7.5 正定二次型与正定矩阵

二次型在工程计算、物理极值问题、优化理论与多元函数极值判别中有广泛的应用。在这些应用中，有一类特别重要的二次型——正定二次型。本节系统讨论正定二次型与正定矩阵的概念、等价判别准则（包括特征值判别法、标准形判别法、Sylvester 顺序主子式判别法），并简要介绍半正定与负定二次型。

一、正定二次型与正定矩阵

定义 14 正定二次型与正定矩阵

设实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$。如果对任意 $\mathbf{x}\ne 0$，都有

x^TAx > 0$${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}>0$$

则称 $f$ 为正定二次型，称 $\mathbf{A}$ 为正定矩阵。

例 19 正定矩阵的主对角元均为正数

设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 为正定矩阵，求证：$a_{ii}>0$ ($i=1,2,\cdots ,n$)。

证

因为 $f={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 是正定二次型，所以对任意 $1\le i\le n$，取 $\mathbf{x}={\mathbf{\epsilon }}_i$ 为第 $i$ 个分量为 $1$、其余分量为 $0$ 的列向量，则 $\mathbf{x}\ne 0$，从而

x^TAx = aᵢi > 0$${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=a_{ii}>0$$

下面给出判别二次型是否正定的充分必要条件。

定理 10 正定二次型的充要条件（标准形判别）

实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 是正定二次型的充分必要条件为 $f$ 的标准形中 $n$ 个系数全为正数（即 $f$ 的正惯性指数为 $n$）。

证明

设在可逆线性变换 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$ 下，$f$ 化为标准形：

f = x^TAx = y^T(C^TAC)y = k₁y₁² + k₂y₂² + … + kₙyₙ²$$f={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{C})\mathbf{y}=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+\cdots +k_n{y}_n^2$$

充分性：如果 $k_i>0$ ($i=1,2,\cdots ,n$)，那么对于任意的 $\mathbf{x}\ne 0$，由于 $\mathbf{C}$ 可逆，有 $\mathbf{y}={\mathbf{C}}^{-1}\mathbf{x}\ne 0$，于是

x^TAx = k₁y₁² + k₂y₂² + … + kₙyₙ² > 0$${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+\cdots +k_n{y}_n^2>0$$

这说明 $f$ 是正定的。

必要性：对于任意取定的 $1\le i\le n$，取 $\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{\epsilon }}_i$，即 $y_i=1$，其他 $y_k$ ($k\ne i$) 都取零值。令 $\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}$，则 $\mathbf{x}\ne 0$。因为 $f$ 正定，所以

x^TAx = kᵢ > 0$${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=k_i>0$$

在正交变换下，二次型 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的标准形中 $n$ 个系数是 $\mathbf{A}$ 的全体特征值，所以有推论1。

推论 1 特征值判别法

$n$ 阶实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 正定的充分必要条件是 $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个特征值全为正数。

再由规范形的定义可得推论2。

推论 2 合同规范形判别法

$n$ 阶实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 正定的充分必要条件是 $\mathbf{A}$ 的合同规范形为 $n$ 阶单位矩阵 $\mathbf{E}$（即 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{E}$ 合同）。

例 20 配方法判定二次型正定性

判别二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+4x_2{x}_3$ 是否正定。

解

用配方法将 $f$ 化为

f = (x₁ + x₂)² + (x₂ + 2x₃)² - 3x₃²$$f=(x_1+x_2{)}^2+(x_2+2x_3{)}^2-3x_3^2$$

$f$ 的标准形中有 $2$ 个系数为正，还有 $1$ 个系数为负（即正惯性指数为 $2\ne 3$），所以 $f$ 不是正定二次型。

接下来再给出一个判别正定矩阵的常用充分必要条件。

定义 15 主子式与顺序主子式

设 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶方阵。任取 $1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$，由 $\mathbf{A}$ 的第 $i_1,i_2,\cdots ,i_k$ 行与第 $i_1,i_2,\cdots ,i_k$ 列交叉处的元素所构成的 $k$ 阶行列式

aᵢ₁ i₁ & aᵢ₁ i₂ & … & aᵢ₁ iₖ aᵢ₂ i₁ & aᵢ₂ i₂ & … & aᵢ₂ iₖ vdots & vdots & & vdots aᵢₖ i₁ & aᵢₖ i₂ & … & aᵢₖ iₖ$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{i_1{i}_1}& a_{i_1{i}_2}& \cdots & a_{i_1{i}_k}\\ a_{i_2{i}_1}& a_{i_2{i}_2}& \cdots & a_{i_2{i}_k}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i_k{i}_1}& a_{i_k{i}_2}& \cdots & a_{i_k{i}_k}\end{array}\right|$$

称为 $\mathbf{A}$ 的一个 $k$ 阶主子式。

特别地，当 $i_1=1,i_2=2,\cdots ,i_k=k$ 时，这个 $k$ 阶主子式称为 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 阶顺序主子式。

例如，设

A = 1 & -1 & 2 & 3 2 & 1 & -1 & 5 -1 & 3 & 0 & 0 3 & 4 & 1 & 2$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 3\\ 2& 1& -1& 5\\ -1& 3& 0& 0\\ 3& 4& 1& 2\end{array}\right)$$

$\mathbf{A}$ 的三阶主子式有 $4$ 个，如由第 $2,3,4$ 行列构成的三阶主子式为

1 & -1 & 5 3 & 0 & 0 4 & 1 & 2 = 21$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 5\\ 3& 0& 0\\ 4& 1& 2\end{array}\right|=21$$

$\mathbf{A}$ 的三阶顺序主子式只有 $1$ 个，为

1 & -1 & 2 2 & 1 & -1 -1 & 3 & 0 = 16$$\left|\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 2& 1& -1\\ -1& 3& 0\end{array}\right|=16$$

$\mathbf{A}$ 的二阶主子式有 $6$ 个，但二阶顺序主子式只有 $1$ 个，为

1 & -1 2 & 1 = 3$$\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 1\end{array}\right|=3$$

定理 11 赫尔维茨定理（Sylvester 准则）

$n$ 阶实对称矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 是正定矩阵 $⟺$ $\mathbf{A}$ 的 $n$ 个顺序主子式都为正数，即

a₁1 > 0, a₁1 & a₁2 a₂1 & a₂2 > 0, …, |A| > 0$$a_{11}>0,\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|>0,\cdots ,|\mathbf{A}|>0$$

证*（Sylvester 定理证明）

必要性：已知 $\mathbf{A}$ 正定，即二次型 $f={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 正定。

对任意 $1\le k\le n$，记

Aₖ = a₁1 & a₁2 & … & a₁k a₂1 & a₂2 & … & a₂k vdots & vdots & & vdots aₖ1 & aₖ2 & … & aₖk$${\mathbf{A}}_k=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1k}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2k}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right)$$

将 $\mathbf{A}$ 分块表示为 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_k& \mathbf{B}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{C}\end{array}\right)$，下面证 $|{\mathbf{A}}_k|>0$。

对任意 $k$ 维非零向量 ${\mathbf{v}}_k=(x_1,x_2,\cdots ,x_k{)}^{\mathrm{T}}\ne 0$，取 $n$ 维向量 ${\mathbf{x}}^{\ast }=(x_1,\cdots ,x_k,0,\cdots ,0{)}^{\mathrm{T}}$，则 ${\mathbf{x}}^{\ast }\ne 0$。因为 $f={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 正定，所以

(x^*)^TAx^* = (vₖ^T, 0) Aₖ & B B^T & C vₖ 0 = vₖ^TAₖvₖ > 0$$({\mathbf{x}}^{\ast }{)}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\mathbf{x}}^{\ast }=({\mathbf{v}}_k^{\mathrm{T}},0)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_k& \mathbf{B}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{C}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_k\\ 0\end{array}\right)={\mathbf{v}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_k{\mathbf{v}}_k>0$$

这说明 $k$ 元二次型 ${\mathbf{v}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_k{\mathbf{v}}_k$ 也是正定的，所以 ${\mathbf{A}}_k$ 的特征值全大于零，于是 $|{\mathbf{A}}_k|>0$。

充分性：用数学归纳法。

当 $n=1$ 时，$\mathbf{A}=(a_{11})$ 为一阶矩阵，已知 $a_{11}>0$。因为

(frac1sqrta₁1)A(frac1sqrta₁1) = (1)$$\left(\frac{1}{\sqrt{a_{11}}}\right)\mathbf{A}\left(\frac{1}{\sqrt{a_{11}}}\right)=(1)$$

即 $\mathbf{A}$ 与一阶单位矩阵合同，所以 $\mathbf{A}$ 是正定的。

假设当 $n=k-1$ ($k\ge 2$) 时，定理中的充分性成立。

当 $n=k$ 时，$\mathbf{A}=(a_{ij})$ 为 $k$ 阶矩阵，将 $\mathbf{A}$ 分块表示为

A = Aₖ-1 & α α^T & aₖk$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{k-1}& \mathbf{\alpha }\\ {\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}& a_{kk}\end{array}\right)$$

因为 $\mathbf{A}$ 的 $k$ 个顺序主子式全大于零，由归纳假设可知 ${\mathbf{A}}_{k-1}$ 是正定的，所以 ${\mathbf{A}}_{k-1}$ 与 $k-1$ 阶单位矩阵 ${\mathbf{E}}_{k-1}$ 合同，即存在 $k-1$ 阶可逆矩阵 ${\mathbf{C}}_{k-1}$，使得

Cₖ-1^TAₖ-1Cₖ-1 = Eₖ-1$${\mathbf{C}}_{k-1}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_{k-1}{\mathbf{C}}_{k-1}={\mathbf{E}}_{k-1}$$

已知 $|{\mathbf{A}}_{k-1}|>0$，所以 ${\mathbf{A}}_{k-1}$ 可逆。

令

P = Eₖ-1 & -Aₖ-1⁻1α 0 & 1 (其中 0 表示零矩阵)$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_{k-1}& -{\mathbf{A}}_{k-1}^{-1}\mathbf{\alpha }\\ 0& 1\end{array}\right)(\text{其中 }0\text{ 表示零矩阵})$$

则

P^TAP &= Eₖ-1 & 0 -α^TAₖ-1⁻1 & 1 Aₖ-1 & α α^T & aₖk Eₖ-1 & -Aₖ-1⁻1α 0 & 1 &= Aₖ-1 & 0 0 & aₖk - α^TAₖ-1⁻1α$$\begin{array}{rl}{\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}& =\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_{k-1}& 0\\ -{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_{k-1}^{-1}& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{k-1}& \mathbf{\alpha }\\ {\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}& a_{kk}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_{k-1}& -{\mathbf{A}}_{k-1}^{-1}\mathbf{\alpha }\\ 0& 1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{k-1}& 0\\ 0& a_{kk}-{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_{k-1}^{-1}\mathbf{\alpha }\end{array}\right)\end{array}$$

注意因为 ${\mathbf{A}}_{k-1}$ 是对称矩阵，所以 $({\mathbf{A}}_{k-1}^{-1}{)}^{\mathrm{T}}=({\mathbf{A}}_{k-1}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}={\mathbf{A}}_{k-1}^{-1}$。

又因 $|\mathbf{P}|=1$，故

|A| = |P^TAP| = |Aₖ-1|(aₖk - α^TAₖ-1⁻1α)$$|\mathbf{A}|=|{\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}|=|{\mathbf{A}}_{k-1}|(a_{kk}-{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_{k-1}^{-1}\mathbf{\alpha })$$

已知 $|\mathbf{A}|>0,|{\mathbf{A}}_{k-1}|>0$，所以 $a_{kk}-{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_{k-1}^{-1}\mathbf{\alpha }>0$。

记 $a=a_{kk}-{\mathbf{\alpha }}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_{k-1}^{-1}\mathbf{\alpha }>0$，再令

C = Cₖ-1 & 0 0 & (1)/(√(a))$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{C}}_{k-1}& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{a}}\end{array}\right)$$

则

C^TP^TAPC &= Cₖ-1^T & 0 0 & (1)/(√(a)) Aₖ-1 & 0 0 & a Cₖ-1 & 0 0 & (1)/(√(a)) &= Cₖ-1^TAₖ-1Cₖ-1 & 0 0 & 1 = Eₖ$$\begin{array}{rl}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{C}& =\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{C}}_{k-1}^{\mathrm{T}}& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{a}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{k-1}& 0\\ 0& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{C}}_{k-1}& 0\\ 0& \frac{1}{\sqrt{a}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{C}}_{k-1}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}_{k-1}{\mathbf{C}}_{k-1}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)={\mathbf{E}}_k\end{array}$$

这说明 $\mathbf{A}$ 与 $k$ 阶单位矩阵 ${\mathbf{E}}_k$ 合同，所以 $\mathbf{A}$ 是正定的。定理得证。

例 21 顺序主子式判定二次型正定性

判别二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+4x_2^2+5x_3^2+4x_1{x}_2-4x_2{x}_3$ 是否正定。

解

写出二次型的矩阵形式 $f={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$，其中

x = x₁ x₂ x₃ , A = 3 & 2 & 0 2 & 4 & -2 0 & -2 & 5$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 0\\ 2& 4& -2\\ 0& -2& 5\end{array}\right)$$

计算 $\mathbf{A}$ 的三个顺序主子式：

D₁ = 3 > 0, D₂ = 3 & 2 2 & 4 = 8 > 0, D₃ = |A| = 3(20 - 4) - 2(10) = 48 - 20 = 28 > 0$$D_1=3>0,D_2=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 4\end{array}\right|=8>0,D_3=|\mathbf{A}|=3(20-4)-2(10)=48-20=28>0$$

由定理11 可知，$\mathbf{A}$ 为正定矩阵，$f$ 为正定二次型。

例 22 待定参数使二次型正定的取值范围

求 $k$ 为何值时，以下三元二次型为正定二次型：

(1) $f(x_1,x_2,x_3)=(k+1)x_1^2+(k-1)x_2^2+(k-2)x_3^2$；

(2) $f(x,y,z)=5x^2+4xy+y^2-2xz+k{z}^2-2yz$。

解

(1) $f$ 为标准形，$f$ 是正定二次型当且仅当它的所有系数都是正数，即

k + 1 > 0 k - 1 > 0 k - 2 > 0 iff k > 2$$\{\begin{array}{l}k+1>0\\ k-1>0\\ k-2>0\end{array}⟺k>2$$

(2) $f$ 对应的对称矩阵为

A = 5 & 2 & -1 2 & 1 & -1 -1 & -1 & k$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}5& 2& -1\\ 2& 1& -1\\ -1& -1& k\end{array}\right)$$

计算顺序主子式：

D₁ = 5 > 0, D₂ = 5 & 2 2 & 1 = 1 > 0, D₃ = 5 & 2 & -1 2 & 1 & -1 -1 & -1 & k = k - 2$$D_1=5>0,D_2=\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=1>0,D_3=\left|\begin{array}{ccc}5& 2& -1\\ 2& 1& -1\\ -1& -1& k\end{array}\right|=k-2$$

由定理11 可知，它是正定二次型当且仅当 $D_3>0$，即 $k>2$。

二*、其他有定二次型

对于非正定的二次型，还可分为半正定、负定、半负定及不定等几种类型。下面分别给出定义与判别条件。

定义 16 其他有定二次型与不定二次型

设 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 是实二次型。

1. 半正定：如果对任意 $\mathbf{x}\ne 0$，都有 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}\ge 0$，则称 $f$ 为半正定二次型，称 $\mathbf{A}$ 为半正定矩阵。
2. 负定：如果对任意 $\mathbf{x}\ne 0$，都有 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}<0$，则称 $f$ 为负定二次型，称 $\mathbf{A}$ 为负定矩阵。
3. 半负定：如果对任意 $\mathbf{x}\ne 0$，都有 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}\le 0$，则称 $f$ 为半负定二次型，称 $\mathbf{A}$ 为半负定矩阵。
4. 不定：既非正定、半正定，又非负定、半负定的二次型（矩阵）称为不定二次型（不定矩阵）。

类似于定理10，有下面的定理12。

定理 12 半正定二次型的标准形判别

实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$ 是半正定二次型的充分必要条件是它的标准形中 $n$ 个系数全为非负数。

定理12 的证明与定理10 的证明完全类似，在此不再赘述。

关于矩阵半正定的判别，没有类似于定理11 的关于顺序主子式的性质。这一点不难理解：

反例警示：顺序主子式不能判定半正定

例如 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$，$\mathbf{A}$ 的三个顺序主子式为 $D_1=1\ge 0,D_2=0\ge 0,D_3=0\ge 0$，都非负，但二次型 $f(x_1,x_2,x_3)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=x_1^2-x_3^2$ 却不是半正定的（当取 $\mathbf{x}=(0,0,1{)}^{\mathrm{T}}$ 时 $f=-1<0$）。

但我们有下面的定理：

定理 13 半正定矩阵的主子式充要条件

实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 半正定的充分必要条件是 $\mathbf{A}$ 的所有主子式均非负。

定理必要性的证明与本章定理11 中必要性的证明类似，但定理充分性的证明超出了本课程的要求，在此略去。

负定与半负定的判别转化

由定义可知，实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 负定（半负定）当且仅当 $-\mathbf{A}$ 正定（半正定）。因此关于矩阵负定与半负定的判别就不必另做单独讨论了。

例如，$\mathbf{A}$ 为负定矩阵 $⟺$ 奇数阶顺序主子式全为负，偶数阶顺序主子式全为正，即 $(-1{)}^k{D}_k>0$ ($k=1,2,\cdots ,n$)。

7.5 正定二次型与正定矩阵