了基础后再涉及其余，加以推广．又往往将广义极限另列一节单独处理．这样比较符合人的认识规律．

本章习题课重点为: 函数极限的定义; $Heine$ 归结原理; 无穷大 (小) 量的比较．估计需安排两次，可在第一次围绕概念，第二次围绕 $Heine$ 归结原理和求极限技巧 (如等价量的替换、两个重要极限等) 来讲解．

若函数 $f$ 在区间 $(a, b)$ 上单调，且有一个数列 $\{x_{n}\}$ 使得 $x_{n} \to a^{+}$ 和 $\lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = A$ ．请按照单侧极限的定义直接证明: $\lim_{x \to a^{+}} f(x) = A$ .
设函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上严格单调增加，且有一个在区间 $[a, b]$ 内的数列 $\{x_n\}$ 使得 $f(x_n) \to f(a)$ ．证明: $\lim_{n \to \infty} x_n = a$ .
在 $Heine$ 归结原理 (命题4.2.3) 的条件中，

(1) 若将“每个数列 $\{x_{n}\}$ ”改为“每个单调数列 $\{x_{n}\}$ ”，其他要求不变，则结论是否仍然成立？

(2) 若对“每个数列 $\{x_{n}\}$ ”增加要求 $|x_{n+1}-a|<|x_{n}-a|, n\in N_{+}$ ，其他不变，则又如何？

又若在它的推论 (命题4.2.4) 中作这些改动，结论是否仍然成立?

证明 $\sin \sqrt{x + 1} - \sin \sqrt{x}$ 当 $x \to +\infty$ 时极限为0, 并分析其阶数．
求 $\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{1}{x}\cdot \frac{a^x - 1}{a - 1}\right)^{\frac{1}{x}}$ ，其中 $a > 0, a \neq 1$ .
(1) 设函数 $f(x) = a_{1} \sin x + a_{2} \sin 2x + \cdots + a_{n} \sin nx$ ，且对所有 $x$ 成立 $|f(x)| \leqslant |\sin x|$ ．证明: $|a_{1} + 2a_{2} + \cdots + na_{n}| \leqslant 1;$

(2) 设函数 $f(x)=a_{1}\ln(1+x)+a_{2}\ln(1+2x)+\cdots+a_{n}\ln(1+nx)$ ，且对于所有 $x>0$ 成立 $|f(x)|\leqslant|x|$ 。试陈述与 (1) 相应的不等式并加以证明。

D (x) = \lim _ {m \to \infty} \Big \{\lim _ {n \to \infty} [ \cos (\pi m! x) ] ^ {2 n} \Big \}.

(1) 设函数 $f$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上满足条件 $f(2x) = f(x)$ ，且存在有限极限 $f(+\infty)$ ．证明： $f$ 是常值函数．

(2) 设存在 $a > 0, a \neq 1$ ，使得函数 $f$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上满足要求 $f(ax) = f(x)$ ．证明: 若存在有限极限 $f(+\infty)$ 或 $f(0^{+})$ ，则 $f$ 为常值函数．

设函数 $f$ 在 $\mathbf{R}$ 上定义，在 $x = 0$ 邻近有界，又有 $a > 1, b > 1$ ，使得对每个 $x \in \mathbf{R}$ 成立 $f(ax) = bf(x)$ ．证明: $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ .
设函数 $f$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调增加，且有 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(2x)}{f(x)} = 1$ ．证明: 对每个 $a > 0$ ，成立 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(ax)}{f(x)} = 1$ .
设 $f$ 在 $(0, +\infty)$ 上定义，且在其中的每个有界子区间上有界．证明: 等式

\lim _ {x \rightarrow + \infty} \frac {f (x)}{x} = \lim _ {x \rightarrow + \infty} [ f (x + 1) - f (x) ]

在右边为有限极限或 $\pm\infty$ 时成立．

\lim _ {x \rightarrow + \infty} \frac {f (x)}{x ^ {n + 1}} = \frac {1}{n + 1} \lim _ {x \rightarrow + \infty} \frac {f (x + 1) - f (x)}{x ^ {n}}

在右边为有限极限或 $\pm\infty$ 时成立．

(1) $g(x + T) > g(x), x \in [a, +\infty);$

(2) $\lim_{x\to +\infty}g(x) = +\infty ,f(x),g(x)$ 在 $[a, + \infty)$ 的每个有界子区间上有界；

(3) $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x + T) - f(x)}{g(x + T) - g(x)} = l,$

则 $\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = l.$

设成立 $\lim_{x\to 0}f(x) = 0,f(x) - f\left(\frac{x}{2}\right) = o(x)(x\to 0)$ ．证明： $f(x) = o(x)(x\to 0)$ . (本题比4.4.4小节的题2要难一点.)

连续函数类是数学分析中的主要函数类之一．有关连续函数的一系列重要结论是支持数学分析整个体系的支柱．本章的主要内容是介绍连续函数的基本定理．由于这些性质都和连续函数的整个定义域密切联系，与局部有界性、局部保号性等局部性质有根本的不同，因此称为连续函数的整体性质，或非局部性质．

在 §5.1 的基本概念之后，将基本定理分成三组，逐节介绍它们的方法和应用． §5.5 为单调函数．在 §5.6 中介绍连续函数在混沌中的应用，这是 §2.6 (迭代生成数列) 的现代发展．最后一节为学习要点和两组参考题．