6.1 内积、长度和正交性

大家已经熟悉了二维和三维空间中的长度、距离和垂直等几何概念，本节引入 ${\mathbb{R}}^n$ 空间中类似的定义，这些概念为解决许多实际问题（如上面提到的最小二乘问题）提供了有力的几何工具。而 ${\mathbb{R}}^n$ 中的三个新概念都建立在两个向量的内积基础之上。

如果 $u$ 和 $v$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量，则可以将 $u$ 和 $v$ 作为 $n\times 1$ 矩阵。转置矩阵 $u^{\mathrm{T}}$ 是 $1\times n$ 矩阵，且矩阵乘积 $u^{\mathrm{T}}v$ 是一个 $1\times 1$ 矩阵，我们将其记为一个不加括号的实数（标量）。数 $u^{\mathrm{T}}v$ 称为 $u$ 和 $v$ 的内积，通常记作 $u\cdot v$ 。这里的内积曾在习题2.1中提到过，也称为点积。如果

±b u = [ c u _ 1 u _ 2 vdots u _ n ], ±b v = [ c v _ 1 v _ 2 vdots v _ n ]$$u=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$$

那么 $u$ 和 $\nu$ 的内积定义为

[ l l l l u _ 1 & u _ 2 & … & u _ n ] [ c v _ 1 v _ 2 vdots v _ n ] = u _ 1 v _ 1 + u _ 2 v _ 2 + … + u _ n v _ n$$\left[\begin{array}{llll}{u}_1& u_2& \dots & u_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]=u_1{v}_1+u_2{v}_2+\cdots +u_n{v}_n$$

例 1

如果 $u=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ -1\end{array}\right]$ , $v=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ -3\end{array}\right]$，计算 $u\cdot v$ 和 $v\cdot u$ .

解

r l & boldsymbol u · boldsymbol v = boldsymbol u ^ T boldsymbol v = [ 2 - 5 - 1 ] [ c 3 2 - 3 ] = (2) (3) + (- 5) (2) + (- 1) (- 3) = - 1 & boldsymbol v · boldsymbol u = boldsymbol v ^ T boldsymbol u = [ 3 - 2 - 3 ] [ c 2 - 5 - 1 ] = (3) (2) + (2) (- 5) + (- 3) (- 1) = - 1$$\begin{array}{rl}& \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}={\mathbf{u}}^{\mathrm{T}}\mathbf{v}=[2-5-1]\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ -3\end{array}\right]=(2)(3)+(-5)(2)+(-1)(-3)=-1\\ & \mathbf{v}\cdot \mathbf{u}={\mathbf{v}}^{\mathrm{T}}\mathbf{u}=[3-2-3]\left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ -1\end{array}\right]=(3)(2)+(2)(-5)+(-3)(-1)=-1\end{array}$$

从例1 中的计算明显看出， $u\cdot v=v\cdot u$ 。一般情形下，内积的交换律成立。下面关于内积的性质可以很容易用 2.1 节中矩阵转置运算的性质来推导（见本节末习题 21 和 22）。

定理 1

设 $v,u$ 和 $w$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量， $c$ 是一个数，那么

$a$. $u\cdot v=v\cdot u$ .

$b$. $(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}+\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$

$c$. $(cu)\cdot v=c(u\cdot v)=u\cdot (cv)$ .

$d$. $u\cdot u⩾0$ ，并且 $u\cdot u=0$ 成立的充分必要条件是 u = 0。

性质（$b$）和（$c$）可以合并为以下法则：

(c _ 1 boldsymbol u _ 1 + … + c _ p boldsymbol u _ p) · boldsymbol w = c _ 1 (boldsymbol u _ 1 · boldsymbol w) + … + c _ p (boldsymbol u _ p · boldsymbol w)$$\left(c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p\right)\cdot \mathbf{w}=c_1({\mathbf{u}}_1\cdot \mathbf{w})+\cdots +c_p({\mathbf{u}}_p\cdot \mathbf{w})$$

向量的长度

如果 $v$ 是属于 $R^n$ 的向量，其元素为 $v_1,\cdots ,v_n$ ，则因为 $v\cdot v$ 是非负数，所以 $v\cdot v$ 的平方根有意义． 定义 向量 $v$ 的长度（或范数）是非负数 $\Vert v\Vert$ ，定义为

| ±b v | = sqrt ±b v · ±b v = sqrt v _ 1 ^ 2 + v _ 2 ^ 2 + … + v _ n ^ 2 text 且 | ±b v | ^ 2 = ±b v · ±b v$$\Vert v\Vert =\sqrt{v\cdot v}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}\text{且}{\Vert v\Vert }^2=v\cdot v$$

假若 $v$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中的向量，比如 $v=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$．如果我们将 $v$ 与平面上的几何点 $(a,b)$ 相对应，那么 $\Vert v\Vert$ 和平面内原点到 $v$ 的线段长度一致，这个结论可以从三角形的勾股定理得到，例如图 6-1中的三角形．

类似长方体的对角线计算，三维空间中向量 $v$ 的长度和通常意义下的长度概念是一致的．

对任意数 $c$ ，向量 $cv$ 的长度等于 $|c|$ 乘 $\nu$ 的长度，即

| c boldsymbol v | = | c | | boldsymbol v |$$\Vert c\mathbf{v}\Vert =|c|\Vert \mathbf{v}\Vert$$

（为验证上式，计算 $\Vert cv{\Vert }^2=(cv)\cdot (cv)=c^{2}v\cdot v=c^2\Vert v{\Vert }^2$ 然后作开方运算就可以得到以上结论.）

图 6-1 $\Vert v\Vert$ 作为长度的几何意义

除以其自身的长度，即乘 $\frac{1}{\Vert v\Vert }$ ，就可以得到一个单位向量，即 $u=\frac{v}{\Vert v\Vert }$ ，因为 $u$ 的长度是 $\left(\frac{1}{\Vert v\Vert }\right)\Vert v\Vert$ 。这种把向量 $v$ 化成单位向量 $u$ 的过程，称为向量 $v$ 的单位化，此时 $u$ 和 $v$ 方向一致。

下面几个例子使用（列）向量的简约形式．

例 2

令 $\mathbf{v}=(1,-2,2,0)$ ，找出和 $v$ 方向一致的单位向量 $u$.

解

首先计算向量 $\nu$ 的长度：

| boldsymbol v | ^ 2 = boldsymbol v · boldsymbol v = (tilde 1) ^ 2 + (- 2) ^ 2 + (2) ^ 2 + (0) ^ 2 = 9, | boldsymbol v | = sqrt 9 = 3$${\Vert \mathbf{v}\Vert }^2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=(\tilde{1}{)}^2+(-2{)}^2+(2{)}^2+(0{)}^2=9,\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{9}=3$$

将 $\nu$ 乘以 $\frac{1}{\Vert \nu \Vert }$ 得到

boldsymbol u = frac 1| boldsymbol v | boldsymbol v = frac 13 boldsymbol v = frac 13 [ c 1 - 2 2 0 ] = [ c 1 / 3 - 2 / 3 2 / 3 0 ]$$\mathbf{u}=\frac{1}{\Vert \mathbf{v}\Vert }\mathbf{v}=\frac{1}{3}\mathbf{v}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1/3\\ -2/3\\ 2/3\\ 0\end{array}\right]$$

为验证 $\Vert u\Vert =1$ ，只需验证 ${\Vert u\Vert }^2=1$ 。

| boldsymbol u | ^ 2 = boldsymbol u · boldsymbol u = (frac 13) ^ 2 + (- frac 23) ^ 2 + (frac 23) ^ 2 + (0) ^ 2 = frac 19 + frac 49 + frac 49 + 0 = 1$${\Vert \mathbf{u}\Vert }^2=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=(\frac{1}{3}{)}^2+(-\frac{2}{3}{)}^2+(\frac{2}{3}{)}^2+(0{)}^2=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+0=1$$

例 3

设 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间且由向量 $x=(\frac{2}{3},1)$ 生成，求出一个单位向量 $z$ 且 $z$ 构成 $W$ 的一个基．

解

空间 $W$ 包含所有 $x$ 数倍的向量，如图 6-2a 所示。W 中的任意非零向量都是 $W$ 的基。为简化计算，重新“标度” x 以消去分数，即向量 $x$ 乘 3 得到 $y=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$ 。现在计算 ${\Vert y\Vert }^2=2^2+3^2=13$ ， $\Vert y\Vert =\sqrt{13}$ ，把向量 $y$ 单位化可得

z = frac 1sqrt 1 3 [ l 2 3 ] = [ l frac 2sqrt 1 3 frac 3sqrt 1 3 ]$$z=\frac{1}{\sqrt{13}}\left[\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\frac{2}{\sqrt{13}}\\ \frac{3}{\sqrt{13}}\end{array}\right]$$

图6-2 把一个向量单位化，得到一个单位向量

见图 6-2b. 另外一个单位向量是 $(-2/\sqrt{13},-3/\sqrt{13})$ .

${\mathbb{R}}^n$ 中的距离

接下来描述一个向量如何逼近另一个向量．注意，如果 $a$ 和 $b$ 是实数，则在数轴上 $a$ 与 $b$ 之间的距离是 $\left|a-b\right|$ ，图 6-3给出了两个实例．用类似于 $\mathbb{R}$ 中两个数之间的距离定义 ${\mathbb{R}}^n$ 空间中两个向量的距离．

图6-3 $\mathbb{R}$ 中两个数的距离

定义 ${\mathbb{R}}^n$ 中向量 $u$ 和 $v$ 之间的距离记作 $\mathrm{dist}(u,v)$ ，表示向量 $u-v$ 的长度，即

operatornamedist (boldsymbol u, boldsymbol v) = | boldsymbol u - boldsymbol v |$$\mathrm{dist}(\mathbf{u},\mathbf{v})=\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert$$

在 ${\mathbb{R}}^2$ 和 ${\mathbb{R}}^3$ 中，如例4和例5所示，距离的定义和欧几里得空间中两点的距离公式一致．例4 计算向量 $u=(7,1)$ 和 $v=(3,2)$ 之间的距离．

解

先计算 $u-v=\left[\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ -1\end{array}\right]$ ，则有 $\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert =\sqrt{4^2+(-1{)}^2}=\sqrt{17}$ .

向量 $u$，$v$ 和 u-v 如图 6-4 所示，向量 u-v 加上向量 $v$。注意到图 6-4 中的平行四边形表明，从向量 $u$。注意到图 6-4 中的平行四边形表明，从向量 $u$ 到 $v$ 的距离与从向量 u-v 到 0 的距离相等。

图6-4 向量 $u$ 和 $v$ 的距离等于 $u-v$ 的长度

例 5

如果 $u=(u_1,u_2,u_3)$ 和 $v=(v_1,v_2,v_3)$ ，那么

operatornamedist (boldsymbol u, boldsymbol v) = | boldsymbol u - boldsymbol v | = sqrt (boldsymbol u - boldsymbol v) · (boldsymbol u - boldsymbol v) = sqrt (u _ 1 - v _ 1) ^ 2 + (u _ 2 - v _ 2) ^ 2 + (u _ 3 - v _ 3) ^ 2$$\mathrm{dist}(\mathbf{u},\mathbf{v})=\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert =\sqrt{(\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot (\mathbf{u}-\mathbf{v})}=\sqrt{{\left(u_1-v_1\right)}^2+{\left(u_2-v_2\right)}^2+{\left(u_3-v_3\right)}^2}$$

正交向量

本章以下内容阐述这样的事实，即欧几里得空间中的直线垂直概念可以推广到 ${\mathbb{R}}^n$ 中．

考虑 $R^2$ 或 $R^3$ 中通过原点且由向量 $u$ 和向量 $v$ 确定的两条直线，两条直线（见图 6-5）几何上垂直当且仅当从 $u$ 到 $v$ 的距离与从 $u$ 到 -v 的距离相等，这等同于要求它们距离的平方要相等．

图6-5

现在计算

r l [ dist (±b u, - ±b v) ] ^ 2 & = | ±b u - (- ±b v) | ^ 2 = | ±b u + ±b v | ^ 2 & = (±b u + ±b v) · (±b u + ±b v) & = ±b u · (±b u + ±b v) + ±b v · (±b u + ±b v) text 定理1(b)$$\begin{array}{rl}[\mathrm{dist}(u,-v){]}^2& ={\Vert u-(-v)\Vert }^2={\Vert u+v\Vert }^2\\ & =(u+v)\cdot (u+v)\\ & =u\cdot (u+v)+v\cdot (u+v)\text{定理1(b)}\end{array}$$ r l r & = ±b u · ±b u + ±b u · ±b v + ±b v · ±b u + ±b v · ±b v & text 定理1(a)、(b) & = | ±b u | ^ 2 + | ±b v | ^ 2 + 2 ±b u · ±b v & text 定理1(a) (1)$$\begin{array}{rlr}& =u\cdot u+u\cdot v+v\cdot u+v\cdot v& \text{定理1(a)、(b)}\\ & ={\Vert u\Vert }^2+{\Vert v\Vert }^2+2u\cdot v& \text{定理1(a)}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

同样将 $-v$ 和 $v$ 互换的计算如下：

r l [ dist (boldsymbol u, boldsymbol v) ] ^ 2 & = | boldsymbol u | ^ 2 + | - boldsymbol v | ^ 2 + 2 boldsymbol u · (- boldsymbol v) & = | boldsymbol u | ^ 2 + | boldsymbol v | ^ 2 - 2 boldsymbol u · boldsymbol v$$\begin{array}{rl}{\left[\mathrm{dist}(\mathbf{u},\mathbf{v})\right]}^2& ={\Vert \mathbf{u}\Vert }^2+{\Vert -\mathbf{v}\Vert }^2+2\mathbf{u}\cdot (-\mathbf{v})\\ & ={\Vert \mathbf{u}\Vert }^2+{\Vert \mathbf{v}\Vert }^2-2\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\end{array}$$

两个距离平方相等的充分必要条件是： $2u\cdot v=-2u\cdot v$ 或 $u\cdot v=0$ .

这里的计算表明，当向量 $u$ 和向量 $v$ 看作几何点时，通过这些点和原点的两条直线相互垂直的充分必要条件是 $u\cdot v=0$ 。下面给出 ${\mathbb{R}}^n$ 中两个向量互相垂直的一般定义（或正交，这是线性代数中的一个通用术语）。

定义 如果 $u\cdot v=0$ ，则 $R^n$ 中的两个向量 $u$ 和 $v$ 是（相互）正交的．

由 $0^T\cdot v=0$ 对任意 $v$ 都成立，可以得出零向量与 $R^n$ 中任意向量正交．

关于向量正交的一个重要性质由下面的定理给出，其证明可以从上面正交性定义和（1）中的计算立刻推出。图 6-6中的直角三角形给出定理中长度的直观描述。

定理 2 毕达哥拉斯（勾股

定理）

两个向量 $u$ 和 $v$ 正交的充分必要条件是 ${\Vert u+v\Vert }^2={\Vert u\Vert }^2+{\Vert v\Vert }^2.$

正交补

为了提供运用内积的相关练习，我们引入一个在6.3节和其余章节中都需要的概念。如果向量 $z$ 与 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间 $W$ 中的任意向量都正交，则称 $z$ 正交于 $W$ 。与子空间 $W$ 正交的向量 $z$ 的全体组成的集合称为 $W$ 的正交补，并记作 $W^{\perp }$ （ $W^{\perp }$ 读作 $W$ 正交补）。

图 6-6

例 6

设 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 中通过原点的平面， $L$ 是通过原点且与 $W$ 正交的直线。如果 $z$ 和 $w$ 都非零， $z$ 在直线 $L$ 上且 $w$ 在 $W$ 内，那么从 0 到 $z$ 的线段正交于从 0 到 $w$ 的线段，即 $z\cdot w=0$ ，见图

6-7. 从而 $L$ 上的每个向量与 $W$ 中的任一向量 $w$ 都正交。事实上， $L$ 包含所有与 $W$ 中的向量 $w$ 都正交的向量， $W$ 包含所有与 $L$ 中的向量 $z$ 都正交的向量，也就是说，

L = W ^ perp text 且 W = L ^ perp$$L=W^{\perp }\text{且}W=L^{\perp }$$

若 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间，下面两个关于 $W^{\perp }$ 的性质会在以后的章节用到。证明放在习题29和习题30中，习题27~31将给出几个运用内积性质的练习。

图6-7 一个作为正交补空间的平面和通过原点的直线

1. 向量 $x$ 属于 $W^{\perp }$ 的充分必要条件是向量 $x$ 与生成空间 $W$ 的任一向量都正交．
2. $W^{\perp }$ 是 $R^n$ 的一个子空间．

下面的定理和习题 31 验证了 4.6 节关于子空间的论断，见图 6-8（也可参考 4.6 节的习题 28）.

图6-8 一个由 $m\times n$ 矩阵 $A$ 确定的基本子空间

证明两个集合（比如 $s$ 和 $T$ ）相等的常用方法是证明 $s$ 是 $T$ 的子集且 $T$ 是 $s$ 的子集。下个定理的证明（即 $\mathrm{Nul}A=(\mathrm{Row}A{)}^{\perp }$ ）可通过证明 $\mathrm{Nul}A$ 是 $(\mathrm{Row}A{)}^{\perp }$ 的子集且 $(\mathrm{Row}A{)}^{\perp }$ 是 $\mathrm{Nul}A$ 的子集来完成，即证明 $\mathrm{Nul}A$ 中的任一元素 $x$ 在 $(\mathrm{Row}A{)}^{\perp }$ 中，而 $(\mathrm{Row}A{)}^{\perp }$ 中的任一元素 $x$ 也在 $\mathrm{Nul}A$ 中。

定理 3

假设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，那么 $A$ 的行空间的正交补是 $A$ 的零空间，且 $A$ 的列空间的正交补是 $A^{\mathrm{T}}$ 的零空间：

(Row A) ^ perp = Nul A text 且 (Col A) ^ perp = Nul A ^ T$$(\mathrm{Row}A{)}^{\perp }=\mathrm{Nul}A\text{且}(\mathrm{Col}A{)}^{\perp }=\mathrm{Nul}{A}^{\mathrm{T}}$$

证明

计算 $Ax$ 的行列法则表明，如果 $x$ 是 $\mathrm{Nul}A$ 中的向量，那么向量 $x$ 与 $A$ 的每一行（将行作为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的向量）正交。由于 $A$ 的行生成行空间，故向量 $x$ 与 $\mathrm{Row}A$ 正交。反之，如果 $x$ 与 $\mathrm{Row}A$ 正交，那么 $x$ 当然与 $A$ 的每一行正交，因此 $Ax=0$ ，从而证明了定理的第一个结论。因为该结论对任一矩阵成立，因此对 $A^{\mathrm{T}}$ 成立，即 $A^{\mathrm{T}}$ 的行空间的正交补是 $A^{\mathrm{T}}$ 的零空间。由于 $\mathrm{Row}{A}^{\mathrm{T}}=\mathrm{Col}A$ ，这就证明了第二个结论。

${\mathbb{R}}^2$ 和 ${\mathbb{R}}^3$ 中的角度（可选内容）

如果 $u$ 和 $v$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 或 ${\mathbb{R}}^3$ 中的非零向量，那么可以将它们的内积与从原点到点 $u$ 和原点到点 $v$ 的两个线段之间的夹角 $\vartheta$ 联系起来，对应的公式是：

boldsymbol u · boldsymbol v = | boldsymbol u | | boldsymbol v | cos θ (2)$$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos \vartheta \text{\hspace{1em}(2)}$$

为了验证 ${\mathbb{R}}^2$ 中的向量公式，考虑图 6-9所示的三角形，其边长分别是 $\Vert u\Vert$ ， $\Vert v\Vert$ 和 $\Vert u-v\Vert$ ．由余弦定理可知

| boldsymbol u - boldsymbol v | ^ 2 = | boldsymbol u | ^ 2 + | boldsymbol v | ^ 2 - 2 | boldsymbol u | | boldsymbol v | cos θ$${\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert }^2={\Vert \mathbf{u}\Vert }^2+{\Vert \mathbf{v}\Vert }^2-2\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos \vartheta$$

可以重新组合上面的内积表达式：

r l | boldsymbol u | & | boldsymbol v | cos θ = frac 12 [ | boldsymbol u | ^ 2 + | boldsymbol v | ^ 2 - | boldsymbol u - boldsymbol v | ^ 2 ] & = frac 12 [ u _ 1 ^ 2 + u _ 2 ^ 2 + v _ 1 ^ 2 + v _ 2 ^ 2 - (u _ 1 - v _ 1) ^ 2 - (u _ 2 - v _ 2) ^ 2 ] & = u _ 1 v _ 1 + u _ 2 v _ 2 & = boldsymbol u · boldsymbol v$$\begin{array}{rl}\Vert \mathbf{u}\Vert & \Vert \mathbf{v}\Vert \cos \vartheta =\frac{1}{2}[{\Vert \mathbf{u}\Vert }^2+{\Vert \mathbf{v}\Vert }^2-{\Vert \mathbf{u}-\mathbf{v}\Vert }^2]\\ & =\frac{1}{2}[u_1^2+u_2^2+v_1^2+v_2^2-(u_1-v_1{)}^2-(u_2-v_2{)}^2]\\ & =u_1{v}_1+u_2{v}_2\\ & =\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\end{array}$$

${\mathbb{R}}^3$ 的情形可类似验证．当 $n>3$ 时，公式 (2) 可用于定义 ${\mathbb{R}}^n$ 中两个向量之间的夹角．例如，在统计学中，(2) 式中对向量 $u$ 和 $v$ 定义的 $\cos \vartheta$ 的值就是统计学家所称的相关系数．

图6-9 两个向量之间的夹角

练习题

1. 令 $a=\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right]$ ， $b=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]$ ，计算 $\frac{a\cdot b}{a\cdot a}$ 和 $\left(\frac{a\cdot b}{a\cdot a}\right)a$ .

2. 令 $c=\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ -1\\ \frac{2}{3}\end{array}\right]$ ， $d=\left[\begin{array}{c}5\\ 6\\ -1\end{array}\right]$ .

$a$．计算向量 $c$ 方向的单位向量 $u$.

$b$．证明向量 $d$ 和向量 $c$ 正交．

$c$．利用（$a$）和（$b$）的结果，解释为什么 $d$ 一定正交于单位向量 $u$.

3. 设 $W$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间．习题30证明了 $W^{\perp }$ 也是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间，证明 $\dim W+\dim W^{\perp }=n$ .

习题6.1

在习题 1~8 中，利用下列向量计算数值：

boldsymbol u = [ c - 1 2 ]$$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$$boldsymbol v = [ c 4 6 ]$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}4\\ 6\end{array}\right]$$boldsymbol w = [ c 3 - 1 - 5 ]$$\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ -5\end{array}\right]$$boldsymbol x = [ c 6 - 2 3 ]$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}6\\ -2\\ 3\end{array}\right]$$

1. $u\cdot u,v\cdot u$ 和 $\frac{v\cdot u}{u\cdot u}$ 2. $w\cdot w,x\cdot w$ 和 $\frac{x\cdot w}{w\cdot w}$ 3. $\frac{1}{w\cdot w}w$ 4. $\frac{1}{u\cdot u}u$ 5. $\left(\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\right)v$ 6. $\left(\frac{x\cdot w}{x\cdot x}\right)x$ 7. $\Vert w\Vert$ 8. $\Vert x\Vert$

在习题9~12中，计算给定向量方向的单位向量．
9. $\left[\begin{array}{c}-30\\ 40\end{array}\right]$ 10. $\left[\begin{array}{c}-6\\ 4\\ -3\end{array}\right]$ 11. $\left[\begin{array}{c}7/4\\ 1/2\\ 1\end{array}\right]$ 12. $\left[\begin{array}{c}8/3\\ 2\end{array}\right]$

13. 计算向量 $x=\left[\begin{array}{c}10\\ -3\end{array}\right]$ 与向量 $y=\left[\begin{array}{c}-1\\ -5\end{array}\right]$ 之间的距离．

14. 计算向量 $u=\left[\begin{array}{c}0\\ -5\\ 2\end{array}\right]$ 与向量 $z=\left[\begin{array}{c}-4\\ -1\\ 8\end{array}\right]$ 之间的距离．

在习题 15~18 中，确定哪一对向量相互正交．

15. $a=\left[\begin{array}{c}8\\ -5\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}-2\\ -3\end{array}\right]$

boldsymbol u = [ c 1 2 3 - 5 ]$$\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}12\\ 3\\ -5\end{array}\right]$$boldsymbol v = [ c 2 - 3 3 ]$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ -3\\ 3\end{array}\right]$$

17. $u=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ -5\\ 0\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}-4\\ 1\\ -2\\ 6\end{array}\right]$

mathbf y = [ c - 3 7 4 0 ]$$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}-3\\ 7\\ 4\\ 0\end{array}\right]$$z = [ r 1 - 8 1 5 - 7 ]$$z=\left[\begin{array}{r}1\\ -8\\ 15\\ -7\end{array}\right]$$

在习题 19~20 中，所有向量在 $R^n$ 中，说明每个命题的真假，并验证你的答案．

19. $a$. $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}={\Vert \mathbf{v}\Vert }^2$ .

$b$．对任意数 $c$ ， $u\cdot (cv)=c(u\cdot v)$

$c$．如果向量 $u$ 到向量 $v$ 的距离等于向量 $u$ 到向量 -v 的距离，那么 $u$ 和 $v$ 是正交的．

$d$．对于一个方阵 $A$，Col A 中的向量与 Nul A 中的向量正交．

$e$．如果向量 $v_1,\cdots ,v_p$ 生成子空间 $W$，且向量 $x$ 与每一个 $v_j(j=1,\cdots ,p)$ 正交，那么向量 $x$ 属于 $W^{\perp }$ .

20. $a$. $u\cdot v-v\cdot u=0$ . b. 对任意数 $c$， $\Vert cv\Vert =c\Vert v\Vert$ . c. 如果 $x$ 与子空间 $W$ 中的任一向量正交，那么 $x$ 是 $W^{\perp }$ 中的向量． d. 如果 ${\Vert \mathbf{u}\Vert }^2+{\Vert \mathbf{v}\Vert }^2={\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert }^2$ ，那么 $u$ 和 $v$ 相互正交． e. 对任意 $m\times n$ 矩阵 $A$, $A$ 的零空间中的向量与 $A$ 的行空间中的向量正交．

21. 利用内积的转置定义，验证定理1 中的（$b$）和（$c$），注意第 2 章的一些内容．

22. 若 $\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)$ ，解释为什么 $u\cdot u⩾0$ 。什么条件下 $u\cdot u=0$ ?

23. 若 $u=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ -1\end{array}\right],v=\left[\begin{array}{c}-7\\ -4\\ 6\end{array}\right]$ ，计算和比较 $u\cdot v,\Vert u{\Vert }^2$ , $\Vert v{\Vert }^2$ 和 $\Vert u+v{\Vert }^2$．不能使用勾股定理．

24. 证明 ${\mathbb{R}}^n$ 中向量 $u$ 和 $v$ 的平行四边形法则： ${\Vert u+v\Vert }^2+{\Vert u-v\Vert }^2=2{\Vert u\Vert }^2+2{\Vert v\Vert }^2$

25. 假设 $v=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$ ，描述与 $v$ 正交的向量 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 的集合 $H$。（提示：考虑 v=0 和 $v\ne 0$ 两种情形。）

26. 假设 $u=\left[\begin{array}{c}5\\ -6\\ 7\end{array}\right]$ ，且 $W$ 是 $R^3$ 中满足 $u\cdot x=0$ 的全体向量 $x$ 的集合，第4章中的什么定理可以说明 $W$ 是 $R^3$ 的子空间？用几何语言描述空间 $W$。

27. 假若一个向量 $y$ 与向量 $u$ 和 $v$ 都正交，证明 $y$ 与向量 $u+v$ 正交．

28. 假若 $y$ 与向量 $u$ 和 $v$ 都正交，证明 $y$ 与 Span{$u$,$v$} 中的任一向量 $w$ 正交。（提示：Span{$u$,$v$} 中的向量 $w$ 具有形式 $w=c_{1}u+c_{2}v$ 证明 $y$ 与向量 $w$ 正交。）

Span $\{u,v\}$

29. 令 $W=\mathrm{Span}\{v_1,\dots ,v_p\}$ ，证明：如果 $x$ 和每个 $v_j$ （ $1⩽j⩽p$ ）正交，那么 $x$ 与 $W$ 中任一向量正交。

30. 令 $W$ 是 $R^n$ 的子空间，且 $W^{\perp }$ 是所有与 $W$ 正交的向量集合，利用下列步骤说明 $W^{\perp }$ 是 $R^n$ 的子空间． a. 选取 $W^{\perp }$ 中的 $z$，令 $u$ 表示 $W$ 中的任意元素，那么 $z\cdot u=0$ 。取任意数 $c$，然后证明 cz 与向量 $u$ 正交（由于 $u$ 是 $W$ 中的任意向量，这说明 cz 在 $W^{\perp }$ 中）. b. 选取 $W^{\perp }$ 中的 $z_1$ 和 $z_2$ ，令 $u$ 是 $W$ 中任意元素，证明向量 $z_1+z_2$ 与 $u$ 正交。可从 $z_1+z_2$ 中得出什么结论？为什么？ c. 最后证明 $W^{\perp }$ 是 $R^n$ 的子空间．

31. 证明：如果 $x$ 是属于空间 $W$ 和 $W^{\perp }$ 的向量，那么 x=0.

32. [$M$] 构造 ${\mathbb{R}}^4$ 中任意一对向量 $u$ 和 $v$ ，令

A = [ c c c c 0. 5 & 0. 5 & 0. 5 & 0. 5 0. 5 & 0. 5 & - 0. 5 & - 0. 5 0. 5 & - 0. 5 & 0. 5 & - 0. 5 0. 5 & - 0. 5 & - 0. 5 & 0. 5 ]$$A=\left[\begin{array}{cccc}0.5& 0.5& 0.5& 0.5\\ 0.5& 0.5& -0.5& -0.5\\ 0.5& -0.5& 0.5& -0.5\\ 0.5& -0.5& -0.5& 0.5\end{array}\right]$$

$a$．记 $A$ 的列向量为 $a_1,\cdots ,a_4$ ，计算每一列的长度和 $a_1\cdot a_2$ ， $a_1\cdot a_3$ ， $a_1\cdot a_4$ ， $a_2\cdot a_3$ ， $a_2\cdot a_4$ ， $a_3\cdot a_4$ .

$b$．计算并比较 $u$，Au，$v$ 和 Av 的长度．

$c$．利用本节中方程（2）计算向量 $u$ 和 $v$ 之间夹角的余弦值，并将此值和向量 Au 和 Av 之间夹角的余弦值相比较．

$d$．对任意两个向量，重复（$b$）和（$c$），从 $A$ 对任意向量的作用可以得出什么猜想？

33.[$M$] 对 $R^4$ 中元素是整数的任意向量 $x$, $y$ 和 v ( $v\ne 0$ ), 计算下列各量:

(frac x · vv · v) v, (frac y · vv · v) v, frac (x + y) · vv · v v, frac (1 0 x) · vv · v v$$\left(\frac{x\cdot v}{v\cdot v}\right)v,\left(\frac{y\cdot v}{v\cdot v}\right)v,\frac{(x+y)\cdot v}{v\cdot v}v,\frac{(10x)\cdot v}{v\cdot v}v$$

选取新的任意向量 $x$ 和 $y$，重复上面计算。从映射 $x\mapsto T(x)=\left(\frac{x\cdot v}{v\cdot v}\right)v$ （对 $v\ne 0$ ）可得出什么猜想？用代数证明你的猜想。

34. [$M$] 设 $A=\left[\begin{array}{ccccc}-6& 3& -27& -33& -13\\ 6& -5& 25& 28& 14\\ 8& -6& 34& 38& 18\\ 12& -10& 50& 41& 23\\ 14& -21& 49& 29& 33\end{array}\right]$，构造

矩阵 $N$ 使其列是 Nul A 的一组基，构造矩阵 $R$ 使其行是 Row A 的一组基（详见 4.6 节）。用 $N$ 和 $R$ 执行矩阵计算来说明定理3 的结论。

练习题答案

1. $a\cdot b=7$ , $a\cdot a=5$ ，因此， $\frac{a\cdot b}{a\cdot a}=\frac{7}{5}$ ，且 $\left(\frac{a\cdot b}{a\cdot a}\right)a=\frac{7}{5}a=\left[\begin{array}{c}-14/5\\ 7/5\end{array}\right]$ .

2. $a$．先倍乘 $c$，乘 3 得到 $y=\left[\begin{array}{c}4\\ -3\\ 2\end{array}\right]$ ，计算 $\Vert y{\Vert }^2=29$ 和 $\Vert y\Vert =\sqrt{29}$ ．与向量 $c$ 和 $y$ 方向一致的单位向量是：

boldsymbol u = frac 1| boldsymbol y | boldsymbol y = [ c 4 / sqrt 2 9 - 3 / sqrt 2 9 2 / sqrt 2 9 ]$$\mathbf{u}=\frac{1}{\Vert \mathbf{y}\Vert }\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}4/\sqrt{29}\\ -3/\sqrt{29}\\ 2/\sqrt{29}\end{array}\right]$$

$b$. $d$ 与 $c$ 正交，这是因为

boldsymbol d · boldsymbol c = [ l 5 6 - 1 ] · [ l 4 / 3 - 1 2 / 3 ] = frac 2 03 - 6 - frac 23 = 0$$\mathbf{d}\cdot \mathbf{c}=\left[\begin{array}{l}5\\ 6\\ -1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{l}4/3\\ -1\\ 2/3\end{array}\right]=\frac{20}{3}-6-\frac{2}{3}=0$$

$c$. d 与 $u$ 正交，这是因为对任意 $k$，向量 $u$ 具有形式 kc，且

boldsymbol d · boldsymbol u = boldsymbol d · (k c) = k (boldsymbol d · boldsymbol c) = k (0) = 0$$\mathbf{d}\cdot \mathbf{u}=\mathbf{d}\cdot (kc)=k(\mathbf{d}\cdot \mathbf{c})=k(0)=0$$

3. 若 $w\ne \{0\}$ ，设 $\{b_1,\cdots ,b_p\}$ 是 $W$ 的一个基， $1⩽p⩽n$ 。设 $A$ 是以 $b_1^T,\cdots ,b_p^T$ 为行向量的 $p\times n$ 矩阵，从而 $W$ 是 $A$ 的行空间。由定理3 可知 $W^{\perp }=(\text{Row }A{)}^{\perp }=\text{Nul }A$ ，从而 $\dim W^{\perp }=\dim \text{Nul }A$ 。因此，由秩定理可得， $\dim W+\dim W^{\perp }=\dim \text{Row }A+\dim \text{Nul }A=\text{rank }A+\dim \text{Nul }A=n$ 。若 $W=\{0\}$ ，则 $W^{\perp }=R^n$ ，结论成立。