9.3 基变换与坐标变换

在 $n$ 维线性空间中，同一元素在不同基下的坐标是不同的。那么，同一元素在不同基下的坐标之间有怎样的关系呢？

一、基变换公式与过渡矩阵

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基。很明显，${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性表示。设

β₁ = p₁1α₁ + p₂1α₂ + … + pₙ1αₙ, β₂ = p₁2α₁ + p₂2α₂ + … + pₙ2αₙ, vdots βₙ = p₁nα₁ + p₂nα₂ + … + pₙnαₙ, (9.1)$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{\beta }}_1=p_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+p_{21}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +p_{n1}{\mathbf{\alpha }}_n,\\ {\mathbf{\beta }}_2=p_{12}{\mathbf{\alpha }}_1+p_{22}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +p_{n2}{\mathbf{\alpha }}_n,\\ ⋮\\ {\mathbf{\beta }}_n=p_{1n}{\mathbf{\alpha }}_1+p_{2n}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +p_{nn}{\mathbf{\alpha }}_n,\end{array}\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

为方便起见，将式 (9.1) 形式地表示为矩阵相乘的形式：

(β₁, β₂, …, βₙ) = (α₁, α₂, …, αₙ) p₁1 & p₁2 & … & p₁n p₂1 & p₂2 & … & p₂n vdots & vdots & & vdots pₙ1 & pₙ2 & … & pₙn . (9.2)$$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\left(\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1n}\\ p_{21}& p_{22}& \cdots & p_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ p_{n1}& p_{n2}& \cdots & p_{nn}\end{array}\right).\text{\hspace{1em}(9.2)}$$

定义 9.1 基变换与过渡矩阵

式 (9.1) 或式 (9.2) 称为基变换公式。矩阵 $\mathbf{P}=(p_{ij})$ 称为从基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 的过渡矩阵。

过渡矩阵 $\mathbf{P}$ 的第 $j$ 列，就是基向量 ${\mathbf{\beta }}_j$ 在原基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标。

定理 2 过渡矩阵的可逆性

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两组基，$\mathbf{P}$ 是从基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 的过渡矩阵，则 $\mathbf{P}$ 是可逆矩阵。

证明

用反证法。已知 $({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{P}$。设 $\mathbf{P}=(p_{ij})$。

若 $\mathbf{P}$ 不可逆，则 $|\mathbf{P}|=0$，于是齐次线性方程组 $\mathbf{P}\mathbf{x}=0$ 有非零解 ${\mathbf{x}}^{\ast }=(x_1^{\ast },x_2^{\ast },\cdots ,x_n^{\ast }{)}^{\mathrm{T}}$。因此

x₁^* β₁ + x₂^* β₂ + … + xₙ^* βₙ = (β₁, β₂, …, βₙ)x^*$$x_1^{\ast }{\mathbf{\beta }}_1+x_2^{\ast }{\mathbf{\beta }}_2+\cdots +x_n^{\ast }{\mathbf{\beta }}_n=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n){\mathbf{x}}^{\ast }$$= [(α₁, α₂, …, αₙ)P]x^* = (α₁, α₂, …, αₙ)(Px^*) = 0$$=[({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{P}]{\mathbf{x}}^{\ast }=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)(\mathbf{P}{\mathbf{x}}^{\ast })=0$$

（$0$ 表示零元素）。这表明 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 线性相关，与 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 是基矛盾。所以 $\mathbf{P}$ 是可逆的。

形式矩阵记号与运算律

此处将 $({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)$ 与 $({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)$ 形式地看成 $1\times n$ 的行矩阵，目的是形式地利用矩阵乘法的结合律来简便运算。

二、坐标变换公式

下面的定理给出了 $n$ 维线性空间中同一元素在不同基下的坐标之间的关系。

定理 3 坐标变换公式

设 $n$ 维线性空间 $V$ 中元素 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 与基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 下的坐标分别为 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 与 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n{)}^{\mathrm{T}}$。

如果从基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 的过渡矩阵为 $\mathbf{P}$，则

x = Py 或 y = P⁻1x,$$\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{y}\text{或}\mathbf{y}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{x},$$

称 $\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{y}$ 或 $\mathbf{y}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{x}$ 为坐标变换公式。

证明

已知 $\mathbf{\alpha }=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)\mathbf{y}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{x}$，且

(β₁, β₂, …, βₙ) = (α₁, α₂, …, αₙ)P.$$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{P}.$$

于是

α = (β₁, β₂, …, βₙ)y = [(α₁, α₂, …, αₙ)P]y = (α₁, α₂, …, αₙ)(Py) = (α₁, α₂, …, αₙ)x.$$\mathbf{\alpha }=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)\mathbf{y}=[({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{P}]\mathbf{y}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)(\mathbf{P}\mathbf{y})=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{x}.$$

因为 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标是唯一的，所以

x = Py.$$\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{y}.$$

由于 $\mathbf{P}$ 可逆，两端左乘 ${\mathbf{P}}^{-1}$ 即得 $\mathbf{y}={\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{x}$。

三、典型例题

例 10 求对称矩阵空间的过渡矩阵

设 $V$ 为全体二阶实对称矩阵。对于矩阵的加法与数乘运算，$V$ 是一个三维线性空间。在 $V$ 中取两组基：

α₁ = 1 & 0 0 & 0 , α₂ = 0 & 0 0 & 1 , α₃ = 0 & 1 1 & 0$${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

与

β₁ = 1 & 0 0 & 1 , β₂ = 1 & 0 0 & -1 , β₃ = 1 & 1 1 & 1 .$${\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_3=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right).$$

求从基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 的过渡矩阵 $\mathbf{P}$。

解

由各基矩阵直接展开：

β₁ = 1 & 0 0 & 1 = α₁ + α₂,$${\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2,$$β₂ = 1 & 0 0 & -1 = α₁ - α₂,$${\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)={\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2,$$β₃ = 1 & 1 1 & 1 = α₁ + α₂ + α₃.$${\mathbf{\beta }}_3=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3.$$

即

(β₁, β₂, β₃) = (α₁, α₂, α₃) 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 .$$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

所求过渡矩阵为

P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1 .$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right).$$

例 11 过渡矩阵与不同基下的坐标计算

在 ${\mathbf{R}}^3$ 中取两组基：

α₁ = (0, 1, 1)^T, α₂ = (1, 0, 1)^T, α₃ = (1, 1, 0)^T$${\mathbf{\alpha }}_1=(0,1,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_2=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\alpha }}_3=(1,1,0{)}^{\mathrm{T}}$$

与

β₁ = (-1, 1, 1)^T, β₂ = (1, -1, 1)^T, β₃ = (1, 1, -1)^T.$${\mathbf{\beta }}_1=(-1,1,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\beta }}_2=(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\beta }}_3=(1,1,-1{)}^{\mathrm{T}}.$$

求从基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 的过渡矩阵 $\mathbf{P}$，并分别求 ${\mathbf{\epsilon }}_1=(1,0,0{)}^{\mathrm{T}}$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 与基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 下的坐标。

解

设 $({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\mathbf{P}$，即

-1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 P.$$\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\mathbf{P}.$$

则

P = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ⁻1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1$$\mathbf{P}={\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$$= 1/2 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 = 1/2 3 & -1 & -1 -1 & 3 & -1 -1 & -1 & 3 .$$=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ -1& 3& -1\\ -1& -1& 3\end{array}\right).$$

设 ${\mathbf{\epsilon }}_1=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)\mathbf{y}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)\mathbf{x}$，则

x = (α₁, α₂, α₃)⁻1ε₁ = 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 ⁻1 1 0 0 = 1/2 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 1 0 0 = 1/2 -1 1 1 ;$$\mathbf{x}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3{)}^{-1}{\mathbf{\epsilon }}_1={\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right);$$y = (β₁, β₂, β₃)⁻1ε₁ = -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 ⁻1 1 0 0 = 1/2 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 1 0 0 = 1/2 0 1 1 .$$\mathbf{y}=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3{)}^{-1}{\mathbf{\epsilon }}_1={\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

故 ${\mathbf{\epsilon }}_1$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 下的坐标为 $\mathbf{x}=\frac{1}{2}(-1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$；在基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$ 下的坐标为 $\mathbf{y}=\frac{1}{2}(0,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

9.3 基变换与坐标变换