6.6 第一型线积分与面积分

6.1 第一型线积分

在本书第一章中，我们已经通过极限定义给出了点函数 $f(M)$ 在形体 $(\Omega )$ 上积分的定义。当 $(\Omega )$ 是平面或空间的可求长曲线段 $(C)$ 时，相应的积分就分别为平面或空间曲线积分，即：

∫_((C)) f(x, y) ds = lim_(d → 0) ∑ₖ=1ⁿ f(ξₖ, ηₖ) Δ sₖ,$${\int }_{(C)}f(x,y)\mathrm{d}s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)\Delta s_k,$$

或

∫_((C)) f(x, y, z) ds = lim_(d → 0) ∑ₖ=1ⁿ f(ξₖ, ηₖ, ζₖ) Δ sₖ. (6.1)$${\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta s_k.\text{\hspace{1em}(6.1)}$$

这里弧段 $\Delta s_k$ 始终是正的，换句话说，曲线积分的值与积分路径 $(C)$ 的方向无关，我们把这种曲线积分称为对弧长的线积分，也称为第一型线积分。

第一型线积分的计算公式

设有有一界的简单光滑空间曲线 $(C)$，其参数方程为

x = x(t), y = y(t), z = z(t) (α ≤slant t ≤slant β). (6.2)$$x=x(t),y=y(t),z=z(t)(\alpha ⩽t⩽\beta ).\text{\hspace{1em}(6.2)}$$

若函数 $f(x,y,z)$ 在 $(C)$ 上连续，则

∫_((C)) f(x, y, z) ds = ∫_(α)^(β) f[x(t), y(t), z(t)] sqrtdotx²(t) + doty²(t) + dotz²(t) dt. (6.3)$${\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}\mathrm{d}t.\text{\hspace{1em}(6.3)}$$

证明

把区间 $[\alpha ,\beta ]$ 任意划分：

α = t₀ < t₁ < t₂ < … < tₙ = β,$$\alpha =t_0<t_1<t_2<\cdots <t_n=\beta ,$$

曲线 $(C)$ 相应地被分割成 $n$ 个小弧段，设 $[t_{k-1},t_k]$ 对应的小弧段为 $(\Delta s_k)$，其弧长为 $\Delta s_k$。由弧长的计算公式可知：

Δ sₖ = ∫ₜₖ-1^(tₖ sqrtdotx)²(t) + doty²(t) + dotz²(t) dt.$$\Delta s_k={\int }_{t_{k-1}}^{t_k}\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}\mathrm{d}t.$$

由于曲线 $(C)$ 光滑，故被积函数 $\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}$ 连续，应用积分中值定理，得

Δ sₖ = sqrtdotx²(τₖ) + doty²(τₖ) + dotz²(τₖ) Δ tₖ, tₖ-1 ≤slant τₖ ≤slant tₖ. (6.4)$$\Delta s_k=\sqrt{{\dot{x}}^2({\tau }_k)+{\dot{y}}^2({\tau }_k)+{\dot{z}}^2({\tau }_k)}\Delta t_k,t_{k-1}⩽{\tau }_k⩽t_k.\text{\hspace{1em}(6.4)}$$

令

x(τₖ) = ξₖ, y(τₖ) = ηₖ, z(τₖ) = ζₖ. (6.5)$$x({\tau }_k)={\xi }_k,y({\tau }_k)={\eta }_k,z({\tau }_k)={\zeta }_k.\text{\hspace{1em}(6.5)}$$

显然，点 $M_k({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)$ 应位于小弧段 $(\Delta s_k)$ 上，作和式

∑ₖ=1ⁿ f(ξₖ, ηₖ, ζₖ) Δ sₖ = ∑ₖ=1ⁿ f[x(τₖ), y(τₖ), z(τₖ)] sqrtdotx²(τₖ) + doty²(τₖ) + dotz²(τₖ) Δ tₖ. (6.6)$$\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k,{\zeta }_k)\Delta s_k=\sum _{k=1}^{n}f[x({\tau }_k),y({\tau }_k),z({\tau }_k)]\sqrt{{\dot{x}}^2({\tau }_k)+{\dot{y}}^2({\tau }_k)+{\dot{z}}^2({\tau }_k)}\Delta t_k.\text{\hspace{1em}(6.6)}$$

由于被积函数 $f$ 在积分路径 $(C)$ 上连续，故第一型线积分 ${\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s$ 存在，即无论对 $(C)$ 如何划分，无论点 $M_k$ 在 $(\Delta s_k)$ 上如何选取，当 $(\Delta s_k)(k=1,2,\dots )$ 的直径的最大者 $d\to 0$ 时，(6.6) 式左端和右端都趋于同一值。因此对用 (6.5) 式特别选取的点 $M_k$，也必有

∫_((C)) f(x, y, z) ds = lim_(d → 0) ∑ₖ=1ⁿ f[x(τₖ), y(τₖ), z(τₖ)] sqrtdotx²(τₖ) + doty²(τₖ) + dotz²(τₖ) Δ tₖ.$${\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s=\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f[x({\tau }_k),y({\tau }_k),z({\tau }_k)]\sqrt{{\dot{x}}^2({\tau }_k)+{\dot{y}}^2({\tau }_k)+{\dot{z}}^2({\tau }_k)}\Delta t_k.$$

另一方面，由于 $f[x(t),y(t),z(t)]\cdot \sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上连续，由定积分的定义和存在定理可知

lim_(d → 0) ∑ₖ=1ⁿ f[x(τₖ), y(τₖ), z(τₖ)] · sqrtdotx²(τₖ) + doty²(τₖ) + dotz²(τₖ) Δ tₖ = ∫_(α)^(β) f[x(t), y(t), z(t)] sqrtdotx²(t) + doty²(t) + dotz²(t) dt.$$\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f[x({\tau }_k),y({\tau }_k),z({\tau }_k)]\cdot \sqrt{{\dot{x}}^2({\tau }_k)+{\dot{y}}^2({\tau }_k)+{\dot{z}}^2({\tau }_k)}\Delta t_k={\int }_{\alpha }^{\beta }f[x(t),y(t),z(t)]\sqrt{{\dot{x}}^2(t)+{\dot{y}}^2(t)+{\dot{z}}^2(t)}\mathrm{d}t.$$

所以公式 (6.3) 成立。

注意

公式 (6.3) 表明，在计算第一型线积分 ${\int }_{(C)}f(x,y,z)\mathrm{d}s$ 时，可以把弧微元 $\mathrm{d}s$ 看作弧微分，把弧微分公式与积分路径 $(C)$ 的参数方程代入被积表达式，然后去计算所得的定积分即可。由于弧长 $\Delta s_k$ 总是正的，所以定积分的上限必须大于下限。

例 6.1 计算线积分 $I = \int_{(C)} (x^2 + y^2 + z^2) \mathrm{d}s$

其中 $(C)$ 为螺旋线 $x=a\cos t,y=a\sin t,z=kt$ 上相应于 $0⩽t⩽2\pi$ 的一段弧。

解

由公式 (6.3) 得

I = ∫₀²π (a² + k² t²) √(a² + k²) dt = 2/3 π √(a² + k²) (3a² + 4π² k²).$$I={\int }_0^{2\pi }(a^2+k^2{t}^2)\sqrt{a^2+k^2}\mathrm{d}t=\frac{2}{3}\pi \sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4{\pi }^2{k}^2).$$

例 6.2 求 $I = \int_{(C)} y \mathrm{d}s$

其中 $(C)$ 为抛物线 $y^2=2x$ 上介于 $(2,-2)$ 与 $(2,2)$ 两点间的线段。

解

$I$ 是平面上的第一型线积分，选择 $y$ 为积分变量，把积分路径的方程 $y^2=2x$ 看作是以 $y$ 为参数的参数方程：$x=\frac{1}{2}{y}^2,y=y$。由公式 (6.3) 得

I = ∫_(-2)² y √(1 + ((dx)/(dy))²) dy = ∫_(-2)² y √(1 + y²) dy = 0.$$I={\int }_{-2}^{2}y\sqrt{1+{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}\right)}^2}\mathrm{d}y={\int }_{-2}^{2}y\sqrt{1+y^2}\mathrm{d}y=0.$$

注意

实际上，注意到积分路径 $(C)$ 是关于 $x$ 轴对称的，而被积函数又是 $y$ 的奇函数，即刻可知中线积分之值为零。

例 6.3 计算线积分 $I = \oint_{(C)} (x^2 + y^2 + 2z) \mathrm{d}s$

其中 $(C)$ 为：

x² + y² + z² = a² x + y + z = 0$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=a^2\\ x+y+z=0\end{array}$$

解

由于曲线 $(C)$ 的方程具有轮换对称性，故

oint_((C)) x² ds = oint_((C)) y² ds = oint_((C)) z² ds,$${\oint }_{(C)}{x}^2\mathrm{d}s={\oint }_{(C)}{y}^2\mathrm{d}s={\oint }_{(C)}{z}^2\mathrm{d}s,$$

从而

oint_((C)) (x² + y²) ds = 2/3 oint_((C)) (x² + y² + z²) ds = 2/3 oint_((C)) a² ds = 2/3 a² · 2π a = 4/3 π a³.$${\oint }_{(C)}(x^2+y^2)\mathrm{d}s=\frac{2}{3}{\oint }_{(C)}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}s=\frac{2}{3}{\oint }_{(C)}{a}^2\mathrm{d}s=\frac{2}{3}{a}^2\cdot 2\pi a=\frac{4}{3}\pi a^3.$$

又由于 $(C)$ 关于坐标原点对称，而 ${\oint }_{(C)}2z\mathrm{d}s$ 中的被积函数关于 $x,y$ 和 $z$ 为奇函数，故

oint_((C)) 2z ds = 0,$${\oint }_{(C)}2z\mathrm{d}s=0,$$

于是

I = 4/3 π a³.$$I=\frac{4}{3}\pi a^3.$$

注意

对于第一型线积分，与重积分类似，同样可利用对称性简化其计算。

例 6.4 (柱面的侧面积)

设椭圆柱面 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1$ 被平面 $z=y$ 与 $z=0$ 所截，位于第一、二卦限内所截下部分的侧面积 $A$（图 6.44）。

图 6.44 椭圆柱面侧面积示意图

解

此椭圆柱面的准线是 $xOy$ 平面上的半个椭圆 $(C)$：

(x²)/(5) + (y²)/(9) = 1 (y ≥slant 0).$$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{9}=1(y⩾0).$$

对 $(C)$ 进行划分，运用积分的微元法，在弧微元 $\mathrm{d}s$ 上的一小片柱面面积可近似地看作是以 $\mathrm{d}s$ 为底，以截线 $L$ 上点 $M$ 的竖坐标 $z=y$ 为高的长方形面积，从而得到侧面积微元

dA = y ds,$$\mathrm{d}A=y\mathrm{d}s,$$

于是所求侧面积为

A = ∫_((C)) y ds.$$A={\int }_{(C)}y\mathrm{d}s.$$

把 $(C)$ 的方程化成参数方程

x = √(5) cos t, y = 3 sin t (0 ≤slant t ≤slant π),$$x=\sqrt{5}\cos t,y=3\sin t(0⩽t⩽\pi ),$$

所以

A = ∫_((C)) y ds = ∫₀^(π) 3 sin t √(5 sin² t + 9 cos² t) dt = -3 ∫₀^(π) √(5 + 4 cos² t) d(cos t) = 9 + (15)/(4) ln 5.$$A={\int }_{(C)}y\mathrm{d}s={\int }_0^{\pi }3\sin t\sqrt{5{\sin }^{2}t+9{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t=-3{\int }_0^{\pi }\sqrt{5+4{\cos }^{2}t}\mathrm{d}(\cos t)=9+\frac{15}{4}\ln 5.$$

注意

这里 $\mathrm{d}s$ 可通过 $(C)$ 的参数方程计算弧微分得到：$\mathrm{d}s=\sqrt{R^2(-\sin \theta {)}^2+R^2{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta =R\mathrm{d}\theta$，也可以更简单地利用求圆弧的公式直接从图 6.45 得到。

例 6.5 计算半圆形金属丝的质心与转动惯量

设有半圆形的金属丝，物质均匀分布，求它的质心和对直径的转动惯量。

图 6.45 半圆形金属丝几何模型

解

选取坐标系如图 6.45 所示。设圆半径为 $R$，金属丝线密度为 $\mu$，由对称性可知质心的横坐标 $\bar{x}=0$。任意划分半圆弧 $(C)$，易见，弧微元 $\mathrm{d}s$ 所对应的金属丝对 $x$ 轴的静矩微元为

dMₓ = y dm = μ y ds,$$\mathrm{d}{M}_x=y\mathrm{d}m=\mu y\mathrm{d}s,$$

从而

Mₓ = ∫_((C)) μ y ds.$$M_x={\int }_{(C)}\mu y\mathrm{d}s.$$

$(C)$ 以极角 $\theta$ 为参数的参数方程为

x = R cos θ, y = R sin θ (0 ≤slant θ ≤slant π),$$x=R\cos \theta ,y=R\sin \theta (0⩽\theta ⩽\pi ),$$

于是

Mₓ = μ ∫₀^(π) R² sin θ dθ = 2μ R².$$M_x=\mu {\int }_0^{\pi }{R}^2\sin \theta \mathrm{d}\theta =2\mu R^2.$$

半圆的质量显然为 $m=\pi R\mu$，所以质心的纵坐标为

bary = (Mₓ)/(m) = (2μ R²)/(π R μ) = (2R)/(π).$$\bar{y}=\frac{M_x}{m}=\frac{2\mu R^2}{\pi R\mu }=\frac{2R}{\pi }.$$

$\mathrm{d}s$ 段金属丝对直径（即 $x$ 轴）的转动惯量，即转动惯量微元为

dIₓ = y² dm = μ y² ds,$$\mathrm{d}{I}_x=y^2\mathrm{d}m=\mu y^2\mathrm{d}s,$$

从而金属丝对其直径的转动惯量为

Iₓ = μ ∫_((C)) y² ds = μ ∫₀^(π) R³ sin² θ dθ = (μ π R³)/(2) = m/2 R²,$$I_x=\mu {\int }_{(C)}{y}^2\mathrm{d}s=\mu {\int }_0^{\pi }{R}^3{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta =\frac{\mu \pi R^3}{2}=\frac{m}{2}{R}^2,$$

其中 $m=\mu \pi R$ 是金属丝的质量。

6.2 第一型面积分

正像线积分要以弧长为基础一样，面积积分需要以曲面积为基础。

1. 曲面的面积

设在 ${\mathbf{R}}^3$ 空间有一曲面 $(S)$，其参数方程为

r = r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ (σ) ⊆ R². (6.7)$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),(u,v)\in (\sigma )\subseteq {\mathbf{R}}^2.\text{\hspace{1em}(6.7)}$$

从几何上看，曲面 $(S)$ 是 $uOv$ 参数平面上的区域 $(\sigma )$ 在映射 $\mathbf{r}$ 下的像。

我们用微元法来讨论曲面的面积。设向量值函数 $\mathbf{r}(u,v)$ 在 $(\sigma )$ 上连续可微，且 ${\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\ne 0$。

在 $uOv$ 参数平面上，用坐标线 $u=c_1$ 和 $v=c_2$ 把域 $(\sigma )$ 划分成若干小矩形，考察其中一个以点 $M(u,v),M_1(u+\Delta u,v),M_2(u+\Delta u,v+\Delta v),M_3(u,v+\Delta v)$ 为顶点的小矩形 $(\Delta \sigma )(\Delta u>0,\Delta v>0)$（图 6.46($a$)）。设在映射 $\mathbf{r}$ 下，$M,M_1,M_2,M_3$ 的像点分别为曲面 $S$ 上的点 $P,P_1,P_2,P_3$，于是映射 $\mathbf{r}$ 把 $(\Delta \sigma )$ 映射成由曲面上的曲边四边形 $P{P}_1{P}_2{P}_3$（图 6.46($(\Delta S)$（图 6.46($b$)）。容易看出，向量

overrightarrowPP₁ = r(u + Δ u, v) - r(u, v) = rᵤ Δ u + o(ρ) ≈ rᵤ Δ u,$$\overrightarrow{P{P}_1}=\mathbf{r}(u+\Delta u,v)-\mathbf{r}(u,v)={\mathbf{r}}_u\Delta u+o(\rho )\approx {\mathbf{r}}_u\Delta u,$$ overrightarrowPP₃ = r(u, v + Δ v) - r(u, v) = rᵥ Δ v + o(ρ) ≈ rᵥ Δ v,$$\overrightarrow{P{P}_3}=\mathbf{r}(u,v+\Delta v)-\mathbf{r}(u,v)={\mathbf{r}}_v\Delta v+o(\rho )\approx {\mathbf{r}}_v\Delta v,$$

其中 $\rho =\sqrt{\Delta u^2+\Delta v^2}$。${\mathbf{r}}_u\Delta u$ 与 ${\mathbf{r}}_v\Delta v$ 分别为曲面 $S$ 经过点 $P(u,v)$ 的弧段 $\overrightarrow{P{P}_1}$ 和弧段 $\overrightarrow{P{P}_3}$ 相应的切向量，它们都位于曲面 $S$ 在点 $P$ 的切平面上。当 $\Delta u$ 与 $\Delta v$ 都很小时，此两切向量为邻边所构成的平行四边形面积显然可作为 $(\Delta S)$ 面积 $\Delta S$ 的近似值，即

Δ S ≈ |rᵤ Δ u × rᵥ Δ v| = |rᵤ × rᵥ| Δ u Δ v.$$\Delta S\approx \Vert {\mathbf{r}}_u\Delta u\times {\mathbf{r}}_v\Delta v\Vert =\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \Delta u\Delta v.$$

由此可知曲面积微元

dS = |rᵤ × rᵥ| du dv, (6.8)$$\mathrm{d}S=\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v,\text{\hspace{1em}(6.8)}$$

从而曲面 $(S)$ 的面积为

S = iint_((σ)) |rᵤ × rᵥ| du dv. (6.9)$$S={\iint }_{(\sigma )}\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v.\text{\hspace{1em}(6.9)}$$

图 6.46 参数平面区域与曲面微元映射关系

注意

所设条件保证了在 $(\sigma )$ 上曲面 $S$ 的光滑性，即有连续转动的切平面；同时，也保证了 ${\mathbf{r}}_u$ 与 ${\mathbf{r}}_v$ 均在 $(\sigma )$ 上是处处非零的向量。

例 6.6 求半径为 $a$ 的球面面积

解

由第五章例6.6 可知，此球面的参数方程为

r(φ, θ) = (a sin φ cos θ, a sin φ sin θ, a cos φ), (φ, θ) ∈ D = [0, π] × [0, 2π].$$\mathbf{r}(\phi ,\theta )=(a\sin \phi \cos \theta ,a\sin \phi \sin \theta ,a\cos \phi ),(\phi ,\theta )\in D=[0,\pi ]\times [0,2\pi ].$$

由于

r_φ = (a cos φ cos θ, a cos φ sin θ, -a sin φ),$${\mathbf{r}}_{\phi }=(a\cos \phi \cos \theta ,a\cos \phi \sin \theta ,-a\sin \phi ),$$r_θ = (-a sin φ sin θ, a sin φ cos θ, 0).$${\mathbf{r}}_{\theta }=(-a\sin \phi \sin \theta ,a\sin \phi \cos \theta ,0).$$

经计算可知

|r_φ × r_θ| = a² sin φ.$$\Vert {\mathbf{r}}_{\phi }\times {\mathbf{r}}_{\theta }\Vert =a^2\sin \phi .$$

于是由公式 (6.9) 可知

S = iint_((σ)) a² sin φ dφ dθ = ∫₀²π dθ ∫₀^(π) a² sin φ dφ = 4π a².$$S={\iint }_{(\sigma )}{a}^2\sin \phi \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta ={\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\pi }{a}^2\sin \phi \mathrm{d}\phi =4\pi a^2.$$

数字资源 6.6.1曲面积微元与微分的关系 ↗

若曲面 $S$ 的方程由直角坐标给出：$z=z(x,y),(x,y)\in (\sigma )$，将 $x$ 与 $y$ 视为参数，此曲面的向量方程可写成

r = r(x, y) = (x, y, f(x, y)),$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)),$$

从而

rₓ = (1, 0, fₓ), r_y = (0, 1, f_y),$${\mathbf{r}}_x=(1,0,f_x),{\mathbf{r}}_y=(0,1,f_y),$$

而

dS = |rₓ × r_y| dx dy = | i & j & k 1 & 0 & fₓ 0 & 1 & f_y | dx dy = √(1 + fₓ² + f_y²) dx dy, (6.10)$$\mathrm{d}S=\Vert {\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y\Vert \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\Vert \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 0& f_x\\ 0& 1& f_y\end{array}\right|\Vert \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\text{\hspace{1em}(6.10)}$$

代入公式 (6.9)，得

S = iint_((σ)) |rₓ × r_y| dx dy = iint_((σ)) √(1 + fₓ² + f_y²) dx dy. (6.11)$$S={\iint }_{(\sigma )}\Vert {\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y\Vert \mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_{(\sigma )}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\text{\hspace{1em}(6.11)}$$

注意

注意到 $\mathbf{n}={\mathbf{r}}_x\times {\mathbf{r}}_y=-f_x\mathbf{i}-f_y\mathbf{j}+\mathbf{k}$ 是曲面 $(S)$ 在点 $P_0$ 处的一个法向量，它的第三方向余弦为

cos γ = (1)/(√(1 + fₓ² + f_y²)),$$\cos \gamma =\frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}},$$

其中 $\gamma$ 是 $\mathbf{n}$ 与 $z$ 轴的夹角，于是由 (6.10) 式可知

dS · (1)/(√(1 + fₓ² + f_y²)) = dS · cos γ = dx dy = dσₓy. (6.12)$$\mathrm{d}S\cdot \frac{1}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}=\mathrm{d}S\cdot \cos \gamma =\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\mathrm{d}{\sigma }_{xy}.\text{\hspace{1em}(6.12)}$$

所以，我们说面积微元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y(=\mathrm{d}{\sigma }_{xy})$ 就是曲面面积微元 $\mathrm{d}S$ 在 $xOy$ 坐标面上的投影。或者说，曲面面积微元 $\mathrm{d}S$ 是位于曲面 $S$ 的切平面上，且它在 $xOy$ 平面上的投影为 $\mathrm{d}{\sigma }_{xy}$ 的那一块面积。

注意

公式 (6.11) 仅适用于由函数 $z=f(x,y)$ 表示的曲面，即这时曲面在 $({\sigma }_{xy})$ 上关于 $z$ 是单值的。而公式 (6.9) 所适用的曲面具有一般性。

当曲面 $S$ 可用方程

y=f(z,x), (z,x) ∈ (σₓz) 或 x=f(y,z), (y,z) ∈ (σ_(yz))$$y=f(z,x),(z,x)\in ({\sigma }_{xz})\text{或}x=f(y,z),(y,z)\in ({\sigma }_{yz})$$

表示时，相应的曲面面积公式分别为

S = iint_((σₓz)) √(1+f_z²+fₓ²) dzdx 或 S = iint_((σ_yz)) √(1+f_y²+f_z²) dydz (6.13)$$S={\iint }_{({\sigma }_{xz})}\sqrt{1+f_z^2+f_x^2}\mathrm{d}z\mathrm{d}x\text{或}S={\iint }_{({\sigma }_{yz})}\sqrt{1+f_y^2+f_z^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}z\text{\hspace{1em}(6.13)}$$

例 6.7 求圆柱面面积

求圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ 在第一卦限中被平面 $z=0,z=mx(m>0),x=b(b<a)$ 所截下部分的面积（图 6.47）。

图 6.47 圆柱面截取部分的几何示意图

解

将所求部分曲面向 $xOz$ 平面投影，曲面的方程可写成

y = √(a²-x²), (x,z) ∈ (σ),$$y=\sqrt{a^2-x^2},(x,z)\in (\sigma ),$$

其中 $(\sigma )=\{(x,z)\mid 0\le x\le b,0\le z\le mx\}$。于是

√(1+yₓ²+y_z²) = √(1 + ( (-x)/(y) )²) = a(a²-x²)⁻1/2,$$\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{-x}{y}\right)}^2}=a(a^2-x^2{)}^{-1/2},$$

从而由公式 (6.13)，得

S &= iint_((σ)) a(a²-x²)⁻1/2 dzdx = ∫₀^b dx ∫₀^(mx) a(a²-x²)⁻1/2 dz &= ∫₀^b amx(a²-x²)⁻1/2 dx = a²m - am√(a²-b²).$$\begin{array}{rl}S& ={\iint }_{(\sigma )}a(a^2-x^2{)}^{-1/2}\mathrm{d}z\mathrm{d}x={\int }_0^b\mathrm{d}x{\int }_0^{mx}a(a^2-x^2{)}^{-1/2}\mathrm{d}z\\ & ={\int }_0^{b}amx(a^2-x^2{)}^{-1/2}\mathrm{d}x=a^{2}m-am\sqrt{a^2-b^2}.\end{array}$$

2. 第一型面积积分的计算

第一型面积积分的定义

用类似于第一型线积分计算公式的证明方法，可以证明：如果 $f(x,y,z)$ 在有界光滑曲面 $(S)$ 上连续，$(S)$ 的方程为

r = r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k, (u,v) ∈ (σ),$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)=x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k},(u,v)\in (\sigma ),$$

那么 $f$ 在 $(S)$ 上的第一型面积积分的计算公式为

iint_((S)) f(x,y,z) dS = iint_((σ)) f[x(u,v), y(u,v), z(u,v)] |rᵤ × rᵥ| dudv (6.14)$${\iint }_{(S)}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{(\sigma )}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v\text{\hspace{1em}(6.14)}$$

几何解释

容易看出当曲面 $(S)$ 是坐标平面上的一块平面时，第一型的积分就退化为二重积分。

思路分析

与第一型线积分类似，第一型面积积分定义中的 $\mathrm{d}S$ 最初只是一个记号，并没有明确的含义。仅当导出了计算公式 (6.14) 之后，才看到可以把 $\mathrm{d}S$ 看作是曲面面积微元，即 $\mathrm{d}S=\Vert {\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\Vert \mathrm{d}u\mathrm{d}v$。

公式 (6.14) 可以这样理解：由于被积函数 $f$ 沿曲面 $(S)$ 变化，因而积分变量 $x,y,z$ 应受曲面 $(S)$ 方程的约束。把 $\mathrm{d}S$ 视为曲面面积微元，将曲面参数方程 (6.7) 与微元表达式 (6.8) 代入 (6.14) 式的左端，注意到当点 $(x,y,z)$ 在 $(S)$ 上变化时，参数 $(u,v)$ 相应变化区域为 $(\sigma )$，便可得到公式 (6.14) 的右端。

若 $(S)$ 的方程为 $z=z(x,y),(x,y)\in (\sigma )$，则 (6.14) 式可写成

iint_((S)) f(x,y,z) dS = iint_((σ)) f[x, y, z(x,y)] √(1+zₓ²+z_y²) dxdy (6.15)$${\iint }_{(S)}f(x,y,z)\mathrm{d}S={\iint }_{(\sigma )}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\text{\hspace{1em}(6.15)}$$

例 6.8 计算 $\iint_{(S)} z \mathrm{d}S$

其中曲面 $(S)$ 是圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 上于平面 $z=1$ 与 $z=2$ 间的部分。

解

容易看出曲面 $(S)$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域为

(σ) = { (x,y) | 1 ≤ x²+y² ≤ 4 },$$(\sigma )=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 4\},$$

于是由公式 (6.15) 可知

iint_((S)) z dS &= iint_((σ)) √(x²+y²) √(1 + (x²)/(x²+y²) + (y²)/(x²+y²)) dxdy &= √(2) iint_((σ)) ρ · ρ dρ dθ = √(2) ∫₀²π dθ ∫₁² ρ² dρ = (14)/(3)√(2)π.$$\begin{array}{rl}{\iint }_{(S)}z\mathrm{d}S& ={\iint }_{(\sigma )}\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ & =\sqrt{2}{\iint }_{(\sigma )}\rho \cdot \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta =\sqrt{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_1^2{\rho }^2\mathrm{d}\rho =\frac{14}{3}\sqrt{2}\pi .\end{array}$$

例 6.9 计算面积分 $I = \iint_{(S)} (ax+by+cz+d)^2 \mathrm{d}S$

其中 $(S)$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。

解

为了利用对称性，将被积函数展开，得

I = &a² iint_((S)) x² dS + b² iint_((S)) y² dS + c² iint_((S)) z² dS + 2ab iint_((S)) xy dS + 2bc iint_((S)) yz dS + &2ac iint_((S)) xz dS + 2ad iint_((S)) x dS + 2bd iint_((S)) y dS + 2cd iint_((S)) z dS + iint_((S)) d² dS.$$\begin{array}{rl}I=& a^2{\iint }_{(S)}{x}^2\mathrm{d}S+b^2{\iint }_{(S)}{y}^2\mathrm{d}S+c^2{\iint }_{(S)}{z}^2\mathrm{d}S+2ab{\iint }_{(S)}xy\mathrm{d}S+2bc{\iint }_{(S)}yz\mathrm{d}S+\\ & 2ac{\iint }_{(S)}xz\mathrm{d}S+2ad{\iint }_{(S)}x\mathrm{d}S+2bd{\iint }_{(S)}y\mathrm{d}S+2cd{\iint }_{(S)}z\mathrm{d}S+{\iint }_{(S)}{d}^2\mathrm{d}S.\end{array}$$

由于球面关于 $xOy$ 平面对称，而上式右端第五、六、九三个积分中的被积函数关于 $z$ 为奇函数，从而这三个积分的值均为零；又由于球面也关于 $zOx$ 平面对称，而上式右端第四、八两个积分的被积函数关于 $y$ 为奇函数，从而这两个积分的值也为零。再利用球面关于 $yOz$ 平面对称可知第七个积分的值也为零。于是

I = a² iint_((S)) x² dS + b² iint_((S)) y² dS + c² iint_((S)) z² dS + d² iint_((S)) dS.$$I=a^2{\iint }_{(S)}{x}^2\mathrm{d}S+b^2{\iint }_{(S)}{y}^2\mathrm{d}S+c^2{\iint }_{(S)}{z}^2\mathrm{d}S+d^2{\iint }_{(S)}\mathrm{d}S.$$

由于球面 $(S)$ 具有轮换对称性，可知

iint_((S)) x² dS = iint_((S)) y² dS = iint_((S)) z² dS = 1/3 iint_((S)) (x²+y²+z²) dS,$${\iint }_{(S)}{x}^2\mathrm{d}S={\iint }_{(S)}{y}^2\mathrm{d}S={\iint }_{(S)}{z}^2\mathrm{d}S=\frac{1}{3}{\iint }_{(S)}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}S,$$

于是

a² iint_((S)) x² dS + b² iint_((S)) y² dS + c² iint_((S)) z² dS &= 1/3(a²+b²+c²) iint_((S)) (x²+y²+z²) dS &= 1/3(a²+b²+c²) a² iint_((S)) dS &= 1/3(a²+b²+c²) a² (4π a²) = 4/3π a⁴(a²+b²+c²),$$\begin{array}{rl}{a}^2{\iint }_{(S)}{x}^2\mathrm{d}S+b^2{\iint }_{(S)}{y}^2\mathrm{d}S+c^2{\iint }_{(S)}{z}^2\mathrm{d}S& =\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2){\iint }_{(S)}(x^2+y^2+z^2)\mathrm{d}S\\ & =\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)a^2{\iint }_{(S)}\mathrm{d}S\\ & =\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)a^2(4\pi a^2)=\frac{4}{3}\pi a^4(a^2+b^2+c^2),\end{array}$$

易见

d² iint_((S)) dS = 4π a² d²,$$d^2{\iint }_{(S)}\mathrm{d}S=4\pi a^2{d}^2,$$

因此

I = 4/3π a⁴(a²+b²+c²) + 4π a² d².$$I=\frac{4}{3}\pi a^4(a^2+b^2+c^2)+4\pi a^2{d}^2.$$

例 6.10 物质均匀分布的球缺面质心问题

物质均匀分布且半径为 $R$ 的球缺面如图 6.48 所示，求其质心坐标。

图 6.48 球缺面几何模型

解

为了将球面用参数方程表示，选取 $\phi$ 与 $\theta$ 为参数，则给球缺面的参数方程为

x = R sin φ cos θ, y = R sin φ sin θ, z = R cos φ, 0 ≤ φ ≤ (3π)/(4), 0 ≤ θ ≤ 2π,$$x=R\sin \phi \cos \theta ,y=R\sin \phi \sin \theta ,z=R\cos \phi ,0\le \phi \le \frac{3\pi }{4},0\le \theta \le 2\pi ,$$

或

r = r(φ, θ) = (R sin φ cos θ, R sin φ sin θ, R cos φ), 0 ≤ φ ≤ (3π)/(4), 0 ≤ θ ≤ 2π.$$\mathbf{r}=\mathbf{r}(\phi ,\theta )=(R\sin \phi \cos \theta ,R\sin \phi \sin \theta ,R\cos \phi ),0\le \phi \le \frac{3\pi }{4},0\le \theta \le 2\pi .$$

由对称性可知，质心应位于 $z$ 轴上。在所给球缺面上任取一点 $P(x,y,z)$，含点 $P$ 的曲面面积微元 $\mathrm{d}S$ 上的质量关于 $xOy$ 平面的静矩微分

dMₓy = z μ dS,$$\mathrm{d}{M}_{xy}=z\mu \mathrm{d}S,$$

其中常数 $\mu$ 是面密度。于是所给球缺面对 $xOy$ 平面的静矩为

Mₓy = μ iint_((S)) z dS = μ iint_((σ)) R cos φ |r_φ × r_θ| dφ dθ,$$M_{xy}=\mu {\iint }_{(S)}z\mathrm{d}S=\mu {\iint }_{(\sigma )}R\cos \phi \Vert {\mathbf{r}}_{\phi }\times {\mathbf{r}}_{\theta }\Vert \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta ,$$

其中参数 $(\phi ,\theta )$ 的变化区域为

(σ) = { (φ, θ) | 0 ≤ φ ≤ (3π)/(4), 0 ≤ θ ≤ 2π }.$$(\sigma )=\{(\phi ,\theta )\mid 0\le \phi \le \frac{3\pi }{4},0\le \theta \le 2\pi \}.$$

容易算得

|r_φ × r_θ| = R² sinφ,$$\Vert {\mathbf{r}}_{\phi }\times {\mathbf{r}}_{\theta }\Vert =R^2\sin \phi ,$$

于是

Mₓy = μ iint_((σ)) R³ sinφcosφ dφdθ = μ R³ ∫₀²π dθ ∫₀^((3π)/(4)) sinφcosφ dφ = (π)/(2)μ R³.$$M_{xy}=\mu {\iint }_{(\sigma )}{R}^3\sin \phi \cos \phi \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta =\mu R^3{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{3\pi }{4}}\sin \phi \cos \phi \mathrm{d}\phi =\frac{\pi }{2}\mu R^3.$$

由公式 (6.9) 可得此球缺面的质量为

M = μ iint_((σ)) R² sinφ dφdθ = μ R² ∫₀²π dθ ∫₀^((3π)/(4)) sinφ dφ = (2 + √(2))πμ R².$$M=\mu {\iint }_{(\sigma )}{R}^2\sin \phi \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta =\mu R^2{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\frac{3\pi }{4}}\sin \phi \mathrm{d}\phi =(2+\sqrt{2})\pi \mu R^2.$$

所以球缺面质心的 $z$ 坐标为

barz = fracMₓyM = (R)/(2(2 + √(2))),$$\bar{z}=\frac{M_{xy}}{M}=\frac{R}{2(2+\sqrt{2})},$$

从而得知质心的坐标为 $\left(0,0,\frac{R}{2(2+\sqrt{2})}\right)$。

6.6 第一型线积分与面积分