附录 3-4 三角函数公式与反三角函数 · 《工科数学分析基础（第三版）》

附录 3 常用的三角函数公式

一、三角函数的和差与积的关系式

三角函数的和差化积与积化和差公式在微积分计算、积分变换及级数展开中具有广泛的应用。

积化和差公式（共 4 式）：
$\begin{aligned} 2\sin\alpha\cos\beta &= \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) & (3.1) \\ 2\cos\alpha\sin\beta &= \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) & (3.2) \\ 2\cos\alpha\cos\beta &= \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) & (3.3) \\ -2\sin\alpha\sin\beta &= \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) & (3.4) \end{aligned}$
和差化积公式（共 4 式）：
$\begin{aligned} \sin\alpha + \sin\beta &= 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} & (3.5) \\ \sin\alpha - \sin\beta &= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} & (3.6) \\ \cos\alpha + \cos\beta &= 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} & (3.7) \\ \cos\alpha - \cos\beta &= -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} & (3.8) \end{aligned}$

二、倍角公式与半角公式

半角公式与降幂公式：
$\begin{aligned} \sin^2\alpha &= \frac{1}{2}(1 - \cos 2\alpha) & (3.9) \\ \cos^2\alpha &= \frac{1}{2}(1 + \cos 2\alpha) & (3.10) \end{aligned}$
万能置换公式（通过 $\tan\frac{\alpha}{2}$ 表示三角函数）：
$\begin{aligned} \sin\alpha &= \frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}} & (3.11) \\ \cos\alpha &= \frac{1 - \tan^2\frac{\alpha}{2}}{1 + \tan^2\frac{\alpha}{2}} & (3.12) \end{aligned}$

附录 4 反三角函数定义及其图形

反三角函数是一类基本初等函数，是三角函数中的反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数的统称。

一、反三角的概念与性质

反正弦函数

正弦函数 $y = \sin x$ 在整个定义域区间 $(-\infty, +\infty)$ 上不是单调函数，但是在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是严格单调递增函数，因此在此区间上存在反函数，它的反函数称为反正弦函数，记作 $x = \arcsin y$ 。

习惯上，用 $x$ 表示自变量， $y$ 表示因变量，所以反正弦函数写为 $y = \arcsin x$ ，其定义域为 $x \in [-1, 1]$ ，值域为 $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 。

注意

反正弦函数只对正弦函数 $y = \sin x$ 的 $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 区间成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，称该区间为反正弦函数的主值区间。

反正弦函数的图像和正弦函数在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的图像关于直线 $y = x$ 对称，如图 4.1 所示。

反余弦函数

余弦函数 $y = \cos x$ 限制在 $x \in [0, \pi]$ 上是严格单调减函数，因此在此区间上存在反函数，称为反余弦函数，记为 $y = \arccos x$ ，其中定义域为 $x \in [-1, 1]$ ，值域为 $y \in [0, \pi]$ 。反余弦函数及余弦函数的图像如图 4.2 所示。

y = arcsin x 与 y = sin x 图像 — 图 4.1 与图 4.2 反正弦函数及反余弦函数图像

y = arccos x 与 y = cos x 图像 — 图 4.1 与图 4.2 反正弦函数及反余弦函数图像

反正切函数

正切函数 $y = \tan x$ 限制在 $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上是严格单调增函数，因此在此区间上存在反函数，称为反正切函数，记为 $y = \arctan x$ ，其中定义域为 $x \in (-\infty, +\infty)$ ，值域为 $y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 。

反正切函数的图像如图 4.3 所示。显然，反正切函数有两条渐近线 $y = -\frac{\pi}{2}$ 和 $y = \frac{\pi}{2}$ 。

反余切函数

余切函数 $y = \cot x$ 限制在 $x \in (0, \pi)$ 上是严格单调减函数，因此在此区间上存在反函数，称为反余切函数，记为 $y = \mathrm{arccot}\,x$ ，其定义域为 $x \in (-\infty, +\infty)$ ，值域为 $y \in (0, \pi)$ 。

反余切函数的图像如图 4.4 所示。反余切函数有两条渐近线 $y = 0$ 和 $y = \pi$ 。

y = arctan x 图像 — 图 4.3 与图 4.4 反正切函数及反余切函数图像

y = arccot x 图像 — 图 4.3 与图 4.4 反正切函数及反余切函数图像

反正割函数

正割函数 $y = \sec x$ 限制在 $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 上的反函数称为反正割函数，记为 $y = \operatorname{arcsec} x$ ，其定义域为 $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ ，值域为 $y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ 。反正割函数的图像如图 4.5 中的黑色曲线。

反余割函数

余割函数 $y = \csc x$ 限制在 $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的反函数称为反余割函数，记为 $y = \operatorname{arccsc} x$ ，其定义域为 $x \in (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$ ，值域为 $y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right]$ 。

反余割函数的图像如图 4.5 中的蓝色曲线。

二、反三角函数间的运算关系

余角关系：
$\begin{aligned} \arccos x &= \frac{\pi}{2} - \arcsin x & (4.1) \\ \operatorname{arccot} x &= \frac{\pi}{2} - \arctan x & (4.2) \\ \operatorname{arccsc} x &= \frac{\pi}{2} - \operatorname{arcsec} x & (4.3) \end{aligned}$
负数关系：
$\begin{aligned} \arcsin(-x) &= -\arcsin x & (4.4) \\ \arccos(-x) &= \pi - \arccos x & (4.5) \\ \arctan(-x) &= -\arctan x & (4.6) \\ \operatorname{arccot}(-x) &= \pi - \operatorname{arccot} x & (4.7) \end{aligned}$