5.3 对角化

在很多情况下，从分解式 $A=PD{P}^{-1}$ （其中 $D$ 是对角矩阵），我们能够了解到有关矩阵 $A$ 的特征值和特征向量的信息。本节，我们利用分解式在 $k$ 较大时能快速计算 $A^k$ ，这是线性代数中某些应用的基本思想。稍后，在5.6节和5.7节，分解式被用来分析（解耦）动力系统。

下面的例题表明对角矩阵的幂很容易计算．

例 1

若 $D=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$，则 $D^2=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{5}^2& 0\\ 0& 3^2\end{array}\right]$

D ^ 3 = D D ^ 2 = [ l l 5 & 0 0 & 3 ] [ l l 5 ^ 2 & 0 0 & 3 ^ 2 ] = [ l l 5 ^ 3 & 0 0 & 3 ^ 3 ]$$D^3=D{D}^2=\left[\begin{array}{ll}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{5}^2& 0\\ 0& 3^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{5}^3& 0\\ 0& 3^3\end{array}\right]$$

一般有

text 对 k ≥slant 1, D ^ k = [ l l 5 ^ k & 0 0 & 3 ^ k ]$$\text{对}k⩾1,D^k=\left[\begin{array}{ll}{5}^k& 0\\ 0& 3^k\end{array}\right]$$

若 $A=PD{P}^{-1}$ ，其中 $P$ 为可逆矩阵， $D$ 为对角矩阵，那么 $A^k$ 的计算也很简单，见下例．例2设 $A=\left[\begin{array}{ll}7& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$ ，给定 $A=PD{P}^{-1}$ ，其中 $P=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ll}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$ ，计算 $A^k$

解

由 $2\times 2$ 矩阵的逆矩阵的标准公式得

P ^ - 1 = [ c c 2 & 1 - 1 & - 1 ]$$P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& -1\end{array}\right]$$

然后，结合矩阵乘法，得

r l A ^ 2 & = (P D P ^ - 1) (P D P ^ - 1) = P D underbrace (P ^ - 1 P) _ I D P ^ - 1 = P D D P ^ - 1 & = P D ^ 2 P ^ - 1 = [ l l 1 & 1 - 1 & - 2 ] [ l l 5 ^ 2 & 0 0 & 3 ^ 2 ] [ l l 2 & 1 - 1 & - 1 ]$$\begin{array}{rl}{A}^2& =(PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})=PD\underset{I}{\underbrace{(P^{-1}P)}}D{P}^{-1}=PDD{P}^{-1}\\ & =P{D}^2{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ll}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{5}^2& 0\\ 0& 3^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2& 1\\ -1& -1\end{array}\right]\end{array}$$

同理，

A ^ 3 = (P D P ^ - 1) A ^ 2 = underbrace (P D P ^ - 1) P _ I D ^ 2 P ^ - 1 = P D D ^ 2 P ^ - 1 = P D ^ 3 P ^ - 1$$A^3=(PD{P}^{-1})A^2=\underset{I}{\underbrace{(PD{P}^{-1})P}}{D}^2{P}^{-1}=PD{D}^2{P}^{-1}=P{D}^3{P}^{-1}$$

一般对 $k⩾1$ ，有

r l A ^ k & = P D ^ k P ^ - 1 = [ c c 1 & 1 - 1 & - 2 ] [ c c 5 ^ k & 0 0 & 3 ^ k ] [ c c 2 & 1 - 1 & - 1 ] & = [ c c 2 · 5 ^ k - 3 ^ k & 5 ^ k - 3 ^ k 2 · 3 ^ k - 2 · 5 ^ k & 2 · 3 ^ k - 5 ^ k ]$$\begin{array}{rl}{A}^k& =P{D}^k{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{5}^k& 0\\ 0& 3^k\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& -1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}2\cdot 5^k-3^k& 5^k-3^k\\ 2\cdot 3^k-2\cdot 5^k& 2\cdot 3^k-5^k\end{array}\right]\end{array}$$

如果方阵 $A$ 相似于对角矩阵，即存在可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，有 $A=PD{P}^{-1}$ ，则称 $A$ 可对角化。下一个定理给出了可对角化矩阵的特征，并告诉我们如何去建立合适的分解式。

定理 5 对角化定理

$n\times n$ 矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量．

事实上， $A=PD{P}^{-1}$ ，$D$为对角矩阵的充分必要条件是$P$的列向量是$A$的$n$个线性无关的特征向量。此时，$D$的主对角线上的元素分别是$A$的对应于$P$中特征向量的特征值。

换句话说， $A$ 可对角化的充分必要条件是有足够的特征向量形成 ${\mathbb{R}}^n$ 的基，我们称这样的基为特征向量基．

证明

首先看到，若 $P$ 是列为 $v_1,\cdots ,v_n$ 的任一 $n\times n$ 矩阵，$D$ 是对角线元素为 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 的对角矩阵，那么

A P = A [ boldsymbol v _ 1 boldsymbol v _ 2 … boldsymbol v _ n ] = [ A boldsymbol v _ 1 A boldsymbol v _ 2 … A boldsymbol v _ n ] (1)$$AP=A[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2\dots {\mathbf{v}}_n]=[A{\mathbf{v}}_{1}A{\mathbf{v}}_2\dots A{\mathbf{v}}_n]\text{\hspace{1em}(1)}$$

而

P D = P [ c c c c λ_ 1 & 0 & … & 0 0 & λ_ 2 & … & 0 vdots & vdots & & vdots 0 & 0 & … & λ_ n ] = [ l l l l λ_ 1 ±b v _ 1 & λ_ 2 ±b v _ 2 & … & λ_ n ±b v _ n ] (2)$$PD=P\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \dots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll}{\lambda }_1{v}_1& {\lambda }_2{v}_2& \dots & {\lambda }_n{v}_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

现假设 $A$ 可对角化且 $A=PD{P}^{-1}$ ，用 $P$ 右乘等式两边，则有 AP = PD。此时，由（1）和（2）得 $\left[A{v}_{1}A{v}_2\cdots A{v}_n\right]=\left[{\lambda }_1{v}_1{\lambda }_2{v}_2\cdots {\lambda }_n{v}_n\right]$ (3)

由列相等，有

A boldsymbol v _ 1 = λ_ 1 boldsymbol v _ 1, A boldsymbol v _ 2 = λ_ 2 boldsymbol v _ 2, … , A boldsymbol v _ n = λ_ n boldsymbol v _ n (4)$$A{\mathbf{v}}_1={\lambda }_1{\mathbf{v}}_1,A{\mathbf{v}}_2={\lambda }_2{\mathbf{v}}_2,\dots ,A{\mathbf{v}}_n={\lambda }_n{\mathbf{v}}_n\text{\hspace{1em}(4)}$$

因为 $P$ 可逆，故 $P$ 的列 $v_1,\cdots ,v_n$ 必定线性无关。同样，因为这些 $v_1,\cdots ,v_n$ 非零，故（4）表示 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$ 是特征值， $v_1,\cdots ,v_n$ 是相应的特征向量。这就证明了定理中第一、第二和随后的第三个命题的必要性。

最后，给定任意 $n$ 个特征向量 $v_1,\cdots ,v_n$ ，用它们作为矩阵 $P$ 的列，并用相应的特征值来构造矩阵 $D$，由（1）～（3），等式 AP = PD 成立而不需要特征向量有任何条件。若特征向量是线性无关的，则 $P$ 是可逆的（由可逆矩阵定理），由 AP = PD 可推出 $A=PD{P}^{-1}$ 。

矩阵的对角化

例 3

可能的话，将下面矩阵对角化：

A = [ c c c 1 & 3 & 3 - 3 & - 5 & - 3 3 & 3 & 1 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ -3& -5& -3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$$

即求可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，使得 $A=PD{P}^{-1}$ .

解

对角化工作可分为 4 步来完成．

第 1 步 求出 $A$ 的特征值．在 5.2 节曾提到，在矩阵的规模大于 $2\times 2$ 时，可借用计算机求特征值，为避免分心，本书将会提供这一步的内容．现在的特征方程是一个 3 次多项式，可分解为：

r l 0 = det (A - λ I) & = - λ^ 3 - 3 λ^ 2 + 4 & = - (λ - 1) (λ + 2) ^ 2$$\begin{array}{rl}0=\det (A-\lambda I)& =-{\lambda }^3-3{\lambda }^2+4\\ & =-(\lambda -1)(\lambda +2{)}^2\end{array}$$

特征值是 $\lambda =1$ 和 $\lambda =-2$ .

第2步 求 $A$ 的3个线性无关的特征向量．因为 $A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，故需要3个向量．这一步很关键，如果找不到这3个向量，那么由定理5, $A$ 就不能对角化．用5.1节的方法可求出每一特征空间的基:

boldsymbol v _ 1 = [ c 1 - 1 1 ]$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$$

对于 $\lambda =1$ 的基是：

对于 $\lambda =-2$ 的基是： $v_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ 和 $v_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

可以验证 $\{v_1,v_2,v_3\}$ 是线性无关的．

第3步 用第2步得到的向量构造矩阵 $P$ 。向量的次序不重要，用第2步选择的次序，形成

p = [ l l l boldsymbol v _ 1 & boldsymbol v _ 2 & boldsymbol v _ 3 ] = [ r r r 1 & - 1 & - 1 - 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 ]$$p=\left[\begin{array}{lll}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& {\mathbf{v}}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}1& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$$

第4步 用对应的特征值构造矩阵 $D$ 。构造 $D$ 时，特征值的次序必须和矩阵 $P$ 的列选择的特征向量的次序一致。对应于 $\lambda =-2$ 的特征向量有2个，特征值 $\lambda =-2$ 要出现2次：

D = [ c c c 1 & 0 & 0 0 & - 2 & 0 0 & 0 & - 2 ]$$D=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$$

验证所找的 $P$ 和 $D$ 是否正确是一个好的习惯，为避免计算 $P^{-1}$ ，可简单验证 AP = PD，这等价于当 $P$ 可逆时 $A=PD{P}^{-1}$ 。（但必须确认 $P$ 是可逆的！）计算

A P = [ r r r 1 & 3 & 3 - 3 & - 5 & - 3 3 & 3 & 1 ] [ r r r 1 & - 1 & - 1 - 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 ] = [ r r r 1 & 2 & 2 - 1 & - 2 & 0 1 & 0 & - 2 ]$$AP=\left[\begin{array}{rrr}1& 3& 3\\ -3& -5& -3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}1& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}1& 2& 2\\ -1& -2& 0\\ 1& 0& -2\end{array}\right]$$P D = [ r r r 1 & - 1 & - 1 - 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 ] [ r r r 1 & 0 & 0 0 & - 2 & 0 0 & 0 & - 2 ] = [ r r r 1 & 2 & 2 - 1 & - 2 & 0 1 & 0 & - 2 ]$$PD=\left[\begin{array}{rrr}1& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr}1& 2& 2\\ -1& -2& 0\\ 1& 0& -2\end{array}\right]$$

例 4

试着将下面的矩阵 $A$ 对角化：

A = [ c c c 2 & 4 & 3 - 4 & - 6 & - 3 3 & 3 & 1 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ -4& -6& -3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$$

解

$A$ 的特征方程与例3的完全一样：

0 = det (A - λ I) = - λ^ 3 - 3 λ^ 2 + 4 = - (λ - 1) (λ + 2) ^ 2$$0=\det (A-\lambda I)=-{\lambda }^3-3{\lambda }^2+4=-(\lambda -1)(\lambda +2{)}^2$$

特征值是 $\lambda =1$ 和 $\lambda =-2$ 。但当我们找特征向量时，发现每一特征空间仅是一维的：

对于 $\lambda =1$ 的特征向量： $v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$

对于 $\lambda =-2$ 的特征向量： $v_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

没有其他的特征向量了， $A$ 的每个特征向量都是 ${\nu }_1$ 或 ${\nu }_2$ 的倍数．因此不可能利用 $A$ 的特征向量

来构造出 ${\mathbb{R}}^3$ 的基．由定理5， $A$ 不能对角化

以下定理为矩阵可对角化提供了充分条件．

定理 6

有 $n$ 个相异特征值的 $n\times n$ 矩阵可对角化．

证明

设 $v_1,\cdots ,v_n$ 是矩阵 $A$ 对应于 $n$ 个相异特征值的特征向量，由 5.1 节定理2 是线性无关的，因此，由定理5，$\{v_1,\cdots ,v_n\}$ 是线性无关的，因此，由定理 5，$A$ 可对角化．

不过， $n\times n$ 矩阵并不是必须有 $n$ 个相异特征值才可对角化。例3 的 $3\times 3$ 矩阵尽管只有 2 个相异的特征值，但它是可对角化的。

例 5

确定下列矩阵能否对角化：

A = [ c c c 5 & - 8 & 1 0 & 0 & 7 0 & 0 & - 2 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}5& -8& 1\\ 0& 0& 7\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$$

解

很容易判断矩阵 $A$ 可对角化．因为 $A$ 是 $3\times 3$ 的三角矩阵，其特征值显然是 5, 0 和 -2, 有三个相异的特征值，故 $A$ 可对角化．

特征值不都相异的矩阵

如果 $n\times n$ 矩阵 $A$ 有 $n$ 个相异的特征值及相应的特征向量 $v_1,\cdots ,v_n$ ，若记 $P=[v_1\cdots v_n]$ ，那么由定理2，$P$ 的列是线性无关的，自然 $P$ 是可逆的。当 $A$ 可对角化，但 $A$ 相异的特征值的个数少于 $n$ 时，我们仍可以用以下定理给出的方法来构造可逆矩阵 $P^{\ominus }$ 。

定理 7

设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，其相异的特征值是 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$ .

$a$．对于 $1⩽k⩽p,{\lambda }_k$ 的特征空间的维数小于或等于 ${\lambda }_k$ 的代数重数．

$b$．矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件是所有不同特征空间的维数之和为 $n$，即（$i$）特征多项式可完全分解为线性因子，（ii）每个 ${\lambda }_k$ 的特征空间的维数等于 ${\lambda }_k$ 的代数重数。

$c$．若 $A$ 可对角化， $B_k$ 是对应于 ${\lambda }_k$ 的特征空间的基，则集合 $B_1,\cdots ,B_p$ 中所有向量的集合是 $R^n$ 的特征向量基．

例 6

试着将下列矩阵对角化．

A = [ c c c c 5 & 0 & 0 & 0 0 & 5 & 0 & 0 1 & 4 & - 3 & 0 - 1 & - 2 & 0 & - 3 ]$$A=\left[\begin{array}{cccc}5& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\\ 1& 4& -3& 0\\ -1& -2& 0& -3\end{array}\right]$$

解

$A$ 是三角矩阵，特征值是 $\lambda =5$ 和 $\lambda =-3$ ，重数都是2.利用5.1节的方法，我们求出每个特征空间的基．

对应 $\lambda =5$ 的基：

boldsymbol v _ 1 = [ c - 8 4 1 0 ], boldsymbol v _ 2 = [ c - 1 6 4 0 1 ]$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-8\\ 4\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-16\\ 4\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

对应 $\lambda =-3$ 的基： $v_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ ， $v_4=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

由定理7，向量集合 $\{v_1,\dots ,v_4\}$ 是线性无关的，故 $P=[v_1\dots v_4]$ 是可逆的，且有 $A=PD{P}^{-1}$ ，其中

P = [ c c c c - 8 & - 1 6 & 0 & 0 4 & 4 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 ], D = [ c c c c 5 & 0 & 0 & 0 0 & 5 & 0 & 0 0 & 0 & - 3 & 0 0 & 0 & 0 & - 3 ]$$P=\left[\begin{array}{cccc}-8& -16& 0& 0\\ 4& 4& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cccc}5& 0& 0& 0\\ 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& -3& 0\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right]$$

练习题

1. $A=\left[\begin{array}{cc}4& -3\\ 2& -1\end{array}\right]$ ，计算 $A^8$ .

2. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}-3& 12\\ -2& 7\end{array}\right],{\nu }_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right],{\nu }_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ ，若已知 ${\nu }_1$ 和 ${\nu }_2$ 是 $A$ 的特征向量，将 $A$ 对角化．

3. 设 $4\times 4$ 矩阵 $A$ 的特征值是 5, 3 和 -2，并且已知对应于 $\lambda =3$ 的特征空间是二维的，你能否判断 $A$ 是可对角化的？

习题5.3

在习题 1 和习题 2 中，设 $A=PD{P}^{-1}$ ，计算 $A^4$ .

1. $P=\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 2& 3\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

[ c c c 2 & 2 & 1 1 & 3 & 1 1 & 2 & 2 ]$$\left[\begin{array}{ccc}2& 2& 1\\ 1& 3& 1\\ 1& 2& 2\end{array}\right]$$P = [ c c 2 & - 3 - 3 & 5 ], D = [ c c 1 & 0 0 & frac 12 ]$$P=\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -3& 5\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

在习题 3 和习题 4 中，利用分解式 $A=PD{P}^{-1}$，计算 $A^k$ , $k$ 为正整数．

[ c c a & 0 3 (a - b) & b ] = [ l l 1 & 0 3 & 1 ] [ l l a & 0 0 & b ] [ l l 1 & 0 - 3 & 1 ]$$\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 3(a-b)& b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}a& 0\\ 0& b\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right]$$

[ c c - 2 & 1 2 - 1 & 5 ] = [ c c 3 & 4 1 & 1 ] [ c c 2 & 0 0 & 1 ] [ c c - 1 & 4 1 & - 3 ]$$\left[\begin{array}{cc}-2& 12\\ -1& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 4\\ 1& -3\end{array}\right]$$

在习题5和习题6中，矩阵 $A$ 被分解为 $PD{P}^{-1}$ ，利用对角化定理求 $A$ 的特征值和每个特征空间的基．

= [ c c c 1 & 1 & 2 1 & 0 & - 1 1 & - 1 & 0 ] [ c c c 5 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ] [ c c c frac 14 & frac 12 & frac 14 frac 14 & frac 12 & - frac 34 frac 14 & - frac 12 & frac 14 ]$$=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 0& -1\\ 1& -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{4}& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& -\frac{3}{4}\\ \frac{1}{4}& -\frac{1}{2}& \frac{1}{4}\end{array}\right]$$[ c c c 4 & 0 & - 2 2 & 5 & 4 0 & 0 & 5 ] = [ c c c - 2 & 0 & - 1 0 & 1 & 2 1 & 0 & 0 ] [ c c c 5 & 0 & 0 0 & 5 & 0 0 & 0 & 4 ] [ c c c 0 & 0 & 1 2 & 1 & 4 - 1 & 0 & - 2 ]$$\left[\begin{array}{ccc}4& 0& -2\\ 2& 5& 4\\ 0& 0& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& -1\\ 0& 1& 2\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 2& 1& 4\\ -1& 0& -2\end{array}\right]$$

试着将习题 7~20 的矩阵对角化．习题 11~16 的特征值如下所示:

(11) $\lambda =1,2,3$ ; (12) $\lambda =2,8$ ; (13) $\lambda =5,1$ ;

(14) $\lambda =5,4$ ; (15) $\lambda =3,1$ ; (16) $\lambda =2,1$．对于习题 18，一个特征值是 $\lambda =5$ ，对应的特征向量为 $(-2,1,2)$ .

[ c c 1 & 0 6 & - 1 ]$$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& -1\end{array}\right]$$

[ c c 5 & 1 0 & 5 ]$$\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 5\end{array}\right]$$

[ c c 3 & - 1 1 & 5 ]$$\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 5\end{array}\right]$$

[ c c 2 & 3 4 & 1 ]$$\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 1\end{array}\right]$$

[ c c c - 1 & 4 & - 2 - 3 & 4 & 0 - 3 & 1 & 3 ]$$\left[\begin{array}{ccc}-1& 4& -2\\ -3& 4& 0\\ -3& 1& 3\end{array}\right]$$

[ c c c 4 & 2 & 2 2 & 4 & 2 2 & 2 & 4 ]$$\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 4& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right]$$

[ r r r 2 & 2 & - 1 1 & 3 & - 1 - 1 & - 2 & 2 ]$$\left[\begin{array}{rrr}2& 2& -1\\ 1& 3& -1\\ -1& -2& 2\end{array}\right]$$

[ c c c 4 & 0 & - 2 2 & 5 & 4 0 & 0 & 5 ]$$\left[\begin{array}{ccc}4& 0& -2\\ 2& 5& 4\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$

[ r r r 7 & 4 & 1 6 2 & 5 & 8 - 2 & - 2 & - 5 ]$$\left[\begin{array}{rrr}7& 4& 16\\ 2& 5& 8\\ -2& -2& -5\end{array}\right]$$

[ r r r 0 & - 4 & - 6 - 1 & 0 & - 3 1 & 2 & 5 ]$$\left[\begin{array}{rrr}0& -4& -6\\ -1& 0& -3\\ 1& 2& 5\end{array}\right]$$

[ c c c 4 & 0 & 0 1 & 4 & 0 0 & 0 & 5 ]$$\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 1& 4& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$$

[ c c c - 7 & - 1 6 & 4 6 & 1 3 & - 2 1 2 & 1 6 & 1 ]$$\left[\begin{array}{ccc}-7& -16& 4\\ 6& 13& -2\\ 12& 16& 1\end{array}\right]$$

[ c c c c 5 & - 3 & 0 & 9 0 & 3 & 1 & - 2 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 2 ]$$\left[\begin{array}{cccc}5& -3& 0& 9\\ 0& 3& 1& -2\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$$

[ c c c c 4 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & 0 & 2 ]$$\left[\begin{array}{cccc}4& 0& 0& 0\\ 0& 4& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 1& 0& 0& 2\end{array}\right]$$

在习题21和习题22中，$A$,$B$,$P$和$D$是 $n\times n$ 矩阵，标出每个命题的真假，证明你的答案（在做这些习题之前先仔细研读定理5和定理6及本节的例子）.

21. $a$．若存在矩阵 $D$ 和可逆矩阵 $P$ 使得 $A=PD{P}^{-1}$ 成立，则 $A$ 可对角化．

$b$．若 ${\mathbb{R}}^n$ 有 $A$ 的特征向量基，则 $A$ 可对角化．

$c$. A 可对角化的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个特征值（算上重数）.

$d$．若 $A$ 可对角化，则 $A$ 是可逆的．

22. $a$．若 $A$ 有 $n$ 个特征向量，则 $A$ 可对角化． b. 若 $A$ 可对角化，则 $A$ 有 $n$ 个相异的特征值． c. 若 AP = PD, $D$ 为对角矩阵，那么 $P$ 的非零列必定是 $A$ 的特征向量．

$d$．若 $A$ 可逆，则 $A$ 可对角化．

23. $5\times 5$ 矩阵 $A$ 有 2 个特征值，一个特征空间是三维的，另一个特征空间是二维的。A 可对角化否？为什么？

24. $3\times 3$ 矩阵 $A$ 有 2 个特征值，每个特征空间是一维的，$A$ 可对角化否？为什么？

25. $4\times 4$ 矩阵 $A$ 有3个特征值，有一个特征空间为一维，其他特征空间之一是二维的。 $A$ 是否可对角化？说明理由。

26. $7\times 7$ 矩阵 $A$ 有 3 个特征值，一个特征空间是二维的，其他特征空间之一是三维的，$A$ 是否不可对角化？说明理由．

27. 证明：若 $A$ 可对角化且可逆，则 $A^{-1}$ 亦可对角化．

28. 证明: 若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A^T$ 也有 $n$ 个线性无关的特征向量．(提示: 用对角化定理.)

29. 分解式 $A=PD{P}^{-1}$ 不是唯一的，用例2的矩阵 $A$ ，利用例2的结果求矩阵 $D_1=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 5\end{array}\right]$ ，利用例2的结果求矩阵 $P_1$ ，使得 $A=P_1{D}_1{P}_1^{-1}$ .

30. 对例2 的 $A$ 和 $D$，求不等于 $P$ 的可逆矩阵 $P_2$ ，使得 $A=P_{2}D{P}_2^{-1}$ .

31. 构造一个非零的 $2\times 2$ 可逆但不可对角化的矩阵．

32. 构造一个不是对角阵的 $2\times 2$ 可对角化但不可逆的矩阵．

[$M$]将习题33~36的矩阵对角化，先用矩阵程序的特征值命令求特征值，然后用5.1节的方法找出特征空间的基．

[ r r r r 6 & 4 & 0 & 9 - 3 & 0 & 1 & 6 - 1 & - 2 & 1 & 0 - 4 & 4 & 0 & 7 ]$$\left[\begin{array}{rrrr}6& 4& 0& 9\\ -3& 0& 1& 6\\ -1& -2& 1& 0\\ -4& 4& 0& 7\end{array}\right]$$

[ c c c c 0 & 1 3 & 8 & 4 4 & 9 & 8 & 4 8 & 6 & 1 2 & 8 0 & 5 & 0 & - 4 ]$$\left[\begin{array}{cccc}0& 13& 8& 4\\ 4& 9& 8& 4\\ 8& 6& 12& 8\\ 0& 5& 0& -4\end{array}\right]$$

[ r r r r r 1 1 & - 6 & 4 & - 1 0 & - 4 - 3 & 5 & - 2 & 4 & 1 - 8 & 1 2 & - 3 & 1 2 & 4 1 & 6 & - 2 & 3 & - 1 8 & - 1 8 & 8 & - 1 4 & - 1 ]$$\left[\begin{array}{rrrrr}11& -6& 4& -10& -4\\ -3& 5& -2& 4& 1\\ -8& 12& -3& 12& 4\\ 1& 6& -2& 3& -1\\ 8& -18& 8& -14& -1\end{array}\right]$$[ c c c c c 4 & 4 & 2 & 3 & - 2 0 & 1 & - 2 & - 2 & 2 6 & 1 2 & 1 1 & 2 & - 4 9 & 2 0 & 1 0 & 1 0 & - 6 1 5 & 2 8 & 1 4 & 5 & - 3 ]$$\left[\begin{array}{ccccc}4& 4& 2& 3& -2\\ 0& 1& -2& -2& 2\\ 6& 12& 11& 2& -4\\ 9& 20& 10& 10& -6\\ 15& 28& 14& 5& -3\end{array}\right]$$

练习题答案

1. $\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-3\lambda +2=(\lambda -2)(\lambda -1)$ ，特征值是2和1，对应的特征向量是 $v_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$ 和 $v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ ，然后构造 $P=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right],P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right]$．由 $A=PD{P}^{-1}$ ，得

A ^ 8 = P D ^ 8 P ^ - 1 = [ l l 3 & 1 2 & 1 ] [ l l 2 ^ 8 & 0 0 & 1 ^ 8 ] [ c c 1 & - 1 - 2 & 3 ] = [ l l 3 & 1 2 & 1 ] [ l l 2 5 6 & 0 0 & 1 ] [ c c 1 & - 1 - 2 & 3 ] = [ l l 7 6 6 & - 7 6 5 5 1 0 & - 5 0 9 ]$$A^8=P{D}^8{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ll}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{2}^8& 0\\ 0& 1^8\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}256& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}766& -765\\ 510& -509\end{array}\right]$$

2. 计算 $A{v}_1=\left[\begin{array}{cc}-3& 12\\ -2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=1\cdot v_1,A{v}_2=\left[\begin{array}{cc}-3& 12\\ -2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right]=3\cdot v_2$

显然， $v_1$ 和 $v_2$ 分别是特征值 1 和 3 对应的特征向量，因此 $A=PD{P}^{-1}$ ，其中

$P=\left[\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 1\end{array}\right]$ 和 $D=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$

3. $A$ 可对角化，对应于 $\lambda =3$ 的特征空间有一个基 $\{v_1,v_2\}$．此外，对应于 $\lambda =5$ 和 $\lambda =-2$ 至少有一个特征向量，记为 $v_3$ 和 $v_4$ ，则由定理2 是线性无关的．由定理7（$\{v_1,\cdots ,v_4\}$ 是线性无关的．由定理 7（$b$），$A$ 可对角化．因为向量全属于 $R^4$ ， $R^4$ 的基包含的线性无关向量的个数不超过 4，故对应于 $\lambda =5$ 和 $\lambda =-2$ 的特征空间都是一维的．