5.1 n 维 Euclid 空间 $\mathbf{R}^n$ 中点集的初步知识

由于多元函数的定义域是 $n$ 维Euclid空间 ${\mathbf{R}}^n$ 中的子集，因此，本节先介绍 ${\mathbf{R}}^n$ 中点集的初步知识。

1.1 $n$ 维 Euclid 空间 ${\mathbf{R}}^n$

大家知道，若在平面上建立平面直角坐标系 $xOy$，则平面上的任给一点 $P$（或实向量）必唯一地确定了一个二元有序实数组；反之，对于给定的二元有序实数组，也唯一地确定一个平面点（或实向量），从而平面上的所有点（或实向量）与所有二元有序实数组建立了——对应关系，并且两个向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ 与 $\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ 的加法可表示为

x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂),$$\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2),$$

实向量 $\mathbf{x}$ 与实数 $\alpha \in \mathbf{R}$ 的乘法可表示为

α x = (α x₁, α x₂),$$\alpha \mathbf{x}=(\alpha x_1,\alpha x_2),$$

这种实向量也称为平面（或二维）的向量。二维实向量的全体构成的集合记作 ${\mathbf{R}}^2$，按照向量的加法和数乘构成一个二维实向量空间（或二维实线性空间）。

类比于二维向量，我们称一个 $n(n>2)$ 元有序实数组

x = (x₁, x₂, …, xₙ) (xᵢ ∈ R, i = 1, 2, …, n)$$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)(x_i\in \mathbf{R},i=1,2,\dots ,n)$$

为一个 $n$ 维实向量，记 $n$ 维向量全体所构成的集合为

Rⁿ = { x = (x₁, x₂, …, xₙ) | xᵢ ∈ R, i = 1, 2, …, n }.$${\mathbf{R}}^n=\{\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\mid x_i\in \mathbf{R},i=1,2,\dots ,n\}.$$

思路分析

本段利用联想类比的思想方法在高维空间 ${\mathbf{R}}^n(n>2)$ 中引入线性运算和距离的概念，从而为研究 ${\mathbf{R}}^n$ 中点列的极限和多元函数极限与连续性奠定基础。类比是科学技术中的一种创新思维方法，在多元函数微积分的研究中有广泛的应用。

设有向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbf{R}}^n,\mathbf{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)\in {\mathbf{R}}^n$，定义两个向量的加法为

x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, …, xₙ + yₙ), (1.1)$$\mathbf{x}+\mathbf{y}=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n),\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

向量 $\mathbf{x}$ 与数 $\alpha \in \mathbf{R}$ 的乘法为

α x = (α x₁, α x₂, …, α xₙ), (1.2)$$\alpha \mathbf{x}=(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots ,\alpha x_n),\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

并称 ${\mathbf{R}}^n$ 按照上述向量加法及数与向量的乘法构成一个 $n$ 维实向量空间（或 $n$ 维实线性空间）。

在 $n$ 维实向量空间 ${\mathbf{R}}^n$ 中也可以像二维向量空间那样，定义两个向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 的内积为

langle x, y rangle = ∑ᵢ=1ⁿ xᵢ yᵢ, (1.3)$$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i,\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

则 ${\mathbf{R}}^n$ 按照内积 (1.3) 构成一个 $n$ 维 Euclid 空间。

$n$ 维 Euclid 空间 ${\mathbf{R}}^n$ 中的向量称为点，向量 $\mathbf{x}$ 的第 $i$ 个分量 $x_i$ 也称为点 $\mathbf{x}$ 的第 $i$ 个坐标。${\mathbf{R}}^n$ 中的点（向量）常用小写黑体英文字母 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{a},\mathbf{b}$ 等表示，有时也用大写英文字母 $P,Q$ 等来表示 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点。

${\mathbf{R}}^n$ 中向量 $\mathbf{x}$ 的长度（或范数）定义为

|x| = √(langle x, x rangle) = √(x₁² + x₂² + … + xₙ²), (1.4)$$\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{x},\mathbf{x}⟩}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2},\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

两点 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 之间的距离定义为

ρ(x, y) = |x - y| = √((x₁ - y₁)² + (x₂ - y₂)² + … + (xₙ - yₙ)²). (1.5)$$\rho (\mathbf{x},\mathbf{y})=\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert =\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}.\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

1.2 ${\mathbf{R}}^n$ 中点列的极限

有了 ${\mathbf{R}}^n$ 空间中距离的概念，我们就能仿照数列（即 $\mathbf{R}$ 中的点列）极限的概念和有关性质来讨论 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点列极限的概念和相应的性质。

定义 1.1 (点列的极限)

设 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个点列，其中 ${\mathbf{x}}_k=(x_{k,1},x_{k,2},\dots ,x_{k,n})$，又设 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一固定点，若当 $k\to \infty$ 时，$\rho ({\mathbf{x}}_k,\mathbf{a})\to 0$，即

∀ ε > 0, ∃ N ∈ N_+, 使得 ∀ k > N, 恒有 |xₖ - a| < ε, (1.6)$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+},\text{使得 }\forall k>N,\text{恒有 }\Vert {\mathbf{x}}_k-\mathbf{a}\Vert <\epsilon ,\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

则称点列 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 的极限存在，且称 $\mathbf{a}$ 为它的极限，记作

limₖ → ∞ xₖ = a 或 xₖ → a (k → ∞).$$\underset{k\to \infty }{\lim }{\mathbf{x}}_k=\mathbf{a}\text{或}{\mathbf{x}}_k\to \mathbf{a}(k\to \infty ).$$

这时也称点列 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 收敛于 $\mathbf{a}$。

几何解释

定理1.1 表明，${\mathbf{R}}^n$ 中点列 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 收敛于 $\mathbf{a}$ 等价于该点列的各个坐标（或分量）所构成的数列 $\{x_{k,i}\}$ 分别收敛于点 $\mathbf{a}$ 的相应坐标（或分量）$a_i$。从而，它把研究 ${\mathbf{R}}^n$ 中点列的收敛问题转化为实数列（即一维空间 中的点列）的收敛问题。这种“化多为一”的思想方法是将“未知”化为“已知”的方法，在多元函数微积分中经常使用。读者应认真学习，并用这种方法证明定理1.2 中的 (3)。 中的点列）的收敛问题。这种“化多为一”的思想方法是将“未知”化为“已知”的方法，在多元函数微积分中经常使用。读者应认真学习，并用这种方法证明定理 1.2 中的 (3)。

定理 1.1

设点列 $\{{\mathbf{x}}_k\}\subseteq {\mathbf{R}}^n,\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^n$，则 ${\lim }_{k\to \infty }{\mathbf{x}}_k=\mathbf{a}$ 的充要条件是 $\forall i=1,2,\dots ,n$，都有 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{k,i}=a_i$。

证明

由于 $\forall i=1,2,\dots ,n$，恒有

|xₖ,i - aᵢ| ≤ |xₖ - a|.$$|x_{k,i}-a_i|\le \Vert {\mathbf{x}}_k-\mathbf{a}\Vert .$$

根据定义1.1 立即可证明必要性。下面证明充分性。 设 $\forall i=1,2,\dots ,n$，都有 ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{k,i}=a_i$，则

∀ ε > 0, ∃ Nᵢ ∈ N_+, 使得 ∀ k > Nᵢ, 恒有 |xₖ,i - aᵢ| < (ε)/(√(n)).$$\forall \epsilon >0,\exists N_i\in {\mathbf{N}}_{+},\text{使得 }\forall k>N_i,\text{恒有 }|x_{k,i}-a_i|<\frac{\epsilon }{\sqrt{n}}.$$

令 $N=\max \{N_1,N_2,\dots ,N_n\}$，则 $\forall k>N$，必有

|xₖ,i - aᵢ| < (ε)/(√(n)) (i = 1, 2, …, n).$$|x_{k,i}-a_i|<\frac{\epsilon }{\sqrt{n}}(i=1,2,\dots ,n).$$

从而 $\forall k>N$，有

|xₖ - a| = sqrt∑ᵢ=1ⁿ (xₖ,i - aᵢ)² < ε,$$\Vert {\mathbf{x}}_k-\mathbf{a}\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_{k,i}-a_i{)}^2}<\epsilon ,$$

故 ${\lim }_{k\to \infty }{\mathbf{x}}_k=\mathbf{a}$。

定理 1.2

设 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的收敛点列，则 (1) $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 的极限是唯一的； (2) $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是有界点列，即 $\exists M(\in \mathbf{R})>0$，使得 $\forall k\in {\mathbf{N}}_{+}$，恒有 $\Vert {\mathbf{x}}_k\Vert \le M$; (3) 若 ${\mathbf{x}}_k\to \mathbf{a},{\mathbf{y}}_k\to \mathbf{b}$，则 ${\mathbf{x}}_k\pm {\mathbf{y}}_k\to \mathbf{a}\pm \mathbf{b},\alpha {\mathbf{x}}_k\to \alpha \mathbf{a},⟨{\mathbf{x}}_k,{\mathbf{y}}_k⟩\to ⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$，其中 $\alpha \in \mathbf{R}$; (4) 若 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 收敛于 $\mathbf{a}$，则它的任一子（点）列也收敛于 $\mathbf{a}$。

由于 ${\mathbf{R}}^n$ 中的向量不能比较大小，也不能相除，因此，数列极限中单调性、保序性、确界以及商有关的概念与命题不能直接地推广到 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点列。但是，Bolzano-Weierstrass 定理与 Cauchy 收敛原理在 ${\mathbf{R}}^n$ 中仍然成立。

利用第一章定理2.9 不难证明下面的定理。

定理 1.3 (Bolzano-Weierstrass 定理)

${\mathbf{R}}^n$ 中的有界点列必有收敛子列。（${\mathbf{R}}^n$ 中点列 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 的收敛子列的极限也称为 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 的极限点。）

想一想

AI 解答

写出几个在数列极限中成立但在 ${\mathbf{R}}^n$ 中点列不成立的命题。

设 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点列，若

∀ ε > 0, ∃ N ∈ N_+, 使得 ∀ k > N 及 p ∈ N_+, 恒有 |xₖ+p - xₖ| < ε,$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+},\text{使得 }\forall k>N\text{ 及 }p\in {\mathbf{N}}_{+},\text{恒有 }\Vert {\mathbf{x}}_{k+p}-{\mathbf{x}}_k\Vert <\epsilon ,$$

则称 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的基本点列或 Cauchy 点列。类似于定理1.1 不难证明：$\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是 Cauchy 点列的充要条件是 $\forall i=1,2,\dots ,n,\{x_{k,i}\}$ 都是 Cauchy 数列。根据第一章中所介绍的数列的 Cauchy 收敛原理，立即可以得到 ${\mathbf{R}}^n$ 中点列的 Cauchy 收敛原理如下：

定理 1.4 (Cauchy 收敛原理)

${\mathbf{R}}^n$ 中点列 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 收敛于 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点的充要条件为 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的 Cauchy 点列。

这个定理刻画了空间 ${\mathbf{R}}^n$ 的完备性，就是说，${\mathbf{R}}^n$ 中的 Cauchy 点列必收敛于 ${\mathbf{R}}^n$ 中的点。现代数学中就是以此作为抽象空间完备性定义的。

1.3 ${\mathbf{R}}^n$ 中的开集与闭集

为了讨论多元函数的极限与连续，本段简要地介绍 ${\mathbf{R}}^n$ 中点集的基本知识，包括开集、闭集与区域等。虽然这些概念都是在空间 ${\mathbf{R}}^n$ 中定义的，但读者可以在平面 ${\mathbf{R}}^2$ 中去理解它们。

定义 1.2

设 $A$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个点集，$\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^n$。若存在 $A$ 中的点列 $\{{\mathbf{x}}_k\},{\mathbf{x}}_k\ne \mathbf{a}(k=1,2,\dots )$，使得 ${\mathbf{x}}_k\to \mathbf{a}(k\to \infty )$，则称 $\mathbf{a}$ 是 $A$ 的一个聚点。$A$ 的所有聚点构成的集合称为 $A$ 的导集，记作 $A^{\prime }$。集合 $\overline{A}=A\cup A^{\prime }$ 称为 $A$ 的闭包。若 $\mathbf{a}\in A$，但 $\mathbf{a}\notin A^{\prime }$，则称 $\mathbf{a}$ 为 $A$ 的孤立点。若 $A^{\prime }\subseteq A$，则称 $A$ 为闭集。

由定义易见，集 $A$ 的聚点不一定属于 $A$。若 $A$ 的所有聚点都属于 $A$，则 $A$ 是闭集。因此，若 $A$ 是闭集，$\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是 $A$ 中的任一点列，且 ${\mathbf{x}}_k\to \mathbf{a}(k\to \infty )$，则 $\mathbf{a}\in A$。反之亦真。这说明闭集对于极限运算是封闭的。

例如，设 $A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid x^2+y^2>2\}$ 是一个平面点集，则点 $(0,0)$ 是 $A$ 的唯一聚点，它不属于 $A$，并且 $A^{\prime }=\{(0,0)\},\overline{A}=A\cup \{(0,0)\},A$ 中的所有点都是它的孤立点。$A$ 不是闭集，但 $\overline{A}=A\cup \{(0,0)\}$ 是闭集。

定义 1.3

设 $\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^n,\delta >0$，称点集

U(a, δ) = { x ∈ Rⁿ | |x - a| < δ }$$U(\mathbf{a},\delta )=\{\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^n\mid \Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert <\delta \}$$

为以 $\mathbf{a}$ 为中心，$\delta$ 为半径的开球或点 $\mathbf{a}$ 的 $\delta$ 邻域，称

mathringU(a, δ) = U(a, δ) ∖ { a }$$\mathring{U}(\mathbf{a},\delta )=U(\mathbf{a},\delta )\setminus \{\mathbf{a}\}$$

为点 $\mathbf{a}$ 的去心 $\delta$ 邻域。它们可分别简记为 $U(\mathbf{a})$ 与 $\mathring{U}(\mathbf{a})$。

想一想

AI 解答

在平面 ${\mathbf{R}}^2$ 上，画出点 $\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^2$ 的 $\delta$ 邻域和去心 $\delta$ 邻域。

在直线 $\mathbf{R}$ 上，开球 $U(a,\delta )$ 就是开区间 $(a-\delta ,a+\delta )$；在平面 ${\mathbf{R}}^2$ 上，开球 $U(\mathbf{a},\delta )$ 就是以 $\mathbf{a}=(a_1,a_2)$ 为中心，$\delta$ 为半径的圆盘 $(x_1-a_1{)}^2+(x_2-a_2{)}^2<{\delta }^2$ 内的所有点构成的集合（称为开圆盘）；在空间 ${\mathbf{R}}^3$ 中，$U(\mathbf{a},\delta )$ 就是以 $\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 为中心，$\delta$ 为半径的球面 $(x_1-a_1{)}^2+(x_2-a_2{)}^2+(x_3-a_3{)}^2<{\delta }^2$ 内的所有点构成的集合，也就是通常所说的开球。

有了邻域的概念，${\mathbf{R}}^n$ 中点列极限的概念也可以像数列极限那样，用邻域来刻画。设 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个点列，若

∀ ε > 0, ∃ N ∈ N_+, 使得 ∀ k > N, 恒有 xₖ ∈ U(a, ε),$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+},\text{使得 }\forall k>N,\text{恒有 }{\mathbf{x}}_k\in U(\mathbf{a},\epsilon ),$$

则称点列 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 收敛于 $\mathbf{a},\mathbf{a}$ 是 $\{{\mathbf{x}}_k\}$ 的极限。从而，得到下列用邻域来刻画集 $A$ 聚点的定理：

定理 1.5

设 $A$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个点集，$\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^n$，则 $\mathbf{a}\in A^{\prime }$ 的充要条件为 $\forall \epsilon >0,\mathring{U}(\mathbf{a},\epsilon )\cap A\ne \varnothing$。也就是说，$\mathbf{a}$ 为 $A$ 的聚点当且仅当 $\mathbf{a}$ 的任何去心 $\epsilon$ 邻域中都含有 $A$ 中的点。

证明

必要性：设 $\mathbf{a}\in A^{\prime }$，根据定义1.2，存在 $A$ 中的点列 $\{{\mathbf{x}}_k\},{\mathbf{x}}_k\ne \mathbf{a}(k=1,2,\dots )$，使得 ${\lim }_{k\to \infty }{\mathbf{x}}_k=\mathbf{a}$。用邻域来表示，即 $\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+}$，使得 $\forall k>N$，恒有 ${\mathbf{x}}_k\in \mathring{U}(\mathbf{a},\epsilon )$。由于 $\{{\mathbf{x}}_k\}\subseteq A$，从而得知，$\forall \epsilon >0,\mathring{U}(\mathbf{a},\epsilon )\cap A\ne \varnothing$，即 $\mathbf{a}$ 的任何去心 $\epsilon$ 邻域中都有 $A$ 中的点。

充分性：若 $\forall \epsilon >0,\mathring{U}(\mathbf{a},\epsilon )\cap A\ne \varnothing$，则 $\forall k\in {\mathbf{N}}_{+}$，取 ${\epsilon }_k=\frac{1}{k}$，必存在点 ${\mathbf{x}}_k\in \mathring{U}(\mathbf{a},{\epsilon }_k)\cap A$。这就是说，存在 $A$ 中的点列 $\{{\mathbf{x}}_k\},{\mathbf{x}}_k\ne \mathbf{a}(k=1,2,\dots )$，并且 $\Vert {\mathbf{x}}_k-\mathbf{a}\Vert <{\epsilon }_k=\frac{1}{k}$，从而 ${\lim }_{k\to \infty }{\mathbf{x}}_k=\mathbf{a}$，故 $\mathbf{a}\in A^{\prime }$。

定义 1.4

设 $A\subseteq {\mathbf{R}}^n,\mathbf{a}\in {\mathbf{R}}^n$。 (1) 若存在 $\delta >0$，使 $U(\mathbf{a},\delta )\subseteq A$，则称 $\mathbf{a}$ 是集 $A$ 的内点，由 $A$ 的所有内点构成的集合称为 $A$ 的内部，记作 $A^{\circ }$ 或 $\text{int }A$; (2) 若存在 $\delta >0$，使 $U(\mathbf{a},\delta )\cap A=\varnothing$，则称 $\mathbf{a}$ 是集 $A$ 的外点，$A$ 的所有外点构成的集合称为 $A$ 的外部，记作 $\text{ext }A$; (3) 若对任何 $\delta >0,U(\mathbf{a},\delta )$ 中既含有 $A$ 中的点，也含有 $A$ 的余集 $A^c$ 中的点，则称 $\mathbf{a}$ 为集 $A$ 的边界点，$A$ 的所有边界点构成的集合称为 $A$ 的边界，记作 $\partial A$。

想一想

AI 解答

一个集合 $A$ 的边界点与聚点有什么不同?

由定义1.4 易见，${\mathbf{R}}^n$ 中的任一点是且仅是 $A$ 的内点、外点与边界点中的一种，即

Rⁿ = A^circ ∪ ∂ A ∪ ext A,$${\mathbf{R}}^n=A^{\circ }\cup \partial A\cup \text{ext }A,$$

且右端三个点集互不相交（图 5.1）。

图 5.1

例 1.1

设 $A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2<{\delta }^2\}$，证明： $A^{\circ }=A,\partial A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2={\delta }^2\}$, $\overline{A}=A\cup \partial A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2\le {\delta }^2\}$.

解

题中关于边界 $\partial A$ 和闭包的结论是显然的，下面证明 $A^{\circ }=A$。由定义知 $A^{\circ }\subseteq A$，因此只要证明 $A\subseteq A^{\circ }$。设 $(\tilde{x},\tilde{y})\in A$，取 $\epsilon <\delta -\sqrt{(\tilde{x}-x_0{)}^2+(\tilde{y}-y_0{)}^2}$，则点 $(\tilde{x},\tilde{y})$ 的 $\epsilon$ 邻域 $U((\tilde{x},\tilde{y}),\epsilon )\subseteq A$，因而 $(\tilde{x},\tilde{y})$ 是 $A$ 的内点（图 5.2）, 故 $A\subseteq A^{\circ }$。

图 5.2

由定义易见，对于 ${\mathbf{R}}^n$ 中的任一点集 $A$，必有

overlineA = A ∪ ∂ A.$$\overline{A}=A\cup \partial A.$$

特别地，称开球与其它的边界之并为闭球，记作

overlineU(a, δ) = { x ∈ Rⁿ | |x - a| ≤ δ }.$$\overline{U}(\mathbf{a},\delta )=\{\mathbf{x}\in {\mathbf{R}}^n\mid \Vert \mathbf{x}-\mathbf{a}\Vert \le \delta \}.$$

例 1.2

设 $A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid x^2+y^2=0,1<x^2+y^2\le 4\}$（如图 5.3) 所示）。由定义1.4 易知，$a$) 所示）。由定义 1.4 易知，$A^{\circ }=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid 1<x^2+y^2<4\},\text{ext }A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid 0<x^2+y^2<1,x^2+y^2>4\}$, $\partial A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid x^2+y^2=1,x^2+y^2=4\}\cup \{(0,0)\}$，原点 $(0,0)$ 是 $A$ 的孤立点，$\overline{A}=A\cup \partial A=\{(x,y)\in {\mathbf{R}}^2\mid 0,1\le x^2+y^2\le 4\}$ 分别如图 5.3($A^{\circ },\text{ext }A,\partial A$ 及 $\overline{A}$ 分别如图 5.3($b$), ($c$), ($d$) 及 ($e$) 所示)。

图 5.3

定义 1.5

设 $A\subseteq {\mathbf{R}}^n$，若 $A\subseteq A^{\circ }$，即 $A$ 中的点全是 $A$ 的内点，则称 $A$ 为开集。

定理 1.6

$A\subseteq {\mathbf{R}}^n$ 是开集的充要条件为 $A^c$ 是闭集。

证明

必要性：设 $A$ 是开集，故 $A^{\circ }=A$。为了证明 $A^c$ 是闭集，只要证明 $(A^c{)}^{\prime }\subseteq A^c$。若 $(A^c{)}^{\prime }=\varnothing$，则显然有 $(A^c{)}^{\prime }\subseteq A^c$。若 $(A^c{)}^{\prime }\ne \varnothing$，设 $\mathbf{x}\in (A^c{)}^{\prime }$，则 $\forall \epsilon >0,\mathring{U}(\mathbf{x},\epsilon )\cap A^c\ne \varnothing$。由内点的定义知 $\mathbf{x}\in A^{\circ }=A$，即 $\mathbf{x}\in A^c$，故 $(A^c{)}^{\prime }\subseteq A^c$。

充分性：设 $A^c$ 是闭集，即 $(A^c{)}^{\prime }\subseteq A^c$。为了证明 $A$ 是开集，由于 $A^{\circ }\subseteq A$，所以只要证明 $A\subseteq A^{\circ }$。设 $\mathbf{x}\in A$，则 $\mathbf{x}\in A^c$。因 $A^c$ 为闭集，故有 $(\mathbf{x}\in (A^c{)}^{\prime }⟹\text{矛盾})$。由内点的定义知 $\mathbf{x}\in A^{\circ }$，即 $A\subseteq A^{\circ }$。

想一想

AI 解答

画出 ${\mathbf{R}}^n$ 空间中的开球与开区间、闭球与闭区间 的几何图形。

例 1.3

${\mathbf{R}}^n$ 中的开球 $U(\mathbf{a},\delta )$ 与开区间

(a, b) = { x = (x₁, x₂, …, xₙ) ∈ Rⁿ | aᵢ < xᵢ < bᵢ, i = 1, 2, …, n }$$(a,b)=\{\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbf{R}}^n\mid a_i<x_i<b_i,i=1,2,\dots ,n\}$$

都是开集。闭球 $\overline{U}(\mathbf{a},\delta )$ 与闭区间

[a, b] = { x ∈ (x₁, x₂, …, xₙ) ∈ Rⁿ | aᵢ ≤ xᵢ ≤ bᵢ, i = 1, 2, …, n }$$[a,b]=\{\mathbf{x}\in (x_1,x_2,\dots ,x_n)\in {\mathbf{R}}^n\mid a_i\le x_i\le b_i,i=1,2,\dots ,n\}$$

都是闭集。例1.2 中的 $A^{\circ }$ 与 $\text{ext }A$ 都是开集，$\partial A$ 与 $\overline{A}$ 都是闭集。

注意

开集与闭集是常常碰到的两类点集，但是还存在着很多其他类型的点集。例如，直线 $\mathbf{R}$ 上的有理点集与无理点集既不是开集，又不是闭集，因为它们都没有内点，而且任何实数都是它们的聚点，因此，不能说一个点集“非开即闭”。

想一想

AI 解答

试举出无穷多个开集的交不是开集的例子。

定理 1.7

在 $n$ 维 Euclid 空间 ${\mathbf{R}}^n$ 中，开集有如下性质： (1) 空集 $\varnothing$ 与全空间 ${\mathbf{R}}^n$ 是开集; (2) 任意多个开集的并是开集; (3) 有限多个开集的交是开集。

证明

根据定义，性质 (1) 显然成立。

(2) 设 $A_{\alpha }\subseteq {\mathbf{R}}^n$ ($\alpha \in \Lambda$, $\Lambda$ 为指标集) 是一族开集。任取 $\mathbf{x}\in {\bigcup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }$，则必 $\exists {\alpha }_0\in \Lambda$ 使 $\mathbf{x}\in A_{{\alpha }_0}$。由于 $A_{{\alpha }_0}$ 是开集，所以 $\exists \delta >0$，使 $U(\mathbf{x},\delta )\subseteq A_{{\alpha }_0}\subseteq {\bigcup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }$，即 $\mathbf{x}$ 是 ${\bigcup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }$ 的内点，故 ${\bigcup }_{\alpha \in \Lambda }{A}_{\alpha }$ 是开集。

(3) 设 $A_k\subseteq {\mathbf{R}}^n$ ($k=1,2,\dots ,m$) 是开集，任取 $\mathbf{x}\in {\bigcap }_{k=1}^m{A}_k$，则 $\mathbf{x}\in A_k$ ($k=1,2,\dots ,m$)。由于 $A_k$ 是开集，所以 $\forall k=1,2,\dots ,m,\exists {\delta }_k>0$，使 $U(\mathbf{x},{\delta }_k)\subseteq A_k$。取 $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2,\dots ,{\delta }_m\}$，则

U(x, δ) ⊆ U(x, δₖ) ⊆ Aₖ (k = 1, 2, …, m).$$U(\mathbf{x},\delta )\subseteq U(\mathbf{x},{\delta }_k)\subseteq A_k(k=1,2,\dots ,m).$$

因此 $U(\mathbf{x},\delta )\subseteq {\bigcap }_{k=1}^m{A}_k$，即 $\mathbf{x}$ 是 ${\bigcap }_{k=1}^m{A}_k$ 的内点，故 ${\bigcap }_{k=1}^m{A}_k$ 是开集。

1.4 ${\mathbf{R}}^n$ 中的紧集与区域

设 $A$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个点集，如果存在一个常数 $M>0$，使得 $\forall \mathbf{x}\in A$，都有 $\Vert \mathbf{x}\Vert \le M$，则称 $A$ 是有界集，否则称为无界集。显然，有界集的几何含义是它能包含在 ${\mathbf{R}}^n$ 中一个以原点 $0$ 为中心，$M$ 为半径的闭球 $\overline{U}(0,M)$ 中。

定义 1.6

设 $A$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个点集，若 $A$ 是有界闭集，则称 $A$ 为紧集。

根据 Bolzano-Weierstrass 定理，若 $A$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的紧集，则 $A$ 中任何点列都有收敛于 $A$ 中点的子列。

定义 1.7

设 $A\subseteq {\mathbf{R}}^n$ 是一个点集，如果 $A$ 中的任意两点 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 都能用完全属于 $A$ 的有限个线段联结起来，则称 $A$ 是连通集。连通的开集称为区域。区域与其边界之并称为闭区域。

显然，${\mathbf{R}}^2$ 中的开圆盘是区域，闭圆盘是闭区域，图 5.4($a$ 的点集是区域，图 5.4(${\mathbf{R}}^2$ 的点集是区域，图 5.4($b$) 所示点集不是区域，在开圆盘中去掉任意一条直径后所得到的集合也不是区域，因为它们都破坏了集合的连通性。

图 5.4

设 $A\subseteq {\mathbf{R}}^n$，若联结 $A$ 中任意两点的线段都属于 $A$，即若 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in A$，则 $\forall t\in [0,1]$, $t{\mathbf{x}}_1+(1-t){\mathbf{x}}_2\in A$，则称 $A$ 是 ${\mathbf{R}}^n$ 中的凸集。由定义1.7 得知，任何凸集都是连通的，因而不任何凸开集都是区域。

5.1 n维Euclid空间Rn中点集的初步知识