第5章 补充习题

在下列所有补充习题中， $A$ 和 $B$ 均为适当大小的方阵． 1. 判断命题的真假，给出理由． a. 设 $A$ 可逆且1是其特征值，则1也是 $A^{-1}$ 的

特征值．

$b$．若 $A$ 可通过行变换化成单位阵 $I$，那么 $A$ 可对角化．

$c$．若 $A$ 的某一行或某一列上的元素全为 0，那么 0 是 $A$ 的一个特征值．

$d$. A 的每个特征值同样也是 $A^2$ 的特征值．

$e$. A 的每个特征向量同样也是 $A^2$ 的特征向量．

$f$．可逆矩阵 $A$ 的每个特征向量同时也是 $A^{-1}$ 的特征向量．

$g$．特征值必为非零数． h. 特征向量必为非零向量．

$i$．对应于同一特征值的两个特征向量必为线性相关的．

$j$．相似矩阵必有相同的特征值．

$k$．相似矩阵必有相同的特征向量．

1. 矩阵 $A$ 的两个特征向量之和仍是 $A$ 的特征向量．

$m$．上三角矩阵 $A$ 的特征值正好是对角矩阵 $A$ 中的非零元素．

$n$．将重数计算在内，矩阵 $A$ 和 $A^T$ 具有相同的特征值．

$o$．如果 $5\times 5$ 矩阵 $A$ 的不同特征值少于 5 个，那么 $A$ 不可对角化．

$p$. ${\mathbb{R}}^2$ 中存在没有特征向量的 $2\times 2$ 矩阵．

$q$．若 $A$ 可对角化，那么 $A$ 的各列线性无关．

$r$．一个非零向量不能对应于 $A$ 的两个不同特征值．

$s$. （方）阵 $A$ 可逆当且仅当存在一个坐标系使得变换 $x\mapsto Ax$ 可以用对角矩阵来表示．

$t$．如果 ${\mathbb{R}}^n$ 的标准基中每一向量 $e_j$ 都是 $A$ 的特征向量，那么 $A$ 是一对角矩阵．

$u$．如果 $A$ 相似于一可对角化的矩阵 $B$，那么 $A$ 也可对角化．

$v$．如果 $A$ 和 $B$ 均为 $n\times n$ 可逆矩阵，那么 AB 相似于 BA.

$w$．具有 $n$ 个线性无关特征向量的 $n\times n$ 矩阵

可逆．

$x$．如果 $A$ 是一 $n\times n$ 可对角化矩阵，那么 $R^n$ 中的任一向量均可表示为 $A$ 的特征向量的线性组合．

2. 若 $x$ 是矩阵乘积 $AB$ 的一个特征向量，且 $Bx\ne 0$ ，证明 $Bx$ 是 $BA$ 的一个特征向量。

3. 设 $x$ 是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量． a. 证明 $x$ 是 5I-A 的一个特征向量．并求其对应的特征值． b. 证明 $x$ 是 $5I-3A+A^2$ 的一个特征向量．并求其对应的特征值．

4. 用数学归纳法证明如果 $\lambda$ 是 $n\times n$ 矩阵 $A$ 的一个特征值， $x$ 是其对应的特征向量，那么对任一正整数 $m$ ， ${\lambda }^m$ 是 $A^m$ 的一个特征值， $x$ 是其对应的特征向量。

5. 设 $p(t)=c_0+c_{1}t+c_2{t}^2+\cdots +c_n{t}^n$ ，定义 $p(A)$ 为用对应的 $A$ 的幂去取代 $p(t)$ 中的每一个 $t$ 的幂所得的矩阵（其中 $A^0=I$ ）。即 $p(A)=c_{0}I+c_{1}A+c_2{A}^2+\cdots +c_n{A}^n$ 若 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，证明 $p(A)$ 的一个特征值是 $p(\lambda )$ .

6. 设 $A=PD{P}^{-1}$ , $P$ 是 $2\times 2$ 矩阵，$D=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 7\end{array}\right]$ . a. 设 $B=5I-3A+A^2$．证明 $B$ 可通过寻找 $B$ 的一个合适的因式分解来化成对角矩阵． b. 已知 $p(t)$ 和 $p(A)$ 如习题 5 所述，证明 $p(A)$ 可对角化．

7. 设 $A$ 可对角化且 $p(t)$ 是 $A$ 的特征多项式．定义 $p(A)$ 如习题5所述，证明 $p(A)$ 是零矩阵．这一事实叫做Cayley-Hamilton定理，它对任一方阵均成立．

8. $a$．设 $A$ 是一 $n\times n$ 可对角化矩阵．证明当特征值 $\lambda$ 的重数是 $n$ 时，有 $A=\lambda I$ . b. 利用（$a$）来证明矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right]$ 不可对角化．

9. 证明：当 $A$ 的所有特征值均小于 1 时，I-A 可逆。（提示：如果 I-A 不可逆情况会是怎样？）

10. 证明：若 $A$ 可对角化，且 $A$ 的所有特征值的绝对值均小于 1，那么当 $k\to \infty$ 时， $A^k$ 趋于零矩阵。（提示：考虑 $A^{k}x$ ，其中 $x$ 为 $I$ 的任一列。）

11. 设 $u$ 为 $A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量，$H$ 为 $R^n$ 上过 $u$ 和原点的直线． a. 证明：对 $H$ 上任一 $x$，有 Ax 在 $H$ 上，那么 $H$ 在 $A$ 内不变． b. 设 $K$ 为 $R^n$ 上恒定于 $A$ 内的一维子空间，证明：$K$ 包含 $A$ 的一个特征向量．

12. 设 $G=\left[\begin{array}{cc}A& X\\ 0& B\end{array}\right]$．利用 5.2 节中求行列式的公式 (1) 证明 $\det G=(\det A)(\det B)$．由此，推导出 $G$ 的特征多项式为 $A$ 与 $B$ 的特征多项式的乘积． 利用习题 12 求习题 13 和 14 中矩阵的特征值．

13. $A=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 8\\ 0& 5& -2\\ 0& -4& 3\end{array}\right]$

14. $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 5& -6& -7\\ 2& 4& 5& 2\\ 0& 0& -7& -4\\ 0& 0& 3& 1\end{array}\right]$

15. 设 $J$ 为元素全为 1 的 $n\times n$ 矩阵，并设 $A=(a-b)I+bJ$ ，即 $A=\left[\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right]$ ，利用第3章补充习题16的结果证明$A$的特征值为a-b和 $a+(n-1)b$ 。并求这两个特征值的重数。

16. 应用习题 15 的结论求矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{ccccc}7& 3& 3& 3& 3\\ 3& 7& 3& 3& 3\\ 3& 3& 7& 3& 3\\ 3& 3& 3& 7& 3\\ 3& 3& 3& 3& 7\end{array}\right]$ 的特征值．

17. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$．回顾5.4节习题25中的 $\mathrm{tr}A$ （$A$ 的轨迹）等于 $A$ 的对角元素之和。证明：$A$ 的特征多项式为 ${\lambda }^2-(\mathrm{tr}A)\lambda +\det A$ 。然后证明 $2\times 2$ 矩阵 $A$ 的特征值全为实数当且仅当 $\det A⩽{\left(\frac{\mathrm{tr}A}{2}\right)}^2$ 。

18. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}0.4& -0.3\\ 0.4& 1.2\end{array}\right]$ 。说明当 $k\to \infty$ 时， $A^k\to \left[\begin{array}{cc}-0.5& -0.75\\ 1.0& 1.50\end{array}\right]$ 。

习题 19~23 是关于多项式 $p(t)=a_0+a_{1}t+\cdots +a_{n-1}{t}^{n-1}+t^n$ 和 $n\times n$ 矩阵 $C_p$ 的， $C_p$ 叫做 $p$ 的友矩阵：

C _ p = [ c c c c c 0 & 1 & 0 & … & 0 0 & 0 & 1 & & 0 vdots & & & & vdots 0 & 0 & 0 & & 1 - a _ 0 & - a _ 1 & - a _ 2 & … & - a _ n - 1 ].$$C_p=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& 1& & 0\\ ⋮& & & & ⋮\\ 0& 0& 0& & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \dots & -a_{n-1}\end{array}\right].$$

19. $p(t)=6-5t+t^2$ ，写出它的友矩阵 $C_p$ ，并求 $C_p$ 的特征多项式．

20. 设 $p(t)=(t-2)(t-3)(t-4)=-24+26t-9t^2+t^3$ ，写出 $p(t)$ 的友矩阵，并用第3章的方法求它的特征多项式．

21. 利用数学归纳法证明：当 $n⩾2$ 时， $\det (C_p-\lambda I)=(-1{)}^n(a_0+a_1\lambda +\cdots +a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+{\lambda }^n)$ $=(-1{)}^{n}p(\lambda )$ （提示：求沿第一列展开的余子式，证明 $\det (C_p-\lambda I)$ 具有 $(-\lambda )B+(-1{)}^n{a}_0$ 的形式，其中 $B$ 为某一多项式（由归纳假设）.

22. 设 $p(t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+t^3$ ，并设 $\lambda$ 是 $p$ 的一个零点． a. 写出 $p$ 的友矩阵． b. 证明 ${\lambda }^3=-a_0-a_1\lambda -a_2{\lambda }^2$ 及 $(1,\lambda ,{\lambda }^2)$ 是 $p$ 的友矩阵的一个特征向量．

23. 设 $p$ 为习题22中的多项式，并假设方程 $p(t)=0$ 有不同的根 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ 。设 $V$ 为范德蒙德矩阵 $V=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& {\lambda }_3\\ {\lambda }_1^2& {\lambda }_2^2& {\lambda }_3^2\end{array}\right]$ 。（ $V$ 的转置在第2章补充习题11提及。）利用习题22和本章中的定理推导 $V$ 是可逆的（不要计算 $V^{-1}$ ）。然后说明 $V^{-1}{C}_{p}V$ 是一个对角矩阵。

24. MATLAB 命令 roots($p$) 是用来计算多项式方程 $p(t)=0$ 的根的。阅读 MATLAB 手册，阐述 roots 命令所用到的算法的基本思想。

25. [$M$] 如果可能的话，利用矩阵程序对角化矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}-3& -2& 0\\ 14& 7& -1\\ -6& -3& 1\end{array}\right]$．利用特征值命令创建对角矩阵 D．如果程序有产生特征向量的命令，利用此命令产生的向量来构造可逆矩阵 P．然后计算 AP-PD 和 $PD{P}^{-1}$ ．并讨论结果．

26. [$M$] 设 $A=\left[\begin{array}{cccc}-8& 5& -2& 0\\ -5& 2& 1& -2\\ 10& -8& 6& -3\\ 3& -2& 1& 0\end{array}\right]$，重做习题 25.