9.2 线性空间的基与坐标

第 4 章介绍了有关 $n$ 维向量的一些重要概念，如线性组合、线性相关与线性无关及向量组的秩等。这些概念与相关的性质只涉及 $n$ 维向量的加法与数乘这两种运算，因此对于一般线性空间中的元素（可以不是 $n$ 维向量）也同样适用。以后将在一般线性空间中直接引用这些概念与性质。

为确切起见，我们重述一下线性相关与线性无关的概念：对实线性空间 $V$ 中的元素 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$，如果存在 $m$ 个不全为零的实数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m$，使得

λ₁ α₁ + λ₂ α₂ + … + λₘ αₘ = 0,$${\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1+{\lambda }_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +{\lambda }_m{\mathbf{\alpha }}_m=0,$$

则称 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关，否则称 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性无关。

下面来定义线性空间的基以及线性空间中的元素（也称为向量）在基下的坐标。

一、线性空间的基与维数

定义 3 线性空间的基与维数

设 $V$ 为线性空间。如果 $V$ 中存在元素 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 满足：

(1) ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性无关；

(2) $V$ 中任意元素 $\mathbf{\alpha }$ 都可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性表示，即存在实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，使得

α = x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ,$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n,$$

则称 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为线性空间 $V$ 的一组基。$n$ 称为线性空间 $V$ 的维数，记为 $\dim V=n$。维数为 $n$ 的线性空间称为 $n$ 维线性空间。

例 9 矩阵空间的基与维数

设 $V$ 为全体二阶实矩阵。对于矩阵的加法与数乘运算，$V$ 构成一个线性空间。记 ${\mathbf{E}}_{ij}$ 为第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $1$，其余元素为零的二阶矩阵。验证 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22}$ 是 $V$ 的一组基，并求 $\dim V$。

解

(1) 设有实数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,{\lambda }_4$ 使得

λ₁ E₁1 + λ₂ E₁2 + λ₃ E₂1 + λ₄ E₂2 = O,$${\lambda }_1{\mathbf{E}}_{11}+{\lambda }_2{\mathbf{E}}_{12}+{\lambda }_3{\mathbf{E}}_{21}+{\lambda }_4{\mathbf{E}}_{22}=\mathbf{O},$$

即

λ₁ & λ₂ λ₃ & λ₄ = 0 & 0 0 & 0 ,$$\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& {\lambda }_2\\ {\lambda }_3& {\lambda }_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),$$

则 ${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3={\lambda }_4=0$。这说明 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22}$ 线性无关。

(2) 任取 $\mathbf{A}=(a_{ij})\in V$，显然有

A = a₁1E₁1 + a₁2E₁2 + a₂1E₂1 + a₂2E₂2,$$\mathbf{A}=a_{11}{\mathbf{E}}_{11}+a_{12}{\mathbf{E}}_{12}+a_{21}{\mathbf{E}}_{21}+a_{22}{\mathbf{E}}_{22},$$

即 $\mathbf{A}$ 可以由 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22}$ 线性表示。

由 (1)(2) 可知 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22}$ 为 $V$ 的一组基，且 $\dim V=4$。

二、向量在基下的坐标

若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基，则对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$，有唯一的一组有序实数 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，使

α = x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ.$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n.$$

反之，任给一组有序实数 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，有唯一的元素 $\mathbf{\alpha }\in V$，使

α = x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ.$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n.$$

这样，$V$ 中的元素 $\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n$ 与有序实数组 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 之间存在一一对应的关系，可以用有序实数组 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 来表示 $\mathbf{\alpha }$。

定义 4 坐标的定义与形式化记号

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基。对于 $V$ 中的任意元素 $\mathbf{\alpha }$，存在唯一的有序实数组 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，使

α = x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ.$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n.$$

将此式形式地表示为矩阵乘积形式：

α = (α₁, α₂, …, αₙ)x, 其中 x = (x₁, x₂, …, xₙ)^T,$$\mathbf{\alpha }=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{x},\text{其中 }\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}},$$

称列向量 $\mathbf{x}$ 为元素 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标。

基的有序性对坐标的影响

例如在例9 中，元素 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 3\end{array}\right)$ 在基 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{22}$ 下的坐标为 $(1,-1,2,3{)}^{\mathrm{T}}$。

值得注意的是基是有序的，当基的排序变化时，元素的坐标也会变化。如该元素 $\mathbf{A}$ 在基 ${\mathbf{E}}_{11},{\mathbf{E}}_{21},{\mathbf{E}}_{12},{\mathbf{E}}_{22}$ 下的坐标则变为 $(1,2,-1,3{)}^{\mathrm{T}}$。

三、线性空间与 ${\mathbf{R}}^n$ 的同构本质

在 $n$ 维线性空间 $V$ 中取一组基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 以后，相当于在 $V$ 中以 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为“坐标轴”建立了“坐标系”。$V$ 中的任意元素 $\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n$ 与其坐标（即 ${\mathbf{R}}^n$ 中的向量）$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 之间有了对应关系。将这一一一对应的关系表示为

α longleftrightarrow x = (x₁, x₂, …, xₙ)^T.$$\mathbf{\alpha }⟷\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}.$$

设 $\mathbf{\alpha }⟷\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}},\mathbf{\beta }⟷\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n{)}^{\mathrm{T}}$，即

α = x₁ α₁ + x₂ α₂ + … + xₙ αₙ, β = y₁ α₁ + y₂ α₂ + … + yₙ αₙ.$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n,\mathbf{\beta }=y_1{\mathbf{\alpha }}_1+y_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +y_n{\mathbf{\alpha }}_n.$$

则

α + β = (x₁ + y₁)α₁ + (x₂ + y₂)α₂ + … + (xₙ + yₙ)αₙ,$$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=(x_1+y_1){\mathbf{\alpha }}_1+(x_2+y_2){\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +(x_n+y_n){\mathbf{\alpha }}_n,$$

且对任意实数 $\lambda$，

λα = λ x₁ α₁ + λ x₂ α₂ + … + λ xₙ αₙ.$$\lambda \mathbf{\alpha }=\lambda x_1{\mathbf{\alpha }}_1+\lambda x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +\lambda x_n{\mathbf{\alpha }}_n.$$

即

α + β longleftrightarrow x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, …, xₙ + yₙ)^T;$$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }⟷\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots ,x_n+y_n{)}^{\mathrm{T}};$$ λα longleftrightarrow λx = (λ x₁, λ x₂, …, λ xₙ)^T.$$\lambda \mathbf{\alpha }⟷\lambda \mathbf{x}=(\lambda x_1,\lambda x_2,\cdots ,\lambda x_n{)}^{\mathrm{T}}.$$

这说明这一对应不仅将 $V$ 中的元素 $\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +x_n{\mathbf{\alpha }}_n$ 对应成 ${\mathbf{R}}^n$ 中的向量 $\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$，而且将 $V$ 中抽象的加法 $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }$ 与数乘 $\lambda \mathbf{\alpha }$ 对应成 ${\mathbf{R}}^n$ 中具体的向量加法 $\mathbf{x}+\mathbf{y}$ 与数乘 $\lambda \mathbf{x}$。

如果将 $V$ 中的 $\mathbf{\alpha }$ 看成 ${\mathbf{R}}^n$ 中的 $\mathbf{x}$，则从结构上看，$V$ 与 ${\mathbf{R}}^n$ 是完全相同的，也就是说，所有 $n$ 维线性空间的结构与 ${\mathbf{R}}^n$ 都是相同的。${\mathbf{R}}^n$ 可以作为任意一个 $n$ 维线性空间的“模型”。凡是 ${\mathbf{R}}^n$ 中只涉及向量加法与数乘运算的性质，对一般 $n$ 维线性空间都是适用的。

9.2 线性空间的基与坐标