第3章 奇数习题答案

第3章 习题答案

3.1 1.1 3.0 5.-24 7.4

9.15，从第3行开始．

11.-18，从第1列或第4行开始．

13.6，从第2行或第2列开始． 15.24 17.-10

19. ad - bc, cb - da，交换两行改变行列式的符号．

20. $ad-bc,akd-bkc=k(ad-bc)$ ，用一个常数 $k$ 乘一行后的行列式等于 $k$ 乘以原行列式．

21. $7a-14b+7c,-7a+14b-7c$．交换两行改变行列式的符号．

25.1 27.1 29. $k$

31.1，矩阵是上三角形或下三角形形式，在对角线上只有1.行列式等于1，是对角线元素的乘积

33. $\det EA=\det \left[\begin{array}{cc}a+kc& b+kd\\ c& d\end{array}\right]$ $=(a+kc)d-(b+kd)c$ $=ad+kcd-bc-kdc=(+1)(ad-bc)$ $=(detE)(detA)$

34. $\det EA=\det \left[\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right]=cb-ad=(-1)(ad-bc)$ $=(detE)(detA)$

35. $5A=\left[\begin{array}{cc}15& 5\\ 20& 10\end{array}\right]$ ; 否

36. 在 “学习指导” 中有提示．

37. 平行四边形的面积和 $[u,v]$ 的行列式都等于 6. 如果对任何 $x,v=\left[\begin{array}{c}x\\ 2\end{array}\right]$，则面积仍为 6. 在每种情形下，平行四边形的底边没有改变，且高度保持为 2, 因为 $v$ 的第二个坐标总是 2.

38. [$M$]一般地， $\det A^{-1}=1/\det A$ ，只要 $\det A$ 非零．

45.[$M$]在学到3.2节时，你可以检查你的猜测.3.2

1. 交换两行改变行列式的符号．

2. 常数 3 乘以一行后的行列式等于 3 乘以原行列式． 5.-3 7.0 9.-28 11.-48

13.6 15.21 17.7 19.14

21. 不可逆 23. 可逆

22. 线性无关 27. 见“学习指导”

23. 16

24. 提示：证明 $(\det A)(\det A^{-1})=1$

25. 提示：用定理6.

26. 提示：用定理6 和另一个定理．

det A B = det [ l l 6 & 0 1 7 & 4 ] = 2 4$$\det AB=\det \left[\begin{array}{ll}6& 0\\ 17& 4\end{array}\right]=24$$(det A) (det B) = 3 · 8 = 2 4$$(\det A)(\det B)=3\cdot 8=24$$

39. $a$.-12 b.-375 c.4 d. $-\frac{1}{3}$ e.-27

40. $\det A=(a+e)d-(b+f)c=ad+ed-bc-fc$ $=(ad-bc)+(ed-fc)=\det B+\det C$

41. 提示：用第 3 列的余因子展开计算 det A.

42. [$M$] 在你做出关于 $A^{T}A$ 和 $A{A}^T$ 的猜测后参见 “学习指导”.

3.3

1. $\left[\begin{array}{c}5/6\\ -1/6\end{array}\right]$ 3. $\left[\begin{array}{c}4/5\\ -3/10\end{array}\right]$ 5. $\left[\begin{array}{c}1/4\\ 11/4\\ 3/8\end{array}\right]$

2. $s\ne \pm \sqrt{3}$ ; $x_1=\frac{5s+4}{6(s^2-3)}$ , $x_2=\frac{-4s-15}{4(s^2-3)}$

3. $s\ne 0,1;x_1=\frac{7}{3(s-1)},x_2=\frac{4s+3}{6s(s-1)}$

4. adj $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -5& -1& -5\\ 5& 2& 10\end{array}\right],A^{-1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ -5& -1& -5\\ 5& 2& 10\end{array}\right]$

5. adj $A=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& 5\\ 1& -5& 1\\ 1& 7& -5\end{array}\right]$ , $A^{-1}=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& 5\\ 1& -5& 1\\ 1& 7& -5\end{array}\right]$

6. adj $A=\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ -1& -5& 0\\ -1& -15& 5\end{array}\right]$ , $A^{-1}=\frac{-1}{5}\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ -1& -5& 0\\ -1& -15& 5\end{array}\right]$

7. 如果 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ ，那么 $C_{11}=d,C_{12}=-c,C_{21}=-b,C_{22}=a$ 。共轭矩阵是余因子的转置： adj $A=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$ . 根据定理8，我们用detA来除，得到与2.2节中一样的公式． 19.8 21.3 23.23

8. 一个 $3\times 3$ 矩阵 $A$ 不可逆的充分必要条件是它的列是线性相关的（由可逆矩阵定理）。这种情形出现的充分必要条件是其中一个列是在其他两列所生成的平面内，这等价于由这些列所确定的平行六面体具有零体积，也就是等价于条件 $\det A=0$ 。

27.12 29. $\frac{1}{2}|\det [v_1,v_2]|$

31. $a$．见例5 b. $4\pi abc/3$

32. [$M$]在 MATLAB 中， $B-\mathrm{inv}(A)$ 中的元素近似为 $10^{-15}$ 或更小，见“学习指导”的建议，它也许会节省你工作中的键盘输入．

33. [$M$]MATLAB 学生版 4.0 用 57 771 次浮算来计算 inv($A$) 和 14 269 045 次浮算来计算求逆公式． inv($A$) 命令仅需要求逆公式中 0.4% 的运算量．“学习指导” 给出如何使用 flops 命令．

第3章补充习题 答案

1. $a$. T b. T c. F d. F
   e. F f. F g. T h. T
   i. F j. F k. T l. F
   m. F n. T o. F p. T

习题 3 的解基于这样的事实: 如果一个矩阵包含的两行（或两列）相互为倍数，那么由定理4，因为矩阵不可逆，故矩阵的行列式为零．

3. 做两次行替换变换且提出第2行的公共因子和

第3行的公共因子：

r l & | l l l 1 & a & b + c 1 & b & a + c 1 & c & a + b | = | l l l 1 & a & b + c 0 & b - a & a - b 0 & c - a & a - c | & = (b - a) (c - a) | l l l 1 & a & b + c 0 & 1 & - 1 0 & 1 & - 1 | & = 0$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{lll}1& a& b+c\\ 1& b& a+c\\ 1& c& a+b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}1& a& b+c\\ 0& b-a& a-b\\ 0& c-a& a-c\end{array}\right|\\ & =(b-a)(c-a)\left|\begin{array}{lll}1& a& b+c\\ 0& 1& -1\\ 0& 1& -1\end{array}\right|\\ & =0\end{array}$$

5.-12

7. 当行列式用第一行的余因子展开时，方程具有形式 $ax+by+c=0$ ，其中 $b$ 和 $c$ 至少有一个非零。这是一条直线的方程，很明显 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 在直线上，这是因为当用其中一个点的坐标代入 $x$ 和 $y$ 时，行列式的两行相等，于是行列式为零。

8. $T\sim \left[\begin{array}{ccc}1& a& a^2\\ 0& b-a& b^2-a^2\\ 0& c-a& c^2-a^2\end{array}\right]$．因此，由定理3，

r l det T & = (b - a) (c - a) det [ l l l 1 & a & a ^ 2 0 & 1 & b + a 0 & 1 & c + a ] & = (b - a) (c - a) det [ l l l 1 & a & a ^ 2 0 & 1 & b + a 0 & 0 & c - b ] & = (b - a) (c - a) (c - b)$$\begin{array}{rl}\det T& =(b-a)(c-a)\det \left[\begin{array}{lll}1& a& a^2\\ 0& 1& b+a\\ 0& 1& c+a\end{array}\right]\\ & =(b-a)(c-a)\det \left[\begin{array}{lll}1& a& a^2\\ 0& 1& b+a\\ 0& 0& c-b\end{array}\right]\\ & =(b-a)(c-a)(c-b)\end{array}$$

11. 面积=12. 如果从四个顶点减去一个顶点，并记新顶点是 $\theta ,v_1,v_2$ 和 $v_3$ ，那么平移后的图形（因此原来的图形）是平行四边形的充分必要条件是在 $v_1,v_2,v_3$ 中，某一个是另外两个向量之和．

12. 由求逆公式， $(\mathrm{adj}A)\cdot \frac{1}{\det A}A=A^{-1}A=I$ 。由可逆矩阵定理，adj $A$ 是可逆的，且 $(\mathrm{adj}A{)}^{-1}=\frac{1}{\det A}A$ 。

13. $a$. $X=C{A}^{-1},Y=D-C{A}^{-1}B$．现在利用习题 14($c$). b. 从（$a$）部分和行列式的乘积性质，

r l det [ l l A & B C & D ] & = det [ A (D - C A ^ - 1 B) ] & = det [ A D - A C A ^ - 1 B ] & = det (A D - C A A ^ - 1 B) _ - & = det (A D - C B)$$\begin{array}{rl}\det \left[\begin{array}{ll}A& B\\ C& D\end{array}\right]& =\det [A(D-C{A}^{-1}B)]\\ & =\det [AD-AC{A}^{-1}B]\\ & =\det (AD-CA{A}^{-1}B{)}_{-}\\ & =\det (AD-CB)\end{array}$$

其中等式 $AC=CA$ 在第三步中用到．

17. 首先考虑 $n=2$ 的情形，通过直接计算 $B$ 和 $C$ 的行列式来证明公式成立。现假设该公式对所有 $(k-1)\times (k-1)$ 矩阵成立，设 $A,B$ 和 $C$ 是 $k\times k$ 矩阵。使用按第一列的余因子展开和归纳假设来求 $\det B$ 。对 $C$ 做行替换变换得到第一个主元下面为零元素的三角形矩阵。求该矩阵的行列式，然后加到 $\det B$ 中得到最后结果。

18. [$M$] 计算：

| l l l 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 1 & 2 & 3 | = 1, | l l l l 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 & 2 1 & 2 & 3 & 3 1 & 2 & 3 & 4 | = 1, | l l l l l 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 2 & 2 & 2 1 & 2 & 3 & 3 & 3 1 & 2 & 3 & 4 & 4 1 & 2 & 3 & 4 & 5 | = 1$$\left|\begin{array}{lll}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{llll}1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2\\ 1& 2& 3& 3\\ 1& 2& 3& 4\end{array}\right|=1,\left|\begin{array}{lllll}1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 2& 2& 2& 2\\ 1& 2& 3& 3& 3\\ 1& 2& 3& 4& 4\\ 1& 2& 3& 4& 5\end{array}\right|=1$$

猜想：

| c c c c c 1 & 1 & 1 & … & 1 1 & 2 & 2 & & 2 1 & 2 & 3 & & 3 vdots & & & ddots & vdots 1 & 2 & 3 & … & n | = 1$$\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ 1& 2& 2& & 2\\ 1& 2& 3& & 3\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ 1& 2& 3& \dots & n\end{array}\right|=1$$

为肯定这个猜想，使用行替换变换产生第一个主元下面的零元素，然后是第二个主元，以此

类推，最终矩阵是 $\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \dots & 1\\ 0& 1& 1& & 1\\ 0& 0& 1& & 1\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \dots & 1\end{array}\right|$ ，是行列式

为1的上三角形矩阵．