§1.4 逻辑符号与对偶法则

在数学中广泛使用从数理逻辑中借用来的两个逻辑符号，即 $\forall$ 和 $\exists$ 。这样就可以将许多带有变元的数学命题或叙述 (Statement) 符号化，从而得到既简单又准确的表达方式。更为重要的是，在学习了本节所介绍的对偶法则后，可以很容易将否定的命题或叙述用正面的方式 (即肯定的方式) 表达出来，这在数学分析和其他许多课程的学习中是很基本的一种方法。

首先要了解这两个逻辑符号的确切意义。

符号 $\forall$ 是从大写字母 $A$ 绕中心旋转而得到的．它的意义与英文单词 All 直接有关，译成中文就是“对所有”“对任意”“对任何”或“对每一个”。

符号 $\exists$ 是从大写字母 $\mathsf{E}$ 绕中心旋转而得到的．它的意义与英文单词 Exist 一致，译成中文就是“存在”或“有”。

举例来说，如何刻画一个数列 $\{a_n\}$ 有界？如果不用数学符号的话，则可说成为：存在一个正数，使数列的每一项的绝对值都以它为界，也就是说都不超过这个正数。如果用上述逻辑符号，则可以写为

∃ M > 0, ∀ n, text 使得 | a _ n | ≤slant M (text 成立). (1.3)$$\exists M>0,\forall n,\text{使得}|a_n|⩽M(\text{成立}).\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

当然初学者很可能会觉得这两个不同说法并没有多大差别，而且在后一个说法中还引进了两个陌生的符号，何必呢？

现在提出一个新的问题，即如何刻画一个数列 $\{a_n\}$ 无界？

从定义知道，数列无界的概念是作为数列有界概念的否定而引进的。因此问题就变成如何去刻画数列 $\{a_n\}$ 不是有界的？这在很多场合是不能避免的问题。

例如，假定你要证明的一个命题是：若数列满足条件 $\mathbf{P}$ ，则必定有界。如果你打算用反证法，则证明的第一句话应当是：设有一个数列 $\{a_n\}$ 满足条件 $\mathbf{P}$ ，但同时 $\{a_n\}$ 无界。如果你不能够将“ $\{a_n\}$ 无界”这个反证法的前提用正面方式表达出来，而只知道无界就是有界的否定的话，那么你的反证法证明就做不下去了。

现在从 $(1.3)$ 出发来看如何导出无界的正面叙述。在 $(1.3)$ 中的第一句话“ $\exists M>0$ ”，即存在一个正数，它具有后两句中所规定的性质。因此数列 $\{a_n\}$ 无界就应当是它的反面，即不存在由后两句规定的性质的正数（这里我们仍然没有前进一步）。换一个说法，即每一个正数都不具有由 $(1.3)$ 后两句所规定的性质。这样就可以将数列 $\{a_n\}$ 无界从“不是有界的”改写成

∀ M > 0, text 不成立 " ∀ n, text 使得 | a _ n | ≤slant M".$$\forall M>0,\text{ 不成立 }"\forall n,\text{ 使得 }|a_n|⩽M".$$

然后再看，如何将“ $\forall n$，使得 $|a_n|⩽M$ ”的否定说法改为正面叙述。可以看出，既然不是对每个 $n$ ，成立 $|a_n|⩽M$ ，那么就等于说至少存在一个 $n$ ，使得 $|a_n|⩽M$ 不成立。这样我们又前进了一步，即可以将数列 $\{a_n\}$ 无界写为

∀ M > 0, ∃ n, text 不成立 " | a _ n | ≤slant M".$$\forall M>0,\exists n,\text{ 不成立 }"|a_n|⩽M".$$

最后， $|a_n|⩽M$ 的否定当然是 $|a_n|>M$ ，因此就得到数列 $\{a_n\}$ 无界的新的叙述为

∀ M > 0, ∃ n, text 使得 | a _ n | > M. (1.4)$$\forall M>0,\exists n,\text{使得}|a_n|>M.\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

由于其中不出现否定性的词，因此将它称为无界概念的正面叙述。又由于它是从叙述 $(1.3)$ 的否定得来的，因此这就是否定说法的正面叙述的一个例子。

比较 $(1.3)$ 和 $(1.4)$ ，可见前一个叙述中的 $\forall$ 和 $\exists$ 在后一个叙述中的对应位置上恰好改为 $\exists$ 和 $\forall$ ，还有最后一句从“ $|a_n|⩽M$ ”换为恰恰相反的“ $|a_n|>M$ ”。这就是对偶法则。

它的一般形式可以表达如下。设命题 $P$ 可写为

p _ 1 q _ 1, p _ 2 q _ 2, … , p _ n q _ n, text 使得 q _ n + 1 (text 成立 ), (1.5)$$p_1{q}_1,p_2{q}_2,\dots ,p_n{q}_n,\text{ 使得 }{q}_{n+1}(\text{ 成立 }),\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

其中 $p_i(i=1,2,\cdots ,n)$ 为逻辑符号 $\forall$ 或 $\exists$ ；而 $q_i(i=1,2,\cdots ,n+1)$ 代表普通的数学表达式，如在 $(1.3)$ 中的 $M>0$ ， $n$ ， $|a_n|⩽M$ 等。这里对“命题”作广义理解，它可以是数学中任何叙述、断言、定义等 ^① 。例如， $P$ 可以是数列有界的定义，也可以是对一个数列的有界性的断言。

对偶法则

设命题 $P$ 为 $(1.5)$ 所表示。则为了得到命题 $P$ 的否命题的正面叙述，只要将 $(1.5)$ 中的所有逻辑符号 $p_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 从 $\forall (\exists )$ 改成 $\exists (\forall )$ ，并将最后的 $q_{n+1}$ 改为它的否定式即可。

再举几个例子。其中后两个例子取自数列极限理论，初学者可以在今后参考。

例题1.4.1

数集 $A$ 有界，即是

∃ M > 0, ∀ x ∈ A, text 使得 | x | ≤slant M.$$\exists M>0,\forall x\in A,\text{使得}|x|⩽M.$$

它的否定，即数集 $A$ 无界，就是

∀ M > 0, ∃ x ∈ A, text 使得 | x | > M.$$\forall M>0,\exists x\in A,\text{使得}|x|>M.$$

例题1.4.2

数列 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$ ，按定义为

∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n > N, text 使得 | a _ n - a | < ε .$$\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N,\text{使得}|a_n-a|<\epsilon .$$

它的否定，即数列 $\{a_n\}$ 不收敛于 $a$ ，就是

∃ ε_ 0 > 0, ∀ N, ∃ n > N, text 使得 | a _ n - a | ≥slant ε_ 0.$$\exists {\epsilon }_0>0,\forall N,\exists n>N,\text{使得}|a_n-a|⩾{\epsilon }_0.$$

在这里的第一句是存在一个特定的数 $\epsilon$ ，按照习惯，将它记为 ${\epsilon }_0$ 是有好处的。

例题1.4.3

数列 $\{a_n\}$ 收敛，按定义为

∃ a, ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n > N, text 使得 | a _ n - a | < ε .$$\exists a,\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n>N,\text{使得}|a_n-a|<\epsilon .$$

它的否定，即数列 $\{a_n\}$ 发散，就是

∀ a, ∃ ε_ 0 > 0, ∀ N, ∃ n > N, text 使得 | a _ n - a | ≥slant ε_ 0.$$\forall a,\exists {\epsilon }_0>0,\forall N,\exists n>N,\text{使得}|a_n-a|⩾{\epsilon }_0.$$

最后，以注解的形式对本节的内容作几点补充。

注 1

前面已经讲到，符号“ $\forall$ ”用中文表达时有多种方式。同样在英文中它可以表达为“for any”“for all”“for every”“for each”等。著名数学家 $Halmos$ (哈尔莫斯) 在《如何写数学》一文 (见 [20] 的 $142$ 页) 中提出，在数学写作中决不要用“for any”，而应当用“for every”或“for each”。我们觉得这是很有见地的建议。因为“任意”或“任何”的意思太不清楚，到底是指一个还是指所有的？笔者曾经检查了一些数学著作和论文，发现 $Halmos$ 的意见已为很多作者所采纳。因此，我们建议初学者在看到 $\forall$ 时也以理解为“对每一个”或“对每一个给定的”为好。

注 2

符号 $\forall$ 和 $\exists$ 在数理逻辑中分别称为全称量词和存在量词。对偶法则是数理逻辑中的一个规则(的重复使用)。它实际上来自日常生活中的逻辑思维，只是经过上述改造后在数学中更便于使用而已。有了这个工具之后，不论 $(1.5)$ 有多长，都可以轻而易举地将它的否定说法的正面叙述立即写出来，“脑筋都不要动”。这比起重复从 $(1.3)$ 到 $(1.4)$ 的思维过程要方便得多了。如果读者对数理逻辑有兴趣，这里可以推荐获得“普利策文学奖”的一本著名的科普读物[23]。读者在其中不仅会找到逻辑，还会遇到许多意想不到的内容，包括美术和音乐。

练习题

以正面方式写出下列命题或叙述的否定 (有几题可在以后再做):

(1) 数集 $A$ 有上界;

(2) 数集 $A$ 的最小值是 $b$ ;

(3) $f$ 是区间 $(a,b)$ 上的单调增加函数;

(4) $f$ 是区间 $(a,b)$ 上的单调函数;

(5) $A\subset B$ ;

(6) $A-B\ne \varnothing$ ;

(7) 数列 $\{x_n\}$ 是无穷小量;

(8) 数列 $\{x_n\}$ 是正无穷大量．

第二章 数列极限

极限理论是数学分析的核心，贯穿在数学分析的全部内容中。本章只限于介绍数列极限的基础部分，其他内容将在以后有关章节中介绍。

本章的前三节为数列极限的最基本的内容。在 §$2.1$ 中含有收敛数列的定义和用适当放大法验证一些给定的数列收敛于已知极限。在 §$2.2$ 中围绕数列收敛和发散的讨论举了一些基本的例题。由于单调数列在本章占有中心地位，关于单调数列的讨论单独列为 §$2.3$ 。在 §$2.4$ 和 §$2.5$ ，分别对 $Cauchy$ 命题、$Stolz$ (施托尔茨) 定理、自然对数的底 $e$ 和 $Euler$ (欧拉) 常数 $\gamma$ 作专题讨论，并给出有关命题的完整证明。在 §$2.6$ 重点介绍关于迭代生成数列的几何方法。 §$2.7$ 为学习要点和两组参考题。在 §$2.8$ 中收入了关于数列极限的四次习题课教案，供教师参考。

数列极限的基础是实数系的基本定理，其中除单调有界数列的收敛定理外均放在下一章中。数列的上极限和下极限、压缩映射原理等也在下一章中介绍。