$25.4.1$ 向量的外积

§$25.4$ 向量的外积, 微分形式的外微分与一般的 $Stokes$ 公式

虽然在多数院校的教学计划中，也许没有讲授这些内容的足够的教学时间．但应该看到，微分形式、外积和外微分已成为近代分析的基本工具，其简练的表达，精致的结构给微积分基本问题的处理带来了极大的方便．因而，我们觉得这些内容即使不在课上讲，也很值得推荐给学生作为课外阅读材料 ^① .

先考虑平面 ${\mathbf{R}}^2$ 上两个线性无关的向量 $a=(a_1,a_2)$ , $b=(b_1,b_2)$ . $\Pi$ 为由 $a,b$ 张成的平行四边形．现在规定，当自 $a$ 到 $b$ 是逆时针方向旋转时，其平行四边形的面积为正，否则为负，则由解析几何知识知，二阶行列式 $\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$ 就是上述意义下 $\Pi$ 的有向面积．

定义向量 $a$ 与 $b$ 的外积为

boldsymbol a wedge boldsymbol b = | c c a _ 1 & a _ 2 b _ 1 & b _ 2 |.$$\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|.$$

可以证明外积运算具有下列性质:

(1) 反对称性:

±b a wedge ±b b = - ±b b wedge ±b a, ∀ ±b a, ±b b ∈ mathbf R ^ 2, text 由此得到 ±b a wedge ±b a = 0, ∀ ±b a ∈ mathbf R ^ 2.$$a\wedge b=-b\wedge a,\forall a,b\in {\mathbf{R}}^2,\text{由此得到}a\wedge a=0,\forall a\in {\mathbf{R}}^2.$$

(2) 线性分配律:

boldsymbol a wedge (boldsymbol b + boldsymbol c) = boldsymbol a wedge boldsymbol b + boldsymbol a wedge boldsymbol c, (boldsymbol a + boldsymbol b) wedge boldsymbol c = boldsymbol a wedge boldsymbol c + boldsymbol b wedge boldsymbol c,$$\mathbf{a}\wedge (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}+\mathbf{a}\wedge \mathbf{c},(\mathbf{a}+\mathbf{b})\wedge \mathbf{c}=\mathbf{a}\wedge \mathbf{c}+\mathbf{b}\wedge \mathbf{c},$$ (λ boldsymbol a) wedge boldsymbol b = boldsymbol a wedge (λ boldsymbol b) = λ (boldsymbol a wedge boldsymbol b), ∀ boldsymbol a, boldsymbol b, boldsymbol c ∈ mathbf R ^ 2, λ ∈ mathbf R.$$(\lambda \mathbf{a})\wedge \mathbf{b}=\mathbf{a}\wedge (\lambda \mathbf{b})=\lambda (\mathbf{a}\wedge \mathbf{b}),\forall \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in {\mathbf{R}}^2,\lambda \in \mathbf{R}.$$

一般地，定义 ${\mathbf{R}}^n$ 中向量 ${\mathbf{a}}_i=(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in})(i=1,2,\cdots ,n)$ 的外积为

boldsymbol a _ 1 wedge boldsymbol a _ 2 wedge … wedge boldsymbol a _ n = | c c c c a _ 1 1 & a _ 1 2 & … & a _ 1 n a _ 2 1 & a _ 2 2 & … & a _ 2 n vdots & vdots & & vdots a _ n 1 & a _ n 2 & … & a _ n n |.$${\mathbf{a}}_1\wedge {\mathbf{a}}_2\wedge \cdots \wedge {\mathbf{a}}_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|.$$

这样的外积运算满足反对称性和线性分配律．

当 $n=3$ 时，可见三个线性无关向量 $a_1,a_2,a_3$ 的外积就是以它们为棱的平行六面体的有向体积．$a_1,a_2,a_3$ 构成右手系时，体积为正，否则为负．

$\mathrm{25.4.2}$ 微分形式

先看一个 $n$ 元连续可微函数 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 的全微分

d f = ∑_ i = 1 ^ n frac ∂ f∂ x _ i d x _ i,$$\mathrm{d}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i,$$

其中 $\mathrm{d}{x}_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 是各自独立的自变量增量，与 $x_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 的具体取值是无关的。这样把 $\mathrm{d}{x}_1,\mathrm{d}{x}_2,\cdots ,\mathrm{d}{x}_n$ 看成一组基，$\mathrm{d}f$ 就可视为由这组基生成的线性空间的元素。为此，我们构造如下一次微分形式的线性空间。

设 $U$ 为 ${\mathbf{R}}^n$ 中的区域，$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)\in U$ , $C^0(U)$ 是 $U$ 上全体连续函数．设 $a_i(\mathbf{x})\in C^0(U)$ , $i=1,2,\cdots ,n$，则称

a _ 1 (boldsymbol x) d x _ 1 + a _ 2 (boldsymbol x) d x _ 2 + … + a _ n (boldsymbol x) d x _ n (25.15)$$a_1(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_1+a_2(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_2+\cdots +a_n(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_n\text{\hspace{1em}(25.15)}$$

为 $U$ 上 $C^0$ 类的一次微分形式，简称 $1$ -形式．其全体记为 ${\Lambda }^1$ (或 ${\Lambda }^1(U)$ ).

注 1

如果 $a_i(\mathbf{x})\in C^k(U)$ , $i=1,2,\cdots ,n$ , $k$ 为某个正整数，则称 $(25.15)$ 为 $U$ 上的 $C^k$ 类的一次微分形式．

注 2

以 $\mathrm{d}{x}_1,\mathrm{d}{x}_2,\cdots ,\mathrm{d}{x}_n$ 为基，系数取 $C^0(U)$ 中的函数，按通常的线性运算，可证明 ${\Lambda }^1$ 是一个 $C^0(U)$ 上的线性空间．

下面形式地定义高次微分形式．

在 $\mathrm{d}{x}_1,\mathrm{d}{x}_2,\cdots ,\mathrm{d}{x}_n$ 中任取 $2$ 个组成有序元，记为 $\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_j(i,j=1,2,\cdots ,n)$ ，称为 $\mathrm{d}{x}_i$ 与 $\mathrm{d}{x}_j$ 的外积（暂时先将它看作一种记号）.

仿照向量的外积，规定

d x _ i wedge d x _ j = - d x _ j wedge d x _ i, d x _ i wedge d x _ i = 0, i, j = 1, 2, … , n.$$\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_j=-\mathrm{d}{x}_j\wedge \mathrm{d}{x}_i,\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_i=0,i,j=1,2,\dots ,n.$$

因此共有 $C_n^2$ 个有序元

d x _ i wedge d x _ j, 1 ≤slant i < j ≤slant n.$$\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_j,1⩽i<j⩽n.$$

同 ${\Lambda }^1$ 的构造类似，以这些有序元为基就可以构造一个线性空间 ${\Lambda }^2,{\Lambda }^2$ 的元素称为二次微分形式，简称$2$-形式，于是 ${\Lambda }^2$ 的元素就可表为

∑_ 1 ≤slant i < j ≤slant n g _ i j (boldsymbol x) d x _ i wedge d x _ j.$$\sum _{1⩽i<j⩽n}{g}_{ij}(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_j.$$

这称为$2$-形式的标准形式．

一般地，在 $\left\{d{x}_1,d{x}_2,\cdots ,d{x}_n\right\}$ 中任取 $p$ 个组成有序元，记为

d x _ i _ 1 wedge d x _ i _ 2 wedge … wedge d x _ i _ p,$$\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p},$$

这里 $i_1,i_2,\cdots ,i_p$ 是从集合 $1,2,\cdots ,n$ 中选取的任意 $p$ 个整数（同样地，我们把 $\wedge$ 称为外积）。规定

l d x _ i _ 1 wedge d x _ i _ 2 wedge … wedge d x _ i _ r wedge d x _ i _ r + 1 wedge d x _ i _ r + 2 wedge … wedge d x _ i _ p = - d x _ i _ 1 wedge d x _ i _ 2 wedge … wedge d x _ i _ r + 1 wedge d x _ i _ r wedge d x _ i _ r + 2 wedge … wedge d x _ i _ p, 1 ≤slant r ≤slant p - 1,$$\begin{array}{l}\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_r}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_{r+1}}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_{r+2}}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p}\\ =-\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_{r+1}}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_r}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_{r+2}}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p},1⩽r⩽p-1,\end{array}$$

而且如果 $i_1,i_2,\cdots ,i_p$ 中有两个是相同的，则 $\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p}=0$ 。因此共有 $C_n^p$ 个有序元

d x _ i _ 1 wedge d x _ i _ 2 wedge … wedge d x _ i _ p, 1 ≤slant i _ 1 < i _ 2 < … < i _ p ≤slant n.$$\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p},1⩽i_1<i_2<\cdots <i_p⩽n.$$

以这些有序元为基构造一个线性空间 ${\Lambda }^p,{\Lambda }^p$ 的元素称为 $p$ 次微分形式，简称 $p$ -形式．于是一般 $p$ -形式就可表示为

∑_ 1 ≤slant i _ 1 < i _ 2 < … < i _ p ≤slant n g _ i _ 1, i _ 2, … , i _ p (boldsymbol x) d x _ i _ 1 wedge d x _ i _ 2 wedge … wedge d x _ i _ p,$$\sum _{1⩽i_1<i_2<\cdots <i_p⩽n}{g}_{i_1,i_2,\dots ,i_p}(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p},$$

这称为 $p$ -形式的标准形式．

特别地，${\Lambda }^n$ 是 $C_n^n=1$ 维的线性空间，它的基为 $\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_n$，因此一般 $n$ -形式为

g (boldsymbol x) d x _ 1 wedge d x _ 2 wedge … wedge d x _ n.$$g(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_n.$$

当 $p>n$ 时，总有 $\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p}=0$ 。因此当 $p>n$ 时， ${\Lambda }^p=\{0\}$ .

$U$ 上的连续可微函数称为 $C^1$ 类的 $0$ -形式，它们的全体记为 ${\Lambda }^0$，它也是一个线性空间，函数 $g\equiv 1$ 是它的一个基．

$\mathrm{25.4.3}$ 微分形式的外积

在上节我们定义了抽象的线性空间 ${\Lambda }^0,{\Lambda }^1,\cdots ,{\Lambda }^n$．按照线性空间的直积可

得到一个 $C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^n=2^n$ 维的线性空间

boldsymbol Λ = boldsymbol Λ ^ 0 + boldsymbol Λ ^ 1 + … + boldsymbol Λ ^ n.$$\mathbf{\Lambda }={\mathbf{\Lambda }}^0+{\mathbf{\Lambda }}^1+\cdots +{\mathbf{\Lambda }}^n.$$

它的基是 ${\Lambda }^0,{\Lambda }^1,\cdots ,{\Lambda }^n$ 的基的全体．$\Lambda$ 中的元素的一般形式为

ω = ω_ 0 + ω_ 1 + … + ω_ n, ω_ i ∈ Λ^ i, i = 0, 1, … , n.$$\omega ={\omega }_0+{\omega }_1+\cdots +{\omega }_n,{\omega }_i\in {\Lambda }^i,i=0,1,\dots ,n.$$

现在在 $\Lambda$ 上引入外积运算 $\wedge$

记 $\mathrm{d}{x}_I=\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p},\mathrm{d}{x}_J=\mathrm{d}{x}_{j_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{j_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{j_q}$ ，则 $\mathrm{d}{x}_I$ 与 $\mathrm{d}{x}_J$ 的外积定义为

d x _ I wedge d x _ J = d x _ i _ 1 wedge d x _ i _ 2 wedge … wedge d x _ i _ p wedge d x _ j _ 1 wedge d x _ j _ 2 wedge … wedge d x _ j _ q,$$\mathrm{d}{x}_I\wedge \mathrm{d}{x}_J=\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p}\wedge \mathrm{d}{x}_{j_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{j_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{j_q},$$

它是 $(p+q)$ -形式．如果 $\{i_1,i_2,\cdots ,i_p\}$ 和 $\{j_1,j_2,\cdots ,j_q\}$ 有公共元素，那么 $\mathrm{d}{x}_I\wedge \mathrm{d}{x}_J=0$．对于一般的 $p$ -形式 $\omega ={\sum }_I{g}_I(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_I$ 和 $q$ -形式 $\eta ={\sum }_J{h}_J(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_J$，定义 $\omega$ 和 $\eta$ 的外积 $\omega \wedge \eta$ 为

ω wedge η = ∑_ I, J g _ I (boldsymbol x) h _ J (boldsymbol x) d x _ I wedge d x _ J,$$\omega \wedge \eta =\sum _{I,J}{g}_I(\mathbf{x})h_J(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_I\wedge \mathrm{d}{x}_J,$$

它是 $(p+q)$ -形式．

对于 $0$ -形式 $f$，我们补充定义

f ω = f wedge ω = ∑_ I f (boldsymbol x) g _ I (boldsymbol x) d x _ I, ω ∈ Λ^ p.$$f\omega =f\wedge \omega =\sum _{I}f(\mathbf{x})g_I(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_I,\omega \in {\Lambda }^p.$$

这样 $\wedge$ 是微分形式空间上的一种运算，它有如下性质．

性质1 设 $\omega \in {\Lambda }^p,\eta \in {\Lambda }^q$ ，则当 $p+q>n$ 时

ω wedge η = 0.$$\omega \wedge \eta =0.$$

这是因为当 $p+q>n$ 时， $\{i_1,i_2,\cdots ,i_p\}$ 和 $\{j_1,j_2,\cdots ,j_q\}$ 必有公共元素．

性质2 设 $\omega \in {\Lambda }^p,\eta \in {\Lambda }^q$ ，则

ω wedge η = (- 1) ^ p q η wedge ω .$$\omega \wedge \eta =(-1{)}^{pq}\eta \wedge \omega .$$

推论 设 $\omega \in {\Lambda }^p,\omega \ne 0,$ 则当 $p$ 为奇数时，$\omega \wedge \omega =0.$

注

我们现在定义的外积 $\wedge$ 与 ${\mathbf{R}}^n$ 的向量的外积 $\wedge$ 在形式上两者都符合反对称性和线性分配律，至于其他的结论都是各自的推论．比如，我们在 ${\mathbf{R}}^n$ 空间中仅仅定义了 $n$ 个向量的外积，并且如果这 $n$ 个向量中有两个相等，则其外积为零．特别地，$\forall a\in {\mathbf{R}}^2$，有 $a\wedge a=0$．但在 $a\in {\mathbf{R}}^n$ , $n>2$ 时，我们并没有给出 $a\wedge a$ 的定义．在微分形式的外积定义中，我们允许 $n$ 个微分中任意 $p$ 个组成 $p$ -形式的外积，从而有当 $\omega \in {\Lambda }^p$ , $\omega \ne 0$ , $p$ 为偶数时，不一定成立 $\omega \wedge \omega =0$ .

例如取 ${\mathbf{R}}^4$ 上的微分形式，如果 $\omega =\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2+\mathrm{d}{x}_3\wedge \mathrm{d}{x}_4$，那么

r l ω wedge ω & = (d x _ 1 wedge d x _ 2 + d x _ 3 wedge d x _ 4) wedge (d x _ 1 wedge d x _ 2 + d x _ 3 wedge d x _ 4) & = d x _ 1 wedge d x _ 2 wedge d x _ 3 wedge d x _ 4 + d x _ 3 wedge d x _ 4 wedge d x _ 1 wedge d x _ 2 & = 2 d x _ 1 wedge d x _ 2 wedge d x _ 3 wedge d x _ 4.$$\begin{array}{rl}\omega \wedge \omega & =(\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2+\mathrm{d}{x}_3\wedge \mathrm{d}{x}_4)\wedge (\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2+\mathrm{d}{x}_3\wedge \mathrm{d}{x}_4)\\ & =\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2\wedge \mathrm{d}{x}_3\wedge \mathrm{d}{x}_4+\mathrm{d}{x}_3\wedge \mathrm{d}{x}_4\wedge \mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2\\ & =2\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2\wedge \mathrm{d}{x}_3\wedge \mathrm{d}{x}_4.\end{array}$$

性质3 对于任意 $\omega ,\eta ,\sigma \in \Lambda$ 成立

分配律： $(\omega +\eta )\wedge \sigma =\omega \wedge \sigma +\eta \wedge \sigma ,$

σ wedge (ω + η) = σ wedge ω + σ wedge η ;$$\sigma \wedge (\omega +\eta )=\sigma \wedge \omega +\sigma \wedge \eta ;$$

结合律： $(\omega \wedge \eta )\wedge \sigma =\omega \wedge (\eta \wedge \sigma ).$

$\mathrm{25.4.4}$ 微分形式的外微分

设 $U\subset {\mathbf{R}}^n$ 是区域，$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 是 $U$ 上的可微函数，其全微分

d f = ∑_ i = 1 ^ n frac ∂ f∂ x _ j d x _ i,$$\mathrm{d}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_j}\mathrm{d}{x}_i,$$

可理解为对 $0$ -形式 $f$ 作了微分运算后成为了 $1$ -形式．对 $A^p$ 中一个形如

ω = g (boldsymbol x) d x _ i _ 1 wedge d x _ i _ 2 wedge … wedge d x _ i _ p$$\omega =g(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p}$$

的 $p$ -形式，定义

d ω = ∑_ i = 1 ^ n frac ∂ g∂ x _ i (boldsymbol x) d x _ i wedge d x _ i _ 1 wedge d x _ i _ 2 wedge … wedge d x _ i _ p,$$\mathrm{d}\omega =\sum _{i=1}^n\frac{\partial g}{\partial x_i}(\mathbf{x})\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_p},$$

然后按线性和数乘分配律定义微分运算 $\mathrm{d}:\Lambda \to \Lambda$ ，即

d (α ω + β η) = α d ω + β d η , ∀ α , β ∈ mathbf R ^ n, ω , η ∈ boldsymbol Λ.$$\mathrm{d}(\alpha \omega +\beta \eta )=\alpha \mathrm{d}\omega +\beta \mathrm{d}\eta ,\forall \alpha ,\beta \in {\mathbf{R}}^n,\omega ,\eta \in \mathbf{\Lambda }.$$

并且称 $\mathrm{d}\omega$ 为微分形式 $\omega$ 的外微分．

例题 $25.4.1$

设 $\omega =\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_k}$ ，则 $\mathrm{d}\omega =0$ .

证明

$\mathrm{d}\omega =\mathrm{d}(1\mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_k})$ $=(\mathrm{d}1)\wedge \mathrm{d}{x}_{i_1}\wedge \mathrm{d}{x}_{i_2}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}_{i_k}=0.$

例题 $25.4.2$

设 $\omega =P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$ 为 ${\mathbf{R}}^3$ 上的 $C^1$ 类 $1$ -形式，计算 $\mathrm{d}\omega$

r l d ω = (d P) wedge d x + (d Q) wedge d y + (d R) wedge d z & = (frac ∂ P∂ x d x + frac ∂ P∂ y d y + frac ∂ P∂ z d z) wedge d x + (frac ∂ Q∂ x d x + frac ∂ Q∂ y d y + frac ∂ Q∂ z d z) wedge d y & + (frac ∂ R∂ x d x + frac ∂ R∂ y d y + frac ∂ R∂ z d z) wedge d z & = (frac ∂ R∂ y - frac ∂ Q∂ z) d y d z + (frac ∂ P∂ z - frac ∂ R∂ x) d z d x + (frac ∂ Q∂ x - frac ∂ P∂ y) d x d y.$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\omega =(\mathrm{d}P)\wedge \mathrm{d}x+(\mathrm{d}Q)\wedge \mathrm{d}y+(\mathrm{d}R)\wedge \mathrm{d}z& \\ & =\left(\frac{\partial P}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial P}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial P}{\partial z}\mathrm{d}z\right)\wedge \mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial Q}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial Q}{\partial z}\mathrm{d}z\right)\wedge \mathrm{d}y\\ & +\left(\frac{\partial R}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial R}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}z\right)\wedge \mathrm{d}z\\ & =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\mathrm{d}z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\mathrm{d}x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\end{array}$$

例题 $25.4.3$

设 $f\in {\Lambda }^0$ 是 $C^2$ 类的 $0$ -形式，即 $f$ 是二次连续可微的函数，则 ${\mathrm{d}}^{2}f=0$ .

证明

由于 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$ $(i,j=1,2,\dots ,n)$ ，所以

r l d ^ 2 f = d (d f) = d (∑_ i = 1 ^ n frac ∂ f∂ x _ i d x _ i) & = ∑_ i = 1 ^ n ∑_ j = 1 ^ n frac ∂^ 2 f∂ x _ j ∂ x _ i d x _ i wedge d x _ j & = ∑_ i < j (frac ∂^ 2 f∂ x _ i ∂ x _ j - frac ∂^ 2 f∂ x _ j ∂ x _ i) d x _ i wedge d x _ j = 0.$$\begin{array}{rl}{\mathrm{d}}^{2}f=\mathrm{d}(\mathrm{d}f)=\mathrm{d}\left({\sum }_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i\right)& ={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_j\\ & ={\sum }_{i<j}\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}\right)\mathrm{d}{x}_i\wedge \mathrm{d}{x}_j=0.\end{array}$$

外微分有如下两个常用的性质．

性质 $1$ 设 $\omega$ 和 $\eta$ 分别为 $C^1$ 类的 $p$ -形式和 $q$ -形式，则

d (ω wedge η) = d ω wedge η + (- 1) ^ p ω wedge d η .$$\mathrm{d}(\omega \wedge \eta )=\mathrm{d}\omega \wedge \eta +(-1{)}^p\omega \wedge \mathrm{d}\eta .$$

性质 $2$ 设 $\omega$ 是 $C^2$ 类的微分形式，则 $\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega )=0$ .

证明作为练习．

在后几节的实例中，我们将会看到以上这些抽象的运算是如何恰到好处地反映了不同的实际问题的实质内容，而这正是数学的特点之一．

$\mathrm{25.4.5}$ 变换与 $\mathrm{Jacobi}$ 行列式

设 $A$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 上的一个线性变换，其矩阵为 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{3\times 3}$，设 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 中的一个立方体，其边长分别是 $\alpha ,\beta ,\gamma$，则其体积为 $V=\alpha \beta \gamma$．用向量外积的语言，就是

V = α i wedge β j wedge γ k = α β γ i wedge j wedge k.$$V=\alpha i\wedge \beta j\wedge \gamma k=\alpha \beta \gamma i\wedge j\wedge k.$$

再考虑 $\Omega$ 在 $A$ 下的象集 $A(\Omega )$ 的体积，注意 $A(\Omega )$ 是由 $\xi =a_{11}\alpha i+a_{21}\alpha j+a_{31}\alpha k$ , $\eta =a_{12}\beta i+a_{22}\beta j+a_{32}\beta k$ , $\zeta =a_{13}\gamma i+a_{23}\gamma j+a_{33}\gamma k$ 所张成的平行六面体，因而其有向体积为

boldsymbol ξ wedge boldsymbol η wedge boldsymbol ζ = | l l l a _ 1 1 & a _ 1 2 & a _ 1 3 a _ 2 1 & a _ 2 2 & a _ 2 3 a _ 3 1 & a _ 3 2 & a _ 3 3 | · α β γ boldsymbol i wedge boldsymbol j wedge boldsymbol k = det boldsymbol A · α β γ boldsymbol i wedge boldsymbol j wedge boldsymbol k.$$\mathbf{\xi }\wedge \mathbf{\eta }\wedge \mathbf{\zeta }=\left|\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\cdot \alpha \beta \gamma \mathbf{i}\wedge \mathbf{j}\wedge \mathbf{k}=\det \mathbf{A}\cdot \alpha \beta \gamma \mathbf{i}\wedge \mathbf{j}\wedge \mathbf{k}.$$

当 $\det A>0$ 时，可知 $\xi ,\eta ,\zeta$ 构成右手系，或者说它们的方向与 $i,j,k$ 一致．

现设 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 中一个可求体积的有界闭集，由重积分的定义以及体积的平移不变性（即一个平行四面体的体积在平移后不变），就得到 $A(\Omega )$ 的有向体积

V = iiint_ boldsymbol A (Ω) d x d y d z = det boldsymbol A iiint_ Ω d u d v d w = det boldsymbol A · V.$$V={\iiint }_{\mathbf{A}(\Omega )}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z=\det \mathbf{A}{\iiint }_{\Omega }\mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w=\det \mathbf{A}\cdot V.$$

因此，$\det A$ 表示了线性变换 $A$ 的 (体积) “膨胀系数”; 当 $\det A\ne 0$ 时，$\det A$ 的符号表示了线性变换 $A$ 的 “方向”. 特别地，$|\det A|=1$ 称为保体变换; $\det A>0$ 时称为保向变换．

这样的概念可推广到一般的变换(映射). 设 $f:{\mathbf{R}}^3\to {\mathbf{R}}^3$ 是一个可微映射，则在每个点 $(u_0,v_0,w_0)$ 附近，可用一个线性映射 $A(u_0,v_0,w_0)$ 近似替代，其行列式就是 $\mathrm{Jacobi}$ 行列式 ${\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}|}_{(u_0,v_0,w_0)}$．如果 $\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}>0$ 恒成立，则称 $f$ 是保向的; 如果 $\left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|=1$ 恒成立，则称 $f$ 是保体积的．

$\mathrm{25.4.6}$ 重积分的变量代换

我们可以用微分形式的外微分来理解重积分的变量代换．

设三重积分的重积分元为 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ ，在 $O-xyz$ 右手坐标系中，正是边长为 $\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}y$, $\mathrm{d}z$ 的小方体的体积．故我们合理地把 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 记为 $\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z.$ 设坐标变换 $T:D\subset {\mathbf{R}}^3\to {\mathbf{R}}^3$ 为

x = x (u, v, w), y = y (u, v, w), z = z (u, v, w),$$x=x(u,v,w),y=y(u,v,w),z=z(u,v,w),$$

并记 $\mathrm{du}\mathrm{dv}\mathrm{dw}$ 为 $\mathrm{du}\wedge \mathrm{dv}\wedge \mathrm{dw}$ 取微分，并根据外积运算，有

d x wedge d y wedge d z = frac ∂ (x , y , z)∂ (u , v , w) d u wedge d v wedge d w. (25.16)$$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\mathrm{d}u\wedge \mathrm{d}v\wedge \mathrm{d}w.\text{\hspace{1em}(25.16)}$$

由 $(25.16)$，前面讲过的重积分变量代换公式就很容易地变成

l ∫_ T (D) f (x, y, z) d x wedge d y wedge d z = ∫_ D f (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)) frac ∂ (x , y , z)∂ (u , v , w) d u wedge d v wedge d w. (25.17)$$\begin{array}{l}{\int }_{T(D)}f(x,y,z)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z\\ ={\int }_{D}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\mathrm{d}u\wedge \mathrm{d}v\wedge \mathrm{d}w.\end{array}\text{\hspace{1em}(25.17)}$$

注

$(25.17)$ 最大的好处是无需对 $\mathrm{Jacobi}$ 行列式加上绝对值．这正是设计微分形式这个抽象的数学工具的目的之一．注意到 $\mathrm{dx}\wedge \mathrm{dy}\wedge \mathrm{dz}$ 中外积的次序是重要的，而 $\mathrm{dx}\wedge \mathrm{dy}\wedge \mathrm{dz}=\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}$ 被称为正体积元是因为外积的次序与 $O-xyz$ 右手系的次序一致，而 $\mathrm{dy}\wedge \mathrm{dx}\wedge \mathrm{dz}=-\mathrm{dx}\mathrm{dy}\mathrm{dz}=\mathrm{dy}\mathrm{dx}\mathrm{dz}$．类似的结论对 $n$ 重积分也成立．

例题 $25.4.4$

极坐标变换 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$ 有

d x wedge d y = frac ∂ (x , y)∂ (r , θ) d r wedge d θ = r d r wedge d θ .$$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}\mathrm{d}r\wedge \mathrm{d}\theta =r\mathrm{d}r\wedge \mathrm{d}\theta .$$

$\mathrm{25.4.7}$ 一般的 $Stokes$ 公式

先看 $Green$ 公式．设 $D$ 是 ${\mathbf{R}}^2$ 中的区域，$\partial D$ 是 $D$ 的边界，取右手系的诱导定向，于是就有

oint_ ∂ D P d x + Q d y = iint_ D (frac ∂ Q∂ x - frac ∂ P∂ y) d x d y = iint_ D (frac ∂ Q∂ x - frac ∂ P∂ y) d x wedge d y,$${\oint }_{\partial D}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y,$$

如记 $\omega =P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$ 则可证 $\mathrm{d}\omega =\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y,$ 因而有

oint_ ∂ D ω = ∫_ D d ω .$${\oint }_{\partial D}\omega ={\int }_D\mathrm{d}\omega .$$

再看 $Stokes$ 公式．设 $\Sigma$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 中的曲面，$\partial \Sigma$ 是 $\Sigma$ 边界．也取右手系的诱导定向，如记 $\omega =P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z$，就有

oint_ ∂ Σ ω = ∫_ Σ d ω .$${\oint }_{\partial \Sigma }\omega ={\int }_{\Sigma }\mathrm{d}\omega .$$

对于 $Gauss$ 公式，记 $\Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 中的区域，$\partial \Omega$ 是 ${\mathbf{R}}^3$ 的边界，取右手系的诱导定向，记 $\omega =Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$，有

oint_ ∂ Ω ω = ∫_ Ω d ω .$${\oint }_{\partial \Omega }\omega ={\int }_{\Omega }\mathrm{d}\omega .$$

最后回顾 $Newton$-$Leibniz$ 公式

∫_ a ^ b d f (x) = f (x) | _ a ^ b,$${\int }_a^b\mathrm{d}f(x)=f(x){|}_a^b,$$

如果将上式右端视为 $0$ -形式 $f(x)$ 在区间 $D=[a,b]$ 的诱导定向边界 $\partial D=\{a,b\}$ 上的积分，那么上式就可以表为

∫_ ∂ D f = ∫_ D d f.$${\int }_{\partial D}f={\int }_D\mathrm{d}f.$$

这样，$Newton$-$Leibniz$ 公式，$Green$ 公式，$Gauss$ 公式和 $Stokes$ 公式就都可以统一地写成如下形式:

oint_ ∂ M ω = ∫_ M d ω .$${\oint }_{\partial M}\omega ={\int }_M\mathrm{d}\omega .$$

这个式子统称为一般的 $Stokes$ 公式．它说明了，高次的微分形式 $\mathrm{d}\omega$ 在给定区域 $M$ 上的积分等于低一次的微分形式 $\omega$ 在低一维的区域边界 $\partial M$ 上的积分．$Stokes$ 公式是单变量情形的 $Newton$-$Leibniz$ 公式在多变量情形的推广，是数学分析中最精彩的结论之一．读者在今后的课程中还会看到它的广泛应用．