9.1 线性空间的概念与基本性质

线性代数的研究对象就是线性空间及其线性变换。通过在线性空间中取基，可以将线性空间与线性变换的问题转化为向量与矩阵的相关问题。这些问题已在前面的章节中进行了讨论。本章将介绍线性空间与线性变换的基本概念与性质。

一、线性空间的概念

线性空间是向量空间 ${\mathbf{R}}^n$ 的推广。许多的集合与 ${\mathbf{R}}^n$ 有着共同的性质。虽然这些集合的元素不是 $n$ 维向量，但这些集合的元素之间也可以进行类似于 ${\mathbf{R}}^n$ 中向量加法与数乘的两种运算，并且这两种运算同样满足 ${\mathbf{R}}^n$ 中向量加法与数乘所满足的规律。撇开元素的具体意义，将这些集合与 ${\mathbf{R}}^n$ 的“共性”抽象出来，就形成了线性空间的概念。

定义 1 线性空间（向量空间）

设 $V$ 是非空集合，$\mathbf{R}$ 为全体实数。如果对于任意的 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$，总有唯一的 $\mathbf{\gamma }\in V$ 与之对应，称 $\mathbf{\gamma }$ 为 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 的和，记作 $\mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }$（这种运算称为加法）；且对于任意的 $\mathbf{\alpha }\in V$ 及任意的 $\lambda \in \mathbf{R}$，有唯一的 $\mathbf{\delta }\in V$ 与之对应，称 $\mathbf{\delta }$ 为 $\lambda$ 与 $\mathbf{\alpha }$ 的数量乘积，记作 $\mathbf{\delta }=\lambda \mathbf{\alpha }$（这种运算称为数量乘积，简称数乘）。

同时上述加法与数乘运算满足如下 8 条运算规律：

(1) 对任意 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V,\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }$；

(2) 对任意 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }\in V,(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })+\mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }+(\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma })$；

(3) 存在元素 $0\in V$，使得对任意 $\mathbf{\alpha }\in V,\mathbf{\alpha }+0=\mathbf{\alpha }$（称 $0$ 为 $V$ 的零元素）；

(4) 对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$，存在元素 $\mathbf{\beta }\in V$，使得 $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=0$（称 $\mathbf{\beta }$ 为 $\mathbf{\alpha }$ 的负元素）；

(5) 对任意 $\mathbf{\alpha }\in V,1\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }$；

(6) 对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$ 及任意 $\lambda ,\mu \in \mathbf{R},\lambda (\mu \mathbf{\alpha })=(\lambda \mu )\mathbf{\alpha }$；

(7) 对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$ 及任意 $\lambda ,\mu \in \mathbf{R},(\lambda +\mu )\mathbf{\alpha }=\lambda \mathbf{\alpha }+\mu \mathbf{\alpha }$；

(8) 对任意 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R},\lambda (\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=\lambda \mathbf{\alpha }+\lambda \mathbf{\beta }$，

则称 $V$ 为实线性空间（或实向量空间），$V$ 中的元素也称为（实）向量。

关于复线性空间与数域

当定义1 中的全体实数集 $\mathbf{R}$ 换成全体复数集 $\mathbf{C}$ 时，相应地将 $V$ 称为复线性空间。本课程只讨论实线性空间。如果没有特别说明，本章提到的线性空间均指实线性空间。

更一般地，设 $F$ 为某个非空数集，如果 $F$ 对于数的加、减、乘、除四则运算封闭（即对任意 $F$ 中的数 $a,b$，有 $a+b,a-b,ab$ 仍属于 $F$，且当 $a\ne 0$ 时，$\frac{b}{a}$ 也在 $F$ 中），则称 $F$ 为一个数域。当定义1 中的实数集 $\mathbf{R}$ 换成数域 $F$ 时，称 $V$ 为数域 $F$ 上的线性空间。

例 1 ~ 3 典型线性空间

(1) 对于向量的加法与数乘运算，${\mathbf{R}}^n$ 是一个线性空间。

(2) 设 $V={\mathbf{R}}^{m\times n}$ 为全体 $m\times n$ 实矩阵。对于矩阵的加法与数乘运算，$V$ 是一个线性空间。

(3) 设 $n$ 为正整数，$\mathbf{R}[x{]}_n$ 为全体次数小于 $n$ 的实系数多项式的集合，即

R[x]ₙ = {a₀ + a₁ x + … + aₙ-1xⁿ-1 | aᵢ ∈ R, i = 0, 1, …, n-1}.$$\mathbf{R}[x{]}_n=\{a_0+a_{1}x+\cdots +a_{n-1}{x}^{n-1}\mid a_i\in \mathbf{R},i=0,1,\cdots ,n-1\}.$$

对于多项式的加法及数与多项式的乘法，$\mathbf{R}[x{]}_n$ 是一个线性空间。

例 4 抽象运算下的线性空间验证

设 ${\mathbf{R}}^{+}$ 为全体正实数。在 ${\mathbf{R}}^{+}$ 中定义加法 $\oplus$ 与数乘 $\cdot$ 运算为：对任意 $a,b\in {\mathbf{R}}^{+},a\oplus b=ab$；对任意 $a\in {\mathbf{R}}^{+}$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R},\lambda \cdot a=a^{\lambda }$。验证 ${\mathbf{R}}^{+}$ 对于加法运算 $\oplus$ 与数乘运算 $\cdot$ 构成线性空间。

解

对任意 $a,b\in {\mathbf{R}}^{+},a\oplus b=ab\in {\mathbf{R}}^{+}$；对任意 $a\in {\mathbf{R}}^{+}$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R},\lambda \cdot a=a^{\lambda }\in {\mathbf{R}}^{+}$。因此加法 $\oplus$ 与数乘 $\cdot$ 是 ${\mathbf{R}}^{+}$ 中的运算（即 ${\mathbf{R}}^{+}$ 对于加法 $\oplus$ 与数乘 $\cdot$ 运算封闭）。

下面逐条验证加法 $\oplus$ 与数乘 $\cdot$ 运算满足定义1 中的 8 条规律：

(1) 对任意 $a,b\in {\mathbf{R}}^{+},a\oplus b=ab=ba=b\oplus a$；

(2) 对任意 $a,b,c\in {\mathbf{R}}^{+},(a\oplus b)\oplus c=(ab)c=a(bc)=a\oplus (b\oplus c)$；

(3) ${\mathbf{R}}^{+}$ 中存在零元素 $1$，使得对任意 $a\in {\mathbf{R}}^{+},a\oplus 1=a\cdot 1=a$；

(4) 对任意 $a\in {\mathbf{R}}^{+}$，存在元素 $\frac{1}{a}\in {\mathbf{R}}^{+}$，使得 $a\oplus \frac{1}{a}=a\cdot \frac{1}{a}=1$，即 $a$ 的负元素为 $\frac{1}{a}$；

(5) 对任意 $a\in {\mathbf{R}}^{+},1\cdot a=a^1=a$；

(6) 对任意 $a\in {\mathbf{R}}^{+}$ 及任意 $\lambda ,\mu \in \mathbf{R}$，有 $\lambda \cdot (\mu \cdot a)=\lambda \cdot a^{\mu }=(a^{\mu }{)}^{\lambda }=a^{\lambda \mu }=(\lambda \mu )\cdot a$；

(7) 对任意 $a\in {\mathbf{R}}^{+}$ 及任意 $\lambda ,\mu \in \mathbf{R}$，有 $(\lambda +\mu )\cdot a=a^{\lambda +\mu }=a^{\lambda }{a}^{\mu }=(\lambda \cdot a)\oplus (\mu \cdot a)$；

(8) 对任意 $a,b\in {\mathbf{R}}^{+}$ 及任意 $\lambda \in \mathbf{R},\lambda \cdot (a\oplus b)=\lambda \cdot (ab)=(ab{)}^{\lambda }=a^{\lambda }{b}^{\lambda }=(\lambda \cdot a)\oplus (\lambda \cdot b)$。

总之，${\mathbf{R}}^{+}$ 对于所定义的加法运算 $\oplus$ 与数乘运算 $\cdot$ 构成线性空间。

例 5 ~ 6 非线性空间的反例

(1) 设 $n$ 为正整数，$V$ 为全体 $n$ 次实系数多项式，即

V = {a₀ + a₁ x + … + aₙ xⁿ | aᵢ ∈ R, i = 0, 1, …, n, aₙ ≠ 0}.$$V=\{a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n\mid a_i\in \mathbf{R},i=0,1,\cdots ,n,a_n\ne 0\}.$$

对于多项式的加法及数与多项式的乘法，$V$ 不是线性空间。

这是因为对于 $0\in \mathbf{R}$ 与 $x^n\in V,0x^n=0\notin V$。这说明数与多项式的乘法不是 $V$ 中的运算（即 $V$ 对数乘运算不封闭）。同时容易验证 $V$ 对多项式的加法运算也不封闭（例如 $x^n+(-x^n+1)=1\notin V$）。

(2) 设 $V$ 为全体 $n$ 阶实矩阵。定义加法 $\oplus$ 为：对任意 $\mathbf{A},\mathbf{B}\in V,\mathbf{A}\oplus \mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{B}$。

虽然 $V$ 对于如此定义的加法及矩阵的数乘运算都封闭，但因为矩阵乘法一般不满足交换律（即 $\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{B}\mathbf{A}$），加法不满足规律 (1)，所以对于这样定义的加法及矩阵的数乘运算，$V$ 不是线性空间。

二、线性空间的基本性质

线性空间具有以下基本性质：

性质 1 零元素的唯一性

设 $V$ 为线性空间，则 $V$ 中的零元素是唯一的。

证明

设 $0_1,0_2$ 是 $V$ 的零元素，由零元素定义：

0₁ + 0₂ = 0₁, 0₂ + 0₁ = 0₂.$$0_1+0_2=0_1,0_2+0_1=0_2.$$

再由加法交换律 $0_1+0_2=0_2+0_1$，即得 $0_1=0_2$。

性质 2 负元素的唯一性

设 $V$ 为线性空间，则对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$，$\mathbf{\alpha }$ 的负元素是唯一的（记作 $-\mathbf{\alpha }$）。

证明

设 $\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 是 $\mathbf{\alpha }$ 的负元素，即 $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=0,\mathbf{\alpha }+\mathbf{\gamma }=0$。于是

β = β + 0 = β + (α + γ) = (β + α) + γ = 0 + γ = γ.$$\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }+0=\mathbf{\beta }+(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\gamma })=(\mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha })+\mathbf{\gamma }=0+\mathbf{\gamma }=\mathbf{\gamma }.$$

性质 3 零乘与负一乘性质

对任意 $\mathbf{\alpha }\in V$ 与 $\lambda \in \mathbf{R}$：

(1) $0\mathbf{\alpha }=0$；

(2) $(-1)\mathbf{\alpha }=-\mathbf{\alpha }$；

(3) $\lambda 0=0$。

证明

(1) 因为 $\mathbf{\alpha }=1\mathbf{\alpha }=(1+0)\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }+0\mathbf{\alpha }$，两端加上 $-\mathbf{\alpha }$，即得 $0\mathbf{\alpha }=0$；

(2) 因为 $0=0\mathbf{\alpha }=(1-1)\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }+(-1)\mathbf{\alpha }$，由负元素唯一性知 $(-1)\mathbf{\alpha }=-\mathbf{\alpha }$；

(3) 因为 $\lambda 0=\lambda (0+0)=\lambda 0+\lambda 0$，两端加上 $-\lambda 0$，即得 $\lambda 0=0$。

性质 4 数乘为零的充要因子

如果 $\lambda \mathbf{\alpha }=0$，则 $\lambda =0$ 或 $\mathbf{\alpha }=0$。

证明

若 $\lambda \ne 0$，则在 $\lambda \mathbf{\alpha }=0$ 两端乘以 $\frac{1}{\lambda }$，得

α = 1α = ((1)/(λ)λ)α = (1)/(λ)(λα) = (1)/(λ)0 = 0.$$\mathbf{\alpha }=1\mathbf{\alpha }=\left(\frac{1}{\lambda }\lambda \right)\mathbf{\alpha }=\frac{1}{\lambda }(\lambda \mathbf{\alpha })=\frac{1}{\lambda }0=0.$$

三、子空间

定义 2 子空间与平凡子空间

设 $V$ 是线性空间，$W$ 是 $V$ 的非空子集。如果 $W$ 对于 $V$ 中的加法与数乘这两种运算也构成线性空间，则称 $W$ 为 $V$ 的子空间。

对线性空间 $V$ 而言，$V$ 是自身的子空间，由零元素构成的子集 $\{0\}$ 也是 $V$ 的子空间，称为零空间。这两个子空间称为 $V$ 的平凡子空间。

定理 1 子空间的充要判别准则

设 $W$ 是线性空间 $V$ 的非空子集。则 $W$ 是 $V$ 的子空间的充分必要条件是 $W$ 对于 $V$ 中的加法及数乘运算封闭。即对任意的 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in W$ 及 $\lambda \in \mathbf{R}$，有

α + β ∈ W 且 λα ∈ W.$$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }\in W\text{且}\lambda \mathbf{\alpha }\in W.$$

证明

必要性：因为 $W$ 是 $V$ 的子空间，由线性空间的定义即得封闭性。

充分性：此时 $V$ 中的加法及数乘运算也是 $W$ 中的运算。因为 $V$ 是线性空间，所以这两种运算显然满足定义1 中的 8 条规律中的 (1)(2)(5)(6)(7)(8)。

任取 $\mathbf{\alpha }\in W$，由数乘封闭性知 $-\mathbf{\alpha }=(-1)\mathbf{\alpha }\in W$，故规律 (4) 成立。

又对任意 $\mathbf{\alpha }\in W$，因为 $-\mathbf{\alpha }\in W$，由加法封闭性知 $\mathbf{\alpha }+(-\mathbf{\alpha })=0\in W$，即规律 (3) 也满足。

总之，$W$ 对于 $V$ 中的加法与数乘运算也构成线性空间，因此 $W$ 是 $V$ 的子空间。

例 7 矩阵子空间判别

设 $V$ 是全体 $n$ 阶实矩阵。$W_1$ 是全体主对角线上元素为零的 $n$ 阶实矩阵，$W_2$ 是全体主对角线上元素为 $1$ 的 $n$ 阶实矩阵。对于矩阵的加法与数乘运算，$V$ 构成一个线性空间。判断 $W_1$ 与 $W_2$ 是否为 $V$ 的子空间。

解

$W_1,W_2$ 均是 $V$ 的非空子集。

对于 $W_1$，设 $\mathbf{A},\mathbf{B}\in W_1,\lambda \in \mathbf{R}$，则 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 主对角线元素均为 $0$。显然 $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 与 $\lambda \mathbf{A}$ 的主对角线元素也恒为 $0$，故 $\mathbf{A}+\mathbf{B}\in W_1$ 且 $\lambda \mathbf{A}\in W_1$。因此 $W_1$ 对于加法与数乘封闭，是 $V$ 的子空间。

对于 $W_2$，取零矩阵 $\mathbf{O}$，其主对角线元素为 $0\ne 1$，故 $\mathbf{O}\notin W_2$；且若 $\mathbf{A},\mathbf{B}\in W_2$，$\mathbf{A}+\mathbf{B}$ 的主对角线元素为 $1+1=2\ne 1$，即 $\mathbf{A}+\mathbf{B}\notin W_2$。$W_2$ 对于加法与数乘都不封闭，故 $W_2$ 不是 $V$ 的子空间。

例 8 生成子空间

设 $V$ 是线性空间，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m\in V$。设 $L({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$ 为由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 的全体线性组合构成的集合，即

L(α₁, α₂, …, αₘ) = {λ₁ α₁ + λ₂ α₂ + … + λₘ αₘ | λᵢ ∈ R, i = 1, 2, …, m}.$$L({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)=\{{\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1+{\lambda }_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +{\lambda }_m{\mathbf{\alpha }}_m\mid {\lambda }_i\in \mathbf{R},i=1,2,\cdots ,m\}.$$

容易验证 $L({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$ 是 $V$ 的非空子集且对 $V$ 中的加法与数乘运算都是封闭的，所以 $L({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)$ 是 $V$ 的子空间，称为由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 生成的子空间。

例如，若 $V={\mathbf{R}}^3,{\mathbf{\epsilon }}_1=(1,0,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\epsilon }}_2=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}$，则 $L({\mathbf{\epsilon }}_1,{\mathbf{\epsilon }}_2)$ 就是 $xOy$ 坐标平面。

9.1 线性空间的概念与基本性质