5.8 特征值的迭代估计

在线性代数的科学应用中，很少能精确知道特征值。所幸的是，一个较精确的数值近似通常能达到令人满意的效果。实际上，某些应用只需要粗略估计最大特征值。下面介绍的第1个算法很适合这种情况。同样，它为快速估计其他特征值的更有效的方法提供了基础。

幂算法

幂算法适用于 $n\times n$ 矩阵 $A$ 有严格占优特征值（亦称主特征值） ${\lambda }_1$ 的情况。 ${\lambda }_1$ 为主特征值的意思是 ${\lambda }_1$ 的绝对值比其他特征值的绝对值都大。此时，幂算法产生一个近似 ${\lambda }_1$ 的数列和一个近似对应的主特征向量的向量序列。此方法的背景来源于5.6节开头的特征向量分解。

为简单起见，假设 $A$ 可对角化，特征向量 $v_1,\cdots ,v_n$ 是 $R^n$ 的基，并且 $v_1,\cdots ,v_n$ 已经过排列，使对应的特征值 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 的绝对值递减， ${\lambda }_1$ 是主特征值，即有

c | λ_ 1 | > | λ_ 2 | ≥slant | λ_ 3 | ≥slant … ≥slant | λ_ n | uparrow text 严格大 (1)$$\begin{array}{c}\left|{\lambda }_1\right|>\left|{\lambda }_2\right|⩾\left|{\lambda }_3\right|⩾\cdots ⩾\left|{\lambda }_n\right|\\ \uparrow \\ \text{严格大}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

就像我们在 5.6 节式（2）中看到的，假设 $x\in R^n,x=c_1{v}_1+\cdots +c_n{v}_n$ ，那么

A ^ k boldsymbol x = c _ 1 (λ_ 1) ^ k boldsymbol v _ 1 + c _ 2 (λ_ 2) ^ k boldsymbol v _ 2 + … + c _ n (λ_ n) ^ k boldsymbol v _ n (k = 1, 2, …)$$A^k\mathbf{x}=c_1{\left({\lambda }_1\right)}^k{\mathbf{v}}_1+c_2{\left({\lambda }_2\right)}^k{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\left({\lambda }_n\right)}^k{\mathbf{v}}_n(k=1,2,\dots )$$

假设 $c_1\ne 0$ ，等式除于 $({\lambda }_1{)}^k$

frac 1(λ_ 1) ^ k A ^ k boldsymbol x = c _ 1 boldsymbol v _ 1 + c _ 2 (frac λ_ 2λ_ 1) ^ k boldsymbol v _ 2 + … + c _ n (frac λ_ nλ_ 1) ^ k boldsymbol v _ n (k = 1, 2, …) (2)$$\frac{1}{({\lambda }_1{)}^k}{A}^k\mathbf{x}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\left(\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}\right)}^k{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\left(\frac{{\lambda }_n}{{\lambda }_1}\right)}^k{\mathbf{v}}_n(k=1,2,\dots )\text{\hspace{1em}(2)}$$

由（1），所有分数 ${\lambda }_2/{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n/{\lambda }_1$ 的值都小于 1，因此，它们的幂趋于零。故

k → ∞$$k\to \infty$$ (λ_ 1) ^ - k A ^ k boldsymbol x arrow c _ 1 boldsymbol v _ 1 (3)$${\left({\lambda }_1\right)}^{-k}{A}^k\mathbf{x}\to c_1{\mathbf{v}}_1\text{\hspace{1em}(3)}$$

因此对足够大的 $k$ ， $A^{k}x$ 的数量倍的方向几乎与特征向量 $c_1{v}_1$ 的方向相同．由于正的数量倍不会改变向量的方向，因此若给定 $c_1\ne 0$ ，则 $A^{k}x$ 的方向几乎与 $v_1$ 或 $-v_1$ 一致．

例 1

设 $A=\left[\begin{array}{cc}1.8& 0.8\\ 0.2& 1.2\end{array}\right],v_1=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}-0.5\\ 1\end{array}\right]$ ，那么 $A$ 的特征值是 2 和 1， ${\lambda }_1=2$ 的特征空间是过原点和 $v_1$ 的直线。对 $k=0,\cdots ,8$ ，计算 $A^{k}x$ 并画出过原点和 $A^{k}x$ 的直线。当 $k$ 增大时会出现什么情况？

解

开头三项的计算是

A boldsymbol x = [ l l 1. 8 & 0. 8 0. 2 & 1. 2 ] [ c - 0. 5 1 ] = [ c - 0. 1 1. 1 ]$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ll}1.8& 0.8\\ 0.2& 1.2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-0.5\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-0.1\\ 1.1\end{array}\right]$$A ^ 2 boldsymbol x = A (A boldsymbol x) = [ l l 1. 8 & 0. 8 0. 2 & 1. 2 ] [ c - 0. 1 1. 1 ] = [ l 0. 7 1. 3 ]$$A^2\mathbf{x}=A(A\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ll}1.8& 0.8\\ 0.2& 1.2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-0.1\\ 1.1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0.7\\ 1.3\end{array}\right]$$A ^ 3 boldsymbol x = A (A ^ 2 boldsymbol x) = [ l l 1. 8 & 0. 8 0. 2 & 1. 2 ] [ l 0. 7 1. 3 ] = [ l 2. 3 1. 7 ]$$A^3\mathbf{x}=A(A^2\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ll}1.8& 0.8\\ 0.2& 1.2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0.7\\ 1.3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}2.3\\ 1.7\end{array}\right]$$

其他项的计算在表 5-1 中给出．

表 5-1 向量的迭代

k	0	1	2	3	4	5	6	7	8
$A^{k}x$	$\left[\begin{array}{c}-0.5\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}-0.1\\ 1.1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.7\\ 1.3\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}2.3\\ 1.7\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}5.5\\ 2.5\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}11.9\\ 4.1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}24.7\\ 7.3\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}50.3\\ 13.7\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}101.5\\ 26.5\end{array}\right]$

图 5-26 显示了向量 $x$, Ax, $A^{2}x$ , $A^{3}x$ , $A^{4}x$．其余向量太长难于显示，但画出的线段显示出这些向量的方向．事实上，我们真正想看到的是向量的方向而不是向量本身．这些直线看起来是逼近表示 $v_1$ 生成的特征空间的直线．更确切地说，由 $A^{k}x$ 确定的直线（子空间）与由 $v_1$ 确定的直线（特征空间）之间的夹角（当 $k\to \infty$ 时）趋于零．

图 5-26 由 x, Ax, $A^{2}x,\cdots ,A^{7}x$ 确定的方向

当 $c_1\ne 0$ 时，我们可以对（3）中的向量 $({\lambda }_1{)}^{-k}{A}^{k}x$ 倍乘，使它们收敛于 $c_1{v}_1$ ，但不能对 $A^{k}x$ 作这种倍乘，因为我们并不知道 ${\lambda }_1$ 。不过可以倍乘 $A^{k}x$ ，使它的最大分量为 1。这样，所得序列 $\{x_k\}$ 将收敛于 $v_1$ 的倍数， $v_1$ 的倍数的最大分量也是 1。图 5-27 显示了例1 的倍乘序列。我们还可以通过序列 $\{x_k\}$ 来估计特征值 ${\lambda }_1$ 。当 $x_k$ 接近于 ${\lambda }_1$ 的特征向量时，向量 $A{x}_k$ 也接近于 ${\lambda }_1{x}_k$ ，即 $A{x}_k$ 的每一分量接近于 ${\lambda }_1$ 与 $x_k$ 相应分量的乘积。因为 $x_k$ 的最大分量是 1，故 $A{x}_k$ 的最大分量接近于 ${\lambda }_1$ 。（这些结论的证明省略了。）

图 5-27 x, Ax, $A^{2}x$ , $\cdots$ , $A^{7}x$ 的倍乘

估计严格占优特征值的幂算法

1. 选择一个最大分量为 1 的初始向量 $x_0$

2. 对 $k=0,1,\cdots ,$ a. 计算 $A{x}_k$ . b. 设 ${\mu }_k$ 是 $A{x}_k$ 中绝对值最大的一个分量． c. 计算 ${\mathbf{x}}_{k+1}=(1/{\mu }_k)\mathbf{A}{\mathbf{x}}_k$ .

3. 几乎对所有选择的 $x_0$ ，序列 $\{{\mu }_k\}$ 近似于主特征值，而序列 $\{x_k\}$ 近似于对应的特征向量．

例 2

设 $A=\left[\begin{array}{cc}6& 5\\ 1& 2\end{array}\right],x_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$．应用幂算法求 $A$ 的主特征值和对应的特征向量的近似值，计算到 $k=5$ .

解

本例及下一个例子的计算用 MATLAB 完成，虽然这里看到的有效数字较少，但计算精确到 16 位。先计算 $A{x}_0$ ，然后将 $A{x}_0$ 的最大分量 ${\mu }_0$ 单位化：

A ±b x _ 0 = [ l l 6 & 5 1 & 2 ] [ l 0 1 ] = [ l 5 2 ], μ_ 0 = 5$$A{x}_0=\left[\begin{array}{ll}6& 5\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right],{\mu }_0=5$$

用 $1/{\mu }_0$ 倍乘 $A{x}_0$ 得到 $x_1$ ，计算 $A{x}_1$ ，并将 $A{x}_1$ 的最大分量单位化：

boldsymbol x _ 1 = frac 1μ_ 0 A boldsymbol x _ 0 = frac 15 [ l 5 2 ] = [ l 1 0. 4 ]$${\mathbf{x}}_1=\frac{1}{{\mu }_0}A{\mathbf{x}}_0=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\\ 0.4\end{array}\right]$$A ±b x _ 1 = [ l l 6 & 5 1 & 2 ] [ l 1 0. 4 ] = [ l 8 1. 8 ], μ_ 1 = 8$$A{x}_1=\left[\begin{array}{ll}6& 5\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1\\ 0.4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}8\\ 1.8\end{array}\right],{\mu }_1=8$$

用 $1/{\mu }_1$ 倍乘 $A{x}_1$ 得到 $x_2$ ，计算 $A{x}_2$ ，将 $A{x}_2$ 的最大分量单位化：

boldsymbol x _ 2 = frac 1μ_ 1 A boldsymbol x _ 1 = frac 18 [ l 8 1. 8 ] = [ l 1 0. 2 2 5 ]$${\mathbf{x}}_2=\frac{1}{{\mu }_1}A{\mathbf{x}}_1=\frac{1}{8}\left[\begin{array}{l}8\\ 1.8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\\ 0.225\end{array}\right]$$A ±b x _ 2 = [ l l 6 & 5 1 & 2 ] [ l 1 0. 2 2 5 ] = [ l 7. 1 2 5 1. 4 5 0 ], μ_ 2 = 7. 1 2 5$$A{x}_2=\left[\begin{array}{ll}6& 5\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1\\ 0.225\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}7.125\\ 1.450\end{array}\right],{\mu }_2=7.125$$

用 $1/{\mu }_2$ 倍乘 $A{x}_2$ 得到 $x_3$ ，一直重复做下去，用MATLAB计算的前5次迭代结果列在表5-2中．

表 5-2 例2 的幂算法

k	0	1	2	3	4	5
$x_k$	$\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.4\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.225\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.2035\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.2005\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 0.20007\end{array}\right]$
$A{x}_k$	$\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}8\\ 1.8\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}7.125\\ 1.450\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}7.0175\\ 1.4070\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}7.0025\\ 1.4010\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}7.00036\\ 1.40014\end{array}\right]$
${\mu }_k$	5	8	7.125	7.0175	7.0025	7.00036

从表 5-2 的数据明显看出， $\{x_k\}$ 接近于 $(1,0.2)$ ， $\{{\mu }_k\}$ 接近于 7。这样， $(1,0.2)$ 就是特征向量，7 是主特征值。容易通过计算来验证 $A\left[\begin{array}{c}1\\ 0.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 5\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0.2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 1.4\end{array}\right]=7\left[\begin{array}{c}1\\ 0.2\end{array}\right]$ 。

例2 的序列 $\{{\mu }_k\}$ 很快收敛于 ${\lambda }_1=7$ 是因为 $A$ 的第 2 个特征值 ${\lambda }_2$ 要比 ${\lambda }_1$ 小得多（事实上， ${\lambda }_2=1$ ）。通常收敛的快慢取决于比率 $\left|{\lambda }_2/{\lambda }_1\right|$ ，因为用 $A^{k}x$ 的倍数来估值 $c_1{v}_1$ 时，主要误差来源于（2）中的向量 $c_2({\lambda }_2/{\lambda }_1{)}^k{v}_2$ （其他的分数 ${\lambda }_j/{\lambda }_1$ 可能更小）。若 $\left|{\lambda }_2/{\lambda }_1\right|$ 接近于 1，则 $\{{\mu }_k\}$ 和 $\{x_k\}$ 会收敛得很慢，此时，可能需要选择其他近似的方法。

不过幂算法还存在这样的很小可能性，即随机选择的初始向量 $x$ 在 $v_1$ 的方向上没有分量 (当 $c_1=0$ 时), 但计算机在计算 $x_k$ 时所产生的舍入误差有可能产生一个向量，该向量在 $v_1$ 的方向上至少有一个小分量．如果这样的话，$x_k$ 将收敛于 $v_1$ 的倍数．

逆幂法

在知道特征值 $\lambda$ 的一个较好的初始估值 $\alpha$ 后，逆幂法可用来对任一特征值作近似估值。此时，我们令 $B=(A-\alpha I{)}^{-1}$ ，并对 $B$ 应用幂算法。可以证明，若 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的特征值，则 $B$ 的特征值是

frac 1λ_ 1 - α, frac 1λ_ 2 - α, … , frac 1λ_ n - α$$\frac{1}{{\lambda }_1-\alpha },\frac{1}{{\lambda }_2-\alpha },\dots ,\frac{1}{{\lambda }_n-\alpha }$$

而且 $A$ 的对应于 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 的特征向量是 $B$ 的对应于上面这些特征值的特征向量。(见习题 15 和 16.)例如，假设 $\alpha$ 更接近 ${\lambda }_2$ 而不是 $A$ 的其他特征值，那么 $1/({\lambda }_2-\alpha )$ 将是 $B$ 的严格主特征值。假如 $\alpha$ 确实接近于 ${\lambda }_2$ ，那么 $1/({\lambda }_2-\alpha )$ 比 $B$ 的其他特征值要 “大” 得多。几乎对所有选择的 $x_0$ ，逆幂法会快速逼近 ${\lambda }_2$ ，下列算法给出了详细步骤。

估计 $A$ 的特征值 $\lambda$ 的逆幂法

1. 选择一个非常接近于 $\lambda$ 的初始估值 $\alpha$ .

2. 选择一个最大分量为 1 的初始向量 $x_0$ .

3. 对 $k=0,1,\cdots ,$

$a$．从 $(A-\alpha I){\mathbf{y}}_k={\mathbf{x}}_k$ 解出 ${\mathbf{y}}_k$

$b$．设 ${\mu }_k$ 是 $y_k$ 中绝对值最大的分量．

$c$．计算 $v_k=\alpha +(1/{\mu }_k)$ .

$d$．计算 $x_{k+1}=(1/{\mu }_k)y_k$ .

4. 几乎对所有选择的 $x_0$ ，序列 $\{v_k\}$ 趋向于 $A$ 的特征值 $\lambda$ ，而序列 $\{x_k\}$ 趋向于对应的特征向量．

$B$ 或者是 $(A-\alpha I{)}^{-1}$ 并没有出现在算法中．在求序列的下一个向量时并没有计算 $(A-\alpha I{)}^{-1}{x}_k$ ，而是通过解方程 $(A-\alpha I)y_k=x_k$ 来得到 $y_k$ 的（然后用倍乘 $y_k$ 来产生 $x_{k+1}$ ）．因为对每个 $k$ 一定可以从该方程解出 $y_k$ ，故 $A-\alpha I$ 的LU分解式将加快计算过程．

例 3

在某些应用中，通常需要知道矩阵 $A$ 的最小特征值，也需要对该特征值作粗略的估计。设21，3.3和1.9是下列矩阵 $A$ 的特征值的估值。求最小特征值，小数位精确到6位。

A = [ c c c 1 0 & - 8 & - 4 - 8 & 1 3 & 4 - 4 & 5 & 4 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}10& -8& -4\\ -8& 13& 4\\ -4& 5& 4\end{array}\right]$$

解

两个最小特征值看起来很接近，因此我们对 A-1.9I 应用逆幂法． MATLAB 的计算结果列在表 5-3 中．这里的 $x_0$ 随机选取， $y_k=(A-1.9I{)}^{-1}{x}_k,{\mu }_k$ 是 $y_k$ 的最大分量， $v_k=1.9+1/{\mu }_k,x_{k+1}=(1/{\mu }_k)y_k$ ．可以看到，初始的特征值估计得非常好，逆幂法产生的序列收敛很快．最小的特征值正好是 2.

表 5-3 逆幂法

k	0	1	2	3	4
$x_k$	$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.5736\\ 0.0646\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.5054\\ 0.0045\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.5004\\ 0.0003\\ 1\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}0.50003\\ 0.00002\\ 1\end{array}\right]$
$y_k$	$\left[\begin{array}{c}4.45\\ 0.50\\ 7.76\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}5.0131\\ 0.0442\\ 9.9197\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}5.0012\\ 0.0031\\ 9.9949\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}5.0001\\ 0.0002\\ 9.9996\end{array}\right]$	$\left[\begin{array}{c}5.000006\\ 0.000015\\ 9.999975\end{array}\right]$
${\mu }_k$	7.76	9.9197	9.9949	9.9996	9.999975
$v_k$	2.03	2.0008	2.00005	2.000004	2.0000002

假如没有矩阵最小特征值的估值，则可以简单取 $\alpha =0$ 来使用逆幂法。假如最小特征值更接近于零而不是其他的特征值，那么这种取值是合理的。

对很多简单的情况，本节给出的两个算法是实用的，它们为特征值估值问题提供了入门知识。另一个更全面和广泛使用的迭代算法是QR算法。比如，MATLAB的命令 $\mathrm{eig}(\mathrm{A})$ 的核心是QR算法，这个命令能快速计算出 $A$ 的特征值和特征向量。在5.2节的习题中对QR算法有过简短的描述，进一步的细节参见有关现代数值分析的教材。

练习题

你怎样断定给出的向量 $x$ 是矩阵 $A$ 的某个特征向量的好的近似值？如果是，又怎样估计相应的特征值？用下面给出的矩阵 $A$ 和 $x$ 做练习．

和

A = [ c c c 5 & 8 & 4 8 & 3 & - 1 4 & - 1 & 2 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}5& 8& 4\\ 8& 3& -1\\ 4& -1& 2\end{array}\right]$$

习题5.8

在习题 1~4 中，给出矩阵 $A$ 和由幂算法产生的序列 $\{x_k\}$ 。利用这些数据对 $A$ 的最大特征值进行估计，并求出对应的特征向量。

r l 1. A = & [ l l 4 & 3 1 & 2 ]; [ l 1 0 ], [ l 1 0. 2 5 ], [ l 1 0. 3 1 5 8 ], [ l 1 0. 3 2 9 8 ], & [ l 1 0. 3 3 2 6 ]$$\begin{array}{rl}1.A=& \left[\begin{array}{ll}4& 3\\ 1& 2\end{array}\right];\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1\\ 0.25\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1\\ 0.3158\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1\\ 0.3298\end{array}\right],\\ & \left[\begin{array}{l}1\\ 0.3326\end{array}\right]\end{array}$$r l 2. A & = [ c c 1. 8 & - 0. 8 - 3. 2 & 4. 2 ]; [ c 1 0 ], [ c - 0. 5 6 2 5 1 ], [ c - 0. 3 0 2 1 1 ], & [ c - 0. 2 6 0 1 1 ], [ c - 0. 2 5 2 0 1 ]$$\begin{array}{rl}2.A& =\left[\begin{array}{cc}1.8& -0.8\\ -3.2& 4.2\end{array}\right];\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-0.5625\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-0.3021\\ 1\end{array}\right],\\ & \left[\begin{array}{c}-0.2601\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-0.2520\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$r l 3. A & = [ l l 0. 5 & 0. 2 0. 4 & 0. 7 ]; [ l 1 0 ], [ l 1 0. 8 ], [ l 0. 6 8 7 5 1 ], [ l 0. 5 5 7 7 1 ], & [ l 0. 5 1 8 8 1 ]$$\begin{array}{rl}3.A& =\left[\begin{array}{ll}0.5& 0.2\\ 0.4& 0.7\end{array}\right];\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1\\ 0.8\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0.6875\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0.5577\\ 1\end{array}\right],\\ & \left[\begin{array}{l}0.5188\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$r l 4. A & = [ l l 4. 1 & - 6 3 & - 4. 4 ]; [ l 1 1 ], [ l 1 0. 7 3 6 8 ], [ l 1 0. 7 5 4 1 ], & [ l 1 0. 7 4 9 0 ], [ l 1 0. 7 5 0 2 ]$$\begin{array}{rl}4.A& =\left[\begin{array}{ll}4.1& -6\\ 3& -4.4\end{array}\right];\left[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1\\ 0.7368\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1\\ 0.7541\end{array}\right],\\ & \left[\begin{array}{l}1\\ 0.7490\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1\\ 0.7502\end{array}\right]\end{array}$$

5. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}15& 16\\ -20& -21\end{array}\right]$ ，向量 $x,\cdots ,A^{5}x$ 分别是重做习题 5.

[ l 1 1 ], [ l 3 1 - 4 1 ], [ l - 1 9 1 2 4 1 ], [ l 9 9 1 - 1 2 4 1 ], [ l - 4 9 9 1 6 2 4 1 ], [ l 2 4 9 9 1 - 3 1 2 4 1 ]$$\left[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}31\\ -41\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-191\\ 241\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}991\\ -1241\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-4991\\ 6241\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}24991\\ -31241\end{array}\right]$$

寻找一个第2个分量为1且接近于 $A$ 的一个特征向量的向量，保留4位小数．验证你的估值，并对 $A$ 的主特征值进行估计．

6. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}-2& -3\\ 6& 7\end{array}\right]$．利用下列序列 $x,Ax,\cdots ,A^{5}x$ 重做习题 5.

boldsymbol x = [ c 1. 0 - 4. 3 8. 1 ]$$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1.0\\ -4.3\\ 8.1\end{array}\right]$$[ l 1 1 ], [ l - 5 1 3 ], [ l - 2 9 6 1 ], [ l - 1 2 5 2 5 3 ], [ l - 5 0 9 1 0 2 1 ], [ l - 2 0 4 5 4 0 9 3 ]$$\left[\begin{array}{l}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-5\\ 13\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-29\\ 61\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-125\\ 253\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-509\\ 1021\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-2045\\ 4093\end{array}\right]$$

[$M$]习题7~12需要用到MATLAB或其他辅助的计算工具．在习题7和8中，利用幂算法及给出的 $x_0$ ，对 $k=1,\cdots ,5$ ，算出 $\{x_k\}$ 和 $\{{\mu }_k\}$．在习题9和10中，算出 ${\mu }_5$ 和 ${\mu }_6$ .

A = [ l l 6 & 7 8 & 5 ], boldsymbol x _ 0 = [ l 1 0 ]$$A=\left[\begin{array}{ll}6& 7\\ 8& 5\end{array}\right],{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]$$A = [ l l 2 & 1 4 & 5 ], boldsymbol x _ 0 = [ l 1 0 ]$$A=\left[\begin{array}{ll}2& 1\\ 4& 5\end{array}\right],{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]$$A = [ c c c 8 & 0 & 1 2 1 & - 2 & 1 0 & 3 & 0 ], boldsymbol x _ 0 = [ l 1 0 0 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}8& 0& 12\\ 1& -2& 1\\ 0& 3& 0\end{array}\right],{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$A = [ c c c 1 & 2 & - 2 1 & 1 & 9 0 & 1 & 9 ], boldsymbol x _ 0 = [ c 1 0 0 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 1& 1& 9\\ 0& 1& 9\end{array}\right],{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

如果知道某个特征向量的近似值，就可以对特征值作另一估值。若 $Ax=\lambda x$ ，则 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}Ax={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}(\lambda \mathbf{x})=\lambda ({\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x})$ ，瑞利商 $R(\mathbf{x})=\frac{{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}Ax}{{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}$ 等于 $\lambda$ 。假如 $x$ 接近于 $\lambda$ 对应的特征向量，那么瑞利商就接近于 $\lambda$ 。当 $A$ 为对称矩阵时 $(A^{\mathrm{T}}=A)$ ，瑞利商 $R({\mathbf{x}}_k)=({\mathbf{x}}_k^{\mathrm{T}}A{x}_k)/({\mathbf{x}}_k^{\mathrm{T}}{\mathbf{x}}_k)$ 的精确数字大致是幂算法产生的倍乘因子 ${\mu }_k$ 的 2 倍，在习题 11 和 12 中通过计算 ${\mu }_k$ 和 $R({\mathbf{x}}_k)(k=1,\cdots ,4)$ 来验证增加的精确度。

A = [ l l 5 & 2 2 & 2 ], boldsymbol x _ 0 = [ l 1 0 ]$$A=\left[\begin{array}{ll}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right],{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]$$A = [ c c - 3 & 2 2 & 0 ], x _ 0 = [ c 1 0 ]$$A=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 2& 0\end{array}\right],x_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

习题 13 和 14 应用于一个 $3\times 3$ 矩阵 $A$，其特征

值被估计为 4，-4 和 3.

13. 对接近于 4 和 -4 但绝对值不同的特征值，幂算法还有效吗？

14. 对接近于 4 和 -4 但绝对值相同的特征值，描述怎样才能得到估计接近于 4 的特征值的序列．

15. 假设 $Ax=\lambda x,x\ne 0$，数 $\alpha$ 不是 $A$ 的特征值，令 $B=(A-\alpha I{)}^{-1}$，在等式 $Ax=\lambda x$ 的两边减去 $\alpha x$，用代数方法证明 $1/(\lambda -\alpha )$ 是 $B$ 的特征值，$x$ 是其对应的特征向量．

16. 设 $\mu$ 是习题 15 中矩阵 $B$ 的特征值， $x$ 是对应的特征向量，即有 $(A-\alpha I{)}^{-1}x=\mu x$ ，利用这个等式求 $A$ 的用 $\mu$ 和 $\alpha$ 表示的特征值。（注意：因为 $B$ 可逆，故 $\mu \ne 0$ 。）

17. [$M$] 设 $x_0=(1,0,0)$ ，利用逆幂法对例3 中的矩阵 $A$ 的中间特征值进行估值，计算精确到 4 位小数．

18. [$M$] 设 $A$ 为习题 9 给出的矩阵， $x_0=(1,0,0)$ ，利用逆幂法对 $A$ 接近于 $\alpha =-1.4$ 的特征值进行估值，计算精确到 4 位小数．

[$M$]在习题19和习题20中，求（$a$）最大特征值，（$b$）接近于零的特征值．设 $x_0=(1,0,0,0,0)$ ，在求特征值时，要求近似序列的计算精确到4位小数，还包括近似特征向量的计算．

A = [ c c c c 1 0 & 7 & 8 & 7 7 & 5 & 6 & 5 8 & 6 & 1 0 & 9 7 & 5 & 9 & 1 0 ]$$A=\left[\begin{array}{cccc}10& 7& 8& 7\\ 7& 5& 6& 5\\ 8& 6& 10& 9\\ 7& 5& 9& 10\end{array}\right]$$

20. $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 2\\ 2& 12& 13& 11\\ -2& 3& 0& 2\\ 4& 5& 7& 2\end{array}\right]$

21. 一个常见的误解是：假如 $A$ 有严格主特征值，那么对足够大的 $k$ 值，向量 $A^{k}x$ 近似于 $A$ 的某个特征向量。对下面给出的三个矩阵，当 $x=(0.5,0.5)$ 时，计算并研究 $A^{k}x$ ，并试图得到一般结论（对 $2\times 2$ 矩阵）。 a. $A=\left[\begin{array}{cc}0.8& 0\\ 0& 0.2\end{array}\right]$ b. $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0.8\end{array}\right]$ c. $A=\left[\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$

练习题答案

对给出的 $A$ 和 $x$，

A boldsymbol x = [ r r r 5 & 8 & 4 8 & 3 & - 1 4 & - 1 & 2 ] [ c 1. 0 0 - 4. 3 0 8. 1 0 ] = [ c 3. 0 0 - 1 3. 0 0 2 4. 5 0 ]$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{rrr}5& 8& 4\\ 8& 3& -1\\ 4& -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1.00\\ -4.30\\ 8.10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3.00\\ -13.00\\ 24.50\end{array}\right]$$

如果 Ax 近似于 $x$ 的数倍，那么两个向量相应分量的比率也应该近似于某个常量，故计算：

r l {A x text 的元素 } ÷ {x text 的元素 } = {text 比率 } 3. 0 0 & 1. 0 0 3. 0 0 0 - 1 3. 0 0 & - 4. 3 0 3. 0 2 3 2 4. 5 0 & 8. 1 0 3. 0 2 5$$\begin{array}{rl}\{Ax\text{的元素}\}÷\{x\text{的元素}\}=\{\text{比率}\}& \\ 3.00& 1.003.000\\ -13.00& -4.303.023\\ 24.50& 8.103.025\end{array}$$

Ax 的每一个分量大约是 $x$ 对应分量的 3 倍，故 $x$ 接近于 $A$ 的特征向量，上面比率的任何一个都是特征值的近似值。（若精确到 5 位小数，特征值是 3.02409.）