§$19.2$ 全微分

$\mathrm{19.2.1}$ 全微分的定义与基本性质

为方便起见，这里仅讨论二元函数。设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域上有定义。如果 $\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$ 可以表示为

Δ z = A Δ x + B Δ y + o (r) (r arrow 0),$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(r)(r\to 0),$$

其中 $A,B$ 是两个仅与点 $(x_0,y_0)$ 有关而与 $\Delta x,\Delta y$ 无关的常数， $o(r)$ 是当 $r\to 0$ 时关于 $r$ 的高阶无穷小量， $r=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$ ，则称 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，且称 $A\Delta x+B\Delta y$ 是函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的全微分，记作

d z = A Δ x + B Δ y.$$\mathrm{d}z=A\Delta x+B\Delta y.$$

习惯上，记 $\Delta x=\mathrm{d}x,\Delta y=\mathrm{d}y$ ，于是全微分 $\mathrm{dz}$ 又可以写为

d z = A d x + B d y.$$\mathrm{d}z=A\mathrm{d}x+B\mathrm{d}y.$$

从全微分的定义可知，如果函数 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，那么在点 $(x_0,y_0)$ 附近有

f (x _ 0 + Δ x, y _ 0 + Δ y) ≈ f (x _ 0, y _ 0) + A Δ x + B Δ y.$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+A\Delta x+B\Delta y.$$

上式右端是一个线性函数，因此可微的意义在于在点 $(x_0,y_0)$ 附近函数可用关于 $\Delta x$ 与 $\Delta y$ 的一个线性函数近似代替．

全微分具有下列性质：

($1$) 如果 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，则

A = frac ∂ f∂ x (x _ 0, y _ 0), B = frac ∂ f∂ y (x _ 0, y _ 0);$$A=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),B=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0);$$

($2$) 若 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，则 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续。

由性质($1$)知，如果 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微，则 $f$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的全微分是

d f = frac ∂ f∂ x (x _ 0, y _ 0) d x + frac ∂ f∂ y (x _ 0, y _ 0) d y.$$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\mathrm{d}y.$$

类似地可定义高阶全微分

d ^ n f = d (d ^ n - 1 f) = (d x frac ∂∂ x + d y frac ∂∂ y) ^ n f,$${\mathrm{d}}^{n}f=\mathrm{d}({\mathrm{d}}^{n-1}f)={\left(\mathrm{d}x\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{d}y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^{n}f,$$

其中 ${\left(\mathrm{d}x\frac{\partial }{\partial x}+\mathrm{d}y\frac{\partial }{\partial y}\right)}^n$ 是将 $\mathrm{d}x$， $\mathrm{d}y$， $\frac{\partial }{\partial x}$ ， $\frac{\partial }{\partial y}$ 视为通常的量按照二项式定理展开而得到的对 $f$ 的一个形式记号，实际上是一个微分算子．

全微分的几何意义 设 $z=f(x,y)$ 是空间 ${\mathbf{R}}^3$ 中的曲面，如果 $f$ 可微，那么在点 $p_0(x_0,y_0,z_0)$ 附近，曲面可以用它在点 $p_0$ 的切平面近似代替．其差是关于 $r=\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$ 的一个高阶无穷小量，切平面由两个线性无关的切向量 ${\tau }_x,{\tau }_y$ 张成，其法向量为

boldsymbol n = (frac ∂ f∂ x (x _ 0, y _ 0), frac ∂ f∂ y (x _ 0, y _ 0), - 1).$$\mathbf{n}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),-1\right).$$

与一元函数的情况类似，全微分可用于近似计算与估计误差．以二元函数为例，

f (x _ 0 + Δ x, y _ 0 + Δ y) ≈ f (x _ 0, y _ 0) + frac ∂ f∂ x (x _ 0, y _ 0) Δ x + frac ∂ f∂ y (x _ 0, y _ 0) Δ y$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y$$

就是 $(x_0,y_0)$ 附近的一个近似公式，

Δ z ≈ frac ∂ f∂ x (x _ 0, y _ 0) Δ x + frac ∂ f∂ y (x _ 0, y _ 0) Δ y$$\Delta z\approx \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\Delta y$$

就是点 $(x_0,y_0)$ 附近的一个近似的误差估计式（参见上册 $\mathrm{6.3.2}$ 小节中的例题）.

例 $19.2.1$

求 $A=\sqrt{1-(1.004{)}^2+(1.994{)}^2}$ 的近似值．

解

取 $z=f(x,y)=\sqrt{1-x^2+y^2}$ ， $x_0=1$ ， $y_0=2$ ， $\Delta x=0.004$ ， $\Delta y=-0.006$．计算得

frac ∂ f∂ x (1, 2) = - frac 12, frac ∂ f∂ y (1, 2) = 1.$$\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=-\frac{1}{2},\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1.$$

于是 $A=f(1.004,1.994)\approx f(1,2)-\frac{1}{2}\cdot (0.004)+1\cdot (-0.006)=1.992$ .

$\mathrm{19.2.2}$ 多元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系

多元函数在一个点处的连续性、偏导数存在性及可微性之间有下列关系：

由此可得到证明一个函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 不可微的常用方法如下：

($1$) $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点至少有一个偏导数不存在；

($2$) $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点不连续；

($3$) 从定义出发证明 $\Delta f-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y\ne o(r)$ .

例 $19.2.2$

设 $f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ ，证明：

($1$) $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点连续;

($2$) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0),\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ 都存在;

($3$) $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点不可微．

证

($1$) 由于 $|\Delta f|=|\Delta x{|}^{1/2}|\Delta y{|}^{1/2}$ ，于是

lim _ (Δ x, Δ y) arrow (0, 0) f (x, y) = lim _ (Δ x, Δ y) arrow (0, 0) [ f (0, 0) + Δ f ] = 0 = f (0, 0).$$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)=\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }[f(0,0)+\Delta f]=0=f(0,0).$$

($2$) 直接按定义计算得

frac ∂ f∂ x (0, 0) = lim _ Δ x arrow 0 frac f (Δ x , 0) - f (0 , 0)Δ x = 0,$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x,0)-f(0,0)}{\Delta x}=0,$$frac ∂ f∂ y (0, 0) = lim _ Δ y arrow 0 frac f (0 , Δ y) - f (0 , 0)Δ y = 0.$$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(0,\Delta y)-f(0,0)}{\Delta y}=0.$$

($3$) 由于

Δ f - f _ x (0, 0) Δ x - f _ y (0, 0) Δ y = | Δ x | ^ frac 12 | Δ y | ^ frac 12,$$\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y=|\Delta x{|}^{\frac{1}{2}}|\Delta y{|}^{\frac{1}{2}},$$

取 $\Delta x=\Delta y\to 0$ ，则

frac Δ f - f _ x (0 , 0) Δ x - f _ y (0 , 0) Δ yr = frac | Δ x | ^ frac 12 | Δ y | ^ frac 12sqrt (Δ x) ^ 2 + (Δ y) ^ 2 longrightarrow frac 1sqrt 2 ≠ 0,$$\frac{\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y}{r}=\frac{|\Delta x{|}^{\frac{1}{2}}|\Delta y{|}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}⟶\frac{1}{\sqrt{2}}\ne 0,$$

所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点不可微．

$f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微时，成立无穷小增量公式：

f (x _ 0 + Δ x, y _ 0 + Δ y) = f (x _ 0, y _ 0) + f _ x (x _ 0, y _ 0) Δ x + f _ y (x _ 0, y _ 0) Δ y + o (| Δ x | + | Δ y |).$$f\left(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y\right)=f\left(x_0,y_0\right)+f_x\left(x_0,y_0\right)\Delta x+f_y\left(x_0,y_0\right)\Delta y+o(|\Delta x|+|\Delta y|).$$

上述例子说明仅有 $f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0)$ 存在还不足以保证二维无穷小增量公式成立．这与一维无穷小增量公式（上册 $159$ 页 $6.1$）成立的条件是不一样的，由此可以体会一元导数与多元偏导数的区别．

例 $19.2.3$

设 $f(x,y)=|x-y|\phi (x,y)$ ，其中 $\phi (x,y)$ 在点 $(0,0)$ 的一个邻域上有定义，要求给函数 $\phi (x,y)$ 加上适当的条件，使得

($1$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 连续;

($2$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 存在偏导数;

($3$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 可微．

解

($1$) 由于 $f(0,0)=0$ ，而在点 $(0,0)$ 附近

| f (x, y) | ≤slant 2 sqrt x ^ 2 + y ^ 2 | φ (x, y) |,$$|f(x,y)|⩽2\sqrt{x^2+y^2}|\phi (x,y)|,$$

于是当

lim _ (x, y) arrow (0, 0) sqrt x ^ 2 + y ^ 2 φ (x, y) = 0$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\sqrt{x^2+y^2}\phi (x,y)=0$$

时， $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点连续．

特别地，当 $\phi (x,y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有界时， $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 连续．

($2$) 由于单侧导数

r l(frac ∂ f∂ x) _ ± (0, 0)&= lim _ x arrow 0 ^ ± frac f (x , 0) - f (0 , 0)x&= lim _ x arrow 0 ^ ± frac ± x φ (x , 0)x = ± lim _ x arrow 0 ^ ± φ (x, 0),$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{\pm }(0,0)& ={\lim }_{x\to 0^{\pm }}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}\\ & ={\lim }_{x\to 0^{\pm }}\frac{\pm x\phi (x,0)}{x}=\pm {\lim }_{x\to 0^{\pm }}\phi (x,0),\end{array}$$

从而当 ${\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0)=-{\lim }_{x\to 0^{-}}\phi (x,0)$ 时， $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)={\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0).$

同理当 ${\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)=-{\lim }_{y\to 0^{-}}\phi (0,y)$ 时， $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)={\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)$．特别地，当 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\phi (x,y)=0$ 时， $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.$

($3$) 由于

r l & f (x, y) - frac ∂ f∂ x (0, 0) x - frac ∂ f∂ y (0, 0) y & = | x - y | φ (x, y) - [ lim _ x → 0 ^ + φ (x, 0) ] x - [ lim _ y → 0 ^ + φ (0, y) ] y & = { l l [ φ (x, y) - lim _ x → 0 ^ + φ (x, 0) ] x - [ φ (x, y) + lim _ y → 0 ^ + φ (0, y) ] y, & text 若 x ≥slant y, - [ φ (x, y) + lim _ x → 0 ^ + φ (x, 0) ] x + [ φ (x, y) - lim _ y → 0 ^ + φ (0, y) ] y, & text 若 x < y, .$$\begin{array}{rl}& f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y\\ & =|x-y|\phi (x,y)-[{\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0)]x-[{\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)]y\\ & =\{\begin{array}{ll}[\phi (x,y)-{\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0)]x-[\phi (x,y)+{\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)]y,& \text{若}x⩾y,\\ -[\phi (x,y)+{\lim }_{x\to 0^{+}}\phi (x,0)]x+[\phi (x,y)-{\lim }_{y\to 0^{+}}\phi (0,y)]y,& \text{若}x<y,\end{array}\end{array}$$

由此可以推出，当

lim _ (x, y) arrow (0, 0) φ (x, y) = 0$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\phi (x,y)=0$$

时， $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$ 且 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 点可微．

$\mathrm{19.2.3}$ 思考题

思考题

$1$．为什么说 $f_x(x_0,y_0)$ 存在就能保证一元函数 $f(x,y_0)$ 在点 $x_0$ 连续？由此能否进一步断言：对充分接近 $y_0$ 的 $y_1$ ，一元函数 $f(x,y_1)$ 在点 $x_0$ 连续？

$2$．证明全微分的性质 ($1$), ($2$).

$3$．举例说明：

($1$) $f(x,y)$ 在某一点的邻域内存在偏导数，但在该点不一定连续，从而不一定可微；

($2$) $f(x,y)$ 在某一点连续，但在该点偏导数不一定存在，从而不一定可微；

($3$) $f(x,y)$ 在某一点可微，但在该点偏导数不一定连续．

$4$．证明：若 $f_x(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 存在， $f_y(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可微．

$5$．设 $z=f(x,y)$ 在开集 $D=(a,b)\times (c,d)$ 上可微，且全微分 $\mathrm{d}z$ 恒为零。问 $f(x,y)$ 在 $D$ 上是否应取常数值？证明你的结论。

$\mathrm{19.2.4}$ 练习题

练习题

$1$．设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{|x-y|}}{x^2+y^2}\sin (x^2+y^2),& x^2+y^2\ne 0,\\ 0,& x^2+y^2=0,\end{array}$

讨论：

($1$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 是否连续？

($2$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 是否可微？

$2$．设 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}xy\sin \frac{1}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0,\\ 0,& x^2+y^2=0.\end{array}$

证明：

($1$) $f_x(0,0),f_y(0,0)$ 都存在；

($2$) $f_x(0,0),f_y(0,0)$ 在点 $(0,0)$ 不连续；

($3$) $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 可微．

（本题也说明从可微不能推出偏导数连续.）

$3$．设 $f(x,y,z)$ 在开集 $D$ 上有定义， $f_x(x,y,z)$ 与 $f_y(x,y,z)$ 在 $D$ 上有界，且对固定的 $(x,y)$， $f(x,y,z)$ 是 $z$ 的连续函数。证明： $f(x,y,z)$ 在 $D$ 上连续。

$4$．求 $u=\ln (1+x^2+y^2)$ 在 $(x,y)=(1,2)$ 处的全微分．

$5$．已测得一圆柱体的底圆直径 $D_0=10.44$ ，高 $H_0=18.36$ ，且测量误差 $|\Delta D|⩽0.02,|\Delta H|⩽0.01$ 。试估计用体积公式 $V=\frac{1}{4}\pi D^{2}H$ 计算时的绝对误差 $\Delta V$ 与相对误差 $\Delta V/V$ 。

$6$. $f(x,y)$ 定义在矩形 $I=[a,b]\times [c,d]$ 上，且 $f_y$ 在 $I$ 上连续，证明： $f(x,y)$ 对 $y$ 满足一致 $Lipschitz$ 条件，即 $\exists L>0$ ，使得 $\forall (x,y_1),(x,y_2)\in I$ ，都有

| f (x, y _ 1) - f (x, y _ 2) | ≤slant L | y _ 1 - y _ 2 |,$$\left|f(x,y_1)-f(x,y_2)\right|⩽L\left|y_1-y_2\right|,$$

其中 $L$ 与 $x$ 无关．

$7$．若函数 $f(x,y)$ 的偏导数 $f_x$ 和 $f_y$ 在区域 $D$ 内存在，且 $\forall (x,y)\in D,f_x(x,y)=f_y(x,y)=0$．证明： $f(x,y)$ 在 $D$ 上为常值函数．

$8$．设 $\Omega \in {\mathbf{R}}^2$ 是开区域， $u(x,y),v(x,y)$ 在 $\Omega$ 内满足

frac ∂ u∂ x = frac ∂ v∂ y, frac ∂ u∂ y = - frac ∂ v∂ x, u ^ 2 + v ^ 2 = C,$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x},u^2+v^2=C,$$

其中 $C$ 为常数，证明： $u(x,y$)， $v(x,y)$ 在 $\Omega$ 上均为常值函数．

$9$．设 $f(x,y)$ 在 $G=\{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}$ 上有定义．若 $f(x,0)$ 在点 $x=0$ 处连续，且 $f_y(x,y)$ 在 $G$ 上有界．证明： $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．