2.1 导数的概念

在第一章中，我们系统地讨论了极限理论，并用极限研究了函数的连续性。从本章开始将要介绍的一元函数的微分学和积分学，就是利用极限理论从局部和整体两个方面对非线性函数变化性态进行更深入的研究。本章讨论的一元函数微分学的主要内容包括：导数与微分的概念和计算法则；微分中值定理与 Taylor 公式以及它们在研究函数性态（单调性、极值与凸性等）中的应用。

本节通过几个实例引入导数的概念，讲解导数的定义，讨论导数的几何意义以及可导与连续的关系，最后举例说明导数在各种不同学科中的具体含义。

1.1 导数的定义

在绪论中已经讲过变速直线运动的瞬时速度问题。当时间的改变量 $\Delta t$ 很小时，我们可以通过将位移 $s=s(t)$ 随时间 $t$ 的非均匀变化近似看成均匀变化，将变速直线运动近似看成匀速直线运动，从而，在从 $t_0$ 到 $t_0+\Delta t$ 的微小时间段内物体的平均速度

barv = (Δ s)/(Δ t) = (s(t₀ + Δ t) - s(t₀))/(Δ t)$$\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$$

就是物体在时刻 $t_0$ 的瞬时速度 $v(t_0)$ 的近似值。$\Delta t$ 越小，这个近似值越精确，于是求变速直线运动的瞬时速度就转化为求平均速度的极限，即

v(t₀) = lim_(Δ t → 0) (s(t₀ + Δ t) - s(t₀))/(Δ t) . (1.1)$$v(t_0)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}.\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

还有很多实际问题都归结为求同样形式的极限，下面再举两个例子。

例 1.1 细棒的线密度问题

设有—物质非均匀分布的细棒，长为 $l$，试求细棒上各点的线密度。

大家知道，如果细棒上物质的分布是均匀的，就是说细棒上单位长度的质量都相等，那么各点的线密度相同，只要通过除法用公式 $\rho =\frac{M}{l}$ 就能求得，其中 $M$ 为细棒的总质量。现在细棒上的物质是非均匀分布的，细棒上不同部位处单位长度的质量不一定相等，自然不能用上述公式来计算细棒上各点的线密度。为了求出细棒上各点的线密度，先将细棒置于 $x$ 轴上，左端点为坐标原点（图 2.1），则从原点到点 $x$ 一段细棒的质量为非线性函数

m = m(x), x ∈ [0, l] .$$m=m(x),x\in [0,l].$$

因此，从点 $x_0$ 到点 $x_0+\Delta x$ 那一小段细棒的质量为

Δ m = m(x₀ + Δ x) - m(x₀) .$$\Delta m=m(x_0+\Delta x)-m(x_0).$$

于是，在微小区间 $[x_0,x_0+\Delta x]$ 内，质量的变化可近似看作是均匀的，用除法求得的

(Δ m)/(Δ x) = (m(x₀ + Δ x) - m(x₀))/(Δ x)$$\frac{\Delta m}{\Delta x}=\frac{m(x_0+\Delta x)-m(x_0)}{\Delta x}$$

就表示该小段细棒的平均密度，它只是该小段内细棒上各点线密度的近似值，而不是精确值。但是，如果质量 $m$ 随 $x$ 的变化是连续的，即 $m=m(x)$ 是 $[0,l]$ 上的连续函数，那么，$|\Delta x|$ 越小，上述近似值的精度越高。因此，若 $\Delta x\to 0$ 时平均密度的极限存在，则该极限值就规定为细棒在 $x_0$ 处的线密度，即

ρ(x₀) = lim_(Δ x → 0) (Δ m)/(Δ x) = lim_(Δ x → 0) (m(x₀ + Δ x) - m(x₀))/(Δ x) . (1.2)$$\rho (x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta m}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{m(x_0+\Delta x)-m(x_0)}{\Delta x}.\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

图 2.1

例 1.2 平面曲线的切线斜率问题

我们知道直线的斜率是一个很有用的概念。在很多实际问题中都提出求平面曲线上一点处的切线斜率问题。为此，首先讲解什么是曲线上一点处的切线，能否像平面几何中把与圆只有一个交点的直线定义为圆的切线那样来定义一般曲线的切线呢？读者不难举例说明，这样定义曲线上一点处的切线是不恰当的。

想一想

AI 解答

举例说明用与曲线只有一个交点的直线来定义该曲线在此点切线是不恰当的。

下面介绍平面曲线在一点处的切线定义。

设 $\Gamma$ 为一条连续的平面曲线，它的方程是 $y=f(x)$（图 2.2），$f$ 是连续函数，$A$ 是 $\Gamma$ 上任一点，$B$ 为另一点。联结 $A$ 与 $B$ 得一割线 $AB$，当点 $B$ 沿着 $\Gamma$ 趋向点 $A$ 时，割线 $AB$ 将绕着点 $A$ 转动。如果当 $B\to A$ 时割线 $AB$ 的极限位置存在，设为直线 $AT$，那么 $AT$ 就称为曲线 $\Gamma$ 在点 $A$ 处的切线。这就是说，曲线 $\Gamma$ 在点 $A$ 处的切线是当 $\Delta x\to 0$ 时割线 $AB$ 的极限位置。

设割线 $AB$ 的倾角为 $\beta$，则其斜率为

tan β = (Δ y)/(Δ x) = (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) .$$\tan \beta =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$$

由于当 $\Delta x\to 0$ 时，割线 $AB$ 就转化为切线 $AT$。因此，自然将割线斜率的极限定义为曲线 $\Gamma$ 在点 $A$ 处切线的斜率：

tan α = lim_(Δ x → 0) tan β = lim_(Δ x → 0) (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) . (1.3)$$\tan \alpha =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\tan \beta =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

图 2.2

上面我们从来自于物理和几何等不同领域的实际问题提出了形如 $(1.1)$、$(1.2)$ 与 $(1.3)$ 式的极限问题，都是当自变量的改变量 $\Delta x\to 0$ 时，函数改变量 $\Delta y$ 与自变量改变量 $\Delta x$ 之比的极限。由于科学技术中还有大量的问题都归结为此类极限问题，因此，人们舍弃上述问题的具体含义，抽象出如下的定义。

定义 1.1（导数）

设函数 $f$ 定义在 $x_0$ 的某一邻域 $U(x_0)$ 内。在此邻域内，当自变量在 $x_0$ 处有改变量 $\Delta x$ 时，相应地函数有改变量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$。若当 $\Delta x\to 0$ 时这两个改变量之比的极限

lim_(Δ x → 0) (Δ y)/(Δ x) = lim_(Δ x → 0) (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) (1.4)$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

存在，则称函数 $f$ 在 $x_0$ 处可导，并称该极限值为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f^{\prime }(x_0)$ 或 ${\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}$。

如果函数用 $y=f(x)$ 来表示，则它在 $x_0$ 处的导数也可记作 $y^{\prime }{|}_{x=x_0}$ 或 ${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}$。此时，若记 $x=x_0+\Delta x,\Delta y=f(x)-f(x_0)$，则 $(1.4)$ 式也可写成下面的形式：

f'(x₀) = limₓ → x₀ (f(x) - f(x₀))/(x - x₀) = lim_(Δ x → 0) (Δ y)/(Δ x) .$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}.$$

若极限 $(1.4)$ 不存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处不可导。特别地，若极限 $(1.4)$ 为无穷大，则为方便计，也称 $f$ 在 $x_0$ 处的导数为无穷大，并记作 $f^{\prime }(x_0)=\infty$。

注

导数为无穷大，只是一种说法或记法，它是函数导数不存在（即不可导）的一种情况。

根据导数的定义，$(1.1)$—$(1.3)$ 式可以用导数分别表示为

v(t₀) = . (ds)/(dt) |ₜ=t₀, ρ(x₀) = . (dm)/(dx) |ₓ=x₀, tan α = f'(x₀) .$$v(t_0)={\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}|}_{t=t_0},\rho (x_0)={\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0},\tan \alpha =f^{\prime }(x_0).$$

就是说，求瞬时速度、细棒在一点的线密度以及曲线上一点处的切线斜率都归结为求某个函数在一点处的导数。

数字资源 2.1.1导数定义的常见不同形式 ↗

利用单侧极限可以定义函数的单侧导数。若右（左）极限

lim_Δ x → 0⁺ (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) ( lim_Δ x → 0⁻ (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) )$$\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\left(\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\right)$$

存在，则称此极限值是 $f$ 在 $x_0$ 处的右（左）导数，并称 $f$ 在 $x_0$ 右（左）可导，记作

f'_+(x₀) = lim_Δ x → 0⁺ (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) ( f'_-(x₀) = lim_Δ x → 0⁻ (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) ) . (1.5)$$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\left(f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\right).\text{\hspace{1em}(1.5)}$$

利用极限与左、右极限的关系立即可得：

函数 f 在 x₀ 处可导 iff f 在 x₀ 处左、右导数存在且相等.$$\text{函数 }f\text{ 在 }{x}_0\text{ 处可导}⟺f\text{ 在 }{x}_0\text{ 处左、右导数存在且相等.}$$

想一想

AI 解答

试证明函数 $f$ 在 $x_0$ 处可导的充要条件为 $f$ 在 $x_0$ 处左、右导数均存在且相等。

定义 1.2（导函数）

如果函数 $f:I\to \mathbf{R}$ 在区间 $I$ 的每一点都可导（若 $I$ 包含端点，则在端点处可导是指左端点右可导，右端点左可导），则称函数 $f$ 在区间 $I$ 上可导。此时，对于 $I$ 的每一点 $x$，都对应着 $f$ 的一个导数 $f^{\prime }(x)$，因而 $f$ 的导数 $f^{\prime }(x)$ 是定义在 $I$ 上的一个新函数 $f^{\prime }:I\to \mathbf{R}$，称它为 $f$ 在 $I$ 上的导函数，记作 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ 或 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$。

不难看出 $f$ 在一点 $x_0$ 处的导数就是 $f$ 的导函数 $f^{\prime }$ 在点 $x_0$ 处的值，即 $f^{\prime }(x_0)={f^{\prime }(x)|}_{x=x_0}$。今后，在不致混淆的情况下，简称导函数为导数。

想一想

AI 解答

等式 $f^{\prime }(x_0)=[f(x_0){]}^{\prime }$ 成立吗？

例 1.3

证明下列函数的导数公式：

(1) $(C{)}^{\prime }=0$ ($C$ 为常数)；

(2) $(e^x{)}^{\prime }=e^x(-\infty <x<+\infty )$；

(3) $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1,-\infty <x<+\infty )$；

(4) $(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}(\alpha \in \mathbf{R},0<x<+\infty )$；

(5) $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x(-\infty <x<+\infty )$；

(6) $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x(-\infty <x<+\infty )$。

证

利用导数的定义以及有关的极限运算法则很容易求得本题中的导数公式。例如，公式 (2)、(4) 可由第一章习题1.5) 中的第 11 题的结果得到，公式 (5)、(6) 可由第一章习题1.3($A$) 中的第 11 题的结果得到，公式 (5)、(6) 可由第一章习题 1.3($A$) 中的第 12 题得到。下面仅证明公式 (1) 与 (3)。由导数的定义，

(1) (C)' = lim_(Δ x → 0) (f(x+Δ x) - f(x))/(Δ x) = lim_(Δ x → 0) (0)/(Δ x) = 0;$$(1)(C{)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{0}{\Delta x}=0;$$(3) (aˣ)' = lim_(Δ x → 0) fracaˣ+Δ x - aˣΔ x = aˣ lim_(Δ x → 0) fraca^(Δ x) - 1Δ x,$$(3)(a^x{)}^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}=a^x\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x},$$

令 $a^{\Delta x}-1=t$，则 $\Delta x={\log }_a(1+t)=\frac{\ln (1+t)}{\ln a}$。易见，当 $\Delta x\to 0$ 时 $t\to 0$，故

(aˣ)' = aˣ limₜ → 0 (t)/(ln(1+t)) ln a = aˣ ln a,$$(a^x{)}^{\prime }=a^x\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln (1+t)}\ln a=a^x\ln a,$$

其中最后一个等式利用了无穷小的等价代换 $\ln (1+t)\sim t(t\to 0)$。

例 1.4

考察函数 $f(x)=|x|,x\in (-\infty ,+\infty )$ 在 $x_0=0$ 处的可导性。

解

由于

(f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) = (|Δ x|)/(Δ x),$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{|\Delta x|}{\Delta x},$$

所以，

f'_+(x₀) = lim_Δ x → 0⁺ (|Δ x|)/(Δ x) = lim_Δ x → 0⁺ (Δ x)/(Δ x) = 1,$$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Delta x}{\Delta x}=1,$$f'_-(x₀) = lim_Δ x → 0⁻ (|Δ x|)/(Δ x) = lim_Δ x → 0⁻ (-Δ x)/(Δ x) = -1.$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1.$$

从而 $f_{+}^{\prime }(x_0)\ne f_{-}^{\prime }(x_0)$，故 $f$ 在 $x_0=0$ 处不可导。

注

在讨论分段函数与抽象函数（指未给出具体数学表达式的函数）可导性的时候，往往需要利用导数（包括单侧导数）的定义。

例 1.5

考察函数

f(x) = x sin 1/x, & x ≠ 0, 0, & x = 0$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin \frac{1}{x},& x\ne 0,\\ 0,& x=0\end{array}$$

在 $x=0$ 处的连续性与可导性。

解

根据连续性的定义，由于

limₓ → 0 f(x) = limₓ → 0 x sin 1/x = 0 = f(0),$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0=f(0),$$

所以该函数在 $x=0$ 处是连续的。又因为

(f(0 + Δ x) - f(0))/(Δ x) = (Δ x sin (1)/(Δ x) - 0)/(Δ x) = sin (1)/(Δ x),$$\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{\Delta x\sin \frac{1}{\Delta x}-0}{\Delta x}=\sin \frac{1}{\Delta x},$$

当 $\Delta x\to 0$ 时，$\sin \frac{1}{\Delta x}$ 的极限不存在，故该函数在 $x=0$ 处不可导。

想一想

AI 解答

有人说，在例1.5 中，由于 $f(0)=0$，所以 $f^{\prime }(0)=0$。对吗？为什么？

数字资源 2.1.2关于分段函数在分界点处的求导问题 ↗

*例 1.6

设函数 $f:(0,+\infty )\to \mathbf{R}$ 在 $x=1$ 处可导，且

f(xy) = yf(x) + xf(y), ∀ x, y ∈ (0, +∞) . (1.6)$$f(xy)=yf(x)+xf(y),\forall x,y\in (0,+\infty ).\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

证明：函数 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 内处处可导，并且 $f^{\prime }(x)=\frac{f(x)}{x}+f^{\prime }(1)$。

证

根据导数的定义，

f'(x) = lim_(Δ x → 0) (f(x + Δ x) - f(x))/(Δ x) .$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.$$

为了利用条件 $(1.6)$ 及函数 $f$ 在 $x=1$ 的可导性，将 $f(x+\Delta x)-f(x)$ 改写成

f(x + Δ x) - f(x) = f[ x(1 + (Δ x)/(x)) ] - f(x) ,$$f(x+\Delta x)-f(x)=f\left[x\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\right]-f(x),$$

将 $1+\frac{\Delta x}{x}$ 看成 $(1.6)$ 式中的 $y$，从而可得

(f(x + Δ x) - f(x))/(Δ x) &= (f[ x(1 + (Δ x)/(x)) ] - f(x))/(Δ x) &= ((1 + (Δ x)/(x))f(x) + xf(1 + (Δ x)/(x)) - f(x))/(Δ x) &= (f(x))/(x) + (f(1 + (Δ x)/(x)))/((Δ x)/(x)) . (1.7)$$\begin{array}{rl}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}& =\frac{f\left[x\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)\right]-f(x)}{\Delta x}\\ & =\frac{\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)f(x)+xf\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)-f(x)}{\Delta x}\\ & =\frac{f(x)}{x}+\frac{f\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)}{\frac{\Delta x}{x}}.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.7)}$$

在 $(1.6)$ 式中取 $x=y=1$，易得 $f(1)=0$。于是

f'(x) = (f(x))/(x) + lim_(Δ x → 0) (f(1 + (Δ x)/(x)) - f(1))/((Δ x)/(x)) = (f(x))/(x) + f'(1) .$$f^{\prime }(x)=\frac{f(x)}{x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(1+\frac{\Delta x}{x}\right)-f(1)}{\frac{\Delta x}{x}}=\frac{f(x)}{x}+f^{\prime }(1).$$

注意

在例1.6 中，仅由 $f$ 在 $x=1$ 处可导不能推出它在 $(0,+\infty )$ 内处处可导的结论（见二维码 2.1.3），但当 $f$ 同时满足条件 $(1.6)$ 式时，则可推得此结论。因此，利用 $(1.6)$ 式与 $f$ 在 $x=1$ 处可导这两个已知条件推出题中的结论就是证明的关键。其中，利用 $(1.6)$ 式将 $\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 改写成 $(1.7)$ 式，从而建立 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 内任一点的导数 $f^{\prime }(x)$ 与 $f^{\prime }(1)$ 之间的联系具有很强的技巧性。

1.2 导数的几何意义

根据例1.2，如果函数 $f$ 在 $x_0$ 处可导，那么它在 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的斜率。

如果函数 $f$ 在 $x_0$ 处不可导，但在该点处的单侧导数存在，那么，类似于例1.2 的讨论可知，左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)$（右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)$）表示曲线 $y=f(x)$ 处的左侧（右侧）切线的斜率（图 2.3）。若 $A(x_0,f(x_0))$ 处的左侧（右侧）切线的斜率（图 2.3）。若 $f$ 在 $x_0$ 处左、右导数存在且相等，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $A$ 处的左侧切线和右侧切线合而为一，只有一条切线。

图 2.3

如果函数 $f$ 在 $x_0$ 处连续，但导数 $f^{\prime }(x_0)$ 为无穷大（含正、负无穷大），那么曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(x_0,f(x_0))$ 处切线的倾角为 $\frac{\pi }{2}$。因此，它在点 $A$ 处的切线平行于 $y$ 轴。例如，用定义易证函数 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 在 $x=0$ 处连续，且导数为无穷大，曲线在点 $(0,0)$ 处的切线就是 $y$ 轴（图 2.4）。一般来说，若 $f$ 在 $x_0$ 处不可导，且 $f^{\prime }(x_0)\ne \infty$，则曲线 $y=f(x)$ 处没有切线。例如，例1.5 中的函数 $(x_0,f(x_0))$ 处没有切线。例如，例 1.5 中的函数 $f$，从几何上看（图 2.5），当曲线 $x=0$ 处不可导，且 $f^{\prime }(0)\ne \infty$，从几何上看（图 2.5），当曲线 $y=f(x)$ 上的点沿曲线向原点移动时，割线在直线 $y=x$ 与 $y=-x$ 之间摆动，没有确定的极限位置，因此，该曲线在原点 $(0,0)$ 处没有切线。

图 2.4

图 2.5

根据导数的几何意义及平面直线的点斜式方程可知，若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $A(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程为

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀) , (1.8)$$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0),\text{\hspace{1em}(1.8)}$$

法线方程为

y - y₀ = -(1)/(f'(x₀))(x - x₀) . (1.9)$$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0).\text{\hspace{1em}(1.9)}$$

想一想

AI 解答

试说明：若函数 $f$ 在 $x_0$ 处连续，且 $f^{\prime }(x_0)=\infty$，则平面曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处的切线方程为 $x=x_0$，法线方程为 $y=y_0$。

例 1.7 抛物镜面的聚光问题

探照灯、反射式天文望远镜以及日常生活中使用的手电筒，它们的反光镜都采用所谓旋转抛物面，即抛物线绕对称轴旋转一周而成的曲面。这种反光镜有一个很好的光学特性，就是若把光源放在抛物线的焦点处，光线经镜面反射后能变成与对称轴平行的光束（图 2.6($a$)）。下面，利用导数的几何意义来证明这个性质。

考察抛物线所在平面并建立坐标系如图 2.6($b$) 所示。设抛物线的方程为 $y^2=x$，它的焦点为 $F\left(\frac{1}{4},0\right)$。仅考虑它的一支 $y=\sqrt{x}$，$P(x,y)$ 是这支抛物线上任意一点。

图 2.6

根据光学原理，光线的入射角应等于反射角。设入射角为 ${\beta }_1$，过 $P$ 作平行于 $Ox$ 轴的直线 $PM$，只要证明 ${\beta }_1={\beta }_2$ 就行了。过点 $P$ 作抛物线的切线 $PT$，问题就转化为证明 ${\alpha }_1={\alpha }_2$。

为了证明 ${\alpha }_1={\alpha }_2$，只要证明焦半径 $FP=FT$。事实上，设点 $P$ 的坐标为 $(x,\sqrt{x})$，所以

FP = √((x - 1/4)² + x) = x + 1/4 .$$FP=\sqrt{{\left(x-\frac{1}{4}\right)}^2+x}=x+\frac{1}{4}.$$

又抛物线 $y=\sqrt{x}$ 在点 $P$ 处的切线方程为

Y - √(x) = (1)/(2√(x))(X - x) ,$$Y-\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}(X-x),$$

其中 $X,Y$ 为切线上点的坐标。令 $Y=0$，得点 $T$ 的横坐标 $X=-x$，故 $FT=x+\frac{1}{4}$，这样就证明了 $FP=FT$。

1.3 可导与连续的关系

根据导数的定义，很容易证明下面的定理。

定理 1.1

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 可导，则该函数必在 $x_0$ 处连续。

证

由可导的定义知

lim_(Δ x → 0) (Δ y)/(Δ x) = f'(x₀) ,$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0),$$

再利用第一章定理4.1，我们有

(Δ y)/(Δ x) = f'(x₀) + α(Δ x) , (1.10)$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0)+\alpha (\Delta x),\text{\hspace{1em}(1.10)}$$

其中 $\Delta x\ne 0$，并且 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\alpha (\Delta x)=0$。等式两边同乘 $\Delta x$，得

Δ y = f'(x₀)Δ x + α(Δ x)Δ x ,$$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+\alpha (\Delta x)\Delta x,$$

或

Δ y = f'(x₀)Δ x + o(Δ x) , (1.11)$$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x),\text{\hspace{1em}(1.11)}$$

其中 $o(\Delta x)=\alpha (\Delta x)\Delta x$。所以 ${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$，这说明 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

注意

证明定理1.1 的基本思路是：利用函数可导的定义和极限与无穷小量之间的关系建立函数的改变量 $\Delta y$ 与已知条件函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处导数之间的关系 $(1.11)$ 式，从而由连续定义直接得到定理的结论，是用已知解决未知思想的体现。

定理1.1 表明，函数 $f$ 在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但。例1.4 和例1.5 中的函数都在 。例 1.4 和例 1.5 中的函数都在 $x_0=0$ 处连续，却不可导。

注

用类似的方法还能证明，若函数 $f$ 在 $x_0$ 左（右）可导，则它也在 $x_0$ 左（右）连续，进而易知定理1.1 对任意区间 $I$ 也成立。

数字资源 2.1.3导数概念中的两个值得注意的问题 ↗

1.4 导数在科学技术中的含义——变化率

在本节开始已经指出，科学技术中有很多重要的量都可以用导数来刻画。为了将导数更广泛地应用于各种不同的科技领域，还应对导数的概念作深入的剖析。首先来分析导数定义中 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的含义。

我们知道，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是函数 $y=f(x)$ 的改变量 $\Delta y$ 与自变量 $x$ 的改变量 $\Delta x$ 之比，它表示 $x$ 改变一个单位长度时函数改变量的大小，反映了 $y$ 随 $x$ 变化的快慢程度，称它为函数 $y=f(x)$ 在长为 $(\Delta x)$ 的区间上关于自变量的平均变化率。

在第一章第一节中已经讲过，当因变量 $y$ 随自变量 $x$ 均匀变化时，$y$ 必是 $x$ 的线性函数，此时平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 总是—个常数，它就是线性函数的导数。

若 $y=f(x)$ 是非线性函数，则平均变化率

(Δ y)/(Δ x) = (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x)$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

不是常数，随 $x_0$ 和 $\Delta x$ 而变。非线性函数的因变量 $y$ 随 $x$ 的变化是非均匀的，在不同点 $x_0$ 处变化的快慢程度也不相同。为了精确刻画在不同点处 $y$ 随 $x$ 变化的快慢程度，仅用平均变化率是不够的，因为它只是该函数在长为 $|\Delta x|$ 的区间中各点处变化率的近似值。因此，令 $\Delta x\to 0$，通过取极限得到的导数 $f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 才是函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的变化率。

回顾本节开始介绍的求变速直线运动瞬时速度和物质非均匀分布的细棒线密度的方法，求函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的变化率（导数）可归纳为以下两步：

(1) 局部均匀化求近似值：在从 $x_0$ 到 $x_0+\Delta x$ 的微小局部内，将非均匀变化近似看作是均匀的，利用处理均匀量的除法，求得 $f(x)$ 在 $x_0$ 处变化率的近似值：

(Δ y)/(Δ x) = (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) ;$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x};$$

(2) 利用极限求精确值：

lim_(Δ x → 0) (Δ y)/(Δ x) = lim_(Δ x → 0) (f(x₀ + Δ x) - f(x₀))/(Δ x) = f'(x₀) .$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f^{\prime }(x_0).$$

由此可见，“导数”是研究均匀变化问题的“商”在研究非均匀变化问题时的发展。下面利用这种思想方法讨论不同学科领域中的一些应用实例。

注意

函数在一点的导数表示它在该点处的变化率，因此，凡研究非均匀变化的变化率问题，都需要用导数。导数在不同学科中的具体含义不尽相同。例如，变速直线运动中位移 $s$ 对时间 $t$ 的导数 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ 是瞬时速度，物质非均匀分布的细棒上，质量 $m$ 对各点坐标 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}x}$ 是细棒的线密度。

注意

导数概念中包含着局部线性化思想，事实上，求非均匀变化的函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的变化率（即导数）的关键是第一步“局部均匀化”，也就是在微小局部“以匀代非匀”。由于均匀变化是线性函数的本质属性，而非均匀变化的函数是非线性的，所以“以匀代非匀”的本质就是“以线性函数代替非线性函数”，就是局部线性化。

例 1.8 电流强度

我们知道，在直流电路（恒定电流）中，通过导线截面的电量 $q=q(t)$ 随时间 $t$ 的变化是均匀的，因此单位时间内通过导线的电量 $\frac{\Delta q}{\Delta t}$（即电量对时间的变化率）是常数，它就是电流强度。在交流电路中，电量 $q=q(t)$ 随时间 $t$ 的变化是非均匀的，则

(Δ q)/(Δ t) = (q(t₀+Δ t)-q(t₀))/(Δ t)$$\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{q(t_0+\Delta t)-q(t_0)}{\Delta t}$$

仅表示 $\Delta t$ 时间内导线中的平均电流强度（即 $q$ 对 $t$ 的平均变化率）。为了求 $t_0$ 时刻的电流强度 $i(t_0)$，就要求 $t_0$ 时刻 $q=q(t)$ 对 $t$ 的变化率。按照上述思想方法和步骤：

(1) 在 $t_0$ 到 $t_0+\Delta t$ 的微小时间段内，将电量的变化近似看作是均匀的，得电流强度 $i(t_0)$ 的近似值：

i(t₀) ≈ (Δ q)/(Δ t) = (q(t₀+Δ t)-q(t₀))/(Δ t) ;$$i(t_0)\approx \frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{q(t_0+\Delta t)-q(t_0)}{\Delta t};$$

(2) 令 $\Delta t\to 0$，取极限得电流强度的精确值：

i(t₀) = lim_(Δ t → 0) (Δ q)/(Δ t) = lim_(Δ t → 0) (q(t₀+Δ t)-q(t₀))/(Δ t) = q'(t₀) .$$i(t_0)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta q}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{q(t_0+\Delta t)-q(t_0)}{\Delta t}=q^{\prime }(t_0).$$

例 1.9 生物种群的增长率

设 $N=N(t)$ 表示某生物种群（例如鱼类等）在时刻 $t$ 个体的数目。如果 $N(t)$ 是 $t$ 的线性函数，就是说，种群个体的数目 $N(t)$ 随时间 $t$ 均匀变化，那么单位时间内种群个体数量的变化即增长率可用除法求得

(Δ N)/(Δ t) = (N(t₀+Δ t)-N(t₀))/(Δ t) ,$$\frac{\Delta N}{\Delta t}=\frac{N(t_0+\Delta t)-N(t_0)}{\Delta t},$$

它是一个常数。但一般来说，种群个体的数目 $N(t)$ 是随时间 $t$ 非均匀变化的，$N(t)$ 是一非线性函数。这时，上式仅表示 $\Delta t$ 时间内种群的平均增长率，也就是 $N$ 对 $t$ 的平均变化率。为了预测随时间的增长该种群个体数量的变化，必须确定任何时刻 $t_0$ 的增长率。因此，通过局部均匀化和求极限两个步骤可得时刻 $t_0$ 的增长率为

lim_(Δ t → 0) (Δ N)/(Δ t) = lim_(Δ t → 0) (N(t₀+Δ t)-N(t₀))/(Δ t) ,$$\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta N}{\Delta t}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{N(t_0+\Delta t)-N(t_0)}{\Delta t},$$

它就是函数 $N=N(t)$ 在时刻 $t_0$ 对 $t$ 的导数 $N^{\prime }(t_0)$。

读者可能注意到，种群的个体数量 $N=N(t)$ 只能取正整数，因此 $N=N(t)$ 不是连续函数，怎能求导数呢？在用数学方法解决实际问题的时候，往往需要根据某种要求对问题进行必要的数学处理，建立问题的近似模型或理想模型。在上面的问题中，由于很多生物种群的繁殖是世代重叠的，而且种群个体的数量很大，因此，当时间改变量 $\Delta t$ 很小时，由出生和死亡引起的种群个体数量的变化相对于个体总数来说也很小，可把 $N=N(t)$ 近似看成是连续函数。事实上，利用 $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$ 作为增长率在研究很多生物种群的生态发展（包括研究人口的增长）中取得了令人满意的结果。这种情况在经济学中也经常碰到。

例 1.10 经济学中的边际成本

设 $p=p(x)$ 表示生产 $x$ 个某种产品（例如轴承）的总成本。如果成本 $p$ 随产品数量 $x$ 是均匀变化的，那么 $\frac{p}{x}$ 就表示生产单位产品所需要的成本。实际上，影响总成本的因素很多，关系也很复杂，因此，$p=p(x)$ 一般是非线性函数，产品的总成本 $p$ 是随 $x$ 非均匀变化的。此时，

(Δ p)/(Δ x) = (p(x₀+Δ x)-p(x₀))/(Δ x)$$\frac{\Delta p}{\Delta x}=\frac{p(x_0+\Delta x)-p(x_0)}{\Delta x}$$

仅表示生产 $\Delta x$ 个产品的平均成本。为了确定是否要扩大（或缩小）该产品的生产规模，必须确定该产品在任意产量 $x_0$ 时的成本，就是要求 $x=x_0$ 时函数 $p=p(x)$ 对 $x$ 的变化率。通过局部均匀化并求极限可得

lim_(Δ x → 0) (Δ p)/(Δ x) = lim_(Δ x → 0) (p(x₀+Δ x)-p(x₀))/(Δ x) ,$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta p}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{p(x_0+\Delta x)-p(x_0)}{\Delta x},$$

它就是函数 $p=p(x)$ 在 $x_0$ 的导数 $p^{\prime }(x_0)$，在经济学中称为边际成本。

只要稍微留心就会发现，在实际问题中需要应用变化率的例子很多很多。读者自己可再列举一些应用实例，并把它们归结为导数问题。

2.1 导数的概念