附录 1-2 参数表示、极坐标与常见曲线

附录1 函数的参数表示与极坐标表示

一般情况下，我们建立的函数都是在平面直角坐标系下，将因变量 $y$ 直接表示为自变量 $x$ 的函数 $y=f(x)$ 或利用二元方程 $F(x,y)=0$ 来建立（隐函数）。然而在许多实际问题的研究中，有时直接建立 $x$ 与 $y$ 的关系比较困难，而需通过另一变量（称为参变量）来建立变量 $x$ 与 $y$ 间的关系，或者在所谓极坐标系下来建立函数关系更为方便。

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一、函数的参数表示

设质点在平面上做某种运动，根据运动规律，我们可以引入另一变量 $t$，分别建立 $x$ 与 $t$ 以及 $y$ 与 $t$ 的函数关系 $x=x(t),y=y(t)$，而把 $y$ 与 $x$ 间的函数关系通过变量 $t$ 间接地表示为

x = x(t), y = y(t), t ∈ D. (1.1)$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}t\in D.\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

称此式为 $y$ 与 $x$ 函数关系的参数表示式，它也是这个函数所表示曲线的方程，称为此曲线的参数方程。$t$ 称为参变量，也称为参数，$t$ 的取值范围 $D$ 称为参数区间。

旋轮线（摆线）方程

一火车在直线轨道上行驶，若车轮在直线轨道上无滑动地滚动，则称车轮边缘上任一确定点 $P$ 的运动轨迹为旋轮线或摆线。试建立它的方程。

解

选取平面直角坐标系使直线轨道为 $x$ 轴，调整车轮的位置，使运动开始时点 $P$ 正好是车轮与轨道的切点，并取此切点为坐标原点 $O$（图 1.1）。此时，点 $P$ 与点 $O$ 重合，轮心 $C$ 与切点 $P$ 的连线 $CP$ 与轨道垂直。车轮滚动时，点 $P$ 在摆线上运动。当车轮转动了圆心角 $t$，即 $CP$ 与 $CN$ 的夹角为 $t$ 时，点 $P$ 的坐标设为 $(x,y)$。要求摆线的方程，就是要求点 $P$ 的坐标 $x$ 与 $y$ 所满足的关系式。这里要把 $x$ 与 $y$ 直接建立联系是比较困难的，我们把它们通过转角 $t$，在图 1.1 中注意到车轮滚动中，$a$，在图 1.1 中注意到车轮滚动中，$\widehat{ON}$ 的长度等于弧长 $\widehat{NP}$，易见

x &= OM = ON - MN = widehatPN - PQ = at - a sin t, y &= MP = NC - QC = a - a cos t.$$\begin{array}{rl}x& =OM=ON-MN=\widehat{PN}-PQ=at-a\sin t,\\ y& =MP=NC-QC=a-a\cos t.\end{array}$$

图 1.1 旋轮线（摆线）

这样一来，我们通过变量 $t$ 把 $x$ 与 $y$ 联系了起来。从而知方程

x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t), t ∈ (-∞, +∞) (1.2)$$\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t),\\ y=a(1-\cos t),\end{array}t\in (-\infty ,+\infty )\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

就是摆线的参数方程，也就是 $y$ 与 $x$ 函数关系的参数表达式。$t\in [0,2\pi ]$ 对应于摆线的一拱。

椭圆的参数方程

设椭圆的两半轴长分别为 $a$ 与 $b$，求它的参数方程。

解

在平面解析几何中，已知两半轴长分别为 $a$ 与 $b$ 的椭圆标准方程为

(x²)/(a²) + (y²)/(b²) = 1.$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

令

(x²)/(a²) = cos² t,$$\frac{x^2}{a^2}={\cos }^{2}t,$$

从而

(y²)/(b²) = 1 - cos² t = sin² t.$$\frac{y^2}{b^2}=1-{\cos }^{2}t={\sin }^{2}t.$$

于是可得此椭圆的参数方程为

x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π. (1.3)$$\{\begin{array}{l}x=a\cos t,\\ y=b\sin t,\end{array}0\le t\le 2\pi .\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

它也就是椭圆上动点坐标 $y$ 与 $x$ 函数关系的参数表示式。

注意

应当指出，同一条曲线，由于参数选取不同，可以有不同的参数方程。例如，对于圆圆 $x^2+y^2=a^2$，若取参数 $t$ 为圆心角，则它的参数方程为

x = a cos t, y = a sin t, 0 ≤ t ≤ 2π.$$\{\begin{array}{l}x=a\cos t,\\ y=a\sin t,\end{array}0\le t\le 2\pi .$$

若取 $t=x$，则上半圆与下半圆的参数方程分别为

x = t, y = √(a² - t²), (-a ≤ t ≤ a), 和 x = t, y = -√(a² - t²), (-a < t < a).$$\{\begin{array}{l}x=t,\\ y=\sqrt{a^2-t^2},\end{array}(-a\le t\le a),\text{和}\{\begin{array}{l}x=t,\\ y=-\sqrt{a^2-t^2},\end{array}(-a<t<a).$$

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二、函数的极坐标表示

在平面直角坐标系中，我们建立了平面上的点 $P$ 与二元有序数组 $(x,y)$ 之间的一一对应关系。建立这种对应关系的坐标系除了 Descartes 直角坐标系外，还有其他的坐标系，其中常见的是下面讲到的极坐标系。

在平面上取一个定点 $O$，称为极点，从该点引一条具有长度单位的半直线 $Ox$，称为极轴，通常极轴水平向右，与平面直角坐标系中的 $x$ 轴一致，这样就在此平面上建立了极坐标系。

对平面上任意一点 $P$，将线段 $OP$ 的长度记为 $\rho$，称为极径，从极轴 $Ox$ 开始按逆时针方向旋转到射线 $OP$ 的转角记作 $\phi$，称为极角。如果点 $P$ 就是极点 $O$，则其极径 $\rho =0$，极角 $\phi$ 可以取任意值。如果限制 $\phi \in [0,2\pi ),\rho \ge 0$，那么除极点外，平面上任一点 $P$ 便有唯一的有序数组 $(\rho ,\phi )$ 与之对应；反之，任给一数组 $(\rho ,\phi )$，以 $\phi$ 为极角，$\rho$ 为极径，必有唯一的点与之对应。因此，我们把 $(\rho ,\phi )$ 称为点 $P$ 的极坐标。规定从极轴 $Ox$ 出发按逆时针方向旋转到射线 $OP$ 的角 $\phi$ 取正值，而按顺时针旋转时 $\phi$ 取负值。有时为了方便，也可将 $\phi$ 限制在 $[-\pi ,\pi ]$。例如，点 $P\left(1,\frac{5}{4}\pi \right)$ 有时也可表示为 $\left(1,-\frac{3}{4}\pi \right)$（如图 1.2）。

图 1.2

在极坐标系中，$\rho =a$（常数）是一个方程，满足该方程的所有点到极点 $O$ 的距离都等于常数 $a$，而极角 $\phi$ 可以取 $[0,2\pi )$ 上的任一值，因此 $\rho =a$ 表示圆心在极点 $O$，半径为 $a$ 的圆周；类似分析，$\phi =b$ 表示从极点出发、转角为 $b$ 的射线（如图 1.3）。

图 1.3

以极点 $O$ 为原点，极轴 $Ox$ 为 $x$ 轴正向，建立平面直角坐标系 $xOy$，则平面上的点 $P$ 同时具有直角坐标 $(x,y)$ 和极坐标 $(\rho ,\phi )$，且它们具有如下关系（图 1.4）：

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, 或 ρ = √(x² + y²), tan φ = y/x. (1.4)$$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \phi ,\\ y=\rho \sin \phi ,\end{array}\text{或}\{\begin{array}{l}\rho =\sqrt{x^2+y^2},\\ \tan \phi =\frac{y}{x}.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

图 1.4

该式称为直角坐标与极坐标的转换公式。在以后应用中，我们可以根据需要，把在直角坐标系下给出的函数关系或方程转换为极坐标形式，也可把极坐标系下给出的函数关系或方程转化为直角坐标形式。

方程转换与双纽线草图

将方程 $(x^2+y^2{)}^2=2a^2(x^2-y^2)$ 转换为极坐标方程，并作出它的草图。

解

将直角坐标与极坐标的转换公式代入方程，得

ρ⁴ = 2a² ρ²(cos² φ - sin² φ),$${\rho }^4=2a^2{\rho }^2({\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi ),$$

即

ρ² = 2a² cos 2φ. (1.5)$${\rho }^2=2a^2\cos 2\phi .\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

在上面的方程中，由于 $\cos 2\phi$ 关于 $\phi$ 是偶函数，故此方程的图像关于极轴对称；又由于将 $\phi$ 换成 $\phi +\pi$ 后方程不改变，所以图像也关于极点对称。因此，我们只需要使用类似于直角坐标系中的描点法画出该方程在 $xOy$ 平面第一象限 $\{(\rho ,\phi )\mid \rho \ge 0,0\le \phi \le \frac{\pi }{2}\}$ 中的图像，由对称性便可得到整个图像。由该方程容易算出下列数据：

$\phi$	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$
$\rho$	$\sqrt{2}a$	$a$	$0$	无实根

对于表中 $(\rho ,\phi )$ 的每组数据，在平面上确定对应的点，用曲线连接，不难画出第一象限中的图像，再由对称性便得到方程的图像如图 1.5 所示。此曲线称为双纽线。

图 1.5 双纽线

例 1.4 极坐标下的函数关系与作图

将由极坐标给出的函数关系

ρ = 2a cos φ, -(π)/(2) ≤ φ ≤ (π)/(2)$$\rho =2a\cos \phi ,-\frac{\pi }{2}\le \phi \le \frac{\pi }{2}$$

转换成直角坐标，并作图。

解

由直角坐标与极坐标的转换公式 $\rho =\sqrt{x^2+y^2},x=\rho \cos \phi$，两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=2a\rho \cos \phi$，代入得

$x^2+y^2=2ax,\text{即}(x-a{)}^2+y^2=a^2.$

此方程表示以 $(a,0)$ 为圆心、$a$ 为半径的圆周。

附录 2 常见曲线及其方程

本附录系统整理了工科数学分析与高等数学中常见的平面曲线，涵盖幂函数、多项式、三角与反三角函数、超越函数、摆线族、螺线族、玫瑰线族以及各类著名几何曲线。各类曲线分别给出其直角坐标方程、参数方程或极坐标方程及典型特征图形。

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一、 初等代数、指数与对数曲线

1. 幂函数

曲线方程：$y=x^{\alpha }(\alpha \text{ 是常数},\alpha \ge 0,-\infty <x<++\infty ;\alpha <0,-\infty <x<+\infty \text{ 且 }x\ne 0)$

图 1：幂函数曲线群 ($y=x^2,y=x,y=x^{1/2},y=x^3,y=x^{-1}$)

2. 指数函数

曲线方程：$y=a^x(a>0,a\ne 1),(-\infty <x<+\infty )$

图 2：指数函数曲线 ($a>1$ 与 $0<a<1$)

3. 对数函数

曲线方程：$y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1),(x>0)$

图 3：对数函数曲线 ($a>1$ 与 $0<a<1$)

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二、 三角函数与反三角函数曲线

4. 正弦函数

曲线方程：$y=\sin x(-\infty <x<+\infty )$

图 4：正弦曲线

5. 余弦函数

曲线方程：$y=\cos x(-\infty <x<+\infty )$

图 5：余弦曲线

6. 正切函数

曲线方程：$y=\tan x\left(x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)$

图 6：正切曲线

7. 余切函数

曲线方程：$y=\cot x(x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

图 7：余切曲线

8. 正割函数

曲线方程：$y=\sec x=\frac{1}{\cos x}\left(x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)$

图 8：正割曲线

9. 余割函数

曲线方程：$y=\csc x=\frac{1}{\sin x}(x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z})$

图 9：余割曲线

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三、 代数曲线与超越曲线（续）

10. 半立方抛物线（Neil抛物线）

曲线方程：$y^2=a{x}^3(a>0)$

图 10：半立方抛物线

11. 箕舌线（Witch of Agnesi）

曲线方程：$y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}$

图 11：箕舌线

12. 概率曲线（高斯曲线）

曲线方程：$y=e^{-x^2}$

图 12：概率曲线

13. 悬链线（Catenary）

曲线方程：$y=\frac{a}{2}\left(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right)=a\cosh \frac{x}{a}$

图 13：悬链线

14. 摆线（Cycloid）

参数方程：

x = a(θ - sin θ) y = a(1 - cos θ)$$\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )\end{array}$$

直角坐标方程：

x = a arccos (a-y)/(a) ∓ √(2ay - y²)$$x=a\arccos \frac{a-y}{a}\mp \sqrt{2ay-y^2}$$

图 14：摆线及其生成几何

15. 蔓叶线（Cissoid of Diocles）

直角坐标方程：$y^2(2a-x)=x^3$

图 15：蔓叶线

16. 星形线（Astroide）

参数方程：

x = a cos³ θ y = a sin³ θ$$\{\begin{array}{l}x=a{\cos }^3\theta \\ y=a{\sin }^3\theta \end{array}$$

直角坐标方程：$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$

图 16：星形线

17. 心形线（Cardioid）

极坐标方程：$\rho =a(1-\cos \theta )$ 直角坐标方程：$(x^2+y^2+ax{)}^2=a^2(x^2+y^2)$

图 17：心形线

18. 笛卡儿叶形线（Folium of Descartes）

直角坐标方程：$x^3+y^3-3axy=0$

图 18：笛卡儿叶形线

19. 一般抛物线

曲线方程：$x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{1}{2}}$

图 19：根式抛物线

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四、 螺线与玫瑰线族

20. 阿基米德螺线（Archimedean Spiral）

极坐标方程：$\rho =a\theta$

图 20：阿基米德螺线

21. 对数螺线（Logarithmic Spiral）

极坐标方程：$\rho =e^{a\theta }$

图 21：对数螺线

22. 双曲螺线（Hyperbolic Spiral）

极坐标方程：$\rho \theta =a$

图 22：双曲螺线

23. 对称双纽线（Lemniscate of Bernoulli）

极坐标方程：${\rho }^2=a^2\cos 2\theta$ 直角坐标方程：$(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2)$

图 23：伯努利双纽线（余弦型）

24. 另一类双纽线

极坐标方程：${\rho }^2=a^2\sin 2\theta$ 直角坐标方程：$(x^2+y^2{)}^2=2a^{2}xy$

图 24：双纽线（正弦型）

25. 三叶玫瑰线（余弦型）

极坐标方程：$\rho =a\cos 3\theta$

图 25：三叶玫瑰线 ($\rho =a\cos 3\theta$)

26. 三叶玫瑰线（正弦型）

极坐标方程：$\rho =a\sin 3\theta$

图 26：三叶玫瑰线 ($\rho =a\sin 3\theta$)