4.7 基的变换

对一个 $n$ 维向量空间 $V$，当一个基 $B$ 取定后，与之相关的映上到 $R^n$ 的坐标映射对 $V$ 提供了一个坐标系。V 中每个向量 $x$ 由它的 B-坐标向量 $[x{]}_B$ 唯一确定。

在某些应用中，一个问题开始是用一个基 $\mathcal{B}$ 描述，但问题的解可通过将 $\mathcal{B}$ 变为一个新的基 $\mathcal{C}$ 得到帮助（例子将在第5章和第7章中给出）。每个向量被确定为一个新的 $\mathcal{C}-$ 坐标向量。在本节中，我们研究对每个 $x\in V$ ， $[x{]}_{\mathcal{C}}$ 与 $[x{]}_{\mathcal{B}}$ 如何联系起来。

为使问题直观化，考虑图 4 ，而在图 4-25b中，同样的图 4-25a中， $x=3b_1+b_2$ ，而在图4-25b中，同样的$x$表示为 $x=6c_1+4c_2$ ，即

[ boldsymbol x ] _ mathcal B = [ l 3 1 ], [ boldsymbol x ] _ mathcal C = [ l 6 4 ]$$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right],[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{l}6\\ 4\end{array}\right]$$

我们的问题是找到这两个坐标向量之间的联系．例1表明如何做到这一点会使我们知道如何由 $c_1$ 和 $c_2$ 得到 $b_1$ 和 $b_2$ .

a)

b)

图 4-25 同样向量空间的两个坐标系

例 1

对一个向量空间 $V$ ，考虑两个基 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}$ 和 $\mathcal{C}=\{c_1,c_2\}$ ，满足

boldsymbol b _ 1 = 4 boldsymbol c _ 1 + boldsymbol c _ 2, boldsymbol b _ 2 = - 6 boldsymbol c _ 1 + boldsymbol c _ 2 (1)$${\mathbf{b}}_1=4{\mathbf{c}}_1+{\mathbf{c}}_2,{\mathbf{b}}_2=-6{\mathbf{c}}_1+{\mathbf{c}}_2\text{\hspace{1em}(1)}$$

假设

boldsymbol x = 3 boldsymbol b _ 1 + boldsymbol b _ 2 (2)$$\mathbf{x}=3{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{b}}_2\text{\hspace{1em}(2)}$$

即假设 $[x{]}_B=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ ，求 $[x{]}_C$ 。

解

对（2）中 $x$ 应用由 $C$ 确定的坐标映射。因为坐标映射是一个线性变换，

r l [ boldsymbol x ] _ mathcal C & = [ 3 boldsymbol b _ 1 + boldsymbol b _ 2 ] _ mathcal C & = 3 [ boldsymbol b _ 1 ] _ mathcal C + [ boldsymbol b _ 2 ] _ mathcal C$$\begin{array}{rl}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}& =[3{\mathbf{b}}_1+{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}\\ & =3[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}+[{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}\end{array}$$

利用将线性组合中的向量作为矩阵的列，我们可以将这个向量方程写成一个矩阵方程：

[ boldsymbol x ] _ mathcal C = [ [ boldsymbol b _ 1 ] _ mathcal C [ boldsymbol b _ 2 ] _ mathcal C ] [ l 3 1 ] (3)$$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=[[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}[{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}]\left[\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

只要知道该矩阵的列，这个公式就给出了 $[x{]}_c$ 由（1），

[ boldsymbol b _ 1 ] _ mathcal C = [ l 4 1 ], [ boldsymbol b _ 2 ] _ mathcal C = [ c - 6 1 ]$$[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{l}4\\ 1\end{array}\right],[{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}-6\\ 1\end{array}\right]$$

于是（3）给出了解：

[ boldsymbol x ] _ c = [ l l 4 & - 6 1 & 1 ] [ l 3 1 ] = [ l 6 4 ]$$[\mathbf{x}{]}_c=\left[\begin{array}{ll}4& -6\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}6\\ 4\end{array}\right]$$

即与图 4-25 中 $x$ 相匹配的 $x$ 的 C-坐标．

可以将推导出公式（3）的论证推广从而产生下列结果。（见习题15和习题16.）

定理 15

设 $B=\{b_1,\cdots ,b_n\}$ 和 $C=\{c_1,\cdots ,c_n\}$ 是向量空间 $V$ 的基，则存在一个 $n\times n$ 矩阵 $P_{C\leftarrow B}$ 使得

[ boldsymbol x ] _ mathcal C = P _ mathcal C arrow mathcal B [ boldsymbol x ] _ mathcal B (4)$$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

$P_{C\leftarrow B}$ 的列是基 $\mathcal{B}$ 中向量的 $C-$ 坐标向量，即

P _ c arrow B = [ [ boldsymbol b _ 1 ] _ c c [ boldsymbol b _ 2 ] _ c c … [ boldsymbol b _ n ] _ c c ] (5)$$P_{c\leftarrow B}=[[{\mathbf{b}}_1{]}_{cc}[{\mathbf{b}}_2{]}_{cc}\dots [{\mathbf{b}}_n{]}_{cc}]\text{\hspace{1em}(5)}$$

定理15 中矩阵 $P_{C\leftarrow B}$ 称为由 $B$ 到 $C$ 的坐标变换矩阵．乘以 的运算将 B-坐标变为 C-坐标，图 4-26 给出坐标变换方程（4）的说明． 的运算将 B-坐标变为 C-坐标，图 4-26 给出坐标变换方程（4）的说明．

图4-26 $V$ 的两个坐标系

$P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ 的列是线性无关的，这是因为它们是线性无关集 $\mathcal{B}$ 的坐标向量（见4.4节习题25）。因为 $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ 是方阵，所以由可逆矩阵定理， $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ 必是可逆的。将（4）两边左乘以 ${\left(P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\right)}^{-1}$ ，得

(P _ c arrow B) ^ - 1 [ x ] _ c = [ x ] _ B$${\left(P_{c\leftarrow B}\right)}^{-1}[x{]}_c=[x{]}_B$$

于是 ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{P}{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\right)}^{-1}$ 是将 $\mathcal{C}$ -坐标变为 $\mathcal{B}$ -坐标的矩阵，即

binom P mathcal C arrow mathcal B ^ - 1 = P _ mathcal B arrow mathcal C (6)$${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{P}{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\right)}^{-1}=P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}\text{\hspace{1em}(6)}$$

${\mathbb{R}}^n$ 中基的变换

若 $B=\{b_1,\cdots ,b_n\}$ ，$E$ 是 $R^n$ 中的标准基 $\{e_1,\cdots ,e_n\}$ ，则 $[b_1{]}_E=b_1$ ，$B$ 中其他向量也类似。在此情形下， $P_{E\leftarrow B}$ 与 4.4 节中引入的坐标变换矩阵 $P_B$ 相同，即

P _ B = [ l l l l boldsymbol b _ 1 & boldsymbol b _ 2 & … & boldsymbol b _ n ]$$P_B=\left[\begin{array}{llll}{\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2& \dots & {\mathbf{b}}_n\end{array}\right]$$

为了在 ${\mathbb{R}}^n$ 中两个非标准基之间变换坐标，我们需要定理15. 定理15表明为解决基变换问题，需要原来的基关于新的基的坐标向量．

例 2

设 $b_1=\left[\begin{array}{c}-9\\ 1\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}-5\\ -1\end{array}\right],c_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right],c_2=\left[\begin{array}{c}3\\ -5\end{array}\right]$ ，考虑 ${\mathbb{R}}^2$ 中的基 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}$ ， $\mathcal{C}=\{c_1,c_2\}$ ，求由 $\mathcal{B}$ 到 $\mathcal{C}$ 的坐标变换矩阵。

解

矩阵 $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ 涉及 $b_1$ 和 $b_2$ 的 $\mathcal{C}-$ 坐标向量．设 $[b_1{]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],[b_2{]}_{\mathcal{C}}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]$，于是由定义，

[ l l boldsymbol c _ 1 & boldsymbol c _ 2 ] [ l x _ 1 x _ 2 ] = boldsymbol b _ 1, [ l l boldsymbol c _ 1 & boldsymbol c _ 2 ] [ l y _ 1 y _ 2 ] = boldsymbol b _ 2$$\left[\begin{array}{ll}{\mathbf{c}}_1& {\mathbf{c}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]={\mathbf{b}}_1,\left[\begin{array}{ll}{\mathbf{c}}_1& {\mathbf{c}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]={\mathbf{b}}_2$$

(7)

为了同步解出这两个方程组，将 $b_1$ 和 $b_2$ 扩大到系数矩阵中并进行行化简：

[ l l l l l boldsymbol c _ 1 & boldsymbol c _ 2 & vdots & boldsymbol b _ 1 & boldsymbol b _ 2 ] = [ c c c c c 1 & 3 & - 9 & - 5 - 4 & - 5 & 1 & - 1 ] ∼ [ c c c c c 1 & 0 & 6 & 4 0 & 1 & - 5 & - 3 ]$$\left[\begin{array}{lllll}{\mathbf{c}}_1& {\mathbf{c}}_2& ⋮& {\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& -9& -5\\ -4& -5& 1& -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 6& 4\\ 0& 1& -5& -3\end{array}\right]$$

于是 $[b_1{]}_C=\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right],[b_2{]}_C=\left[\begin{array}{c}4\\ -3\end{array}\right]$．因此所要求的坐标变换矩阵是

P _ c arrow B = [ [ boldsymbol b _ 1 ] _ c [ boldsymbol b _ 2 ] _ c ] = [ l l 6 & 4 - 5 & - 3 ]$$P_{c\leftarrow B}=\left[{\left[{\mathbf{b}}_1\right]}_c{\left[{\mathbf{b}}_2\right]}_c\right]=\left[\begin{array}{ll}6& 4\\ -5& -3\end{array}\right]$$

观察例2 中的矩阵 $P_{C\leftarrow B}$ ，它已经出现在（7）中，这并不会令人感到意外，因为 $P_{C\leftarrow B}$ 的第 1 列是行化简 $[c_1,c_2;b_1]$ 到 $[I;[b_1{]}_C]$ 的结果，对 $P_{C\leftarrow B}$ 的第 2 列也是类似的，于是

[ l l l l boldsymbol c _ 1 & boldsymbol c _ 2 & boldsymbol b _ 1 & boldsymbol b _ 2 ] ∼ [ l l I & P & C arrow B ]$$\left[\begin{array}{llll}{\mathbf{c}}_1& {\mathbf{c}}_2& {\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ll}I& P\\ & C\leftarrow B\end{array}\right]$$

求 ${\mathbb{R}}^n$ 中的任意两个基之间的坐标变换矩阵具有类似的步骤．

例 3

设 $b_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -3\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 4\end{array}\right],c_1=\left[\begin{array}{c}-7\\ 9\end{array}\right],c_2=\left[\begin{array}{c}-5\\ 7\end{array}\right]$ ，考虑 ${\mathbb{R}}^2$ 中的基 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2\},\mathcal{C}=\{c_1,c_2\}$ .

$a$．求由 $C$ 到 $B$ 的坐标变换矩阵．

$b$．求由 $B$ 到 $C$ 的坐标变换矩阵．

解

$a$．注意到求 $P_{B\leftarrow C}$ 比求 $P_{C\leftarrow B}$ 更方便，计算

[ l l l l boldsymbol b _ 1 & boldsymbol b _ 2 & c _ 1 & boldsymbol c _ 2 ] = [ c c c c 1 & - 2 & - 7 & - 5 - 3 & 4 & 9 & 7 ] ∼ [ c c c c 1 & 0 & 5 & 3 0 & 1 & 6 & 4 ]$$\left[\begin{array}{llll}{\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2& c_1& {\mathbf{c}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& -2& -7& -5\\ -3& 4& 9& 7\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 5& 3\\ 0& 1& 6& 4\end{array}\right]$$

所以

P _ mathcal B arrow mathcal C = [ l l 5 & 3 6 & 4 ]$$P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=\left[\begin{array}{ll}5& 3\\ 6& 4\end{array}\right]$$

$b$．由（$a$）和上面的性质（6）式（将 $B$ 和 $C$ 互换）

P _ c arrow B = (P _ B arrow C) ^ - 1 = frac 12 [ l l 4 & - 3 - 6 & 5 ] = [ l l 2 & - 3 / 2 - 3 & 5 / 2 ]$$P_{c\leftarrow B}={\left(P_{B\leftarrow C}\right)}^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}4& -3\\ -6& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}2& -3/2\\ -3& 5/2\end{array}\right]$$

另一个关于坐标变换矩阵 $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ 的描述是使用坐标变换矩阵 $P_{\mathcal{B}}$ 和 $P_{\mathcal{C}}$ 分别将 $\mathcal{B}$ -坐标和 $\mathcal{C}$ -坐标转换成为标准坐标．回忆对 ${\mathbb{R}}^n$ 中的每个 $x$ ，有

P _ B [ boldsymbol x ] _ B = boldsymbol x, P _ C [ boldsymbol x ] _ C = boldsymbol x, [ boldsymbol x ] _ C = P _ C ^ - 1 boldsymbol x$$P_B[\mathbf{x}{]}_B=\mathbf{x},P_C[\mathbf{x}{]}_C=\mathbf{x},[\mathbf{x}{]}_C=P_C^{-1}\mathbf{x}$$

于是

[ boldsymbol x ] _ mathcal C = P _ mathcal C ^ - 1 boldsymbol x = P _ mathcal C ^ - 1 P _ mathcal B [ boldsymbol x ] _ mathcal B$$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}}^{-1}\mathbf{x}=P_{\mathcal{C}}^{-1}{P}_{\mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$$

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中，坐标变换矩阵 $P_{C\leftarrow B}$ 可以用 $P_C^{-1}{P}_B$ 来计算。事实上，对于比 $2\times 2$ 更大的矩阵，一个类似于例3的算法比先计算 $P_C^{-1}$ 再计算 $P_C^{-1}{P}_B$ 的方法更快，见2.2节习题12。

练习题

1. 设 $F=\{f_1,f_2\},G=\{g_1,g_2\}$ 为向量空间 $V$ 的两个基，$P$ 为一个矩阵，它的列是 $[f_1{]}_G$ 和 $[f_2{]}_G$．对所有 $v\in V,P$ 满足下列哪一个方程？

(i) [ boldsymbol v ] _ mathcal F = P [ boldsymbol v ] _ mathcal G (ii) [ boldsymbol v ] _ mathcal G = P [ boldsymbol v ] _ mathcal F$$\left(\mathrm{i}\right)[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{F}}=P[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{G}}\left(\mathrm{ii}\right)[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{G}}=P[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{F}}$$

2. 设 $B$ 和 $C$ 如例1 所示，利用例1 的结果求由 $C$ 到 $B$ 的坐标变换矩阵．

习题4.7

1. 设 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}$ 和 $C=\{c_1,c_2\}$ 是向量空间 $V$ 的两个基，设

boldsymbol b _ 1 = 6 boldsymbol c _ 1 - 2 boldsymbol c _ 2, boldsymbol b _ 2 = 9 boldsymbol c _ 1 - 4 boldsymbol c _ 2$${\mathbf{b}}_1=6{\mathbf{c}}_1-2{\mathbf{c}}_2,{\mathbf{b}}_2=9{\mathbf{c}}_1-4{\mathbf{c}}_2$$

$a$．求由 $B$ 到 $C$ 的坐标变换矩阵． b. 利用（$a$），对 $x=-3b_1+2b_2$ ，求 $[x{]}_C$ .

2. 设 $B=\{b_1,b_2\}$ 和 $C=\{c_1,c_2\}$ 是向量空间 $V$ 的两个基，设 $b_1=-c_1+4c_2,b_2=5c_1-3c_2$ a. 求由 $B$ 到 $C$ 的坐标变换矩阵． b. 对 $x=5b_1+3b_2$ ，求 $[x{]}_C$ .

3. 设 $U=\{u_1,u_2\}$ 和 $W=\{w_1,w_2\}$ 是 $V$ 的两个基，$P$ 为一个矩阵，它的列为 $[u_1{]}_w$ 和 $[u_2{]}_w$．对所有 $x\in V,P$ 满足以下哪一个方程？ ($i$) $[x{]}_u=P[x{]}_w$ (ii) $[x{]}_w=P[x{]}_u$

4. 设 $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ 和 $D=\{d_1,d_2,d_3\}$ 是 $V$ 的两个基， $P=\left[{\left[d_1\right]}_A{\left[d_2\right]}_A{\left[d_3\right]}_A\right]$．对所有 $x\in V$ ，$P$ 满足以下哪一个方程？ ($i$) $[x{]}_A=P[x{]}_D$ (ii) $[x{]}_D=P[x{]}_A$

5. 设 $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ 和 $B=\{b_1,b_2,b_3\}$ 是向量空间 $V$ 的两个基，设 $a_1=4b_1-b_2$ ， $a_2=-b_1+b_2+b_3$ ， $a_3=b_2-2b_3$ . a. 求由 $A$ 到 $B$ 的坐标变换矩阵． b. 对 $x=3a_1+4a_2+a_3$ ，求 $[x{]}_B$ .

6. 设 $D=\{d_1,d_2,d_3\}$ 和 $F=\{f_1,f_2,f_3\}$ 是向量空间 $V$ 的两个基，设 $f_1=2d_1-d_2+d_3$ ， $f_2=3d_2+d_3$ ， $f_3=-3d_1+2d_3$ . a. 求由 $F$ 到 $D$ 的坐标变换矩阵． b. 对 $x=f_1-2f_2+2f_3$ ，求 $[x{]}_D$ .

在习题 7~10 中，设 $B=\{b_1,b_2\}$ 和 $C=\{c_1,c_2\}$ 是 $R^2$ 的两个基，求由 $B$ 到 $C$ 的坐标变换矩阵和由 $C$ 到 $B$ 的坐标变换矩阵．

7. $b_1=\left[\begin{array}{c}7\\ 5\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}-3\\ -1\end{array}\right],c_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -5\end{array}\right],c_2=\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\end{array}\right]$

8. $b_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ 8\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -5\end{array}\right],c_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right],c_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

boldsymbol b _ 1 = [ c - 6 - 1 ], boldsymbol b _ 2 = [ c 2 0 ], boldsymbol c _ 1 = [ c 2 - 1 ], boldsymbol c _ 2 = [ c 6 - 2 ]$${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}-6\\ -1\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{c}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right],{\mathbf{c}}_2=\left[\begin{array}{c}6\\ -2\end{array}\right]$$

10. $b_1=\left[\begin{array}{c}7\\ -2\end{array}\right],b_2=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right],c_1=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right],c_2=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]$

在习题11和习题12中， $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{C}$ 是向量空间 $V$ 的两个基，标出每个命题的真假，给出理由．
11. a. 坐标变换矩阵 $\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}$ 的列是 $\mathcal{C}$ 中向量的 $\mathcal{B}-$ 坐标向量．
b. 若 $V={\mathbb{R}}^n$ ， $\mathcal{C}$ 为 $V$ 的标准基，则 $\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}$ 与4.4节中引入的坐标变换矩阵 $P_{\mathcal{B}}$ 相同．

12. $a$. $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ 的列是线性无关的． b. 若 $V={\mathbb{R}}^2,\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}$ , $\mathcal{C}=\{c_1,c_2\}$，则将 $[c_1,c_2,b_1,b_2]$ 行化简为 [I P] 时产生一矩阵 $P$，满足对任意 $x\in V$ ，均有 $[x{]}_{\mathcal{B}}=P[x{]}_{\mathcal{C}}$ .

13. 在 ${\mathbb{P}}_2$ 中，求由基 $\mathcal{B}=\{1-2t+t^2,3-5t+4t^2,2t+3t^2\}$ 到标准基 $\mathcal{C}=\{1,t,t^2\}$ 的坐标变换矩阵，再求 $-1+2t$ 的 $\mathcal{B}$ -坐标向量．

14. 在 ${\mathbb{P}}_2$ 中，求由基 $B=\{1-3t^2,2+t-5t^2,1+2t\}$ 到标准基的坐标变换矩阵，再将 $t^2$ 写成 $B$ 中多项式的线性组合。在习题15和习题16中，通过填写正确的理由完成定理15的证明。

15. 给定 $v\in V$ ，则对某些数 $x_1,\cdots ,x_n$ 有

boldsymbol v = x _ 1 boldsymbol b _ 1 + x _ 2 boldsymbol b _ 2 + … + x _ n boldsymbol b _ n$$\mathbf{v}=x_1{\mathbf{b}}_1+x_2{\mathbf{b}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{b}}_n$$

这是因为 ($a$). 应用由基 $\mathcal{C}$ 确定的坐标映射，有

[ boldsymbol v ] _ mathcal C = x _ 1 [ boldsymbol b _ 1 ] _ mathcal C + x _ 2 [ boldsymbol b _ 2 ] _ mathcal C + … + x _ n [ boldsymbol b _ n ] _ mathcal C$$[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{C}}=x_1[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}+x_2[{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}+\cdots +x_n[{\mathbf{b}}_n{]}_{\mathcal{C}}$$

这是因为____($b$)____。由定义____($c$)，我们可以将这个方程写成以下形式：

[ boldsymbol v ] _ mathcal C = [ [ boldsymbol b _ 1 ] _ mathcal C [ boldsymbol b _ 2 ] _ mathcal C … [ boldsymbol b _ n ] _ mathcal C ] [ c x _ 1 vdots x _ n ] (8)$$[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{C}}=[[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}[{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}\dots [{\mathbf{b}}_n{]}_{\mathcal{C}}]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(8)}$$

因为（8）式右边的向量是____($d$)，这就证明了对于 $v\in V$ ，（5）中的矩阵 $P_{C\leftarrow B}$ 满足 $[v{]}_C=P_{C\leftarrow B}[v{]}_B$ .

16. 设 $Q$ 是任意矩阵，使得

[ boldsymbol v ] _ c = Q [ boldsymbol v ] _ B, boldsymbol v ∈ V (9)$$[\mathbf{v}{]}_c=Q[\mathbf{v}{]}_B,\mathbf{v}\in V\text{\hspace{1em}(9)}$$

在（9）中，设 $v=b_1$ ，则（9）表明 $[b_1{]}_c$ 是 $Q$ 的第一列，这是因为 ____ ($a$) ____。类似地，对 $k=2,\cdots ,n$ ，$Q$ 的第 $k$ 列是 ____ ($b$) ____ 这是因为，____ ($c$) ____。这表明由定理15 中的（5）定义的矩阵 $P_{c\leftarrow B}$ 是满足条件（4）的唯一矩阵。

17. [$M$] 设 $B=\{x_0,\cdots ,x_6\}$ ， $C=\{y_0,\cdots ,y_6\}$ ，其中 $x_k$ 是函数 ${\cos }^{k}t$ ， $y_k$ 是函数 $\cos kt$ ，4.5 节习题 34

证明 $B$ 和 $C$ 都是向量空间 $H=\text{Span}\{x_0,\cdots ,x_6\}$ 的基．

$a$．设 $P=[[y_0{]}_B\cdots [y_6{]}_B]$ ，计算 $P^{-1}$ .

$b$．解释为什么 $P^{-1}$ 的列是 $x_0,\cdots ,x_6$ 的 C-坐标向量，然后利用这些坐标向量写出表示 $C$ 中函数 cost 的幂的三角恒等式．

18. [$M$]（需要微积分的知识） ^① 回顾微积分中如下积分：

∫ (5 cos^ 3 t - 6 cos^ 4 t + 5 cos^ 5 t - 1 2 cos^ 6 t) d t (10)$$\int (5{\cos }^{3}t-6{\cos }^{4}t+5{\cos }^{5}t-12{\cos }^{6}t)dt\text{\hspace{1em}(10)}$$

其计算过程是烦琐的。（通常的方法是重复利用分部积分法和半角公式。）使用习题17的矩阵 $P$ 或 $P^{-1}$ 变换（10）式，再计算这个积分．

19. [$M$] 设 $P=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ -3& -5& 0\\ 4& 6& 1\end{array}\right]$ ， $v_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 2\\ 3\end{array}\right]$ ， $v_2=\left[\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 2\end{array}\right]$ ， $v_3=\left[\begin{array}{c}-7\\ 2\\ 6\end{array}\right]$

$a$．求 $R^3$ 中的一个基 $\{u_1,u_2,u_3\}$ ，使得 $P$ 是由基 $\{u_1,u_2,u_3\}$ 到 $\{v_1,v_2,v_3\}$ 的坐标变换矩阵。（提示：$P$ 的列代表什么？）

$b$．求 $R^3$ 的一个基 $\{w_1,w_2,w_3\}$ ，使得 $P$ 是由基 $\{v_1,v_2,v_3\}$ 到基 $\{w_1,w_2,w_3\}$ 的坐标变换矩阵．

20. 设 $\mathcal{B}=\{b_1,b_2\}$ , $\mathcal{C}=\{c_1,c_2\}$ 和 $\mathcal{D}=\{d_1,d_2\}$ 是一个二维向量空间的基．

$a$．写出一个将 $P_{C\leftarrow B},P_{D\leftarrow C}$ 和 $P_{D\leftarrow B}$ 联系起来的方程，验证你的结果．

$b$. [$M$]针对 ${\mathbb{R}}^2$ 中的3个基（见习题7~10），利用一个矩阵程序帮你找到这个方程或者检验你写出的方程．

练习题答案

1. 由于 $P$ 的列是 G-坐标向量，因此形如 Px 的向量一定是 G-坐标向量，从而 $P$ 满足方程（ii）.

从而

2. 例1中求得的坐标向量表明

P _ C arrow B = [ [ boldsymbol b _ 1 ] _ C [ boldsymbol b _ 2 ] _ C ] = [ c c 4 & - 6 1 & 1 ]$$P_{C\leftarrow B}=\left[{\left[{\mathbf{b}}_1\right]}_C{\left[{\mathbf{b}}_2\right]}_C\right]=\left[\begin{array}{cc}4& -6\\ 1& 1\end{array}\right]$$P _ mathcal B arrow mathcal C = (P _ mathcal C arrow mathcal B) ^ - 1 = frac 11 0 [ l l 1 & 6 - 1 & 4 ] = [ l l 0. 1 & 0. 6 - 0. 1 & overline 0 . 4 ]$$P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}={\left(P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}\right)}^{-1}=\frac{1}{10}\left[\begin{array}{ll}1& 6\\ -1& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0.1& 0.6\\ -0.1& \overline{0.4}\end{array}\right]$$