第4章 补充习题

1. 对每个命题，标出是对还是错，验证每个答案。（若是对的，给出恰当的事实或定理；若是错的，解释原因并给出反例，说明为什么该命题在每种情况下都是错的。）在（$a$）～（$f$）中， $v_1,\cdots ,v_p$ 是非零有限维向量空间 $V$ 中的向量，而且 $S=\{v_1,\cdots ,v_p\}$ .

$a$. $v_1,\cdots ,v_p$ 的所有线性组合所成的集合是一个

向量空间．

$b$．若 $\{{\nu }_1,\cdots ,{\nu }_{p-1}\}$ 生成 $V$，则 $S$ 生成 $V$.

$c$．若 $\{v_1,\cdots ,v_{p-1}\}$ 是线性无关的，则 $S$ 也是线性无关的．

$d$．若 $S$ 是线性无关的，则 $S$ 是 $V$ 的一组基．

$e$．若 $\mathrm{Span}S=V$ ，则 $S$ 的某一子集是 $V$ 的一组基．

$f$．若 $\dim V=p$ 且 $\mathrm{Span}S=V$ ，则 $S$ 不能是线性

相关的．

$g$. ${\mathbb{R}}^3$ 中的一个平面是一个二维子空间．

$h$．矩阵中的非主元列总是线性相关的．

$i$．矩阵 $A$ 中的行变换能够改变 $A$ 的行之间的线性相关关系．

$j$．矩阵中的行变换能够改变零空间．

$k$．矩阵的秩等于非零行的个数．

1. 若 $m\times n$ 矩阵 $A$ 行等价于阶梯形矩阵 $U$ ， $U$ 有 $k$ 个非零行，则 $Ax=0$ 的解空间的维数是 $m-k$ .

$m$．若 $B$ 是由 $A$ 经过几次行初等变换得到，则 rank B = rank A.

$n$．矩阵 $A$ 的非零行构成 $\mathrm{Row}A$ 的一组基．

0. 若矩阵 $A$ 和 $B$ 有相同的简化阶梯形，则 Row A = Row B.

$p$．若 $H$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的子空间，则存在一个 $3\times 3$ 矩阵 $A$ 使得 $H=\mathrm{Col}A$ .

$q$．若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵且 rank A = m，则线性变换 $x\mapsto Ax$ 是一对一的．

$r$．若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵且线性变换 $x\mapsto Ax$ 是映上的，则 rank A = m.

$s$．坐标变换矩阵总是可逆的．

$t$．若 $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ 和 $C=\{c_1,\dots ,c_n\}$ 是向量空间 $V$ 的基，则坐标变换矩阵 $P_{C\leftarrow B}$ 的第 $j$ 列是坐标向量 $[c_j{]}_B$ .

2. 求所有形如下列形式的向量构成的集合的一组基。（计算要仔细。）

[ c a - 2 b + 5 c 2 a + 5 b - 8 c - a - 4 b + 7 c 3 a + b + c ]$$\left[\begin{array}{c}a-2b+5c\\ 2a+5b-8c\\ -a-4b+7c\\ 3a+b+c\end{array}\right]$$

3. 令 $u_1=\left[\begin{array}{c}-2\\ 4\\ -6\end{array}\right]$ ， $u_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -5\end{array}\right]$ ， $b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right],W=\mathrm{Span}\{u_1,$ $u_2\}$ ，求 $W$ 的一个隐式的表达；即求一个或多个能刻画 $W$ 中点的齐次方程的集合．（提示： $b$ 何时在 $W$ 中？）

4. 说明下面的讨论哪里有错：设 $f(t)=3+t$ ， $g(t)=3t+t^2$ ， $g(t)=tf(t)$．因为 $g$ 是 $f$ 的倍数，所以 $\{f,g\}$ 是线性相关的．

5. 考虑多项式 $p_1(t)=1+t$ , $p_2(t)=1-t$ , $p_3(t)=4$ , $p_4(t)=t+t^2$ , $p_5(t)=1+2t+t^2$ ，并设 $H$ 是由集合 $S=\{p_1,p_2,p_3,p_4,p_5\}$ 所生成的 ${\mathbb{P}}_5$ 的子空间。使用（4.3节）生成集定理证明中给出的方法求 $H$ 的一组基。（说明如何从 $S$ 中选取适当的向量。）

6. 假设 $p_1,p_2,p_3,p_4$ 是给定的多项式，它们生成 ${\mathbb{P}}_5$ 的一个二维子空间 $H$ 。试叙述通过检查这 4 个多项式，你如何能几乎不用计算就能求出 $H$ 的一组基。

7. 关于一个具有 18 个线性方程 20 个变量的齐次方程组的解集，为了知道每一个相应的非齐次方程有解，你必须要知道什么？讨论之。

8. 令 $H$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个 $n$ 维子空间，解释为什么 H = V.

9. 设 $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 是线性变换，
   a. 如果 $T$ 是一对一映射，那么 $T$ 的值域的维数是多少？解释之．
   b. 如果 $T$ 是从 ${\mathbb{R}}^n$ 映上到 ${\mathbb{R}}^m$ ，那么 $T$ 的核（见4.2节）的维数是多少？解释之．

10. 令 $S$ 是向量空间 $V$ 中的一个最大线性无关子集，即 $S$ 有这样的性质：若一个向量不在 $S$ 中，添加到 $S$ 后得到一个新的集合，则新的集合不再是线性无关的。证明： $S$ 一定是 $V$ 的一组基。（提示：若 $S$ 是线性无关的，但不是 $V$ 的一组基，则 $S$ 将如何？）

11. 令 $S$ 是向量空间 $V$ 的一个有限极小生成集，即 $S$ 有这样的性质：若从 $S$ 中去掉一个向量，则新的集合将不再生成 $V$ 。证明： $S$ 一定是 $V$ 的一组基。习题 12~17 给出了有时在应用中用到的秩的性质。假设矩阵 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵。

12. 由（$a$）和（$b$）证明：rank $AB$ 不能超过 $A$ 的秩或 $B$ 的秩。（一般而言，矩阵乘积的秩不能超过乘积中任何一个因子的秩.） a. 证明: 若 $B$ 是 $n\times p$ 矩阵，则 $\mathrm{rank}AB⩽\mathrm{rank}A$ . （提示：解释为什么 AB 的列空间中的每个向量属于 $A$ 的列空间.） b. 证明: 若 $B$ 是 $n\times p$ 矩阵，则 $\mathrm{rank}AB⩽\mathrm{rank}B$ . （提示：利用（$a$）研究 $\mathrm{rank}(AB{)}^{\top }$ .）

13. 证明：若 $P$ 是 $m\times m$ 可逆矩阵，则 rank PA = rank A。（提示：对 PA 和 $P^{-1}(PA)$ 应用习题 12.）

14. 证明：若 $Q$ 是可逆的，则 rank AQ = rank A。（提示：用习题 13 来研究 $\mathrm{rank}(AQ{)}^{\mathrm{T}}$ .）

15. 设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times p$ 矩阵，且 AB = 0.

证明

$\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B⩽n$ . （提示：Nul A, Col A, Nul B, Col B 四个子空间中有一个被包含在另外三个中的一个之中.）

16. 设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵，则 $A$ 的秩分解是具有 $A=CR$ 形式的等式，其中 $C$ 是秩为 $r$ 的 $m\times r$ 矩阵， $R$ 是秩为 $r$ 的 $r\times n$ 矩阵。这样的因式分解总是存在的（参见4.6节习题38）。任给两个 $m\times n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ ，利用 $A$ 和 $B$ 的秩分解证明：

operatornamerank (A + B) ≤slant operatornamerank A + operatornamerank B$$\mathrm{rank}(A+B)⩽\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B$$

(提示：把 $A+B$ 写成两个分块矩阵的积.)

17. 矩阵 $A$ 的子矩阵是由去掉 $A$ 中若干行若干列（或不去掉）得到的矩阵。可以证明 $A$ 的秩为 $r$ 当且仅当 $A$ 包含一个 $r\times r$ 可逆子矩阵同时没有更大的可逆子方阵。通过解释下面的（$a$）和（$b$）证明这个命题的一部分：（$a$）为什么秩为 $r$ 的 $m\times n$ 矩阵 $A$ 有一个秩为 $r$ 的 $m\times r$ 子矩阵 $A_1$ ，（$b$）为什么 $A_1$ 有一个可逆的 $r\times r$ 子矩阵 $A_2$ 。

秩这个概念在工程控制系统的设计中起着重要的作用，比如在本章介绍性实例中提到的航天飞机系统．控制系统的状态空间模型包括一个形如

boldsymbol x _ k + 1 = A boldsymbol x _ k + B boldsymbol u _ k k = 0, 1, … (1)$${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k+B{\mathbf{u}}_{k}k=0,1,\dots \text{\hspace{1em}(1)}$$

的差分方程，其中 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵，$B$ 是 $n\times m$ 矩阵， $\{x_k\}$ 是 $R^n$ 中的一个“状态向量”序列，它用来描述在离散时间上系统的状态， $\{u_k\}$ 是一个控制或输入序列。（$A$,$B$）称为可控制的，如果

operatornamerank [ B A B A ^ 2 B … A ^ n - 1 B ] = n (2)$$\mathrm{rank}[BAB{A}^{2}B\dots A^{n-1}B]=n\text{\hspace{1em}(2)}$$

（2）式中的矩阵称为系统的可控制性矩阵．若 $(A,B)$ 是可控制的，则通过简单地选择一个适当的 $R^m$ 中的控制序列，最多在$n$步内，该系统从状态0到任一指定的（ $R^n$ 中的）状态$v$可以被控制或被驱动．对这一点，习题18给出了在n=4，m=2时的示例．对可控制性的进一步讨论，可参见本教材的网站（第4章的案例研究）.

18. 设 $A$ 是 $4\times 4$ 矩阵，$B$ 是 $4\times 2$ 矩阵， $u_0,u_1,u_2,u_3,u_4$ 是 $R^2$ 中的输入向量序列． a. 设 $x_0=0$ ，用（1）式计算 $x_1,x_2,x_3,x_4$ ，用（2）式中的可控制性矩阵 $M$ 写一个计算 $x_4$ 的公式。（注意：矩阵 $M$ 用分块矩阵来构造。此处它的大小是 $4\times 8$ 。 b. 设 $(A,B)$ 是可控制的，$v$ 是 $R^4$ 中的任一向量，说明为何存在 $R^2$ 中的一个控制序列 $u_0,\cdots ,u_4$ ，使得 $x_4=v$ 。 在习题19~22中，判定矩阵对是否是可控制的。

A = [ c c c 0. 9 & 1 & 0 0 & - 0. 9 & 0 0 & 0 & 0. 5 ], B = [ l 0 1 1 ]$$A=\left[\begin{array}{ccc}0.9& 1& 0\\ 0& -0.9& 0\\ 0& 0& 0.5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{l}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$$2 0. A = [ c c c 0. 8 & - 0. 3 & 0 0. 2 & 0. 5 & 1 0 & 0 & - 0. 5 ], B = [ l 1 1 0 ]$$20.A=\left[\begin{array}{ccc}0.8& -0.3& 0\\ 0.2& 0.5& 1\\ 0& 0& -0.5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

21. [$M$] $A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -2& -4.2& -4.8& -3.6\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right]$

22. [$M$] $A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ -1& -13& -12.2& -1.5\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ -1\end{array}\right]$