4.1 n维向量的概念及其线性运算

本章介绍 $n$ 维向量组的线性相关性、向量组的极大线性无关组及向量组的秩的概念，并讨论向量组的秩和矩阵的秩之间的关系，最后给出向量空间的概念。

在三维空间中，用 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 分别表示空间直角坐标系的三个坐标轴 $x$ 轴、$y$ 轴和 $z$ 轴上的单位向量，即 $\mathbf{i}=(1,0,0),\mathbf{j}=(0,1,0),\mathbf{k}=(0,0,1)$。以坐标原点 $O(0,0,0)$ 为起点，以 $M(x,y,z)$ 为终点的向量可表示为

overrightarrowOM = xi + yj + zk,$$\overrightarrow{OM}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k},$$

或简记为 $\overrightarrow{OM}=(x,y,z)$，即用三元有序数组来表示一个三维向量。

若暂时抛开向量的几何背景，而把一个向量抽象为一个数组，且数组中数的个数也可以少于或多于 3 个，那么向量可表示的对象就十分广泛，这使得向量理论在数学和其他应用科学中都有着广泛的应用。

一、$n$ 维向量的定义

定义 1 n 维向量

由 $n$ 个数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ 组成的有序数组

α = (a₁, a₂, …, aₙ)$$\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$$

称为一个 $n$ 维向量，数 $a_i$ 称为该向量的第 $i$ 个分量 ($i=1,2,\dots ,n$)。

分量为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。如无特殊说明，本书中的向量都指实向量。

向量可以写成一行：$(a_1,a_2,\dots ,a_n)$；也可以写成一列：

α = a₁ a₂ vdots aₙ$$\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)$$

前者称为行向量，后者称为列向量。列向量也可以写成 $(a_1,a_2,\dots ,a_n{)}^{\mathrm{T}}$ 的形式。

用小写黑体字母 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{x},\mathbf{y},\dots$ 来表示向量，用带下标的非黑体字母 $a_i,b_i,x_i,y_i,\dots$ 表示向量的分量。本书下面所讨论的向量若未写出具体形式，也没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。

$n$ 维向量是解析几何中向量的推广，当 $n>3$ 时，$n$ 维向量没有直观的几何意义，只是沿用了几何上的术语。

可用矩阵方法定义向量：一个 $n$ 维行向量定义为一个 $1\times n$ 矩阵

α = (a₁, a₂, …, aₙ).$$\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_n).$$

一个 $n$ 维列向量定义为一个 $n\times 1$ 矩阵

β = b₁ b₂ vdots bₙ .$$\mathbf{\beta }=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right).$$

这样向量又是一种特殊的矩阵，因此，向量相等、零向量、负向量的定义及向量运算的定义，自然都应与矩阵的相应定义一致。

零向量、负向量与向量相等

所有分量都是零的 $n$ 维向量称为 $n$ 维零向量，记作 $0$，即

0 = (0, 0, …, 0).$$0=(0,0,\dots ,0).$$

向量 $\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 的各个分量都取相反数组成的向量，称为 $\mathbf{\alpha }$ 的负向量，记作 $-\mathbf{\alpha }$，即

-α = (-a₁, -a₂, …, -aₙ).$$-\mathbf{\alpha }=(-a_1,-a_2,\dots ,-a_n).$$

如果两个 $n$ 维向量 $\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 与 $\mathbf{\beta }=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$ 的对应分量都相等，即

aᵢ = bᵢ (i = 1, 2, …, n),$$a_i=b_i(i=1,2,\dots ,n),$$

则称向量 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 相等，记作 $\mathbf{\alpha }=\mathbf{\beta }$。

二、$n$ 维向量的加法和数乘运算

定义 2 向量的加法与减法

设 $n$ 维向量 $\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_n),\mathbf{\beta }=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$，则 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 的和是向量

α + β = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, …, aₙ + bₙ).$$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots ,a_n+b_n).$$

利用负向量的概念，还可以定义向量的减法为

α - β = α + (-β) = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, …, aₙ - bₙ).$$\mathbf{\alpha }-\mathbf{\beta }=\mathbf{\alpha }+(-\mathbf{\beta })=(a_1-b_1,a_2-b_2,\dots ,a_n-b_n).$$

定义 3 数与向量的乘法

设 $\mathbf{\alpha }=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 是一个 $n$ 维向量，$k$ 为一个实数，则实数 $k$ 与 $\mathbf{\alpha }$ 的乘积称为数乘向量，简称为数乘，记作 $k\mathbf{\alpha }$，并且

kα = k(a₁, a₂, …, aₙ) = (ka₁, ka₂, …, kaₙ).$$k\mathbf{\alpha }=k(a_1,a_2,\dots ,a_n)=(k{a}_1,k{a}_2,\dots ,k{a}_n).$$

数乘交换约定

对于任意实数 $k$ 以及任意的 $n$ 维向量 $\mathbf{\alpha }$，都有 $k\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }k$。

以上是就行向量的情形定义了向量的加法、减法与数乘运算。对列向量的情形可完全类似地定义向量的加法、减法与数乘运算。

向量的加法运算及数乘运算统称为向量的线性运算，这是向量最基本的运算。

向量的运算满足下列 8 条运算规律：设 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 都是 $n$ 维向量，$k,l$ 是任意实数，则：

1. $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }$（加法交换律）；
2. $(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })+\mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }+(\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma })$（加法结合律）；
3. $\mathbf{\alpha }+0=\mathbf{\alpha }$；
4. $\mathbf{\alpha }+(-\mathbf{\alpha })=0$；
5. $1\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }$；
6. $k(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=k\mathbf{\alpha }+k\mathbf{\beta }$（数乘分配律）；
7. $(k+l)\mathbf{\alpha }=k\mathbf{\alpha }+l\mathbf{\alpha }$（数乘分配律）；
8. $(kl)\mathbf{\alpha }=k(l\mathbf{\alpha })$（数乘向量结合律）。

例 1 向量线性运算求值

设 $\mathbf{\alpha }=(2,1,3),\mathbf{\beta }=(-1,3,6),\mathbf{\gamma }=(2,-1,4)$。求向量 $2\mathbf{\alpha }+3\mathbf{\beta }-\mathbf{\gamma }$。

解

2α + 3β - γ &= 2(2, 1, 3) + 3(-1, 3, 6) - (2, -1, 4) &= (4, 2, 6) + (-3, 9, 18) - (2, -1, 4) &= (-1, 12, 20).$$\begin{array}{rl}2\mathbf{\alpha }+3\mathbf{\beta }-\mathbf{\gamma }& =2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)\\ & =(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)\\ & =(-1,12,20).\end{array}$$

例 2 求解向量方程

设 $\mathbf{\alpha }=(1,0,-2,3),\mathbf{\beta }=(4,-1,-2,3)$，求满足 $2\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }+3\mathbf{\gamma }=0$ 的 $\mathbf{\gamma }$。

解

γ &= -1/3(2α + β) &= -1/3[2(1, 0, -2, 3) + (4, -1, -2, 3)] &= -1/3[(2, 0, -4, 6) + (4, -1, -2, 3)] &= (-2, 1/3, 2, -3).$$\begin{array}{rl}\mathbf{\gamma }& =-\frac{1}{3}(2\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })\\ & =-\frac{1}{3}[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]\\ & =-\frac{1}{3}[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]\\ & =\left(-2,\frac{1}{3},2,-3\right).\end{array}$$

4.1 n维向量的概念及其线性运算