3.2 行列式的性质

行列式的奥秘在于进行行变换时它如何变化．下列定理推广了 3.1 节中习题 19~24 的结果，其证明在本节末尾．

定理 3 行变换

令 $A$ 是一个方阵．

$a$．若 $A$ 的某一行的倍数加到另一行得矩阵 $B$，则 $\det B=\det A$ .

$b$．若 $A$ 的两行互换得矩阵 $B$ ，则 $\det B=-\det A$ .

$c$．若 $A$ 的某行乘以 $k$ 倍得到矩阵 $B$，则 $\det B=k\cdot \det A$ .

下列例子展示了如何利用定理3 来有效地计算行列式．

例 1

计算 $\det A$ ，其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 2\\ -2& 8& -9\\ -1& 7& 0\end{array}\right]$ .

解

思路是先将 $A$ 化简成阶梯形，再利用三角形矩阵的行列式等于对角线上元素之积的知

识．针对第一列的前两次行倍加均不改变行列式的值:

det A = | r r r 1 & - 4 & 2 - 2 & 8 & - 9 - 1 & 7 & 0 | = | r r r 1 & - 4 & 2 0 & 0 & - 5 - 1 & 7 & 0 | = | r r r 1 & - 4 & 2 0 & 0 & - 5 0 & 3 & 2 |$$\det A=\left|\begin{array}{rrr}1& -4& 2\\ -2& 8& -9\\ -1& 7& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1& -4& 2\\ 0& 0& -5\\ -1& 7& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1& -4& 2\\ 0& 0& -5\\ 0& 3& 2\end{array}\right|$$

交换第2行与第3行使行列式取反号，即

det A = - | c c c 1 & - 4 & 2 0 & 3 & 2 0 & 0 & - 5 | = - (1) (3) (- 5) = 1 5$$\det A=-\left|\begin{array}{ccc}1& -4& 2\\ 0& 3& 2\\ 0& 0& -5\end{array}\right|=-(1)(3)(-5)=15$$

手工计算行列式时，通常利用定理3（$c$）将某一行的公因子提出来，如

| c c c * & * & * 5 k & - 2 k & 3 k * & * & * | = k | c c c * & * & * 5 & - 2 & 3 * & * & * |$$\left|\begin{array}{ccc}\ast & \ast & \ast \\ 5k& -2k& 3k\\ \ast & \ast & \ast \end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccc}\ast & \ast & \ast \\ 5& -2& 3\\ \ast & \ast & \ast \end{array}\right|$$

其中用星号标记的元素不变．在下例中用此方法．

例 2

计算 $\det A$ ，其中 $A=\left[\begin{array}{cccc}2& -8& 6& 8\\ 3& -9& 5& 10\\ -3& 0& 1& -2\\ 1& -4& 0& 6\end{array}\right]$ .

解

为简化计算，设法使左上角为 1. 可将第 1 行与第 4 行交换，也可由第 1 行提出因子 2, 再对第 1 列做行倍加:

det A = 2 | r r r r 1 & - 4 & 3 & 4 3 & - 9 & 5 & 1 0 - 3 & 0 & 1 & - 2 1 & - 4 & 0 & 6 | = 2 | r r r r 1 & - 4 & 3 & 4 0 & 3 & - 4 & - 2 0 & - 1 2 & 1 0 & 1 0 0 & 0 & - 3 & 2 |$$\det A=2\left|\begin{array}{rrrr}1& -4& 3& 4\\ 3& -9& 5& 10\\ -3& 0& 1& -2\\ 1& -4& 0& 6\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{rrrr}1& -4& 3& 4\\ 0& 3& -4& -2\\ 0& -12& 10& 10\\ 0& 0& -3& 2\end{array}\right|$$

然后，可再从第3行中提出2，或利用第2列中的3作为一个主元。此处我们用后者，将第2行的4倍加到第3行：

det A = 2 | c c c c 1 & - 4 & 3 & 4 0 & 3 & - 4 & - 2 0 & 0 & - 6 & 2 0 & 0 & - 3 & 2 |$$\det A=2\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 3& 4\\ 0& 3& -4& -2\\ 0& 0& -6& 2\\ 0& 0& -3& 2\end{array}\right|$$

最后，将-1/2倍的第3行加到第4行，再计算这个“三角形”行列式得

det A = 2 | c c c c 1 & - 4 & 3 & 4 0 & 3 & - 4 & - 2 0 & 0 & - 6 & 2 0 & 0 & 0 & 1 | = 2 · (1) · (3) · (- 6) · (1) = - 3 6$$\det A=2\left|\begin{array}{cccc}1& -4& 3& 4\\ 0& 3& -4& -2\\ 0& 0& -6& 2\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right|=2\cdot (1)\cdot (3)\cdot (-6)\cdot (1)=-36$$

若一个方阵 $A$ 通过行倍加和行交换化简为阶梯形 $U$ （这总是可以做到的，见1.2节行化简算法），且此过程经过了 $r$ 次行交换，则定理3表明

det A = (- 1) ^ r det U$$\det A=(-1{)}^r\det U$$

由于 $U$ 是阶梯形，故它是三角阵，因此 $\det U$ 是主对角线上的元素 $u_{11},\cdots ,u_{nn}$ 的乘积。若 $A$ 可逆，则元素 $u_{ii}$ 都是主元（因为 $A\sim I_n$ 且 $u_{ii}$ 没有被倍乘变为 1）。否则，至少有 $u_{nn}$ 等于零，乘积 $u_{11}\cdots u_{nn}$ 为零。见图 3-1。

图 3-1 标准的阶梯形方阵

从而有以下公式：

det A = { l l (- 1) ^ r · (U text 的主元乘积) & text 当 A text 可逆 0 & text 当 A text 不可逆 . (1)$$\det A=\{\begin{array}{ll}(-1{)}^r\cdot (U\text{的主元乘积})& \text{当}A\text{可逆}\\ 0& \text{当}A\text{不可逆}\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

意到下列有趣的情形：尽管上述中的阶梯形 $U$ 是不唯一的（因为它并没有经过完全的行简化），主元也不是唯一的，但除了差一个负号外，这些主元的乘积是唯一的．

公式（1）不但给出 $\det A$ 的一个具体的解释，还证明了本节的主要定理：

定理 4

方阵 $A$ 是可逆的当且仅当 $\det A\ne 0$ .

定理 4

把语句 “ $\det A\ne 0$ ” 增加到可逆矩阵定理中。一个有用的推论是若 $A$ 的列是线性相关的，则 $\det A=0$ 。而且若 $A$ 的行是线性相关的，则 $\det A=0$ 。（$A$ 的行是 $A^T$ 的列，由 $A^T$ 的列线性相关可推出 $A^T$ 是奇异的。当 $A^T$ 是奇异矩阵时，由可逆矩阵定理可知，$A$ 也是奇异的。）在实际问题中，当两行或两列是相同的或者一行或一列是零时，则线性相关是显然的。

例 3

计算 $\det A$ ， $A=\left[\begin{array}{cccc}3& -1& 2& -5\\ 0& 5& -3& -6\\ -6& 7& -7& 4\\ -5& -8& 0& 9\end{array}\right]$ .

解

将 2 倍的第 1 行加到第 3 行，得

det A = det [ r r r r 3 & - 1 & 2 & - 5 0 & 5 & - 3 & - 6 0 & 5 & - 3 & - 6 - 5 & - 8 & 0 & 9 ] = 0$$\det A=\det \left[\begin{array}{rrrr}3& -1& 2& -5\\ 0& 5& -3& -6\\ 0& 5& -3& -6\\ -5& -8& 0& 9\end{array}\right]=0$$

这是因为上面矩阵的第2行和第3行相等．

数值计算的注解

1. 对一般的矩阵 $A$，许多计算 $\det A$ 的计算机程序使用上面公式（1）的方法．

2. 可以证明一个 $n\times n$ 行列式利用行变换展开大约需要 $2n^3/3$ 次算术运算，任何现代微型计算机可以在不到一秒钟内计算一个 $25\times 25$ 行列式，因为仅需大约 10000 次运算．

充分利用出现的多个零，利用特别的指令，计算机还可以处理大的“稀疏”矩阵。当然，零元素可加快手算过程。下例的计算中结合了行变换的优势和3.1节中余因子展开中利用零元素的技巧。

例 4

计算 $\det A$ ， $A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 2& -1\\ 2& 5& -7& 3\\ 0& 3& 6& 2\\ -2& -5& 4& -2\end{array}\right]$ .

解

开始最好是利用第1列中的2作为一个主元，消去下面的-2，再利用余因子展开式化简成低一阶的行列式，然后再运用行倍加变换．因此

det A = | c c c c 0 & 1 & 2 & - 1 2 & 5 & - 7 & 3 0 & 3 & 6 & 2 0 & 0 & - 3 & 1 | = - 2 | c c c 1 & 2 & - 1 3 & 6 & 2 0 & - 3 & 1 | = - 2 | c c c 1 & 2 & - 1 0 & 0 & 5 0 & - 3 & 1 |$$\det A=\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 2& -1\\ 2& 5& -7& 3\\ 0& 3& 6& 2\\ 0& 0& -3& 1\end{array}\right|=-2\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& 6& 2\\ 0& -3& 1\end{array}\right|=-2\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 0& 5\\ 0& -3& 1\end{array}\right|$$

交换第2行与第3行得到一个“三角形行列式”。另一种方法是按第1列的余因子展开式：

det A = (- 2) · (1) [ c c 0 & 5 - 3 & 1 ] = - 2 · (1 5) = - 3 0$$\det A=(-2)\cdot (1)\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ -3& 1\end{array}\right]=-2\cdot (15)=-30$$

列变换

类似于前面已经考虑过的行变换，我们可以对矩阵的列实行变换，下一个定理证明行列式的列变换与行变换具有相同的效果．

数学归纳原理表述为：令 $P(n)$ 对每个自然数 $n$ 成立或不成立。假设 $P(1)$ 成立，则 $P(n)$ 对所有 $n⩾1$ 的情形成立。对每个自然数 $k$ ，若 $P(k)$ 成立，则 $P(k+1)$ 成立。用数学归纳原理证明下述定理。

定理 5

若 $A$ 为一个 $n\times n$ 矩阵，则 $\det A^{\mathrm{T}}=\det A$ .

证明

当 $n=1$ 时，定理显然成立．假设定理对 $k\times k$ 行列式成立．令 $n=k+1$ ，则 $A$ 中 $a_{1j}$ 的余因子等于 $A^{\mathrm{T}}$ 中 $a_{j1}$ 的余因子，这是因为这些余因子是由 $k\times k$ 行列式表示的．所以 $\det A$ 沿着第一行的余因子展开式等于 $\det A^{\mathrm{T}}$ 沿第一列的余因子展开式，即 $\det A=\det A^{\mathrm{T}}$．于是定理对 $n=k+1$ 也成立，即定理对一个 $n$ 成立就可以推出对 $n+1$ 成立．由数学归纳原理，定理对任意 $n⩾1$ 均成立．

因为定理5 应用原来的定理3。对 定理3中出现的“行”字变成“列”字时，定理3中每一个命题均成立。为证此性质，只需针对 $A^{\mathrm{T}}$ 应用原来的定理3。对 $A^{\mathrm{T}}$ 的一个行变换相当于对 $A$ 的一个列变换。

列变换对理论和手工计算都是很有用的．然而，为了简单，在数值计算中，我们仅采用行变换．

行列式与矩阵乘积

下列有用定理的证明放在本节末尾，其应用放在习题中．

定理 6 乘法的性质

若 $A$ 和 $B$ 均为 $n\times n$ 矩阵，则 $\det AB=(\det A)(\det B)$ .

例 5

对 $A=\left[\begin{array}{cc}6& 1\\ 3& 2\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ 1& 2\end{array}\right]$，验证定理6.

解

A B = [ l l 6 & 1 3 & 2 ] [ l l 4 & 3 1 & 2 ] = [ l l 2 5 & 2 0 1 4 & 1 3 ]$$AB=\left[\begin{array}{ll}6& 1\\ 3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}4& 3\\ 1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}25& 20\\ 14& 13\end{array}\right]$$det A B = 2 5 · 1 3 - 2 0 · 1 4 = 3 2 5 - 2 8 0 = 4 5$$\det AB=25\cdot 13-20\cdot 14=325-280=45$$

由于 $\det A=9$ ， $\det B=5$ ，故

(det A) (det B) = 9 · 5 = 4 5 = det A B$$(\det A)(\det B)=9\cdot 5=45=\det AB$$

通常一个错误的观点是定理6对矩阵的和也有类似的结果。然而，一般而言， $\det (A+B)$ 不等于 $\det A+\det B$ 。

行列式函数的一个线性性质

若 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵，可以将 $\det A$ 看作 $A$ 中 $n$ 个列向量的函数。我们将证明如果 $A$ 中除了一列之外都是固定的向量，则 $\det A$ 是那个可变列向量的线性函数。

假设 $A$ 的第 $j$ 列允许有变化，$A$ 可写成

A = [ l l l l l l boldsymbol a _ 1 & … & boldsymbol a _ j - 1 & boldsymbol x & boldsymbol a _ j + 1 & … & boldsymbol a _ n ]$$A=\left[\begin{array}{llllllc}{\mathbf{a}}_1& \dots & {\mathbf{a}}_{j-1}& \mathbf{x}& {\mathbf{a}}_{j+1}& \dots & {\mathbf{a}}_n\end{array}\right]$$

定义由 ${\mathbb{R}}^n$ 到 $\mathbb{R}$ 的变换 $T$ 为

T (boldsymbol x) = det [ boldsymbol a _ 1 … boldsymbol a _ j - 1 boldsymbol x boldsymbol a _ j + 1 … boldsymbol a _ n ]$$T(\mathbf{x})=\det [{\mathbf{a}}_1\dots {\mathbf{a}}_{j-1}\mathbf{x}{\mathbf{a}}_{j+1}\dots {\mathbf{a}}_n]$$

则有

T (c ±b x) = c T (±b x), text 对任意常数 c text 和 mathbb R ^ n text 中任意 ±b x text 成立 (2)$$T(cx)=cT(x),\text{对任意常数}c\text{和}{\mathbb{R}}^n\text{中任意}x\text{成立}\text{\hspace{1em}(2)}$$ T (±b u + ±b v) = T (±b u) + T (±b v), text 对 mathbb R ^ n text 中所有 ±b u, ±b v text 成立 (3)$$T(u+v)=T(u)+T(v),\text{对}{\mathbb{R}}^n\text{中所有}u,v\text{成立}\text{\hspace{1em}(3)}$$

性质（2）即定理3（$c$）应用到 $A$ 的列。（3）的一个证明可由det $A$ 按第 $j$ 列的余因子展开式来完成（见习题43）。行列式的这个线性性质有许多有用的推论，将会在高级的课程学习中研究．

定理3和定理6的证明

借助于2.2节中讨论的初等矩阵，证明定理3是方便的。我们称一个初等矩阵 $E$ 是一个行倍加(矩阵)，如果 $E$ 是由单位矩阵 $I$ 经一行加另一行的倍数而得到；称 $E$ 是一个交换，如果 $E$ 是由交换 $I$ 的两行而得到；称 $E$ 是一个 $r$ 倍乘，如果 $E$ 的某一行乘以一个非零数而得到。用这些术语，定理3可重新叙述如下：$I$ 的某一行乘以一个非零数而得到。用这些术语，定理3可重新叙述如下：

若 $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵， $E$ 是一个 $n\times n$ 初等矩阵，则

det E A = (det E) (det A)$$\det EA=(\det E)(\det A)$$

其中

det E = { l l 1 & text 若 E text 是一个行倍加 - 1 & text 若 E text 是一个交换 r & text 若 E text 是一个 r text 倍乘 .$$\det E=\{\begin{array}{ll}1& \text{ 若 }E\text{ 是一个行倍加 }\\ -1& \text{ 若 }E\text{ 是一个交换 }\\ r& \text{ 若 }E\text{ 是一个 }r\text{ 倍乘 }\end{array}$$

定理3的证明 针对 $A$ 的行或列的大小用归纳法．$2\times 2$ 矩阵的情形在3.1节的习题33~36中已证．假设该定理对 $k\times k$ 矩阵的行列式成立，$k⩾2$，令 $n=k+1$ , $A$ 为 $n\times n$ 矩阵．$E$ 对 $A$ 的作用涉及两行或一行．所以我们可以按在 $E$ 的作用下没有被改变的一行展开detEA, 比如说第 $i$ 行．令 $A_{ij}$ （分别地，$B_{ij}$ ）是由 $A$ （分别地， EA）中划掉第 $i$ 行第 $j$ 列得到的矩阵，则 $B_{ij}$ 的行由 $A_{ij}$ 的行通过实行与 $E$ 作用于 $A$ 相同类型的初等行变换得到．由于这些子矩阵仅仅是 $k\times k$ 矩阵，因此归纳假设蕴涵

det B _ i j = α · det A _ i j$$\det B_{ij}=\alpha \cdot \det A_{ij}$$

其中 $\alpha =1,-1$ 或 $r$ ，依 $E$ 的类型而定．detEA沿第 $i$ 行的余因子展开式是

r l det E A & = a _ i 1 (- 1) ^ i + 1 det B _ i 1 + … + a _ i n (- 1) ^ i + n det B _ i n & = α a _ i 1 (- 1) ^ i + 1 det A _ i 1 + … + α a _ i n (- 1) ^ i + n det A _ i n & = α · det A$$\begin{array}{rl}\det EA& =a_{i1}(-1{)}^{i+1}\det B_{i1}+\cdots +a_{in}(-1{)}^{i+n}\det B_{in}\\ & =\alpha a_{i1}(-1{)}^{i+1}\det A_{i1}+\cdots +\alpha a_{in}(-1{)}^{i+n}\det A_{in}\\ & =\alpha \cdot \det A\end{array}$$

特别地，取 $A=I_n$ ，则 $\det E=1,-1$ 或 $r$ ，依赖于 $E$ 的类型而定．于是定理对 $n=2$ 成立．定理对 $n$ 成立蕴涵对 $n+1$ 时也成立．由归纳法原理，定理对 $n⩾2$ 均成立．对 $n=1$ 时，定理显然成立．

定理6 的证明 若 不可逆，则由 2.3 节中习题 27，AB 也不可逆。在此情形下，由定理4，因 det A 和 det A·det B 均为零，故 det AB = (det A)(det B) 成立。若 不可逆，则由 2.3 节中习题 27，AB 也不可逆。在此情形下，由定理 4，因 det A 和 det A·det B 均为零，故 det AB = (det A)(det B) 成立。若 $A$ 可逆，则由可逆矩阵定理，$A$ 与单位矩阵 $I_n$ 行等价，所以存在初等矩阵 $E_1,\cdots ,E_p$ 使得

A = E _ p E _ p - 1 … E _ 1 I _ n = E _ p E _ p - 1 … E _ 1$$A=E_p{E}_{p-1}\dots E_1{I}_n=E_p{E}_{p-1}\dots E_1$$

为了简单，用 $|A|$ 表示 $\det A$ 。反复应用定理3，如上面所重新描述的那样，得

r l | A B | & = | E _ p … E _ 1 B | = | E _ p | · | E _ p - 1 … E _ 1 B | = … & = | E _ p | … | E _ 1 | · | B | = … = | E _ p … E _ 1 | · | B | & = | A | | B |$$\begin{array}{rl}\left|AB\right|& =\left|E_p\dots E_{1}B\right|=\left|E_p\right|\cdot \left|E_{p-1}\dots E_{1}B\right|=\dots \\ & =\left|E_p\right|\dots \left|E_1\right|\cdot |B|=\cdots =\left|E_p\dots E_1\right|\cdot |B|\\ & =|A||B|\end{array}$$

练习题

1. 用尽可能少的步骤计算 $\left|\begin{array}{cccc}1& -3& 1& -2\\ 2& -5& -1& -2\\ 0& -4& 5& 1\\ -3& 10& -6& 8\end{array}\right|$ .

2. 用一个行列式来确定向量 $v_1,v_2,v_3$ 是否线性无关，这里

boldsymbol v _ 1 = [ c 5 - 7 9 ], boldsymbol v _ 2 = [ c - 3 3 - 5 ], boldsymbol v _ 3 = [ c 2 - 7 5 ]$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}5\\ -7\\ 9\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-3\\ 3\\ -5\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}2\\ -7\\ 5\end{array}\right]$$

3. 设 $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵，满足 $A^2=I$ 。证明 $\det A=\pm 1$

习题3.2

在习题 1~4 中，每个方程说明行列式的一个性质．叙述这些性质．

| r r r 0 & 5 & - 2 1 & - 3 & 6 4 & - 1 & 8 | = - | r r r 1 & - 3 & 6 0 & 5 & - 2 4 & - 1 & 8 |$$\left|\begin{array}{rrr}0& 5& -2\\ 1& -3& 6\\ 4& -1& 8\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrr}1& -3& 6\\ 0& 5& -2\\ 4& -1& 8\end{array}\right|$$

| c c c 1 & 2 & 2 0 & 3 & - 4 3 & 7 & 4 | = | c c c 1 & 2 & 2 0 & 3 & - 4 0 & 1 & - 2 |$$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 3& -4\\ 3& 7& 4\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 0& 3& -4\\ 0& 1& -2\end{array}\right|$$

| c c c 3 & - 6 & 9 3 & 5 & - 5 1 & 3 & 3 | = 3 | c c c 1 & - 2 & 3 3 & 5 & - 5 1 & 3 & 3 |$$\left|\begin{array}{ccc}3& -6& 9\\ 3& 5& -5\\ 1& 3& 3\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 3& 5& -5\\ 1& 3& 3\end{array}\right|$$

| c c c 1 & 3 & - 4 2 & 0 & - 3 3 & - 5 & 2 | = | c c c 1 & 3 & - 4 0 & - 6 & 5 3 & - 5 & 2 |$$\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -4\\ 2& 0& -3\\ 3& -5& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 3& -4\\ 0& -6& 5\\ 3& -5& 2\end{array}\right|$$

在习题 5~10 中，通过行化简成阶梯形求行列式的值．

| r r r 1 & 5 & - 4 - 1 & - 4 & 5 - 2 & - 8 & 7 |$$\left|\begin{array}{rrr}1& 5& -4\\ -1& -4& 5\\ -2& -8& 7\end{array}\right|$$

| c c c 3 & 3 & - 3 3 & 4 & - 4 2 & - 3 & - 5 |$$\left|\begin{array}{ccc}3& 3& -3\\ 3& 4& -4\\ 2& -3& -5\end{array}\right|$$

| r r r r 1 & 3 & 0 & 2 - 2 & - 5 & 7 & 4 3 & 5 & 2 & 1 1 & - 1 & 2 & - 3 |$$\left|\begin{array}{rrrr}1& 3& 0& 2\\ -2& -5& 7& 4\\ 3& 5& 2& 1\\ 1& -1& 2& -3\end{array}\right|$$

| c c c c 1 & 3 & 2 & - 4 0 & 1 & 2 & - 5 2 & 7 & 6 & - 3 - 3 & - 1 0 & - 7 & 2 |$$\left|\begin{array}{cccc}1& 3& 2& -4\\ 0& 1& 2& -5\\ 2& 7& 6& -3\\ -3& -10& -7& 2\end{array}\right|$$

| r r r r 1 & - 1 & - 3 & 0 0 & 1 & 5 & 4 - 1 & 0 & 5 & 3 3 & - 3 & - 2 & 3 |$$\left|\begin{array}{rrrr}1& -1& -3& 0\\ 0& 1& 5& 4\\ -1& 0& 5& 3\\ 3& -3& -2& 3\end{array}\right|$$

| r r r r r 1 & 3 & - 1 & 0 & - 2 0 & 2 & - 4 & - 2 & - 6 - 2 & - 6 & 2 & 3 & 1 0 1 & 5 & - 6 & 2 & - 3 0 & 2 & - 4 & 5 & 9 |$$\left|\begin{array}{rrrrr}1& 3& -1& 0& -2\\ 0& 2& -4& -2& -6\\ -2& -6& 2& 3& 10\\ 1& 5& -6& 2& -3\\ 0& 2& -4& 5& 9\end{array}\right|$$

在习题 11~14 中，结合行化简和余因子展开的方法计算行列式的值．

| c c c c 3 & 4 & - 3 & - 1 3 & 0 & 1 & - 3 - 6 & 0 & - 4 & 3 6 & 8 & - 4 & - 1 |$$\left|\begin{array}{cccc}3& 4& -3& -1\\ 3& 0& 1& -3\\ -6& 0& -4& 3\\ 6& 8& -4& -1\end{array}\right|$$

[ c c c c - 1 & 2 & 3 & 0 3 & 4 & 3 & 0 1 1 & 4 & 6 & 6 4 & 2 & 4 & 3 ]$$\left[\begin{array}{cccc}-1& 2& 3& 0\\ 3& 4& 3& 0\\ 11& 4& 6& 6\\ 4& 2& 4& 3\end{array}\right]$$

($k$, təb) ($E$, $r$., - )

| r r r r 2 & 5 & 4 & 1 4 & 7 & 6 & 2 6 & - 2 & - 4 & 0 - 6 & 7 & 7 & 0 |$$\left|\begin{array}{rrrr}2& 5& 4& 1\\ 4& 7& 6& 2\\ 6& -2& -4& 0\\ -6& 7& 7& 0\end{array}\right|$$

[ r r r r 1 & 5 & 4 & 1 0 & - 2 & - 4 & 0 3 & 5 & 4 & 1 - 6 & 5 & 5 & 0 ]$$\left[\begin{array}{rrrr}1& 5& 4& 1\\ 0& -2& -4& 0\\ 3& 5& 4& 1\\ -6& 5& 5& 0\end{array}\right]$$

求习题 15~20 中的行列式，已知 $\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|=7$ .

| c c c a & b & c d & e & f 3 g & 3 h & 3 i |$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ 3g& 3h& 3i\end{array}\right|$$

| c c c a & b & c 5 d & 5 e & 5 f g & h & i |$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 5d& 5e& 5f\\ g& h& i\end{array}\right|$$

| c c c a + d & b + e & c + f d & e & f g & h & i |$$\left|\begin{array}{ccc}a+d& b+e& c+f\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right|$$

| c c c d & e & f a & b & c g & h & i |$$\left|\begin{array}{ccc}d& e& f\\ a& b& c\\ g& h& i\end{array}\right|$$

| c c c a & b & c 2 d + a & 2 e + b & 2 f + c g & h & i |$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 2d+a& 2e+b& 2f+c\\ g& h& i\end{array}\right|$$

| c c c a & b & c d + 3 g & e + 3 h & f + 3 i g & h & i |$$\left|\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d+3g& e+3h& f+3i\\ g& h& i\end{array}\right|$$

在习题 21~23 中，利用行列式检验这些矩阵是否可逆．

[ c c c 2 & 6 & 0 1 & 3 & 2 3 & 9 & 2 ]$$\left[\begin{array}{ccc}2& 6& 0\\ 1& 3& 2\\ 3& 9& 2\end{array}\right]$$

[ c c c 5 & 1 & - 1 1 & - 3 & - 2 0 & 5 & 3 ]$$\left[\begin{array}{ccc}5& 1& -1\\ 1& -3& -2\\ 0& 5& 3\end{array}\right]$$

[ r r r r 2 & 0 & 0 & 6 1 & - 7 & - 5 & 0 3 & 8 & 6 & 0 0 & 7 & 5 & 4 ]$$\left[\begin{array}{rrrr}2& 0& 0& 6\\ 1& -7& -5& 0\\ 3& 8& 6& 0\\ 0& 7& 5& 4\end{array}\right]$$

在习题 24~26 中，利用行列式判断每组向量是否线性无关．

[ c 4 6 2 ], [ c - 7 0 7 ], [ c - 3 - 5 - 2 ]$$\left[\begin{array}{c}4\\ 6\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-7\\ 0\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ -5\\ -2\end{array}\right]$$

[ c 7 - 4 - 6 ], [ c - 8 5 7 ], [ c 7 0 - 5 ]$$\left[\begin{array}{c}7\\ -4\\ -6\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-8\\ 5\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}7\\ 0\\ -5\end{array}\right]$$

[ r 3 5 - 6 4 ], [ r 2 - 6 0 7 ], [ r - 2 - 1 3 0 ], [ r 0 0 0 - 2 ]$$\left[\begin{array}{r}3\\ 5\\ -6\\ 4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2\\ -6\\ 0\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2\\ -1\\ 3\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0\\ 0\\ 0\\ -2\end{array}\right]$$

在习题 27 和习题 28 中，$A$,$B$ 均为 $n\times n$ 矩阵，标出每个命题的真假，给出理由．

27. $a$．矩阵的行倍加变换不影响矩阵的行列式． b. 矩阵 $A$ 的行列式是 $A$ 的任意一个阶梯形 $U$ 中主元之积再乘以 $(-1{)}^r$ ，其中 $r$ 是 $A$ 经行化简成 $U$ 时做的行交换的次数． c. 若 $A$ 的列是线性相关的，则 $\det A=0$ . d. $\det (A+B)=\det A+\det B$

28. $a$．如果连续作了两次行交换，则新的行列式等于原来的行列式． b. A 的行列式等于其对角线元素之积．

$c$．若 $\det A$ 为零，则其两行或两列相同，或者一行或一列为零． d. $\det A^{-1}=(-1)\det A$ .

29. 计算 $\det B^4$ ，其中 $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 2\\ 1& 2& 1\end{array}\right]$ .

30. 利用定理3（但不用定理4）来证明，若方阵 $A$ 的两行相等，则 $\det A=0$ 。此结论对两列相等的情形也成立，为什么？ 对习题 31~36，在你的解释中指出用到的一个合适的定理。

31. 证明：如果 $A$ 可逆，则 $\det A^{-1}=\frac{1}{\det A}$ .

32. 假设 $A$ 为方阵，且 $\det A^3=0$ ，解释为什么 $A$ 不可能是可逆的．

33. 若 $A,B$ 均为方阵，证明：即使 $AB$ 与 $BA$ 可能不相等， $\det AB=\det BA$ 也总是成立的．

34. 若 $A$, $P$ 均为方阵，$P$ 可逆，证明 $\det (PA{P}^{-1})=\det A$ .

35. 假设 $U$ 为方阵，满足 $U^{\mathrm{T}}U=I$ ，证明 $\det U=\pm 1$

36. 若 $A$ 为一个 $n\times n$ 矩阵，试找出一个计算 $\det (rA)$ 的公式．

在习题 37 和习题 38 中，验证 $\det AB=(\det A)+(\det B)$ .（不要使用定理6.）

37. $A=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 6& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 5& 4\end{array}\right]$

38. $A=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ -1& -2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}4& 3\\ -1& -3\end{array}\right]$

39. 若 $A$, $B$ 均为 $3\times 3$ 矩阵，且 $\det A=-3,\det B=4$ . 利用（文中或上面习题中的）行列式性质计算 $a$. $\det AB$ b. $\det 5A$ c. $\det B^T$ d. $\det A^{-1}$ e. $\det A^3$

40. 若 $A$, $B$ 均为 $4\times 4$ 矩阵，det A = -3, det B = -1，计算 $a$. det AB b. det $B^5$ c. det 2A d. det $A^{T}BA$ e. det $B^{-1}AB$

41. 验证 $\det A=\det B+\det C$ ，其中 $A=\left[\begin{array}{cc}a+e& b+f\\ c& d\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}e& f\\ c& d\end{array}\right]$

42. 设 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ , $B=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$，证明 $\det (A+B)=\det A+\det B$，当且仅当 $a+d=0$ .

43. 验证 $\det A=\det B+\det C$ ，其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& u_1+v_1\\ a_{21}& a_{22}& u_2+v_2\\ a_{31}& a_{32}& u_3+v_3\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& u_1\\ a_{21}& a_{22}& u_2\\ a_{31}& a_{32}& u_3\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& v_1\\ a_{21}& a_{22}& v_2\\ a_{31}& a_{32}& v_3\end{array}\right]$

注意 $A$ 与 $B+C$ 并不相同．

44. 矩阵 $A$ 右乘一个初等矩阵 $E$ 对 $A$ 的列的影响与左乘一个初等矩阵对行的影响相同．使用定理5和定理3 ，要求不能使用定理6.$E^{\mathrm{T}}$ 仍为初等矩阵这个明显的事实证明 $\det AE=(\det E)(\det A)$ ，要求不能使用定理6.

45. [$M$]对几个随机选取的 $4\times 5$ 矩阵和 $5\times 6$ 矩阵，计算 $\det A^{\mathrm{T}}A$ 和 $\det A{A}^{\mathrm{T}}$ 。当 $A$ 的列数大于行数时，对 $A^{\mathrm{T}}A$ 和 $A{A}^{\mathrm{T}}$ 会是如何？

46. [$M$]如果 $\det A$ 接近于零，矩阵 $A$ 是接近奇异的吗？用下面接近奇异的 $4\times 4$ 矩阵 $A$ 进行实验．

A = [ r r r r 4 & 0 & - 7 & - 7 - 6 & 1 & 1 1 & 9 7 & - 5 & 1 0 & 1 9 - 1 & 2 & 3 & - 1 ]$$A=\left[\begin{array}{rrrr}4& 0& -7& -7\\ -6& 1& 11& 9\\ 7& -5& 10& 19\\ -1& 2& 3& -1\end{array}\right]$$

计算 $A$，10A，0.1A 的行列式。作为对比，计算这些矩阵的条件数。当 $A$ 为 $4\times 4$ 单位矩阵时，重复这些计算，讨论你的结论。

练习题答案

1. 做行倍加变换，在第一列生成零，接着产生一个零行．

| r r r r 1 & - 3 & 1 & - 2 2 & - 5 & - 1 & - 2 0 & - 4 & 5 & 1 - 3 & 1 0 & - 6 & 8 | = | r r r r 1 & - 3 & 1 & - 2 0 & 1 & - 3 & 2 0 & - 4 & 5 & 1 0 & 1 & - 3 & 2 | = | r r r r 1 & - 3 & 1 & - 2 0 & 1 & - 3 & 2 0 & - 4 & 5 & 1 0 & 0 & 0 & 0 | = 0$$\left|\begin{array}{rrrr}1& -3& 1& -2\\ 2& -5& -1& -2\\ 0& -4& 5& 1\\ -3& 10& -6& 8\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1& -3& 1& -2\\ 0& 1& -3& 2\\ 0& -4& 5& 1\\ 0& 1& -3& 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrrr}1& -3& 1& -2\\ 0& 1& -3& 2\\ 0& -4& 5& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right|=0$$r l 2. det [ boldsymbol v _ 1 boldsymbol v _ 2 boldsymbol v _ 3 ] & = | c c c 5 & - 3 & 2 - 7 & 3 & - 7 9 & - 5 & 5 | = | c c c 5 & - 3 & 2 - 2 & 0 & - 5 9 & - 5 & 5 | & = - (- 3) | c c - 2 & - 5 9 & 5 | - (- 5) | c c 5 & 2 - 2 & - 5 | & = 3 · (3 5) + 5 · (- 2 1) = 0$$\begin{array}{rl}2.\det [{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2{\mathbf{v}}_3]& =\left|\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ -7& 3& -7\\ 9& -5& 5\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}5& -3& 2\\ -2& 0& -5\\ 9& -5& 5\end{array}\right|\\ & =-(-3)\left|\begin{array}{cc}-2& -5\\ 9& 5\end{array}\right|-(-5)\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ -2& -5\end{array}\right|\\ & =3\cdot (35)+5\cdot (-21)=0\end{array}$$

第1行加到第2行

按第2列的余因子展开式

由定理4，矩阵 $[v_1{v}_2{v}_3]$ 不可逆．由可逆矩阵定理，这三列是线性相关的．

3. 由 $\det I=1$ 及定理6， $\det (AA)=(\det A)(\det A)$．可得

1 = det I = det A ^ 2 = det (A A) = (det A) (det A) = (det A) ^ 2$$1=\det I=\det A^2=\det (AA)=(\det A)(\det A)=(\det A{)}^2$$

对上式两边开平方得 $\det A=\pm 1$ .