2.6 矩阵的分块法

分块矩阵理论是矩阵代数中的重要组成部分。在理论研究与工程计算中，常会遇到阶数很高的矩阵，为了简化书写与运算、突出矩阵内部结构，通常采用分块的方法——即用一些贯穿于矩阵的纵横虚线将矩阵分割为若干个小矩阵（称为子块或子矩阵），以子块为元素构成的形式上的矩阵称为分块矩阵。本节系统阐述分块矩阵的加法、数乘、转置与乘法，重点讨论准对角矩阵求逆、准三角矩阵性质以及分块初等变换技巧。

分块矩阵的一般形式可记为：

A = A₁1 & A₁2 & … & A₁s A₂1 & A₂2 & … & A₂s vdots & vdots & ddots & vdots Aᵣ1 & Aᵣ2 & … & Aᵣs = (Aᵢj)ᵣ × s.$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}& \cdots & {\mathbf{A}}_{1s}\\ {\mathbf{A}}_{21}& {\mathbf{A}}_{22}& \cdots & {\mathbf{A}}_{2s}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{A}}_{r1}& {\mathbf{A}}_{r2}& \cdots & {\mathbf{A}}_{rs}\end{array}\right)=({\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times s}.$$

其中，每一行小块称为一个块行，每一列小块称为一个块列。

两种常见特殊分块方法

对于任意 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，最常用的两种特殊分块是：

1. 行向量表示法（按行分块）：

A = α₁ α₂ vdots αₘ , 其中 αᵢ = (aᵢ1, aᵢ2, …, aᵢn) (i = 1, 2, …, m);$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\alpha }}_1\\ {\mathbf{\alpha }}_2\\ ⋮\\ {\mathbf{\alpha }}_m\end{array}\right),\text{其中 }{\mathbf{\alpha }}_i=(a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in})(i=1,2,\dots ,m);$$

2. 列向量表示法（按列分块）：

A = (β₁, β₂, …, βₙ), 其中 βⱼ = a₁j a₂j vdots aₘj (j = 1, 2, …, n).$$\mathbf{A}=({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\dots ,{\mathbf{\beta }}_n),\text{其中 }{\mathbf{\beta }}_j=\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right)(j=1,2,\dots ,n).$$

分块矩阵的所有运算法则是普通矩阵运算在子块层面的自然扩展，其形式规则与普通数的运算保持一致。

一、分块矩阵的加法与数乘

设 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 具有完全相同的分块方式：

A = A₁1 & … & A₁s vdots & ddots & vdots Aᵣ1 & … & Aᵣs , B = B₁1 & … & B₁s vdots & ddots & vdots Bᵣ1 & … & Bᵣs ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{A}}_{11}& \cdots & {\mathbf{A}}_{1s}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{A}}_{r1}& \cdots & {\mathbf{A}}_{rs}\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{B}}_{11}& \cdots & {\mathbf{B}}_{1s}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{B}}_{r1}& \cdots & {\mathbf{B}}_{rs}\end{array}\right),$$

其中各对应子块 ${\mathbf{A}}_{ij}$ 与 ${\mathbf{B}}_{ij}$ 的行数、列数均相同（$1\le i\le r,1\le j\le s$），则

A + B = A₁1 + B₁1 & … & A₁s + B₁s vdots & ddots & vdots Aᵣ1 + Bᵣ1 & … & Aᵣs + Bᵣs .$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{A}}_{11}+{\mathbf{B}}_{11}& \cdots & {\mathbf{A}}_{1s}+{\mathbf{B}}_{1s}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{A}}_{r1}+{\mathbf{B}}_{r1}& \cdots & {\mathbf{A}}_{rs}+{\mathbf{B}}_{rs}\end{array}\right).$$

数 $k$ 与分块矩阵 $\mathbf{A}$ 的乘积为

kA = kA₁1 & … & kA₁s vdots & ddots & vdots kAᵣ1 & … & kAᵣs .$$k\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}k{\mathbf{A}}_{11}& \cdots & k{\mathbf{A}}_{1s}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ k{\mathbf{A}}_{r1}& \cdots & k{\mathbf{A}}_{rs}\end{array}\right).$$

例 28 列向量分块矩阵加法与行列式计算

设 $\mathbf{A}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta })$，$\mathbf{B}=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\gamma })$ 都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知 $|\mathbf{A}|=1$ 和 $|\mathbf{B}|=-2$，求行列式 $|\mathbf{A}+\mathbf{B}|$ 的值。

解

根据分块矩阵加法定义：

A + B = (2α₁, 2α₂, 2α₃, β + γ).$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=(2{\mathbf{\alpha }}_1,2{\mathbf{\alpha }}_2,2{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma }).$$

利用行列式性质，提出各列公因数：

|A + B| = 2³ · |α₁, α₂, α₃, β + γ|.$$|\mathbf{A}+\mathbf{B}|=2^3\cdot |{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma }|.$$

再按最后一列的拆行拆项性质展开：

|A + B| &= 8 ( |α₁, α₂, α₃, β| + |α₁, α₂, α₃, γ| ) &= 8 (|A| + |B|) = 8 (1 - 2) = -8.$$\begin{array}{rl}|\mathbf{A}+\mathbf{B}|& =8\left(|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\beta }|+|{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,\mathbf{\gamma }|\right)\\ & =8(|\mathbf{A}|+|\mathbf{B}|)=8(1-2)=-8.\end{array}$$

二、分块矩阵的转置

分块矩阵转置规则：“内外一起转”

设分块矩阵 $\mathbf{A}=({\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times s}$，则其转置矩阵为

A^T = A₁1^T & A₂1^T & … & Aᵣ1^T A₁2^T & A₂2^T & … & Aᵣ2^T vdots & vdots & ddots & vdots A₁s^T & A₂s^T & … & Aᵣs^T .$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{A}}_{21}^{\mathrm{T}}& \cdots & {\mathbf{A}}_{r1}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{A}}_{12}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{A}}_{22}^{\mathrm{T}}& \cdots & {\mathbf{A}}_{r2}^{\mathrm{T}}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\mathbf{A}}_{1s}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{A}}_{2s}^{\mathrm{T}}& \cdots & {\mathbf{A}}_{rs}^{\mathrm{T}}\end{array}\right).$$

即：不仅将各子块视为元素作行列互换（外层转置），而且每个子块自身也必须进行转置（内层转置）。

例 29 分块矩阵转置

设

A = 1 & 2 & vdots & 3 & 4 & 5 6 & 7 & vdots & 8 & 9 & 10 … & … & vdots & … & … & … 10 & 9 & vdots & 8 & 7 & 6 5 & 4 & vdots & 3 & 2 & 1 = A₁1 & A₁2 A₂1 & A₂2 ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& ⋮& 3& 4& 5\\ 6& 7& ⋮& 8& 9& 10\\ \cdots & \cdots & ⋮& \cdots & \cdots & \cdots \\ 10& 9& ⋮& 8& 7& 6\\ 5& 4& ⋮& 3& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}\\ {\mathbf{A}}_{21}& {\mathbf{A}}_{22}\end{array}\right),$$

则

A^T = A₁1^T & A₂1^T A₁2^T & A₂2^T = 1 & 6 & vdots & 10 & 5 2 & 7 & vdots & 9 & 4 … & … & vdots & … & … 3 & 8 & vdots & 8 & 3 4 & 9 & vdots & 7 & 2 5 & 10 & vdots & 6 & 1 .$${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_{11}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{A}}_{21}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{A}}_{12}^{\mathrm{T}}& {\mathbf{A}}_{22}^{\mathrm{T}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 6& ⋮& 10& 5\\ 2& 7& ⋮& 9& 4\\ \cdots & \cdots & ⋮& \cdots & \cdots \\ 3& 8& ⋮& 8& 3\\ 4& 9& ⋮& 7& 2\\ 5& 10& ⋮& 6& 1\end{array}\right).$$

三、分块矩阵的乘法

分块矩阵乘法法则与相容条件

设矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times p}$，$\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{p\times n}$。计算乘积 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 时，必须使左边矩阵 $\mathbf{A}$ 的列分块方式与右边矩阵 $\mathbf{B}$ 的行分块方式完全一致：

设 $\mathbf{A}$ 的列划分为 $l_1,l_2,\dots ,l_s$ 列，$\mathbf{B}$ 的行对应划分为 $l_1,l_2,\dots ,l_s$ 行，则乘积

AB = C = (Cᵢj)ᵣ × t,$$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{C}=({\mathbf{C}}_{ij}{)}_{r\times t},$$

其中子块计算满足类矩阵乘法公式：

Cᵢj = ∑ₖ=1^s AᵢkBₖj = Aᵢ1B₁j + Aᵢ2B₂j + … + AᵢsBₛj.$${\mathbf{C}}_{ij}=\sum _{k=1}^s{\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}={\mathbf{A}}_{i1}{\mathbf{B}}_{1j}+{\mathbf{A}}_{i2}{\mathbf{B}}_{2j}+\cdots +{\mathbf{A}}_{is}{\mathbf{B}}_{sj}.$$

例 30 分块矩阵乘法计算

对于矩阵

A = 1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 , B = 1 & 2 & 0 & 0 3 & 0 & 0 & 0 4 & 5 & 1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 1\\ 0& 1& 3& 4\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 3& 0& 0& 0\\ 4& 5& 1& 0\\ 0& 2& 0& 1\end{array}\right),$$

用分块矩阵计算 $\mathbf{A}\mathbf{B}$。

解

将矩阵 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均采用 $2\times 2$ 分块：

A = E & C O & -E , B = D & O F & E ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& -\mathbf{E}\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{D}& \mathbf{O}\\ \mathbf{F}& \mathbf{E}\end{array}\right),$$

其中

C = 2 & 1 3 & 4 , D = 1 & 2 3 & 0 , E = 1 & 0 0 & 1 , F = 4 & 5 0 & 2 .$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right),\mathbf{D}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right),\mathbf{E}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\mathbf{F}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 2\end{array}\right).$$

于是

AB = E & C O & -E D & O F & E = ED + CF & CE -EF & -E = D + CF & C -F & -E .$$\mathbf{A}\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E}& \mathbf{C}\\ \mathbf{O}& -\mathbf{E}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{D}& \mathbf{O}\\ \mathbf{F}& \mathbf{E}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E}\mathbf{D}+\mathbf{C}\mathbf{F}& \mathbf{C}\mathbf{E}\\ -\mathbf{E}\mathbf{F}& -\mathbf{E}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{D}+\mathbf{C}\mathbf{F}& \mathbf{C}\\ -\mathbf{F}& -\mathbf{E}\end{array}\right).$$

由于

D + CF = 1 & 2 3 & 0 + 2 & 1 3 & 4 4 & 5 0 & 2 = 1 & 2 3 & 0 + 8 & 12 12 & 23 = 9 & 14 15 & 23 ,$$\mathbf{D}+\mathbf{C}\mathbf{F}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}8& 12\\ 12& 23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}9& 14\\ 15& 23\end{array}\right),$$

故

AB = 9 & 14 & 2 & 1 15 & 23 & 3 & 4 -4 & -5 & -1 & 0 0 & -2 & 0 & -1 .$$\mathbf{A}\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}9& 14& 2& 1\\ 15& 23& 3& 4\\ -4& -5& -1& 0\\ 0& -2& 0& -1\end{array}\right).$$

四、对角分块矩阵与准三角分块矩阵

对角分块矩阵（准对角矩阵）及其逆

形如

A = A₁ & & & & A₂ & & & & ddots & & & & Aᵣ = diag(A₁, A₂, …, Aᵣ)$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_1& & & \\ & {\mathbf{A}}_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_r\end{array}\right)=\mathrm{diag}({\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\dots ,{\mathbf{A}}_r)$$

的分块矩阵称为准对角矩阵（或分块对角矩阵），其中各对角子块 ${\mathbf{A}}_1,{\mathbf{A}}_2,\dots ,{\mathbf{A}}_r$ 均为方阵（阶数可以不同）。

1. 乘积：两个分块方式相同的准对角矩阵的乘积仍为准对角矩阵：

diag(A₁, …, Aᵣ) diag(B₁, …, Bᵣ) = diag(A₁B₁, …, AᵣBᵣ);$$\mathrm{diag}({\mathbf{A}}_1,\dots ,{\mathbf{A}}_r)\mathrm{diag}({\mathbf{B}}_1,\dots ,{\mathbf{B}}_r)=\mathrm{diag}({\mathbf{A}}_1{\mathbf{B}}_1,\dots ,{\mathbf{A}}_r{\mathbf{B}}_r);$$

2. 逆矩阵：准对角矩阵可逆当且仅当每一个子块 ${\mathbf{A}}_i$ 均可逆，且其逆矩阵为各子块逆矩阵构成的准对角矩阵：

A⁻1 = A₁⁻1 & & & & A₂⁻1 & & & & ddots & & & & Aᵣ⁻1 ;$${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_1^{-1}& & & \\ & {\mathbf{A}}_2^{-1}& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\mathbf{A}}_r^{-1}\end{array}\right);$$

3. 行列式：准对角矩阵及准上（下）三角矩阵的行列式等于主对角线上各个子块行列式的乘积：

|A| = ∏ᵢ=1^r |Aᵢ|.$$|\mathbf{A}|=\prod _{i=1}^r|{\mathbf{A}}_i|.$$

例 31 准对角矩阵求逆

求矩阵

A = 1 & -1 & & & 1 & -3 & & & & & 2 & 1 & & & 3 & 2 & & & & & 4$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& -1& & & \\ 1& -3& & & \\ & & 2& 1& \\ & & 3& 2& \\ & & & & 4\end{array}\right)$$

的逆矩阵。

解

将 $\mathbf{A}$ 分块为准对角矩阵：

A = A₁ & & & A₂ & & & A₃ ,$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{A}}_1& & \\ & {\mathbf{A}}_2& \\ & & {\mathbf{A}}_3\end{array}\right),$$

其中

A₁ = 1 & -1 1 & -3 , A₂ = 2 & 1 3 & 2 , A₃ = (4).$${\mathbf{A}}_1=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -3\end{array}\right),{\mathbf{A}}_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right),{\mathbf{A}}_3=(4).$$

分别求各个对角子块的逆矩阵：

A₁⁻1 = 3/2 & -1/2 1/2 & -1/2 , A₂⁻1 = 2 & -1 -3 & 2 , A₃⁻1 = (1/4).$${\mathbf{A}}_1^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right),{\mathbf{A}}_2^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -3& 2\end{array}\right),{\mathbf{A}}_3^{-1}=\left(\frac{1}{4}\right).$$

所以

A⁻1 = 3/2 & -1/2 & & & 1/2 & -1/2 & & & & & 2 & -1 & & & -3 & 2 & & & & & 1/4 .$${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}& & & \\ \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& & & \\ & & 2& -1& \\ & & -3& 2& \\ & & & & \frac{1}{4}\end{array}\right).$$

例 32 准下三角分块矩阵求逆

设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_1& \mathbf{O}\\ {\mathbf{A}}_3& {\mathbf{A}}_4\end{array}\right)$ 为 $n$ 阶方阵，${\mathbf{A}}_1$ 为 $r$ 阶可逆子块，${\mathbf{A}}_4$ 为 $n-r$ 阶可逆子块，求 ${\mathbf{A}}^{-1}$。

解

由于 $|\mathbf{A}|=|{\mathbf{A}}_1|\cdot |{\mathbf{A}}_4|\ne 0$，$\mathbf{A}$ 必可逆。设 $\mathbf{A}$ 的逆矩阵为同样划分的分块矩阵

X = X₁ & X₂ X₃ & X₄ .$$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{X}}_1& {\mathbf{X}}_2\\ {\mathbf{X}}_3& {\mathbf{X}}_4\end{array}\right).$$

由 $\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{E}$，有

A₁ & O A₃ & A₄ X₁ & X₂ X₃ & X₄ = A₁X₁ & A₁X₂ A₃X₁ + A₄X₃ & A₃X₂ + A₄X₄ = Eᵣ & O O & Eₙ-r .$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_1& \mathbf{O}\\ {\mathbf{A}}_3& {\mathbf{A}}_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{X}}_1& {\mathbf{X}}_2\\ {\mathbf{X}}_3& {\mathbf{X}}_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_1{\mathbf{X}}_1& {\mathbf{A}}_1{\mathbf{X}}_2\\ {\mathbf{A}}_3{\mathbf{X}}_1+{\mathbf{A}}_4{\mathbf{X}}_3& {\mathbf{A}}_3{\mathbf{X}}_2+{\mathbf{A}}_4{\mathbf{X}}_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_{n-r}\end{array}\right).$$

比较两边对应的子块，得方程组：

A₁X₁ = Eᵣ, A₁X₂ = O, A₃X₁ + A₄X₃ = O, A₃X₂ + A₄X₄ = Eₙ-r.$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{A}}_1{\mathbf{X}}_1={\mathbf{E}}_r,\\ {\mathbf{A}}_1{\mathbf{X}}_2=\mathbf{O},\\ {\mathbf{A}}_3{\mathbf{X}}_1+{\mathbf{A}}_4{\mathbf{X}}_3=\mathbf{O},\\ {\mathbf{A}}_3{\mathbf{X}}_2+{\mathbf{A}}_4{\mathbf{X}}_4={\mathbf{E}}_{n-r}.\end{array}$$

解得：

X₁ = A₁⁻1, X₂ = O, X₄ = A₄⁻1, X₃ = -A₄⁻1A₃A₁⁻1.$${\mathbf{X}}_1={\mathbf{A}}_1^{-1},{\mathbf{X}}_2=\mathbf{O},{\mathbf{X}}_4={\mathbf{A}}_4^{-1},{\mathbf{X}}_3=-{\mathbf{A}}_4^{-1}{\mathbf{A}}_3{\mathbf{A}}_1^{-1}.$$

所以

A⁻1 = A₁⁻1 & O -A₄⁻1A₃A₁⁻1 & A₄⁻1 .$${\mathbf{A}}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{A}}_1^{-1}& \mathbf{O}\\ -{\mathbf{A}}_4^{-1}{\mathbf{A}}_3{\mathbf{A}}_1^{-1}& {\mathbf{A}}_4^{-1}\end{array}\right).$$

五、分块矩阵的初等变换及其应用

以常用的 $2\times 2$ 分块矩阵为例，可以相应定义三类分块初等矩阵：

1. 分块对换初等矩阵：$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{O}& {\mathbf{E}}_s\\ {\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\end{array}\right)$；
2. 分块倍乘初等矩阵：$\left(\begin{array}{cc}k{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_s\end{array}\right)$；
3. 分块倍加初等矩阵：$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& \mathbf{O}\\ {\mathbf{C}}_1& {\mathbf{E}}_s\end{array}\right)$ 或 $\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_r& {\mathbf{C}}_2\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_s\end{array}\right)$。

将这些分块初等矩阵左乘或右乘分块矩阵，等价于对该矩阵施行对应的分块初等变换。

例如，设 $\mathbf{A}$ 为可逆矩阵，利用分块倍加变换可以消去分块矩阵中的非对角块：

E & O -CA⁻1 & E A & B C & D = A & B O & D - CA⁻1B .$$\left(\begin{array}{cc}\mathbf{E}& \mathbf{O}\\ -\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}& \mathbf{E}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{O}& \mathbf{D}-\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\end{array}\right).$$

例 33 分块矩阵的行列式降阶

设 $\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}$ 为 $n$ 阶方阵，$\mathbf{A}$ 为可逆矩阵，且 $\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{C}\mathbf{A}$。证明：

A & B C & D = |AD - CB|.$$\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right|=|\mathbf{A}\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{B}|.$$

证明

用倍加分块初等矩阵把 $\mathbf{C}$ 消为零矩阵：

Eₙ & O -CA⁻1 & Eₙ A & B C & D = A & B O & D - CA⁻1B .$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{O}\\ -\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{O}& \mathbf{D}-\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\end{array}\right).$$

对两边的分块矩阵取行列式，并利用分块初等矩阵行列式等于 $1$：

A & B C & D = A & B O & D - CA⁻1B = |A| · |D - CA⁻1B| = |AD - ACA⁻1B|.$$\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{O}& \mathbf{D}-\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}\end{array}\right|=|\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{D}-\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}\mathbf{D}-\mathbf{A}\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{B}|.$$

因为 $\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{C}\mathbf{A}$，故 $\mathbf{A}\mathbf{C}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{C}\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{C}$，从而

A & B C & D = |AD - CB|.$$\left|\begin{array}{cc}\mathbf{A}& \mathbf{B}\\ \mathbf{C}& \mathbf{D}\end{array}\right|=|\mathbf{A}\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{B}|.$$

例 34 广义特征行列式的对称恒等式

已知 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，证明：

|E - AB| = |E - BA|.$$|\mathbf{E}-\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{E}-\mathbf{B}\mathbf{A}|.$$

证明

方法一（若 $\mathbf{A}$ 或 $\mathbf{B}$ 可逆）：不妨设 $\mathbf{A}$ 可逆，则

|E - AB| = |A(E - BA)A⁻1| = |A| · |E - BA| · |A|⁻1 = |E - BA|.$$|\mathbf{E}-\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{A}(\mathbf{E}-\mathbf{B}\mathbf{A}){\mathbf{A}}^{-1}|=|\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{E}-\mathbf{B}\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{A}{|}^{-1}=|\mathbf{E}-\mathbf{B}\mathbf{A}|.$$

方法二（一般情形：构造分块矩阵消元）：构造 $2n$ 阶分块矩阵

M = Eₙ & A B & Eₙ .$$\mathbf{M}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right).$$

用倍加分块初等矩阵消去 $\mathbf{B}$：

Eₙ & O -B & Eₙ Eₙ & A B & Eₙ = Eₙ & A O & Eₙ - BA .$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{O}\\ -\mathbf{B}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{A}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n-\mathbf{B}\mathbf{A}\end{array}\right).$$

类似地，用倍加分块初等矩阵消去 $\mathbf{A}$：

Eₙ & A B & Eₙ Eₙ & -A O & Eₙ = Eₙ & O B & Eₙ - AB .$$\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& -\mathbf{A}\\ \mathbf{O}& {\mathbf{E}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{E}}_n& \mathbf{O}\\ \mathbf{B}& {\mathbf{E}}_n-\mathbf{A}\mathbf{B}\end{array}\right).$$

对上面两式两边分别取行列式，得

|M| = |Eₙ| · |Eₙ - BA| = |Eₙ - BA|,$$|\mathbf{M}|=|{\mathbf{E}}_n|\cdot |{\mathbf{E}}_n-\mathbf{B}\mathbf{A}|=|{\mathbf{E}}_n-\mathbf{B}\mathbf{A}|,$$|M| = |Eₙ| · |Eₙ - AB| = |Eₙ - AB|.$$|\mathbf{M}|=|{\mathbf{E}}_n|\cdot |{\mathbf{E}}_n-\mathbf{A}\mathbf{B}|=|{\mathbf{E}}_n-\mathbf{A}\mathbf{B}|.$$

故必有

|E - AB| = |E - BA|.$$|\mathbf{E}-\mathbf{A}\mathbf{B}|=|\mathbf{E}-\mathbf{B}\mathbf{A}|.$$

2.6 矩阵的分块法