1.4 无穷小量与无穷大量

无穷小量与无穷大量是与极限有密切关系的两个概念，在微积分理论中起着重要作用。本节重点讲解无穷小量的概念、性质及其阶，以及用无穷小等价代换求极限的方法，最后简要介绍无穷大量。

4.1 无穷小量的概念与性质

定义 4.1 (无穷小量)

当 $x\to x_0$ ($x\to \infty$) 时，以零为极限的函数 $\alpha (x)$ 称为当 $x\to x_0$ ($x\to \infty$) 时的无穷小量，简称为无穷小。

例如，$x^2,\sin x,\tan x$ 都是当 $x\to 0$ 时的无穷小；而 $\frac{1}{x},\frac{\sin x}{x}$ 都是当 $x\to \infty$ 时的无穷小。显然，以零为极限的数列也是当 $n\to \infty$ 时的无穷小，例如 $\frac{1}{n^2},\sin \frac{1}{n}$ 等。

应当注意，无穷小是一个以零为极限的变量，不能把它与绝对值很小的常数混为一谈。除零之外，其他常数，不论其绝对值如何小，都不是无穷小。

一个函数是否为无穷小，与自变量的变化趋势有关。例如，$\frac{1}{x}$ 是当 $x\to \infty$ 时的无穷小，但不能笼统地说 $\frac{1}{x}$ 是无穷小。因为当 $x\to x_0\ne 0$ 时，$\frac{1}{x}\to \frac{1}{x_0}$；而当 $x\to 0$ 时，$\frac{1}{x}\to \infty$，在这两种情况下，$\frac{1}{x}$ 都不是无穷小。

想一想

AI 解答

(1) 无穷小量的定义中有哪几点是应当注意的？

(2) 用 $\epsilon$-$\delta$ 语言写出 $\alpha (x)$ 是当 $x\to x_0$ 时无穷小量的定义。

今后，如果极限符号下面未标明自变量的变化趋势，那么，表示它对于 $x\to x_0$ 与 $x\to \infty$ 等各种情形都适用。

定理 4.1

lim f(x) = a iff f(x) = a + α(x),$$\lim f(x)=a⟺f(x)=a+\alpha (x),$$

其中 $\alpha (x)$ 是一个无穷小。

证

仅就 $x\to x_0$ 的情形来证明，其他情形证法类似，留给读者。

必要性 设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$，则 ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)-a]=0$。令 $\alpha (x)=f(x)-a$，则 $\alpha (x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷小，并且 $f(x)=a+\alpha (x)$。

充分性 设 $f(x)=a+\alpha (x)$，$\alpha (x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷小。则

limₓ → x₀ f(x) = limₓ → x₀ [a + α(x)] = a + limₓ → x₀ α(x) = a.$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }[a+\alpha (x)]=a+\underset{x\to x_0}{\lim }\alpha (x)=a.$$

该定理阐明了函数的极限与无穷小量间的密切关系。由此，可以从无穷小量出发来定义极限，进而建立极限理论。

利用极限的有理运算法则和夹逼性不难证明无穷小量的下列运算性质：

定理 4.2

在自变量有相同变化趋势的条件下，我们有：

(1) 有限个无穷小量的代数和是无穷小量；

(2) 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。

注意

定理4.2 中的两个结论对于无穷多个无穷小量不一定成立，就是说，无穷多个无穷小量的代数和或乘积不一定是无穷小量。

定理 4.3

设 $\alpha (x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷小，$f$ 是在 $x_0$ 处局部有界的函数，则 $\alpha (x)f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷小。

证

由已知，$f$ 在 $x_0$ 处是局部有界的，故 $\exists M>0,\delta >0,\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，恒有 $|f(x)|⩽M$。从而，$\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，

|α(x)f(x)| ≤slant M|α(x)|,$$|\alpha (x)f(x)|⩽M|\alpha (x)|,$$

故

-M|α(x)| ≤slant α(x)f(x) ≤slant M|α(x)|.$$-M|\alpha (x)|⩽\alpha (x)f(x)⩽M|\alpha (x)|.$$

由于 ${\lim }_{x\to x_0}\alpha (x)=0$，由夹逼性得知 ${\lim }_{x\to x_0}\alpha (x)f(x)=0$，所以 $\alpha (x)f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷小。

类似的方法可以证明，若定理4.3 中 $\alpha (x)$ 是当 $x\to \infty$ 时的无穷小，$f$ 在 $U(\infty )$ 内有界（即 $\exists M>0,\forall x\in U(\infty )$，恒有 $|f(x)|⩽M$），则 $\alpha (x)f(x)$ 是当 $x\to \infty$ 时的无穷小。

数字资源 1.4.1无限个无穷小的乘积不是无穷小的例子 ↗

例 4.1

求极限 ${\lim }_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}$。

解

由于当 $x\to 0$ 时 $x$ 是无穷小，并且当 $x\ne 0$ 时，$\left|\sin \frac{1}{x}\right|⩽1$，故在 $x=0$ 的任一去心邻域内是有界函数。所以由定理4.3 可知 $x\sin \frac{1}{x}$ 也是当 $x\to 0$ 时的无穷小，即

limₓ → 0 x sin 1/x = 0$$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$$

由于 $-x⩽x\sin \frac{1}{x}⩽x$ ($x\ne 0$)，所以函数 $y=x\sin \frac{1}{x}$ 的图像夹在两直线 $y=x$ 与 $y=-x$ 之间（图 1.20）。由此可见，当 $x\to 0$ 时，虽然该曲线在 $x=0$ 附近无限次振荡，但其振幅逐渐减小地趋近于 0。

图 1.20

4.2 无穷小的比较

读者自然要问，两个无穷小的商（比）是否也是无穷小呢？由于两个无穷小商的极限属于 $\frac{0}{0}$ 型不定式，因此这个问题没有肯定的答案。例如 $x,2x,x^2,\sin x,x\sin \frac{1}{x}$ 都是当 $x\to 0$ 时的无穷小，但当 $x\to 0$ 时它们比值的极限可能出现下列多种情况：

(1) $\frac{x^2}{x}\to 0$；

(2) $\frac{2x}{x}\to 2$；

(3) $\frac{\sin x}{x}\to 1$；

(4) $\frac{x\sin \frac{1}{x}}{x}=\sin \frac{1}{x}$ 的极限不存在。

上述情况反映了不同无穷小之间存在着重要差异。在情况 (1) 中，由于 $x^2$ 与 $x$ 之比的极限等于 0，所以在 $x\to 0$ 的过程中，当 $|x|\ll 1$ 时，对于自变量 $x$ 的同一个值，无穷小 $x^2$ 的值比无穷小 $x$ 的绝对值小得多，相对于 $x$ 而言，$x^2$ 几乎可以忽略不计。例如，当 $x=10^{-4}$ 时，$x^2=10^{-8}$。这就是说，$x^2$ 比 $x$ 是“数量级”更高的无穷小，当 $x\to 0$ 时，常称 $x^2$ 是 $x$ 的高阶无穷小。在情况 (2) 中，由于 $2x$ 与 $x$ 之比的极限等于 2，所以在 $x\to 0$ 的过程中它们是成比例的，当 $|x|\ll 1$ 时，对于自变量 $x$ 的同一个值，无穷小 $2x$ 的值仅是无穷小 $x$ 值的 2 倍。例如，当 $x=10^{-4}$ 时，$2x=2\times 10^{-4}$。这就是说，$2x$ 与 $x$ 是处于同一“数量级”的无穷小，当 $x\to 0$ 时，常称 $2x$ 与 $x$ 是同阶无穷小。

想一想

AI 解答

试对情况 (3) 作类似于情况 (1)、(2) 的分析，说明它与 (2) 的差异。

一般地，我们引入无穷小阶的比较与阶的概念如下：

定义 4.2 (无穷小的阶)

设 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是自变量 $x$ 有相同变化趋势的无穷小，且 $\beta (x)\ne 0$。

(1) 若 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$，则称 $\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 的高阶无穷小（或称 $\beta (x)$ 是 $\alpha (x)$ 的低阶无穷小），记作 $\alpha (x)=o(\beta (x))$。特别，一个无穷小 $\alpha (x)$ 可记作 $o(1)$；

(2) 若 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=c$，且 $c\ne 0$ 为常数，则称 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是同阶无穷小；

(3) 若 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$，则称 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是等价无穷小，记作 $\alpha (x)\sim \beta (x)$；

(4) 若 $\lim \frac{\alpha (x)}{[\beta (x){]}^k}=c$（其中 $c\ne 0$ 是常数，$k>0$），则称 $\alpha (x)$ 是关于 $\beta (x)$ 的 $k$ 阶无穷小。特别地，若取 $\beta (x)=x-x_0$，若 ${\lim }_{x\to x_0}\frac{\alpha (x)}{(x-x_0{)}^k}=c$，则称 $\alpha (x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的 $k$ 阶无穷小。

注意

在定义4.2 中，条件 $\beta (x)\ne 0$ 是重要的。就是说，在进行无穷小（不妨设 $x\to x_0$）阶的比较或讨论阶数时，必须满足下述条件：存在 $x_0$ 的某去心邻域，使 $\beta (x)$ 在其中没有零点。

注意

无穷小的“阶数”或“阶”是借助于同阶无穷小来定义的。若 $\alpha (x)$ 与 $[\beta (x){]}^k$ ($k>0$) 是同阶无穷小，则称 $\alpha (x)$ 是关于 $\beta (x)$ 的 $k$ 阶无穷小。当 $x\to x_0$ 时，把 $\beta (x)=x-x_0$ 作为基本无穷小，其阶数为 1，若当 $x\to x_0$ 时，$\alpha (x)$ 与 $(x-x_0{)}^k$ ($k>0$)是同阶无穷小，则称 $\alpha (x)$ 是 $k$ 阶无穷小。

例 4.2

当 $x\to 0$ 时，试比较下列无穷小的阶：

(1) $\alpha (x)=x^3+2x^2,\beta (x)=2x^2$；

(2) $\alpha (x)=\sin x,\beta (x)=x$；

(3) $\alpha (x)=\tan x,\beta (x)=x$；

(4) $\alpha (x)=1-\cos x,\beta (x)=\frac{1}{2}{x}^2$。

解

(1) 由于

limₓ → 0 (α(x))/(β(x)) = limₓ → 0 (x³ + 2x²)/(2x²) = 1$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^3+2x^2}{2x^2}=1$$

所以当 $x\to 0$ 时，$x^3+2x^2$ 与 $2x^2$ 是等价无穷小，即 $x^3+2x^2\sim 2x^2$，并且 $x^3+2x^2$ 是当 $x\to 0$ 时的二阶无穷小。

(2) 由于 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，所以，当 $x\to 0$ 时，$\sin x$ 与 $x$ 是等价无穷小，即 $\sin x\sim x$。

与 (2) 类似可以证明当 $x\to 0$ 时，$\tan x\sim x$，$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$，并且 $1-\cos x$ 是当 $x\to 0$ 时的二阶无穷小。

数字资源 1.4.2无穷小的阶与高阶无穷小的运算规律 ↗

关于等价无穷小有下面的重要结论，证明留给读者。

定理 4.4

设 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是在自变量同一变化趋势下的无穷小，且 $\alpha (x)\sim \beta (x)$，则 $\alpha (x)=\beta (x)+o[\beta (x)]$（或 $\beta (x)=\alpha (x)+o[\alpha (x)]$）。

此定理表明，如果 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是在自变量某种变化趋势下（例如 $x\to x_0$）的等价无穷小，那么它们之间仅相差一个高阶无穷小。因此，在 $x\to x_0$ 的过程中，当 $|x-x_0|$ 充分小时，对于自变量 $x$ 的同一值 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 相应值的大小几乎相同，也就是说，其中的一个（例如 $\beta (x)$）是另一个（例如 $\alpha (x)$）的主要部分。但是，绝不能说它们是相等的！

由例4.2 中的 (2)、(3)、(4) 可得，当 $x\to 0$ 时，

sin x ∼ x ∼ tan x, 1 - cos x ∼ 1/2x² (4.1)$$\sin x\sim x\sim \tan x,1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

根据定理4.4，(4.1) 式还可以表示为：当 $x\to 0$ 时，

sin x = x + o(x), tan x = x + o(x), 1 - cos x = 1/2x² + o(x²) (4.2)$$\sin x=x+o(x),\tan x=x+o(x),1-\cos x=\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2)\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

例 4.3

证明：当 $x\to 0$ 时，$\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$ ($n\in {\mathbf{N}}_{+}$)。

证

利用分子有理化的方法得知

limₓ → 0 (n√(1 + x) - 1)/(x) = limₓ → 0 fracxx[sqrt[n](1 + x)ⁿ-1 + sqrt[n](1 + x)ⁿ-2 + … + 1] = 1/n$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x[\sqrt[n]{(1+x{)}^{n-1}}+\sqrt[n]{(1+x{)}^{n-2}}+\cdots +1]}=\frac{1}{n}$$

因此，当 $x\to 0$ 时，$\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$。

读者应当注意，并非每个无穷小都有阶数。例如，当 $x\to 0$ 时，$x\sin \frac{1}{x}$ 是无穷小，但它不能和任何 $x^k$ ($k>0$) 同阶。

4.3 无穷小的等价代换

上述定理在求极限中常常起到十分重要的简化作用。

定理 4.5

设 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$，$\tilde{\alpha }(x)$ 与 $\tilde{\beta }(x)$ 都是在自变量同一变化趋势下的无穷小。若 $\alpha (x)\sim \tilde{\alpha }(x)$，$\beta (x)\sim \tilde{\beta }(x)$，并且 $\lim \frac{\tilde{\alpha }(x)}{\tilde{\beta }(x)}$ 存在，则 $\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}$ 也存在，并且

lim (α(x))/(β(x)) = lim fractildeα(x)tildeβ(x)$$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\lim \frac{\tilde{\alpha }(x)}{\tilde{\beta }(x)}$$

证

由于

(α(x))/(β(x)) = fracα(x)tildeα(x) · fractildeα(x)tildeβ(x) · fractildeβ(x)β(x)$$\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\frac{\alpha (x)}{\tilde{\alpha }(x)}\cdot \frac{\tilde{\alpha }(x)}{\tilde{\beta }(x)}\cdot \frac{\tilde{\beta }(x)}{\beta (x)}$$

对上式两端取极限并利用极限的乘法运算法则与已知条件可立即可得到定理中的结论。

二维码 1.4.3

用无穷小等价代换求极限常见的错误。

定理4.5 称为无穷小等价代换定理，可用于计算 $\frac{0}{0}$ 型不定式的极限。应用时，对分子与分母中所含无穷小因式直接用更简单的等价无穷小作等价代换，往往可使所求极限变得简单而便于计算。

例 4.4

求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{1+2x^2}-1}{\arcsin \frac{x}{2}-\arctan \frac{x}{3}}$。

解

易见，所求极限为 $\frac{0}{0}$ 型不定式。由例4.3 知，当 $x\to 0$ 时

3√(1 + 2x²) - 1 ∼ 1/3 · 2x² = 2/3x²$$\sqrt[3]{1+2x^2}-1\sim \frac{1}{3}\cdot 2x^2=\frac{2}{3}{x}^2$$

又因为

limₓ → 0 (arcsin x/2)/(x/2) xlongequalu = arcsin x/2 limᵤ → 0 (u)/(sin u) = 1$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arcsin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\stackrel{u=\arcsin \frac{x}{2}}{=}\underset{u\to 0}{\lim }\frac{u}{\sin u}=1$$

所以当 $x\to 0$ 时，$\arcsin \frac{x}{2}\sim \frac{x}{2}$。类似可证当 $x\to 0$ 时，$\arctan \frac{x}{3}\sim \frac{x}{3}$。根据定理4.5，得

limₓ → 0 (3√(1 + 2x²) - 1)/(arcsin x/2 - arctan x/3) = limₓ → 0 (2/3x²)/(x/2 - x/3) = 4$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{1+2x^2}-1}{\arcsin \frac{x}{2}-\arctan \frac{x}{3}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{2}{3}{x}^2}{\frac{x}{2}-\frac{x}{3}}=4$$

注意

应用无穷小等价代换求极限时，只能对求极限函数中的无穷小因式进行。若待求极限的函数表达式中含有函数的加减法运算，则不能对其中用加、减号相联结的项分别进行等价代换，否则就会产生错误（见习题1.4($A$)第 3(1)题）！

4.4 无穷大量

无穷大量与无穷小的变化状态正好相反，它是绝对值无限趋大的变量。

定义 4.3 (无穷大量)

设 $f:\mathring{U}(x_0)\to \mathbf{R}$ 是一个函数，若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$，即

∀ M > 0, ∃ δ > 0, 使得当 0 < |x - x₀| < δ 时, 恒有 |f(x)| > M (4.3)$$\forall M>0,\exists \delta >0,\text{使得当 }0<|x-x_0|<\delta \text{ 时, 恒有 }|f(x)|>M\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

则称函数 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷大量（简称无穷大）。

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=+\infty$（${\lim }_{x\to x_0}f(x)=-\infty$），则称 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$ 时的正无穷大（负无穷大）。类似，还可以定义当 $x\to x_0^{+}$ 与 $x\to x_0^{-}$，$\pm \infty$ 时的无穷大及正（负）无穷大。

例如，不难证明，当 $x\to 0$ 时，$\left|\frac{1}{x}\right|\to +\infty$，所以函数 $y=\frac{1}{x}$ 是当 $x\to 0$ 时的无穷大量。类似可知，当 $x\to 0^{+}$ 时，$y=\frac{1}{x}$ 是正无穷大量；当 $x\to 0^{-}$ 时，$y=\frac{1}{x}$ 是负无穷大量。

若 $x\to x_0$ 时，$f(x)\to \infty$，则直线 $x=x_0$ 是曲线 $y=f(x)$（即函数 $f$ 的图像）的一条垂直渐近线（图 1.21($a$)）。若 $x\to \infty$ 时，$f(x)\to a$，则直线 $y=a$ 的一条水平渐近线（图 1.21($y=f(x)$ 的渐近线的严格定义参见习题1.4($b$)）（曲线 $y=f(x)$ 的渐近线的严格定义参见习题 1.4($B$)第 1 题。）

图 1.21

定理 4.6

在自变量同一变化趋势下，无穷大量与无穷小量有如下关系：

(1) 若 $f(x)$ 是无穷小量，且 $f(x)\ne 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大量；

(2) 若 $f(x)$ 是无穷大量，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小量。

证

不妨假定 $x\to x_0$。

(1) 为了证明 $\frac{1}{f(x)}$ 为当 $x\to x_0$ 时的无穷大量，只要证对任给的 $M>0$，$\exists \delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，恒有 $\left|\frac{1}{f(x)}\right|\ge M$，或 $|f(x)|\le \frac{1}{M}$。由于 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$ 时的无穷小量，则对于 $\epsilon =\frac{1}{M}>0$，必 $\exists \delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)|<\epsilon$。又由于 $f(x)\ne 0$，故有 $\left|\frac{1}{f(x)}\right|>\frac{1}{\epsilon }=M$，从而知当 $x\to x_0$ 时，$\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大量。

类似地，可以证明结论 (2)。

定理 4.7

在自变量同一变化趋势下，无穷大量具有下列运算性质（证明从略，由读者自己去完成。）

(1) 有限个无穷大量的乘积是无穷大量；

(2) 无穷大量与有界量之和是无穷大量。

注意

两个（有限个）无穷大量的代数和不一定是无穷大量，因为可能出现 $\infty -\infty$ 型不定式的情况（见例3.7）；无穷大量与有界量的乘积也不一定是无穷大量，因为可能出现 $0\cdot \infty$ 型不定式的情况。读者还应注意无穷大量与无界量之间的区别。

与无穷小量类似，对无穷大量也可进行阶的比较。读者可以仿照无穷小量阶的定义4.2 自己去讨论，这里不再赘述。

最后，我们介绍科技中常用的记号“$O$”的含义。设函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 定义在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 中，若 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x_0$ 处是局部有界的，则记作 $f(x)=O(g(x))$。特别地，若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是局部有界的，则记作 $f(x)=O(1)$。例如，

sin 1/x = O(1), x sin 1/x = O(x)$$\sin \frac{1}{x}=O(1),x\sin \frac{1}{x}=O(x)$$

1.4 无穷小量与无穷大量