1.4 行列式的性质 · 《线性代数及其应用（原书第5版）》

因为 $n$ 阶行列式是 $n!$ 项求和，而且每一项都是 $n$ 个数的乘积，当 $n$ 稍大一些时，计算量就非常大，很难直接用定义去求行列式的值。利用行列式性质可有效解决行列式的求值问题。于是我们必须研究行列式的性质，并利用行列式的性质来简化行列式的计算。

将行列式 $D$ 的第 $i$ 行作为第 $i$ 列，第 $i$ 列作为第 $i$ 行 ( $i = 1, 2, \cdots, n$ ) 得到的行列式称为 $D$ 的转置行列式，记为 $D^T$ 或 $D'$ 。即如果

D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}, \quad \text{则} \quad D^T = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.

一、行列式的六大核心性质

性质 1 转置不变性

行列式与它的转置行列式相等，即

D^T = D.

行列对称原理

性质1 说明行列式的行和列具有同等的地位，凡是对行成立的性质，对列也一样成立，反之亦然。因此下面所讨论的行列式的性质，只对行的情形加以证明。

性质 2 换行变号性

互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号，即

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}. \tag{1.11}

证明

设式 (1.11) 中左边的行列式为 $D_1$ ，右边的式子为 $D_2$ 。且设 $D_2$ 的元素为 $b_{ij}$ ，则

b_{ij} = a_{kj}, \quad b_{kj} = a_{ij} \quad (j = 1, 2, \cdots, n),

b_{tj} = a_{tj} \quad (t \neq i, k; j = 1, 2, \cdots, n).

按 $n$ 阶行列式的定义，互换两行相当于在对应乘积项中做了一次对换，由于对换改变排列的奇偶性，因此展开式中所有项均改变符号，故 $D_2 = -D_1$ 。

推论 1.3 两行相同则行列式为零

如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式的值等于零。

证明

互换行列式 $D$ 中的这两个相同行，其结果仍是 $D$ ，但由性质2 可知其结果为 $-D$ 。因此 $D = -D$ ，得 $2D = 0$ ，所以 $D = 0$ 。

性质 3 数乘提公因子性

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k a_{i1} & k a_{i2} & \cdots & k a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.

推论 1.4 全零行推论

如果行列式中某一行（列）的元素全为零，则此行列式的值等于零。

性质 4 两行成比例则行列式为零

如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。

证明

设第 $j$ 行元素是第 $i$ 行元素的 $k$ 倍，由性质3 提出，剩下的行列式有两行对应元素完全相同，由推论1.3 可知该行列式为 0，从而 $k$ 提出，剩下的行列式有两行对应元素完全相同，由推论 1.3 可知该行列式为 0，从而 $D = k \times 0 = 0$ 。

例 7 成比例行列式求值

计算行列式

D = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 2 & 5 & 6 \\ -2 & 4 & -10 \end{vmatrix}.

解

因为第 3 行元素与第 1 行对应元素成比例（第 3 行是第 1 行的 $-2$ 倍），根据性质4，直接得出 $D = 0$ 。

例 8 求解行列式方程的所有根

求出 $x$ 的四次方程

f(x) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2-x^2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 9-x^2 \end{vmatrix} = 0

的所有实根。

解

根据行列式的定义，在其展开式中必有一项包含对角线元素乘积：

1 \times (2 - x^2) \times 1 \times (9 - x^2) = x^4 - 11x^2 + 18.

而且在整个行列式中， $x$ 的最高次数是 4，所以 $f(x) = 0$ 是四次方程，它最多有四个实数根。

将 $x = 1$ 代入行列式，第 2 行变为 $[1, 1, 2, 3]$ ，与第 1 行完全相同，因此 $f(1) = 0$ ；由于含有的是 $x^2$ ，将 $x = -1$ 代入同样使得第 1、2 行相同，故 $f(-1) = 0$ 。

将 $x = 2$ 代入行列式，第 4 行变为 $[2, 3, 1, 5]$ ，与第 3 行完全相同，因此 $f(2) = 0$ ；同理 $f(-2) = 0$ 。

因此， $x = \pm 1$ 和 $x = \pm 2$ 就是所求方程的全部四个根。

性质 5 单行拆项可加性

行列式可以按行（列）拆开：

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + b_{i1} & a_{i2} + b_{i2} & \cdots & a_{in} + b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}.

性质 6 初等行变换保值性

把行列式 $D$ 的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式的值仍为 $D$ 。

证明

将变换后的行列式按所改动的行用性质5 拆开为两项：第一项即为原行列式 $D$ 后与原有行完全相同，由性质4 其值恒为 0。因此两项之和仍为 $k$ 后与原有行完全相同，由性质 4 其值恒为 0。因此两项之和仍为 $D + 0 = D$ 。

二、初等变换记号与高阶化简技巧

为了叙述方便，引入以下初等变换记号：

对换行列式的 $i, j$ 两行（或列），记作 $r_i \leftrightarrow r_j$ （或 $c_i \leftrightarrow c_j$ ）；
把行列式的第 $i$ 行（或列）提出公因子 $k$ ，记作 $r_i \div k$ （或 $c_i \div k$ ）；
把行列式的第 $j$ 行（或列）的 $k$ 倍加到第 $i$ 行（或列）上，记作 $r_i + k r_j$ （或 $c_i + k c_j$ ）。

例 9 利用性质 5 与性质 6 计算行列式

计算行列式

D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 3 & -2 & 1 \\ 301 & -204 & 106 \end{vmatrix}.

解

将第 3 行拆开：

D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 3 & -2 & 1 \\ 300 + 1 & -200 + 4 & 100 + 6 \end{vmatrix}

= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 3 & -2 & 1 \\ 300 & -200 & 100 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 4 & 6 \end{vmatrix}.

前一个行列式的第 3 行是第 2 行的 100 倍，故其值为 0；后一个行列式对第 3 行作行变换 $r_3 - r_1$ ，得

D = 0 + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 3 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 2 \times (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -2 \times (1 - 18) = 34.

例 10 判定行列式等于零的充要条件

证明

D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & k & 1 & 0 \\ 0 & 0 & k & 2 \\ 0 & 0 & 2 & k \end{vmatrix} = 0

的充分必要条件是 $k = 1$ 或 $k = \pm 2$ 。

证明

对行列式作初等变换 $r_2 - r_1$ ：

D \xlongequal{r_2 - r_1} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & k-1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & k & 2 \\ 0 & 0 & 2 & k \end{vmatrix}.

由于这是一个分块对角矩阵形式，直接计算或继续化简可得：

D = 1 \cdot (k-1) \cdot \begin{vmatrix} k & 2 \\ 2 & k \end{vmatrix} = (k-1)(k^2 - 4).

因此 $D = 0 \iff (k-1)(k^2 - 4) = 0 \iff k = 1$ 或 $k = \pm 2$ 。

例 11 行和相等的 n 阶行列式计算

计算 $n$ 阶行列式

D = \begin{vmatrix} a & b & b & \cdots & b \\ b & a & b & \cdots & b \\ b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ b & b & b & \cdots & a \end{vmatrix}.

解

这个 $n$ 阶行列式的特点是：每一行的元素之和都等于常数 $a + (n-1)b$ 。因此，把第 2 列、第 3 列、 $\cdots$ 、第 $n$ 列分别加到第 1 列上，就可以使第 1 列含有公因子 $a + (n-1)b$ 。把该公因子提出后，第 1 列元素全为 1：

D = \begin{vmatrix} a + (n-1)b & b & b & \cdots & b \\ a + (n-1)b & a & b & \cdots & b \\ a + (n-1)b & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a + (n-1)b & b & b & \cdots & a \end{vmatrix} = [a + (n-1)b] \begin{vmatrix} 1 & b & b & \cdots & b \\ 1 & a & b & \cdots & b \\ 1 & b & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & b & b & \cdots & a \end{vmatrix}.

再从第 2 行到第 $n$ 行分别减去第 1 行（ $r_i - r_1, i = 2, 3, \cdots, n$ ），化为上三角形行列式：

D = [a + (n-1)b] \begin{vmatrix} 1 & b & b & \cdots & b \\ 0 & a-b & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & a-b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a-b \end{vmatrix} = [a + (n-1)b](a-b)^{n-1}.

当 $n=1$ 时，上式公式同样成立。

例 12 差值型行列式化简

计算行列式

D = \begin{vmatrix} a_1 - b_1 & a_1 - b_2 & a_1 - b_3 \\ a_2 - b_1 & a_2 - b_2 & a_2 - b_3 \\ a_3 - b_1 & a_3 - b_2 & a_3 - b_3 \end{vmatrix}.

解

将行列式的后两行都减去第 1 行（ $r_2 - r_1, r_3 - r_1$ ），得

D = \begin{vmatrix} a_1 - b_1 & a_1 - b_2 & a_1 - b_3 \\ a_2 - a_1 & a_2 - a_1 & a_2 - a_1 \\ a_3 - a_1 & a_3 - a_1 & a_3 - a_1 \end{vmatrix} = (a_2 - a_1)(a_3 - a_1) \begin{vmatrix} a_1 - b_1 & a_1 - b_2 & a_1 - b_3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0.

因为所得行列式有两行对应元素完全相同，由推论1.3 其值必为 0。