9.5 线性变换的矩阵表示

本节来建立线性变换与矩阵之间的一一对应关系。

一、线性变换在给定基下的矩阵

设 $\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换。在 $V$ 中取定一组基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$，则 $\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n)$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性表示。设

σ(α₁) = a₁1α₁ + a₂1α₂ + … + aₙ1αₙ, σ(α₂) = a₁2α₁ + a₂2α₂ + … + aₙ2αₙ, vdots σ(αₙ) = a₁nα₁ + a₂nα₂ + … + aₙnαₙ, (9.3)$$\{\begin{array}{l}\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1)=a_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{21}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{n1}{\mathbf{\alpha }}_n,\\ \sigma ({\mathbf{\alpha }}_2)=a_{12}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{22}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{n2}{\mathbf{\alpha }}_n,\\ ⋮\\ \sigma ({\mathbf{\alpha }}_n)=a_{1n}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{2n}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{nn}{\mathbf{\alpha }}_n,\end{array}\text{\hspace{1em}(9.3)}$$

为方便起见，将式 (9.3) 形式地表示为

(σ(α₁), σ(α₂), …, σ(αₙ)) = (α₁, α₂, …, αₙ) a₁1 & a₁2 & … & a₁n a₂1 & a₂2 & … & a₂n vdots & vdots & & vdots aₙ1 & aₙ2 & … & aₙn , (9.4)$$(\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n))=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),\text{\hspace{1em}(9.4)}$$

即

(σ(α₁), σ(α₂), …, σ(αₙ)) = (α₁, α₂, …, αₙ)A, 其中 A = (aᵢj).$$(\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n))=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A},\text{其中 }\mathbf{A}=(a_{ij}).$$

上面的方阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是由线性变换 $\sigma$ 唯一确定的。当 $\sigma$ 给定后，$\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n)$ 就确定了，$\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列就是 $\sigma ({\mathbf{\alpha }}_i)$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标 ($i=1,2,\cdots ,n$)。

反过来，若给定矩阵 $\mathbf{A}$，则由式 (9.4) 可唯一确定 $\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n)$，从而线性变换 $\sigma$ 也唯一确定了。因此式 (9.4) 给出了线性变换 $\sigma$ 与矩阵 $\mathbf{A}$ 之间的一个一一对应的关系。

定义 6 线性变换的矩阵

设 $\sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 是 $V$ 的一组基。如果

(σ(α₁), σ(α₂), …, σ(αₙ)) = (α₁, α₂, …, αₙ)A,$$(\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n))=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A},$$

则称 $\mathbf{A}$ 为线性变换 $\sigma$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的矩阵。

例 15 转置变换的矩阵表示

设 $V$ 为全体二阶实矩阵。对于矩阵的加法与数乘运算，$V$ 是一个四维线性空间。记 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 为第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $1$，其余元素为零的二阶矩阵，则 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22}$ 是 $V$ 的一组基。定义 $\sigma$ 为对任意 $\mathbf{A}\in V,\sigma (\mathbf{A})={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$。求 $\sigma$ 在基 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22}$ 下的矩阵 $\mathbf{A}$。

解

直接计算基矩阵的像：

σ(E₁1) = E₁1^T = E₁1, σ(E₁2) = E₁2^T = E₂1,$$\sigma ({\mathbf{E}}_{11})={\mathbf{E}}_{11}^{\mathrm{T}}={\mathbf{E}}_{11},\sigma ({\mathbf{E}}_{12})={\mathbf{E}}_{12}^{\mathrm{T}}={\mathbf{E}}_{21},$$σ(E₂1) = E₂1^T = E₁2, σ(E₂2) = E₂2^T = E₂2.$$\sigma ({\mathbf{E}}_{21})={\mathbf{E}}_{21}^{\mathrm{T}}={\mathbf{E}}_{12},\sigma ({\mathbf{E}}_{22})={\mathbf{E}}_{22}^{\mathrm{T}}={\mathbf{E}}_{22}.$$

写成形式矩阵相乘形式：

(σ(E₁1), σ(E₁2), σ(E₂1), σ(E₂2)) = (E₁1, E₁2, E₂1, E₂2) 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 .$$(\sigma ({\mathbf{E}}_{11}),\sigma ({\mathbf{E}}_{12}),\sigma ({\mathbf{E}}_{21}),\sigma ({\mathbf{E}}_{22}))=({\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22})\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

因此 $\sigma$ 在基 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22}$ 下的矩阵为

A = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 .$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right).$$

例 16 微分变换的矩阵表示

设 $\mathbf{R}[x{]}_4$ 为全体次数小于 $4$ 的实系数多项式，即

R[x]₄ = {a₀ + a₁ x + a₂ x² + a₃ x³ | aᵢ ∈ R, i = 0, 1, 2, 3}.$$\mathbf{R}[x{]}_4=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3\mid a_i\in \mathbf{R},i=0,1,2,3\}.$$

对于多项式的加法及数与多项式的乘法，$\mathbf{R}[x{]}_4$ 是一个四维线性空间。$f_1=1,f_2=x,f_3=x^2,f_4=x^3$ 是 $\mathbf{R}[x{]}_4$ 的一组基。定义 $\sigma$ 为对任意 $f(x)\in \mathbf{R}[x{]}_4,\sigma [f(x)]=f^{\prime }(x)$。求 $\sigma$ 在基 $f_1,f_2,f_3,f_4$ 下的矩阵 $\mathbf{A}$。

解

求各基元素的导数：

σ(f₁) = f₁' = 0, σ(f₂) = f₂' = 1 = f₁,$$\sigma (f_1)=f_1^{\prime }=0,\sigma (f_2)=f_2^{\prime }=1=f_1,$$σ(f₃) = f₃' = 2x = 2f₂, σ(f₄) = f₄' = 3x² = 3f₃.$$\sigma (f_3)=f_3^{\prime }=2x=2f_2,\sigma (f_4)=f_4^{\prime }=3x^2=3f_3.$$

即

(σ(f₁), σ(f₂), σ(f₃), σ(f₄)) = (f₁, f₂, f₃, f₄) 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 .$$(\sigma (f_1),\sigma (f_2),\sigma (f_3),\sigma (f_4))=(f_1,f_2,f_3,f_4)\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

因此 $\sigma$ 在基 $f_1,f_2,f_3,f_4$ 下的矩阵为

A = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 0 & 0 .$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$

二、坐标的线性变换

从 9.2 节中了解到，在 $n$ 维线性空间 $V$ 中取一组基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 以后，相当于在 $V$ 中以 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为“坐标轴”建立了“坐标系”。$V$ 中的任意元素 $\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n$ 与 ${\mathbf{R}}^n$ 中的向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 之间有一一对应的关系。下面的定理将告诉我们，$V$ 的线性变换也会转化成 ${\mathbf{R}}^n$ 的线性变换。

定理 4 线性变换下坐标的变换公式

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 的线性变换 $\sigma$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的矩阵为 $\mathbf{A}$。对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$，设 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\sigma (\mathbf{\alpha })$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标分别为 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 与 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n{)}^{\mathrm{T}}$，则

y = Ax.$$\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}.$$

证明

已知 $(\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n))=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A}$，且

α = x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ = (α₁, α₂, …, αₙ)x,$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{x},$$σ(α) = y₁ α₁ + y₂ α₂ + … + yₙ αₙ = (α₁, α₂, …, αₙ)y.$$\sigma (\mathbf{\alpha })=y_1{\mathbf{\alpha }}_1+y_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +y_n{\mathbf{\alpha }}_n=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{y}.$$

因为 $\sigma$ 是 $V$ 的线性变换，所以

σ(α) = σ(x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ)$$\sigma (\mathbf{\alpha })=\sigma (x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n)$$= x₁ σ(α₁) + x₂ σ(α₂) + … + xₙ σ(αₙ)$$=x_1\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1)+x_2\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2)+\cdots +x_n\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n)$$= (σ(α₁), σ(α₂), …, σ(αₙ))x = [(α₁, α₂, …, αₙ)A]x$$=(\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n))\mathbf{x}=[({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A}]\mathbf{x}$$= (α₁, α₂, …, αₙ)(Ax).$$=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)(\mathbf{A}\mathbf{x}).$$

于是有 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{y}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)(\mathbf{A}\mathbf{x})$。而 $\sigma (\mathbf{\alpha })$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标是唯一的，故

y = Ax.$$\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}.$$

定理 4 的几何实质

定理4 告诉我们，在 $n$ 维线性空间 $V$ 中取定基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 以后，线性空间 $V$ 的线性变换 $\sigma$ 将 $V$ 中的元素 $\mathbf{\alpha }$ 变成 $\sigma (\mathbf{\alpha })$，在 $V$ 的“模型” ${\mathbf{R}}^n$ 中来看，就相当于是将 ${\mathbf{R}}^n$ 中的向量 $\mathbf{x}$（即 $\mathbf{\alpha }$ 的坐标）变成向量 $\mathbf{y}$（即 $\sigma (\mathbf{\alpha })$ 的坐标），$\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$。其中 $\mathbf{A}$ 是 $\sigma$ 在基下的矩阵。这说明 $n$ 维线性空间中的线性变换都可以转化为 ${\mathbf{R}}^n$ 中的线性变换 $\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}$。

三、不同基下矩阵的相似关系

同一线性变换在不同的基下会有不同的矩阵。这些矩阵之间有什么关系呢？

定理 5 线性变换在不同基下的相似关系

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基，$\sigma$ 为 $V$ 的线性变换。

如果 $\sigma$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 与基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 下的矩阵分别为 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$，从基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 的过渡矩阵为 $\mathbf{P}$，则

B = P⁻1AP.$$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}.$$

证明

已知

(σ(α₁), σ(α₂), …, σ(αₙ)) = (α₁, α₂, …, αₙ)A, (*)$$(\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n))=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A},\text{\hspace{1em}(*)}$$(σ(β₁), σ(β₂), …, σ(βₙ)) = (β₁, β₂, …, βₙ)B, (**)$$(\sigma ({\mathbf{\beta }}_1),\sigma ({\mathbf{\beta }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\beta }}_n))=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)\mathbf{B},\text{\hspace{1em}(**)}$$

且

(β₁, β₂, …, βₙ) = (α₁, α₂, …, αₙ)P. (***)$$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{P}.\text{\hspace{1em}(***)}$$

记 $\mathbf{P}=(p_{ij})$，则 ${\mathbf{\beta }}_i=p_{1i}{\mathbf{\alpha }}_1+p_{2i}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +p_{ni}{\mathbf{\alpha }}_n$ ($i=1,2,\cdots ,n$)。因为 $\sigma$ 是 $V$ 的线性变换，所以

σ(βᵢ) = σ(p₁iα₁ + p₂iα₂ + … + pₙiαₙ) = p₁iσ(α₁) + p₂iσ(α₂) + … + pₙiσ(αₙ),$$\sigma ({\mathbf{\beta }}_i)=\sigma (p_{1i}{\mathbf{\alpha }}_1+p_{2i}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +p_{ni}{\mathbf{\alpha }}_n)=p_{1i}\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1)+p_{2i}\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2)+\cdots +p_{ni}\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n),$$

即

(σ(β₁), σ(β₂), …, σ(βₙ)) = (σ(α₁), σ(α₂), …, σ(αₙ))P.$$(\sigma ({\mathbf{\beta }}_1),\sigma ({\mathbf{\beta }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\beta }}_n))=(\sigma ({\mathbf{\alpha }}_1),\sigma ({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,\sigma ({\mathbf{\alpha }}_n))\mathbf{P}.$$

将该式左端代入 (**)，右端代入 (*)，得

(β₁, β₂, …, βₙ)B = [(α₁, α₂, …, αₙ)A]P.$$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)\mathbf{B}=[({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A}]\mathbf{P}.$$

再根据 (***)，可知

[(α₁, α₂, …, αₙ)P]B = [(α₁, α₂, …, αₙ)A]P,$$[({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{P}]\mathbf{B}=[({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A}]\mathbf{P},$$

即

(α₁, α₂, …, αₙ)(PB) = (α₁, α₂, …, αₙ)(AP).$$({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)(\mathbf{P}\mathbf{B})=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)(\mathbf{A}\mathbf{P}).$$

而 $V$ 中任意元素在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标是唯一的，故 $\mathbf{P}\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{P}$，两端左乘 ${\mathbf{P}}^{-1}$，即得

B = P⁻1AP.$$\mathbf{B}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}.$$

线性变换对角化的理论根源

定理5 告诉我们同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的。因此我们希望找到一组基，使得线性变换在这组基下的矩阵尽量简单，最好是对角矩阵。这就归结为第 6 章中讨论的矩阵相似于对角形的问题，也就是矩阵的对角化问题。

9.5 线性变换的矩阵表示