9.4 线性变换的概念与基本性质

一、线性变换的定义

定义 5 线性变换、像与原像

设 $V$ 为线性空间。如果存在一个从 $V$ 到 $V$ 自身的对应法则 $\sigma$，使得对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$，有唯一的 $V$ 中的元素（记为 $\sigma (\mathbf{\alpha })$）与之对应，而且 $\sigma$ 满足：

(1) 可加性：对任意 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$，有

σ(α + β) = σ(α) + σ(β);$$\sigma (\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=\sigma (\mathbf{\alpha })+\sigma (\mathbf{\beta });$$

(2) 齐次性（数乘性）：对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，有

σ(λα) = λσ(α),$$\sigma (\lambda \mathbf{\alpha })=\lambda \sigma (\mathbf{\alpha }),$$

则称 $\sigma$ 为线性空间 $V$ 的一个线性变换。$\sigma (\mathbf{\alpha })$ 称为 $\mathbf{\alpha }$ 的像，$\mathbf{\alpha }$ 称为 $\sigma (\mathbf{\alpha })$ 的原像。

例 12 矩阵转置变换

设 $V$ 为全体 $n$ 阶实矩阵。对于矩阵的加法与数乘运算，$V$ 是一个线性空间。定义 $\sigma$ 为对任意 $\mathbf{A}\in V,\sigma (\mathbf{A})={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$。验证 $\sigma$ 为 $V$ 的一个线性变换。

解

对任意 $\mathbf{A}\in V$，有唯一的 $\sigma (\mathbf{A})={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\in V$ 与之对应。且对任意 $\mathbf{A},\mathbf{B}\in V$，有

σ(A + B) = (A + B)^T = A^T + B^T = σ(A) + σ(B);$$\sigma (\mathbf{A}+\mathbf{B})=(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}=\sigma (\mathbf{A})+\sigma (\mathbf{B});$$

对任意 $\mathbf{A}\in V$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，有

σ(λA) = (λA)^T = λA^T = λσ(A).$$\sigma (\lambda \mathbf{A})=(\lambda \mathbf{A}{)}^{\mathrm{T}}=\lambda {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\lambda \sigma (\mathbf{A}).$$

所以 $\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换。

例 13 微分变换

设 $n$ 为正整数，$\mathbf{R}[x{]}_n$ 为全体次数小于 $n$ 的实系数多项式，即

R[x]ₙ = {a₀ + a₁ x + … + aₙ-1xⁿ-1 | aᵢ ∈ R, i = 0, 1, …, n-1}.$$\mathbf{R}[x{]}_n=\{a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}\mid a_i\in \mathbf{R},i=0,1,\cdots ,n-1\}.$$

对于多项式的加法及数与多项式的乘法，$\mathbf{R}[x{]}_n$ 是一个线性空间。定义 $\sigma$ 为对任意 $f(x)\in \mathbf{R}[x{]}_n,\sigma [f(x)]=f^{\prime }(x)$。验证 $\sigma$ 为 $\mathbf{R}[x{]}_n$ 的一个线性变换。

解

任取 $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}\in \mathbf{R}[x{]}_n$，有唯一的导多项式

σ[f(x)] = f'(x) = a₁ + 2a₂ x + … + (n-1)aₙ-1xⁿ-2 ∈ R[x]ₙ$$\sigma [f(x)]=f^{\prime }(x)=a_1+2a_{2}x+\cdots +(n-1)a_{n-1}{x}^{n-2}\in \mathbf{R}[x{]}_n$$

与之对应。且由导数运算法则，对任意 $f(x),g(x)\in \mathbf{R}[x{]}_n$，有

σ[f(x) + g(x)] = [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) = σ[f(x)] + σ[g(x)];$$\sigma [f(x)+g(x)]=[f(x)+g(x){]}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)=\sigma [f(x)]+\sigma [g(x)];$$

对任意 $f(x)\in \mathbf{R}[x{]}_n$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，有

σ[λ f(x)] = [λ f(x)]' = λ f'(x) = λσ[f(x)].$$\sigma [\lambda f(x)]=[\lambda f(x){]}^{\prime }=\lambda f^{\prime }(x)=\lambda \sigma [f(x)].$$

所以 $\sigma$ 是 $\mathbf{R}[x{]}_n$ 的一个线性变换。

例 14 矩阵乘法诱导的线性变换

设 $\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶实矩阵。在线性空间 ${\mathbf{R}}^n$（关于向量的加法与数乘运算）中定义 $\sigma$ 为对任意 $\mathbf{\alpha }\in {\mathbf{R}}^n,\sigma (\mathbf{\alpha })=\mathbf{A}\mathbf{\alpha }$。验证 $\sigma$ 为 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个线性变换。

解

对任意 $\mathbf{\alpha }\in {\mathbf{R}}^n$，有唯一的 $\sigma (\mathbf{\alpha })=\mathbf{A}\mathbf{\alpha }\in {\mathbf{R}}^n$ 与之对应。且由矩阵乘法分配律与数乘结合律，对任意 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in {\mathbf{R}}^n$，有

σ(α + β) = A(α + β) = Aα + Aβ = σ(α) + σ(β),$$\sigma (\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=\mathbf{A}(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=\mathbf{A}\mathbf{\alpha }+\mathbf{A}\mathbf{\beta }=\sigma (\mathbf{\alpha })+\sigma (\mathbf{\beta }),$$

对任意 $\mathbf{\alpha }\in {\mathbf{R}}^n$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，有

σ(λα) = A(λα) = λAα = λσ(α).$$\sigma (\lambda \mathbf{\alpha })=\mathbf{A}(\lambda \mathbf{\alpha })=\lambda \mathbf{A}\mathbf{\alpha }=\lambda \sigma (\mathbf{\alpha }).$$

所以 $\sigma$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 的一个线性变换。

二、线性变换的基本性质

设 $\sigma$ 是线性空间 $V$ 的一个线性变换，则 $\sigma$ 具有下面的基本性质：

性质 5 零向量的像

σ(0) = 0.$$\sigma (0)=0.$$

证明

因为 $\sigma (0)=\sigma (0+0)=\sigma (0)+\sigma (0)$，两端减去 $\sigma (0)$，即得 $\sigma (0)=0$。

性质 6 线性组合的保持性

对任意 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$ 及任意 $\lambda ,\mu \in \mathbf{R}$，有

σ(λα + μβ) = λσ(α) + μσ(β).$$\sigma (\lambda \mathbf{\alpha }+\mu \mathbf{\beta })=\lambda \sigma (\mathbf{\alpha })+\mu \sigma (\mathbf{\beta }).$$

更一般地，$\sigma \left({\sum }_{i=1}^m{k}_i{\mathbf{\alpha }}_i\right)={\sum }_{i=1}^m{k}_i\sigma ({\mathbf{\alpha }}_i)$。

证明

由定义5 的加法与数乘保线性立得：

σ(λα + μβ) = σ(λα) + σ(μβ) = λσ(α) + μσ(β).$$\sigma (\lambda \mathbf{\alpha }+\mu \mathbf{\beta })=\sigma (\lambda \mathbf{\alpha })+\sigma (\mu \mathbf{\beta })=\lambda \sigma (\mathbf{\alpha })+\mu \sigma (\mathbf{\beta }).$$

性质 7 像空间（值域）

$\sigma$ 的像集

σ(V) = {σ(α) | α ∈ V}$$\sigma (V)=\{\sigma (\mathbf{\alpha })\mid \mathbf{\alpha }\in V\}$$

是 $V$ 的子空间，称为 $\sigma$ 的像空间（或值域）。

证明

根据 9.1 节中的定理1，只需证 $\sigma (V)$ 对 $V$ 中的加法与数乘运算封闭。

事实上，对任意 $\tilde{\mathbf{\alpha }},\tilde{\mathbf{\beta }}\in \sigma (V)$，存在 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$，使 $\tilde{\mathbf{\alpha }}=\sigma (\mathbf{\alpha }),\tilde{\mathbf{\beta }}=\sigma (\mathbf{\beta })$。于是

tildeα + tildeβ = σ(α) + σ(β) = σ(α + β) ∈ σ(V).$$\tilde{\mathbf{\alpha }}+\tilde{\mathbf{\beta }}=\sigma (\mathbf{\alpha })+\sigma (\mathbf{\beta })=\sigma (\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })\in \sigma (V).$$

对任意实数 $\lambda$，

λtildeα = λσ(α) = σ(λα) ∈ σ(V).$$\lambda \tilde{\mathbf{\alpha }}=\lambda \sigma (\mathbf{\alpha })=\sigma (\lambda \mathbf{\alpha })\in \sigma (V).$$

所以 $\sigma (V)$ 是 $V$ 的子空间。

性质 8 核空间（零空间）

$\ker \sigma$ 是 $V$ 的子空间。其中

kerσ = {α ∈ V | σ(α) = 0}$$\ker \sigma =\{\mathbf{\alpha }\in V\mid \sigma (\mathbf{\alpha })=0\}$$

是零元素的全体原像集，称为 $\sigma$ 的核（或零空间）。

证明

只需证 $\ker \sigma$ 对 $V$ 中的加法与数乘运算封闭。

事实上，对任意 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in \ker \sigma$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，因为 $\sigma (\mathbf{\alpha })=0,\sigma (\mathbf{\beta })=0$。所以

σ(α + β) = σ(α) + σ(β) = 0 + 0 = 0, 即 α + β ∈ kerσ;$$\sigma (\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=\sigma (\mathbf{\alpha })+\sigma (\mathbf{\beta })=0+0=0,\text{即 }\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in \ker \sigma ;$$σ(λα) = λσ(α) = λ0 = 0, 即 λα ∈ kerσ.$$\sigma (\lambda \mathbf{\alpha })=\lambda \sigma (\mathbf{\alpha })=\lambda 0=0,\text{即 }\lambda \mathbf{\alpha }\in \ker \sigma .$$

故 $\ker \sigma$ 是 $V$ 的子空间。

9.4 线性变换的概念与基本性质