8.1 空间曲面及其方程

建立了空间直角坐标系以后，我们可以用代数的方法来研究空间的几何图形。本章将利用二次型在正交变换下的标准形，对空间的二次曲面进行分类，同时简单介绍几类常见的空间曲面与曲线。

一、空间曲面的方程

在平面解析几何中，用一个二元方程 $f(x,y)=0$ 来表示平面上的一条曲线，这个方程体现了曲线上任意点 $(x,y)$ 的横、纵坐标之间的对应关系。在空间建立了直角坐标系以后，空间的每一个点都有了坐标，对空间的一张曲面 $S$，$S$ 上任意点 $(x,y,z)$ 的坐标之间也有对应关系，当 $x$ 与 $y$ 给定后，$z$ 随之也确定了。这种对应关系可以用一个三元方程 $F(x,y,z)=0$ 来表示。因此用一个三元方程 $F(x,y,z)=0$ 来表示空间的一张曲面。

定义 8.1 空间曲面及其方程

设曲面 $S$ 与三元方程 $F(x,y,z)=0$ 有下述关系：

(1) 曲面 $S$ 上每一点的坐标 $(x,y,z)$ 都满足方程 $F(x,y,z)=0$；

(2) 满足方程 $F(x,y,z)=0$ 的点 $(x,y,z)$ 都在曲面 $S$ 上，

则称方程 $F(x,y,z)=0$ 为曲面 $S$ 的方程，曲面 $S$ 称为方程 $F(x,y,z)=0$ 的图形。即

点 (x, y, z) 在曲面 S 上 iff (x, y, z) 满足方程 F(x, y, z) = 0.$$\text{点 }(x,y,z)\text{ 在曲面 }S\text{ 上}⟺(x,y,z)\text{ 满足方程 }F(x,y,z)=0.$$

关于空间曲面的研究，有两个基本问题。第一是已知某个曲面，去建立这个曲面的方程；第二是已知某个方程，去研究这个方程的图形。

例 1 球面的标准方程与一般方程

建立球心在点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，半径为 $R$ 的球面的方程。

解

易见空间点 $P(x,y,z)$ 在球面 $S$ 上

iff √((x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)²) = R.$$⟺\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2}=R.$$

所以 $S$ 的方程为

(x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R². (8.1)$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2.\text{\hspace{1em}(8.1)}$$

式 (8.1) 称为球面的标准方程。将式 (8.1) 展开，得到

x² + y² + z² - 2x₀ x - 2y₀ y - 2z₀ z + x₀² + y₀² + z₀² - R² = 0.$$x^2+y^2+z^2-2x_{0}x-2y_{0}y-2z_{0}z+x_0^2+y_0^2+z_0^2-R^2=0.$$

这是一个 $x,y,z$ 的二次方程，其特点是 $x^2,y^2,z^2$ 的系数都相等，且不出现交叉乘积项 $xy,yz,zx$。

反之，任给一个具有上述特点的二次方程

x² + y² + z² + 2ax + 2by + 2cz + d = 0,$$x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0,$$

经过配方，方程可化为

(x + a)² + (y + b)² + (z + c)² = a² + b² + c² - d.$$(x+a{)}^2+(y+b{)}^2+(z+c{)}^2=a^2+b^2+c^2-d.$$

(1) 当 $a^2+b^2+c^2-d>0$ 时，这个方程的图形是以 $(-a,-b,-c)$ 为球心，半径为 $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ 的球面；

(2) 当 $a^2+b^2+c^2-d=0$ 时，这个方程的图形为一个点 $(-a,-b,-c)$；

(3) 当 $a^2+b^2+c^2-d<0$ 时，方程不代表任何图形。

二、旋转曲面

定义 8.2 旋转曲面、母线与旋转轴

平面曲线 $C$ 绕该平面内的直线 $L$ 旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面。$C$ 与 $L$ 分别称为旋转曲面的母线和旋转轴。

设在 $yOz$ 坐标面上有一已知曲线 $C$，它的方程为 $f(y,z)=0,y⩾0$。将这条曲线绕 $z$ 轴旋转一周，得到旋转曲面 $S$，下面建立 $S$ 的方程。

如图 8.1 所示，任取 $S$ 上的点 $P(x,y,z)$，设 $P$ 是由曲线 $C$ 上的点 $P_0(0,y_0,z_0)$ 绕 $z$ 轴旋转得到的，则 $z=z_0$ 且 $P$ 与 $P_0$ 到 $z$ 轴的距离相等，即 $y_0^2=x^2+y^2$。因为点 $P_0(0,y_0,z_0)$ 在 $C$ 上，所以 $f(y_0,z_0)=0$，且 $y_0⩾0$，代入 $y_0=\sqrt{x^2+y^2},z_0=z$，得

f(√(x² + y²), z) = 0,$$f\left(\sqrt{x^2+y^2},z\right)=0,$$

即点 $P(x,y,z)$ 满足方程 $f\left(\sqrt{x^2+y^2},z\right)=0$。

反之，若空间的点 $P(x,y,z)$ 满足方程 $f\left(\sqrt{x^2+y^2},z\right)=0$，设点 $P$ 绕 $z$ 轴旋转到 $yOz$ 坐标面的右半平面（即 $y⩾0$）上时，对应的点为 $P_0(0,y_0,z_0)$ ($y_0⩾0$)，则 $y_0=\sqrt{x^2+y^2}$ 且 $z_0=z$，这说明 $P_0(0,y_0,z_0)$ 满足 $f(y_0,z_0)=0$，即 $P_0$ 在曲线 $C$ 上，因此点 $P$ 在旋转曲面 $S$ 上。

总之，旋转曲面 $S$ 的方程为

f(√(x² + y²), z) = 0.$$f\left(\sqrt{x^2+y^2},z\right)=0.$$

不难发现，若曲线 $C$ 的方程为 $f(y,z)=0,y⩽0$，则旋转曲面的方程为 $f\left(-\sqrt{x^2+y^2},z\right)=0$。

图 8.1 曲线绕坐标轴旋转形成旋转曲面

例 2 圆锥面的方程

直线 $L$ 绕另一条与 $L$ 相交的直线旋转一周，所得旋转面称为圆锥面。两直线的交点称为圆锥面的顶点。两直线的夹角 $\alpha \left(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\right)$ 称为圆锥面的半顶角。试建立顶点在坐标原点 $O$，旋转轴为 $z$ 轴，半顶角为 $\alpha$ 的圆锥面的方程。

解

如图 8.2 所示，在 $yOz$ 平面上，直线 $L$ 的方程为 $z=y\cot \alpha$。

当 $y⩾0$ 时，射线 $z=y\cot \alpha$ 绕 $z$ 轴旋转，所得旋转面的方程为

z = √(x² + y²) cotα;$$z=\sqrt{x^2+y^2}\cot \alpha ;$$

当 $y⩽0$ 时，射线 $z=y\cot \alpha$ 绕 $z$ 轴旋转，所得旋转面的方程为

z = -√(x² + y²) cotα.$$z=-\sqrt{x^2+y^2}\cot \alpha .$$

因此，所求圆锥面的方程为

z² = (x² + y²)cot²α.$$z^2=(x^2+y^2){\cot }^2\alpha .$$

图 8.2 圆锥面

例 3 旋转双曲面的方程

将 $xOz$ 坐标面上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 分别绕 $z$ 轴和 $x$ 轴旋转一周，求所形成的旋转曲面的方程。

解

对于绕 $z$ 轴旋转的情形，如图 8.3 所示，不妨只考虑 $xOz$ 坐标面上的单支双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ ($x⩾0$) 绕 $z$ 轴旋转一周，所形成的旋转曲面（称为单叶双曲面）方程为

((√(x² + y²))²)/(a²) - (z²)/(c²) = 1,$$\frac{{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1,$$

即

(x² + y²)/(a²) - (z²)/(c²) = 1.$$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$$

对绕 $x$ 轴旋转的情形，如图 8.4 所示，不妨只考虑 $xOz$ 坐标面上双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ 中 $z⩾0$ 的部分绕 $x$ 轴旋转一周，所形成的旋转曲面（称为双叶双曲面）方程为

(x²)/(a²) - ((√(y² + z²))²)/(c²) = 1,$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{{\left(\sqrt{y^2+z^2}\right)}^2}{c^2}=1,$$

即

(x²)/(a²) - (y² + z²)/(c²) = 1.$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1.$$

图 8.3 旋转单叶双曲面

图 8.4 旋转双叶双曲面

三、柱面

定义 8.3 柱面、准线与母线

设 $C$ 为空间的一条曲线，动直线 $L$ 沿着 $C$ 平行移动形成的曲面称为柱面。曲线 $C$ 称为柱面的准线，动直线 $L$ 称为柱面的母线。

设柱面 $S$ 的母线平行于 $z$ 轴，准线是 $xOy$ 平面上的曲线 $C:F(x,y)=0$。我们来建立 $S$ 的方程。

如图 8.5 所示，任取柱面 $S$ 上的点 $P(x,y,z)$，因为柱面的母线平行于 $z$ 轴，所以 $P(x,y,z)$ 在 $xOy$ 平面上的投影点 $P^{\prime }(x,y,0)$ 在准线 $C$ 上。即 $F(x,y)=0$。

反之，若空间中的点 $P(x,y,z)$ 满足方程 $F(x,y)=0$，则 $P(x,y,z)$ 在 $xOy$ 平面上的投影点 $P^{\prime }(x,y,0)$ 在准线 $C$ 上，于是点 $P(x,y,z)$ 在柱面上。因此，柱面 $S$ 的方程为 $F(x,y)=0$，这是一个不含变量 $z$ 的方程。

那么对于任意一个不含变量 $z$ 的方程 $F(x,y)=0$，方程代表怎样的曲面呢？

因为方程中不出现 $z$，这意味着对曲面上的点的竖坐标没有任何限制。任取 $xOy$ 平面上的曲线 $C:F(x,y)=0$ 上的点 $P^{\prime }(x,y,0)$，点 $P^{\prime }$ 平行于 $z$ 轴上下移动得到的点都在曲面上，因此曲面是由动直线 $L$ 沿着 $xOy$ 平面上的曲线 $C$，平行于 $z$ 轴移动形成的，也就是说，曲面是以 $xOy$ 平面上的 $C:F(x,y)=0$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴的柱面。

完全类似，一个不含变量 $x$（或 $y$）的方程，其图形是母线平行于 $x$ 轴（或 $y$ 轴）的柱面。

例如，方程 $x^2-2z=0$ 代表以 $xOz$ 平面上的抛物线 $x^2-2z=0$ 为准线，母线平行于 $y$ 轴的抛物柱面。如图 8.6 所示。

图 8.5 柱面与准线、母线

图 8.6 抛物柱面

8.1 空间曲面及其方程