2.1 矩阵的概念 · 《线性代数及其应用（原书第5版）》

矩阵是一个重要的数学工具，是线性代数研究的主要内容之一，也是学习以后各章的基础。矩阵在自然科学和工程技术的各个领域都有广泛的应用。本章将介绍矩阵的概念及其运算，进而讨论矩阵的初等变换和初等矩阵。

矩阵产生于许多实际问题中，本节首先通过物资调运、通信网络、线性方程组和线性变换等实际例子引出矩阵的定义，并系统介绍常见特殊矩阵。

一、矩阵的实际例子

例 1 物资调运问题

在物资调运中，某产品从 $m$ 个产地 $x_1, x_2, \dots, x_m$ 运到 $n$ 个销地 $y_1, y_2, \dots, y_n$ ，其运输的数量可用下面的数表来表示：

产地 \ 销地	$y_1$	$y_2$	$\cdots$	$y_n$
$x_1$	$a_{11}$	$a_{12}$	$\cdots$	$a_{1n}$
$x_2$	$a_{21}$	$a_{22}$	$\cdots$	$a_{2n}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$
$x_m$	$a_{m1}$	$a_{m2}$	$\cdots$	$a_{mn}$

表中数字 $a_{ij}$ 表示由产地 $x_i$ 运到销地 $y_j$ 的数量，这个按一定次序排列的数表

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

表示了物资的调运方案。

例 2 通信网络模型

一个简单的通信网络如图 2.1 所示， $z_1, z_2, z_3, z_4$ 表示 4 个通信点，连接线表示点 $z_i$ 与点 $z_j$ 相互有通信联系，用 $a_{ij} = 1$ 表示；若无联系，则用 $a_{ij} = 0$ 表示。又假设点自身不通信，即 $a_{ii} = 0$ 。

该网络联系信息可用如下的数表来表示：

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

例 3 线性方程组与系数数表

设有 $m$ 个方程、 $n$ 个未知量的线性方程组

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2, \\ \quad \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m, \end{cases} \tag{2.1}

把它的系数按原来次序排成数表

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix},

常数项也排成一个数表

\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}.

有了这两个数表，线性方程组 (2.1) 就完全确定了。

类似这种矩形排列的数表，在自然科学和工程技术等领域经常用到。在数学上，这种数表叫作矩阵。

二、矩阵的定义

定义 1 矩阵

由 $m \times n$ 个数 $a_{ij}$ （ $i = 1, 2, \dots, m;\; j = 1, 2, \dots, n$ ）排成的一个 $m$ 行 $n$ 列的数表

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

称为一个 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称 $m \times n$ 矩阵。它是一个用圆括号所围的矩形阵列。

其中 $a_{ij}$ 称为该矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列元素（ $i = 1, 2, \dots, m;\; j = 1, 2, \dots, n$ ），而 $i$ 称为行标， $j$ 称为列标。第 $i$ 行与第 $j$ 列的交叉位置记为 $(i, j)$ 。

元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵。如无特殊说明，本书中的矩阵都指实矩阵。

通常用大写黑斜体字母 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数 $m$ 和列数 $n$ ，也可记为 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n}$ 或 $\boldsymbol{A}_{m \times n}$ ，有时简记作 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})$ 或 $\boldsymbol{A}$ 。

三、几种常用的特殊矩阵

1. 方阵

当 $m = n$ 时，称 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{n \times n}$ 为 $n$ 阶矩阵，或者称为 $n$ 阶方阵。 $n$ 阶方阵是由 $n^2$ 个数排成的一个正方表。

概念辨析

方阵不是一个数，它与 $n$ 阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵看作是一个数。

在 $n$ 阶方阵中，位于对角线上的元素 $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ 称为此方阵的对角元，对角元所在的对角线称为主对角线。

2. 行矩阵与列矩阵

当 $m = 1$ 时，称

\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix}

为行矩阵，即 $1 \times n$ 矩阵。 $1 \times n$ 矩阵又称为 $n$ 维行向量。为了避免元素间的混淆，行矩阵也记作 $\boldsymbol{A} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$ 。

当 $n = 1$ 时，称

\boldsymbol{B} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

为列矩阵，即 $m \times 1$ 矩阵。 $m \times 1$ 矩阵又称为 $m$ 维列向量。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。行矩阵和列矩阵也可用小写黑斜体字母 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \dots, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \dots$ 来表示。

3. 同型矩阵与矩阵相等

如果两个矩阵的行数、列数分别相等，则称它们是同型矩阵。

设 $\boldsymbol{A} = (a_{ij})_{m \times n}, \boldsymbol{B} = (b_{ij})_{m \times n}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 是同型矩阵。两个同型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的对应元素相等，则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相等，即

\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \iff a_{ij} = b_{ij} \quad (i = 1, 2, \dots, m;\; j = 1, 2, \dots, n).

4. 零矩阵

元素全为零的矩阵称为零矩阵。用 $\boldsymbol{O}_{m \times n}$ 或者用 $\boldsymbol{O}$ 表示，有时也用 $\mathbf{0}$ 表示。即

\boldsymbol{O} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.

注意

不同型的零矩阵是不相等的。

5. 对角矩阵、数量矩阵与单位矩阵

对角矩阵

形如

\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \quad \text{或} \quad \boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{pmatrix}

的方阵，称为对角矩阵（或对角阵），记作 $\boldsymbol{\Lambda} = \operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})$ 。

说明

对角矩阵必须是方阵。

数量矩阵与单位矩阵

当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。 $n$ 阶数量矩阵具有如下形式：

\begin{pmatrix} a & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a \end{pmatrix} \quad \text{或} \quad \begin{pmatrix} a & & & \\ & a & & \\ & & \ddots & \\ & & & a \end{pmatrix}.

特别当 $a = 1$ 时，称它为 $n$ 阶单位矩阵。 $n$ 阶单位矩阵记为 $\boldsymbol{E}_n$ 或 $\boldsymbol{I}_n$ ，即

\boldsymbol{E}_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \quad \text{或} \quad \boldsymbol{E}_n = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix}.

在不会引起混淆时，也可以用 $\boldsymbol{E}$ 或 $\boldsymbol{I}$ 表示单位矩阵。 $n$ 阶数量矩阵常用 $a\boldsymbol{E}_n$ 或 $a\boldsymbol{I}_n$ 表示。

6. 三角矩阵

形如

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}

的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

性质

一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。

四、线性变换与矩阵的联系

在许多实际问题中，经常遇到一些变量要用另一些变量线性表示。设一组变量 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 用另一组变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 线性表示为

\begin{cases} y_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n, \\ y_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n, \\ \quad \vdots \\ y_n = a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n, \end{cases} \tag{2.2}

把这种从一组变量 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 到另一组变量 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 的变换叫作线性变换。

给定了线性变换 (2.2)，它的系数所构成的矩阵也就随之确定；反之，如果给出一个 $n \times n$ 矩阵，则可构造出线性变换 (2.2)，即线性变换也就确定。在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系，因而可利用矩阵来研究线性变换。

例 4 线性变换与对角阵、单位阵

线性变换

\begin{cases} y_1 = \lambda_1 x_1, \\ y_2 = \lambda_2 x_2, \\ \quad \vdots \\ y_n = \lambda_n x_n, \end{cases} \tag{2.3}

对应 $n$ 阶对角矩阵

\boldsymbol{\Lambda} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}.

当 $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 1$ 时，称线性变换 (2.3) 为恒等变换，恒等变换对应单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 。