6.7 内积空间

长度、距离和正交性的概念在向量空间中有非常重要的应用，对 ${\mathbb{R}}^n$ ，这些概念基于6.1节定理1中列出的内积性质．对其他空间，我们需要类似的内积和同样的性质．定理1中的结论成为下面定义中的公理．

定义 向量空间 $V$ 上的内积是一个函数，对每一对属于 $V$ 的向量 $u$ 和 $v$，存在一个实数 $⟨u,v⟩$ 满足下面公理，其中 $u$, $v$, $w$ 属于 $V$, $c$ 为所有数:

1. $⟨u,v⟩=⟨v,u⟩$

2. $⟨u+v,w⟩=⟨u,w⟩+⟨v,w⟩$

3. $⟨c\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=c⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩$

4. $⟨u,u⟩⩾0$ 且 $⟨u,u⟩=0$ 的充分必要条件是 $u=0$

一个赋予上面内积的向量空间称为内积空间．

具有标准内积的向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 是一个内积空间，而且本章几乎所有 ${\mathbb{R}}^n$ 空间上的讨论都在内积空间上。本节和6.8节的例子给出许多基础应用实例，涉及工程、物理、数学和统计等课程。

例 1

给定两个正数（例如4和5）及 ${\mathbb{R}}^2$ 中向量 $u=(u_1,u_2)$ 和 $v=(v_1,v_2)$ ，规定

langle boldsymbol u, boldsymbol v rangle = 4 u _ 1 v _ 1 + 5 u _ 2 v _ 2 (1)$$⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=4u_1{v}_1+5u_2{v}_2\text{\hspace{1em}(1)}$$

说明（1）定义了一个内积．

无法识别

解

公理1当然满足，这是因为

langle boldsymbol u, boldsymbol v rangle = 4 u _ 1 v _ 1 + 5 u _ 2 v _ 2 = 4 v _ 1 u _ 1 + 5 v _ 2 u _ 2 = langle boldsymbol v, boldsymbol u rangle$$⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩=4u_1{v}_1+5u_2{v}_2=4v_1{u}_1+5v_2{u}_2=⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩$$

如果 $w=(w_1,w_2)$ ，那么

r l langle boldsymbol u + boldsymbol v, boldsymbol w rangle & = 4 (u _ 1 + v _ 1) w _ 1 + 5 (u _ 2 + v _ 2) w _ 2 & = 4 u _ 1 w _ 1 + 5 u _ 2 w _ 2 + 4 v _ 1 w _ 1 + 5 v _ 2 w _ 2 & = langle boldsymbol u, boldsymbol w rangle + langle boldsymbol v, boldsymbol w rangle$$\begin{array}{rl}⟨\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{w}⟩& =4(u_1+v_1)w_1+5(u_2+v_2)w_2\\ & =4u_1{w}_1+5u_2{w}_2+4v_1{w}_1+5v_2{w}_2\\ & =⟨\mathbf{u},\mathbf{w}⟩+⟨\mathbf{v},\mathbf{w}⟩\end{array}$$

这就验证了公理2.对公理3，计算

r l langle c ±b u, ±b v rangle & = 4 (c u _ 1) v _ 1 + 5 (c u _ 2) v _ 2 & = c (4 u _ 1 v _ 1 + 5 u _ 2 v _ 2) = c langle ±b u, ±b v rangle$$\begin{array}{rl}⟨cu,v⟩& =4(c{u}_1)v_1+5(c{u}_2)v_2\\ & =c(4u_1{v}_1+5u_2{v}_2)=c⟨u,v⟩\end{array}$$

对公理4，注意 $⟨u,u⟩=4u_1^2+5u_2^2⩾0$ 且 $4u_1^2+5u_2^2=0$ 当且仅当 $u_1=u_2=0$ 时成立，即 $u=0$ 。此外， $⟨0,0⟩=0$ 。所以（1）定义了 ${\mathbb{R}}^2$ 上的内积。

类似（1）可在 ${\mathbb{R}}^n$ 上定义内积，它们自然和“带权值的最小二乘”问题联系起来。此时，权值可赋给内积中和式的各个元素，且这种方式对较重要的元素给予更可靠的测量。

从现在起，当内积空间包含多项式或其他函数时，我们可用熟悉的方式写出函数，而不用黑体表示向量。然而，必须要记住，当它作为向量空间一个元素时每个函数表示的是一个向量。例2 设 $t_0,\cdots ,t_n$ 是不同的实数，对 ${\mathbb{P}}_n$ 中的 $p$ 和 $q$ ，定义

langle p, q rangle = p (t _ 0) q (t _ 0) + p (t _ 1) q (t _ 1) + … + p (t _ n) q (t _ n) (2)$$⟨p,q⟩=p(t_0)q(t_0)+p(t_1)q(t_1)+\cdots +p(t_n)q(t_n)\text{\hspace{1em}(2)}$$

很容易验证内积公理的 1~3. 对公理4，注意

langle p, p rangle = [ p (t _ 0) ] ^ 2 + [ p (t _ 1) ] ^ 2 + … + [ p (t _ n) ] ^ 2 ≥slant 0$$⟨p,p⟩=[p(t_0){]}^2+[p(t_1){]}^2+\cdots +[p(t_n){]}^2⩾0$$

也有 $⟨0,0⟩=0$ .（我们仍用黑体0表示零多项式，它是 $P_n$ 中的零向量.）如果 $⟨p,p⟩=0$ ，那么$p$一定在 $n+1$ 个点 $t_0,\cdots ,t_n$ 处为零，这时$p$只能是零多项式，因为$p$的次数小于 $n+1$ ，从而（2）定义了 $P_n$ 上的一个内积．

例 3

设 $V$ 属于 ${\mathbb{P}}_2$ ，且 $V$ 具有例2中的内积，其中 $t_0=0,t_1=\frac{1}{2}$ 和 $t_2=1$ 。设 $p(t)=12t^2$ 和 $q(t)=2t-1$ 。计算 $⟨p,q⟩$ 和 $⟨q,q⟩$ 。

解

r l langle p · q rangle & = p (0) q (0) + p (frac 12) q (frac 12) + p (1) q (1) & = (0) (- 1) + (3) (0) + (1 2) (1) = 1 2$$\begin{array}{rl}⟨p\cdot q⟩& =p(0)q(0)+p\left(\frac{1}{2}\right)q\left(\frac{1}{2}\right)+p(1)q(1)\\ & =(0)(-1)+(3)(0)+(12)(1)=12\end{array}$$r l langle q · q rangle & = [ q (0) ] ^ 2 + [ q (frac 12) ] ^ 2 + [ q (1) ] ^ 2 & = (- 1) ^ 2 + (0) ^ 2 + (1) ^ 2 = 2$$\begin{array}{rl}⟨q\cdot q⟩& =[q(0){]}^2+{\left[q\left(\frac{1}{2}\right)\right]}^2+[q(1){]}^2\\ & =(-1{)}^2+(0{)}^2+(1{)}^2=2\end{array}$$

长度、距离和正交性

设 $V$ 是一个内积空间，其内积记作 $⟨u,v⟩$ 。像 ${\mathbb{R}}^n$ 中一样，我们定义一个向量 $v$ 的长度或范数是数

| boldsymbol v | = sqrt langle boldsymbol v , boldsymbol v rangle$$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{v},\mathbf{v}⟩}$$

即 $\Vert v{\Vert }^2=⟨v,v⟩$ （这个定义有意义，因为 $⟨v,v⟩⩾0$ ，但这个定义并不是说 $⟨v,v⟩$ 是一个“平方之和”，因为 $v$ 不必是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的元素）.

一个单位向量是长度为1的向量，向量 $u$ 和 $v$ 之间的距离是 $\Vert u-v\Vert$ 。向量 $u$ 和向量 $v$ 正交，如果 $⟨u,v⟩=0$ 成立。

例 4

若 $P_2$ 具有例3 中的形式（2）的内积，计算向量 $p(t)=12t^2$ 和 $q(t)=2t-1$ 的长度．解

r l & | p | ^ 2 = langle p, p rangle = [ p (0) ] ^ 2 + [ p (frac 12) ] ^ 2 + [ p (1) ] ^ 2 = 0 + [ 3 ] ^ 2 + [ 1 2 ] ^ 2 = 1 5 3 & | p | = sqrt 1 5 3$$\begin{array}{rl}& \Vert p{\Vert }^2=⟨p,p⟩=[p(0){]}^2+{\left[p\left(\frac{1}{2}\right)\right]}^2+[p(1){]}^2=0+[3{]}^2+[12{]}^2=153\\ & \Vert p\Vert =\sqrt{153}\end{array}$$

在例3中，我们知道 $⟨q,q⟩=2$ ，因此 $\Vert q\Vert =\sqrt{2}$

格拉姆-施密特方法

内积空间中有限维子空间的正交基的存在性可由格拉姆-施密特方法确定，像 ${\mathbb{R}}^n$ 空间一样．应用中经常出现的一些正交基可用这个方法构造．

一个向量在一个具有正交基的子空间 $W$ 上的正交投影可像平常一样构造。投影不依赖于正交基的选取，并且它们有正交分解定理和最佳逼近定理中所描述的性质。

例 5

若 $V$ 是具有例2中内积的 ${\mathbb{P}}_4$ ，包含多项式在-2，-1，0，1和2处的值，且 ${\mathbb{P}}_2$ 作为 $V$ 的一个子空间。应用格拉姆-施密特方法于多项式1， $t$ 和 $t^2$ ，构造 ${\mathbb{P}}_2$ 的一个正交基。

解

内积仅依赖于多项式在-2，-1，0，1和2处的值，所以我们列出每个多项式作为 ${\mathbb{R}}^5$ 中的向量，写在多项式的下面：

r l & text 多项式: 1 & text 向量值: [ l 1 1 1 1 1 ] [ l - 2 - 1 0 1 2 ] [ l t ^ 2 4 1 0 1 4 ]$$\begin{array}{rl}& \text{多项式:}1\\ & \text{向量值:}\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}-2\\ -1\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{t}^2\\ 4\\ 1\\ 0\\ 1\\ 4\end{array}\right]\end{array}$$

$V$ 中两个多项式的内积等于它们对应向量在 ${\mathbb{R}}^5$ 空间的（标准）内积．注意 $t$ 与常数函数1正交．所以取 $p_0(t)=1$ 和 $p_1(t)=t$．对 $p_2$ ，利用 ${\mathbb{R}}^5$ 中的向量，计算 $t^2$ 在 $\mathrm{Span}\{p_0,p_1\}$ 上的投影：

l langle t ^ 2, p _ 0 rangle = langle t ^ 2, 1 rangle = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 1 0 langle p _ 0, p _ 0 rangle = 5 langle t ^ 2, p _ 1 rangle = langle t ^ 2, t rangle = - 8 + (- 1) + 0 + 1 + 8 = 0$$\begin{array}{l}⟨t^2,p_0⟩=⟨t^2,1⟩=4+1+0+1+4=10\\ ⟨p_0,p_0⟩=5\\ ⟨t^2,p_1⟩=⟨t^2,t⟩=-8+(-1)+0+1+8=0\end{array}$$

$t^2$ 在 $\mathrm{Span}\{1,t\}$ 上的正交投影是 $\frac{10}{5}{p}_0+0\cdot p_1$ ，这样

p _ 2 (t) = t ^ 2 - 2 p _ 0 (t) = t ^ 2 - 2$$p_2(t)=t^2-2p_0(t)=t^2-2$$

$V$ 的子空间 ${\mathbb{P}}_2$ 的一个正交基是：

r l r & text 多项式: p _ 0 & text 向量值: [ l 1 1 1 1 1 ] & [ l - 2 - 1 0 1 2 ] [ l 2 - 1 - 2 - 1 2 ] (3)$$\begin{array}{rlr}& \text{多项式:}{p}_0& \\ & \text{向量值:}\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]& \left[\begin{array}{l}-2\\ -1\\ 0\\ 1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}2\\ -1\\ -2\\ -1\\ 2\end{array}\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

内积空间的最佳逼近

应用数学中最常见的问题涉及元素是函数的向量空间，主要是在 $V$ 的特定子空间 $W$ 中选取函数 $g$ 来逼近 $V$ 中的函数 $f$ 。对 $f$ 的“逼近”程度依赖于 $\Vert f-g\Vert$ 定义的方式，我们仅考虑 $f$ 和 $g$ 的距离用内积定义确定的情形。在此情形下， $f$ 由 $W$ 中函数的最佳逼近是指 $f$ 在子空间 $W$ 上的正交投影。

例 6

设 $V$ 是 ${\mathbb{P}}_4$ ，且具有例5中定义的内积， $p_0,p_1$ 是例5中的子空间 $p_2$ 是例5中的子空间 ${\mathbb{P}}_2$ 的正交基，求出 ${\mathbb{P}}_2$ 中的多项式对 $p(t)=5-\frac{1}{2}{t}^4$ 的最佳逼近．

解

$p_0,p_1$ 和 $p_2$ 对应 $t$ 为 $-2,-1,0,1$ 和 $2$ 的值以 ${\mathbb{R}}^5$ 中向量的形式在上面（3）中已经给出， $p$ 的相应值是 $-3,9/2,5,9/2$ 和 $-3$．计算

l l langle p, p _ 0 rangle = 8, & langle p, p _ 1 rangle = 0, langle p, p _ 2 rangle = - 3 1 langle p _ 0, p _ 0 rangle = 5, & langle p _ 2, p _ 2 rangle = 1 4$$\begin{array}{ll}⟨p,p_0⟩=8,& ⟨p,p_1⟩=0,⟨p,p_2⟩=-31\\ ⟨p_0,p_0⟩=5,& ⟨p_2,p_2⟩=14\end{array}$$

所以， $P_2$ 中的多项式对$V$中$p$的最佳逼近是

r l hat p = proj _ mathbb P _ 2 p & = frac langle p , p _ 0 ranglelangle p _ 0 , p _ 0 rangle p _ 0 + frac langle p , p _ 1 ranglelangle p _ 1 , p _ 1 rangle p _ 1 + frac langle p , p _ 2 ranglelangle p _ 2 , p _ 2 rangle p _ 2 & = frac 85 p _ 0 + frac - 3 11 4 p _ 2 = frac 85 - frac 3 11 4 (t ^ 2 - 2)$$\begin{array}{rl}\hat{p}={\mathrm{proj}}_{{\mathbb{P}}_2}p& =\frac{⟨p,p_0⟩}{⟨p_0,p_0⟩}{p}_0+\frac{⟨p,p_1⟩}{⟨p_1,p_1⟩}{p}_1+\frac{⟨p,p_2⟩}{⟨p_2,p_2⟩}{p}_2\\ & =\frac{8}{5}{p}_0+\frac{-31}{14}{p}_2=\frac{8}{5}-\frac{31}{14}(t^2-2)\end{array}$$

当多项式之间的距离仅用 $t$ 为-2，-1，0，1和2时的值来度量时，这是 ${\mathbb{P}}_2$ 的所有多项式中离 $p$ 最近的多项式，见图 6-34.

图 6-34

例5 和例6 中的多项式 $p_0,p_1$ 和 正交性是指例2 中描述的内积类型。 属于一类多项式，在统计学上称为正交多项式。 ^① 正交性是指例 2 中描述的内积类型。

两个不等式

给定内积空间 $V$ 中的向量 $v$ 和有限维子空间 $W$，我们将勾股定理应用到 $v$ 关于 $W$ 的正交分解中，可以得到

| boldsymbol v | ^ 2 = | operatornameproj _ W boldsymbol v | ^ 2 + | boldsymbol v - operatornameproj _ W boldsymbol v | ^ 2$${\Vert \mathbf{v}\Vert }^2={\Vert {\mathrm{proj}}_W\mathbf{v}\Vert }^2+{\Vert \mathbf{v}-{\mathrm{proj}}_W\mathbf{v}\Vert }^2$$

见图 6-35. 特别地，这表明 $v$ 到 $W$ 上投影的范数不超过 $v$ 自身的范数，这个简单事实可推出下面重要的不等式．

定理 16 柯西-施瓦茨不等式

图6-35 直角三角形的斜边是最长边

对 $V$ 中任意向量 $u$ 和 $v$ ，有

| langle boldsymbol u, boldsymbol v rangle | ≤slant | boldsymbol u | | boldsymbol v | (4)$$\left|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩\right|⩽\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \text{\hspace{1em}(4)}$$

证明

如果 u=0，则方程（4）的两边都是零，因此这种情形下（4）式成立（见练习题1）。如果 $u\ne 0$ ，则令 $W$ 是 $u$ 生成的子空间，注意 $\Vert cu\Vert =|c|\Vert u\Vert$ 对任何数 $c$ 都成立。因此

| operatornameproj _ w boldsymbol v | = | frac langle boldsymbol v , boldsymbol u ranglelangle boldsymbol u , boldsymbol u rangle boldsymbol u | = frac | langle boldsymbol v , boldsymbol u rangle || langle boldsymbol u , boldsymbol u rangle | | boldsymbol u | = frac | langle boldsymbol v , boldsymbol u rangle || boldsymbol u | ^ 2 | boldsymbol u | = frac | langle boldsymbol u , boldsymbol v rangle || boldsymbol u |$$\Vert {\mathrm{proj}}_w\mathbf{v}\Vert =\Vert \frac{⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩}{⟨\mathbf{u},\mathbf{u}⟩}\mathbf{u}\Vert =\frac{|⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩|}{|⟨\mathbf{u},\mathbf{u}⟩|}\Vert \mathbf{u}\Vert =\frac{|⟨\mathbf{v},\mathbf{u}⟩|}{\Vert \mathbf{u}{\Vert }^2}\Vert \mathbf{u}\Vert =\frac{|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩|}{\Vert \mathbf{u}\Vert }$$

由于 $\Vert {\mathrm{proj}}_W\nu \Vert ⩽\Vert \nu \Vert$ ，我们得到 $\frac{|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩|}{\Vert \mathbf{u}\Vert }⩽\Vert \nu \Vert$ ，即给出（4）式．

柯西-施瓦茨不等式在很多数学分支都很有用，习题中有几个简单应用。这里我们主要利用它证明另一个包含向量范数的基本不等式。见图 6-36.

图 6-36 三角形边的长度

定理 17 三角不等式

对属于 $V$ 的所有向量 $u,v$ ，有

| boldsymbol u + boldsymbol v | ≤slant | boldsymbol u | + | boldsymbol v |$$\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert ⩽\Vert \mathbf{u}\Vert +\Vert \mathbf{v}\Vert$$

证明

r l | ±b u + ±b v | ^ 2 & = langle ±b u + ±b v, ±b u + ±b v rangle = langle ±b u, ±b u rangle + 2 langle ±b u, ±b v rangle + langle ±b v, ±b v rangle & ≤slant | ±b u | ^ 2 + 2 | langle ±b u, ±b v rangle | + | ±b v | ^ 2 & ≤slant | ±b u | ^ 2 + 2 | ±b u | | ±b v | + | ±b v | ^ 2 & = (| ±b u | + | ±b v |) ^ 2 text 柯西-施瓦茨不等式$$\begin{array}{rl}{\Vert u+v\Vert }^2& =⟨u+v,u+v⟩=⟨u,u⟩+2⟨u,v⟩+⟨v,v⟩\\ & ⩽{\Vert u\Vert }^2+2\left|⟨u,v⟩\right|+{\Vert v\Vert }^2\\ & ⩽{\Vert u\Vert }^2+2\Vert u\Vert \Vert v\Vert +{\Vert v\Vert }^2\\ & =(\Vert u\Vert +\Vert v\Vert {)}^2\end{array}\text{柯西-施瓦茨不等式}$$

两边开方后，立刻得到三角不等式．

$C[a,b]$ 上的一个内积（需要微积分知识）

也许应用最广泛的内积空间是区间 $a⩽t⩽b$ 上所有连续函数构成的向量空间 $C[a,b]$ ，具有下面定义的内积．

首先考虑多项式 $p$ 及大于或等于 $p$ 的阶数的任何整数 $n$ ，则有 $p$ 属于 ${\mathbb{P}}_n$ ，我们可以利用例2中的内积计算 $p$ 的“长度”，注意 $p$ 包含 $[a,b]$ 中 $(n+1)$ 个点。然而， $p$ 的这个长度仅保留这 $(n+1)$ 个点的特性。由于对所有大的 $n$ 有 $p$ 属于 ${\mathbb{P}}_n$ 和更多的点“计算”对应的内积。见图 6-37。$n$ 和更多的点“计算”对应的内积。见图6-37。

图6-37 利用 $[a,b]$ 内不同数目的求值点计算 $\Vert p{\Vert }^2$

我们将 $[a,b]$ 分割为 $(n+1)$ 个长度为 $\Delta t=(b-a)/(n+1)$ 的子区间，并且使 $t_0,\cdots ,t_n$ 是这些子区间中的任意点．

如果 $n$ 很大，则由 $t_0,\cdots ,t_n$ 确定的关于 $P_n$ 的内积将趋向较大的值 $⟨p,p⟩$ ，所以需要重新度量，将内积除以 $(n+1)$ 。注意到 $1/(n+1)=\Delta t/(b-a)$ ，定义

langle p, q rangle = frac 1n + 1 ∑_ j = 0 ^ n p (t _ j) q (t _ j) = frac 1b - a [ ∑_ j = 0 ^ n p (t _ j) q (t _ j) Δ t ]$$⟨p,q⟩=\frac{1}{n+1}\sum _{j=0}^{n}p(t_j)q(t_j)=\frac{1}{b-a}\left[\sum _{j=0}^{n}p(t_j)q(t_j)\Delta t\right]$$

现在，让 $n$ 无限制增加。由于多项式 $p,q$ 是连续函数，故括号内的表达式是一个黎曼和且趋向一个定积分，考虑 $p(t)q(t)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值：

frac 1b - a ∫_ a ^ b p (t) q (t) d t$$\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}p(t)q(t)\mathrm{d}t$$

这个数值对任意阶多项式都有定义（事实上是对所有连续函数），且它具有像下面例题所说的全部内积性质。前面的缩放因子 $1/(b-a)$ 不是必需的，为简化下面的计算常省略。

例 7

对 $C[a,b]$ 中的 $f,g$ ，取

langle f, g rangle = ∫_ a ^ b f (t) g (t) d t (5)$$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(5)}$$

这表明（5）定义了 $C[a,b]$ 上的内积．

解

内积公理1~3 可由定积分的基本性质得出．对公理4, 注意到

langle f, f rangle = ∫_ a ^ b [ f (t) ] ^ 2 d t ≥slant 0$$⟨f,f⟩={\int }_a^b[f(t){]}^2\mathrm{d}t⩾0$$

函数 $[f(t){]}^2$ 在 $[a,b]$ 上连续且非负。如果 $[f(t){]}^2$ 的定积分为零，那么由高等微积分的定理可知， $[f(t){]}^2$ 在 $[a,b]$ 上必须恒等于零，从而 $f$ 是一个零函数。 $⟨f,f⟩=0$ 意味着 $f$ 是 $[a,b]$ 上的零函数。因此（5）定义了一个 $C[a,b]$ 上的内积。

例 8

设 $V$ 表示具有例7中内积的空间 $C[0,1]$ , $W$ 是由多项式 $p_1(t)=1$ , $p_2(t)=2t-1$ 和 $p_3(t)=12t^2$ 所生成的子空间，利用格拉姆-施密特方法，求 $W$ 的一个正交基．

解

取 $q_1=p_1$ ，并且计算

langle p _ 2, q _ 1 rangle = ∫_ 0 ^ 1 (2 t - 1) (1) d t = (t ^ 2 - t) | _ 0 ^ 1 = 0$$⟨p_2,q_1⟩={\int }_0^1(2t-1)(1)\mathrm{d}t=(t^2-t){|}_0^1=0$$

因而 $p_2$ 已经与 $q_1$ 正交，所以可取 $q_2=p_2$ 。对 $p_3$ 在 $W_2=\mathrm{Span}\{q_1,q_2\}$ 上的投影，计算

langle p _ 3, q _ 1 rangle = ∫_ 0 ^ 1 1 2 t ^ 2 · 1 d t = 4 t ^ 3 | _ 0 ^ 1 = 4$$⟨p_3,q_1⟩={\int }_0^{1}12t^2\cdot 1\mathrm{d}t=4t^3{|}_0^1=4$$langle q _ 1, q _ 1 rangle = ∫_ 0 ^ 1 1. 1 dot d t = t | _ 0 ^ 1 = 1$$⟨q_1,q_1⟩={\int }_0^{1}1.1\dot{\mathrm{d}}t=t{|}_0^1=1$$langle p _ 3, q _ 2 rangle = ∫_ 0 ^ 1 1 2 t ^ 2 (2 t - 1) d t = ∫_ 0 ^ 1 (2 4 t ^ 3 - 1 2 t ^ 2) d t = 2$$⟨p_3,q_2⟩={\int }_0^{1}12t^2(2t-1)\mathrm{d}t={\int }_0^1(24t^3-12t^2)\mathrm{d}t=2$$langle q _ 2, q _ 2 rangle = ∫_ 0 ^ 1 (2 t - 1) ^ 2 d t = frac 16 (2 t - 1) ^ 3 | _ 0 ^ 1 = frac 13$$⟨q_2,q_2⟩={\int }_0^1(2t-1{)}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{6}(2t-1{)}^3{|}_0^1=\frac{1}{3}$$

那么

proj _ w _ 2 p _ 3 = frac langle p _ 3 , q _ 1 ranglelangle q _ 1 , q _ 1 rangle q _ 1 + frac langle p _ 3 , q _ 2 ranglelangle q _ 2 , q _ 2 rangle q _ 2 = frac 41 q _ 1 + frac 21 / 3 q _ 2 = 4 q _ 1 + 6 q _ 2$${\mathrm{proj}}_{w_2}{p}_3=\frac{⟨p_3,q_1⟩}{⟨q_1,q_1⟩}{q}_1+\frac{⟨p_3,q_2⟩}{⟨q_2,q_2⟩}{q}_2=\frac{4}{1}{q}_1+\frac{2}{1/3}{q}_2=4q_1+6q_2$$

且

q _ 3 = p _ 3 - operatornameproj _ w _ 2 p _ 3 = p _ 3 - 4 q _ 1 - 6 q _ 2$$q_3=p_3-{\mathrm{proj}}_{w_2}{p}_3=p_3-4q_1-6q_2$$

作为一个函数， $q_3(t)=12t^2-4-6(2t-1)=12t^2-12t+2$ ，子空间 $W$ 的正交基是 $\{q_1,q_2,q_3\}$

练习题

利用内积公理验证下列论断．

1. $⟨v,0⟩=⟨0,v⟩=0$

2. $⟨u,v+w⟩=⟨u,v⟩+⟨u,w⟩$

习题6.7

1. 在 $R^2$ 中取例1 定义的内积，令 $x=(1,1)$ ， $y=(5,-1)$ .

研究 $|⟨x,y⟩{|}^2.)$

$a$．计算 $\Vert x\Vert$ , $\Vert y\Vert$ 和 ${\left|⟨x,y⟩\right|}^2$ .

$b$．描述所有与 $y$ 正交的向量 $(z_1,z_2)$ .

习题 3~8 中的多项式属于 $P_2$ 且计算内积时 $t$ 取值为 -1, 0 和 1. （见例2.）

3. 计算 $⟨p,q⟩$ ，其中 $p(t)=4+t,q(t)=5-4t^2$ .

4. 在 ${\mathbb{R}}^2$ 中取例1定义的内积，证明柯西-施瓦茨不等式对 $x=(3,-2)$ 和 $y=(-2,1)$ 成立。（建议：

5. 计算 $⟨p,q⟩$ ，其中 $p(t)=3t-t^2,q(t)=3+2t^2$

6. 计算 $\Vert p\Vert$ 和 $\Vert q\Vert$ ，其中 $p,q$ 如习题3.

7. 计算 $\Vert p\Vert$ 和 $\Vert q\Vert$ ，其中 $p,q$ 如习题4.

8. 计算 $q$ 在 $p$ 所生成的子空间上的正交投影，其中 $p$, $q$ 如习题 3.

9. 计算 $q$ 在 $p$ 所生成的子空间上的正交投影，其中 $p$, $q$ 如习题 4.

10. 设 $P_3$ 计算内积时 $t$ 取值为 -3, -1, 1 和 3，令 $p_0(t)=1$ , $p_1(t)=t$ 和 $p_2(t)=t^2$ . a. 计算 $p_2$ 在 $p_0$ 和 $p_1$ 生成的子空间上的正交投影． b. 求一个与 $p_0$ 和 $p_1$ 都正交的多项式 $q$，使得 $\{p_0,p_1,q\}$ 是 Span $\{p_0,p_1,p_2\}$ 的一个正交基。重新度量多项式 $q$，使得它在 $(-3,-1,1,3)$ 处的向量值是 $(1,-1,-1,1)$ .

11. 若 ${\mathbb{P}}_3$ 具有习题9中定义的内积，且多项式 $p_0,p_1,q$ 也如习题9所描述，求 $\mathrm{Span}\{p_0,p_1,q\}$ 中由多项式对 $p(t)=t^3$ 的最佳逼近．

12. 若 $p_0,p_1$ 和 $p_2$ 是例5中给出的正交多项式，且计算 ${\mathbb{P}}_4$ 的内积时 $t$ 取值为-2,-1,0,1和2. 求 $t^3$ 在 $\mathrm{Span}\{p_0,p_1,p_2\}$ 上的正交投影．

13. 求一个多项式 $p_3$ ，使得 $\{p_0,p_1,p_2,p_3\}$ （见习题11）是 ${\mathbb{P}}_4$ 中子空间 ${\mathbb{P}}_3$ 的正交基。重新度量多项式 $p_3$ ，使得它的向量值是 $(-1,2,0,-2,1)$ 。

14. 设 $A$ 是任一 $n\times n$ 可逆矩阵，证明对 ${\mathbb{R}}^n$ 中 $u$ 和 $v$ ，公式 $⟨u,v⟩=(Au)\cdot (Av)=(Au{)}^{\mathrm{T}}\cdot (Av)$ 定义了一个 ${\mathbb{R}}^n$ 上的内积．

15. 若 $T$ 是从向量空间 $V$ 到 ${\mathbb{R}}^n$ 的一对一线性变换，证明对 $V$ 中的 $u$ 和 $v$ ，公式 $⟨u,v⟩=T(u)\cdot T(v)$ 定义了 $V$ 上的一个内积．

利用本节内积公理和其他结果去验证习题15~18的命题．

15. $⟨u,cv⟩=c⟨u,v⟩$ 对所有数 $c$ 都成立．

16. 如果 $\{u,v\}$ 是 $V$ 中的单位正交集，那么 $\Vert u-v\Vert =\sqrt{2}$

练习题答案

17. $⟨u,v⟩=\frac{1}{4}\Vert u+v{\Vert }^2-\frac{1}{4}\Vert u-v{\Vert }^2.$

18. ${\Vert u+v\Vert }^2+{\Vert u-v\Vert }^2=2{\Vert u\Vert }^2+2{\Vert v\Vert }^2.$

19. 给定 $a⩾0$ 和 $b⩾0$ ，设 $u=\left[\begin{array}{c}\sqrt{a}\\ \sqrt{b}\end{array}\right]$ ， $v=\left[\begin{array}{c}\sqrt{b}\\ \sqrt{a}\end{array}\right]$ ，利用柯西-施瓦茨不等式比较几何平均值 $\sqrt{ab}$ 和算术平均值 $(a+b)/2$ 。

20. 设 $u=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$ 和 $v=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ ，利用柯西-施瓦茨不等式证明 ${\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2⩽\frac{a^2+b^2}{2}$ . 习题 21~24 的空间指的是 V = C[0,1]，其内积如例7 所示用一个积分给出．

21. 计算 $⟨f,g⟩$ ，其中 $f(t)=1-3t^2$ ， $g(t)=t-t^3$ .

22. 计算 $⟨f,g⟩$ ，其中 $f(t)=5t-3$ ， $g(t)=t^3-t^2$ .

23. 计算习题 21 中 $f$ 的 $\Vert f\Vert$ .

24. 计算习题 22 中 $g$ 的 $\Vert g\Vert$ .

25. 设 $V$ 是具有例7中定义的内积的空间 $C[-1,1]$ ，求由多项式1， $t$ 和 $t^2$ 所生成的子空间的正交基。这个基中的多项式称为勒让德多项式。

26. 设 $V$ 是具有例7 中定义的内积的空间 C[-2,2]，求由多项式 1, $t$ 和 $t^2$ 所生成的子空间的一个正交基．

27. [$M$]设 $P_4$ 具有例5 中定义的内积，且 $p_0,p_1,p_2$ 是该例中的正交多项式，利用矩阵程序，将格拉姆-施密特方法应用于集合 $\{p_0,p_1,p_2,t^3,t^4\}$ ，以构造 $P_4$ 的一个正交基．

28. [$M$]设 $V$ 是具有例7中定义的内积的空间 $C[0,2\pi ]$ ，利用格拉姆-施密特方法构造由 $\{1,\cos t,{\cos }^{2}t,{\cos }^{3}t\}$ 所生成的子空间的一个正交基．利用矩阵程序或计算程序来计算相应的定积分．

29. 由公理1， $⟨v,0⟩=⟨0,v⟩$ ，由公理3，得到 $⟨0,v⟩=⟨0v,v⟩=0⟨v,v⟩$ ，由公理 3，得到 $⟨0,v⟩=0$ 。

30. 由公理1和2，再由公理1，得 $⟨u,v+w⟩=⟨v+w,u⟩=⟨v,u⟩+⟨w,u⟩=⟨u,v⟩+⟨u,w⟩$