1.3 函数的极限

本节的任务是类比于数列将极限的概念、理论和方法推广到函数中去。我们知道，数列是定义在正整数集 $\mathbf{N}$ 上的函数，它的自变量 $n$ 只能“离散地”取正整数并且仅有趋于 $+\infty$ 一种变化状态；而对于实际问题中经常碰到的函数，它的自变量 $x$ 可以“连续地”取定义区间中的值，并且自变量 $x$ 的变化不仅有无限变大的情况，而且可以趋于有限值 $x_0$。因此，研究函数的极限自然要比数列极限更复杂些。下面，我们根据函数的上述特点先将极限概念推广到函数，然后再介绍函数极限的性质、求函数极限的方法和判定函数极限的存在准则。

3.1 函数极限的概念

1. 自变量 $x$ 无限增大时的函数极限

自变量 $x$ 无限增大包括三种情况：$x$ 取正值无限增大，记作 $x\to +\infty$；$x$ 取负值而 $|x|$ 无限增大，记作 $x\to -\infty$；既可取正值又可取负值并且 $|x|$ 无限增大，记作 $x\to \infty$。我们重点讨论 $x\to +\infty$ 时函数极限的定义，至于其他情况，可以类似地进行研究。不妨假定函数 $f$ 的定义域 $D(f)=[\alpha ,+\infty )$ ($\alpha \in \mathbf{R}$)。与数列极限的描述性定义类似，如果当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)$ 无限接近于某个常数 $a$，就称 $a$ 是 $f(x)$ 当 $x\to +\infty$ 时的极限，这就是 $x\to +\infty$ 时函数极限的描述性定义。为了给出它的精确定义，关键在于刻画“$x\to +\infty$”与“$f(x)$ 无限接近于 $a$”。显然，“$f(x)$ 无限接近于 $a$”可用与数列极限定义中类似的不等式 “$\forall \epsilon >0$，$|f(x)-a|<\epsilon$”来刻画。至于 “$x\to +\infty$”，根据 $x$ 在区间 $[\alpha ,+\infty )$ 内“连续”变化的特点，可用“$\exists X>0$（$X$ 是实数），当 $x>X$ 时”来刻画，这是与数列极限定义中的不同之处。于是得到下列定义：

定义 3.1 ($x \to +\infty$ 时的函数极限)

注

由于 $x\to +\infty$ 时函数 $f(x)$ 的极限与 $n\to +\infty$ 时数列 $a_n=f(n)$ 的极限所描述的无限变化状态类似，因此刻画两种极限的精确定义也是类似的。只是因为前者的自变量 $x$ 在 $[\alpha ,+\infty )$ 内是“连续”变化的，所以用实数 $X>0$ 代替数列极限中的正整数 $N$，用 $x>X$ 来刻画 “$x\to +\infty$”。

设 $f:[\alpha ,+\infty )\to \mathbf{R}$ 是任一函数（$\alpha \in \mathbf{R}$）。如果存在常数 $a\in \mathbf{R}$，它与 $f(x)$ 满足如下关系：

∀ ε > 0, ∃ X > 0, 使得 ∀ x > X, 恒有 |f(x) - a| < ε, (3.1)$$\forall \epsilon >0,\exists X>0,\text{使得 }\forall x>X,\text{恒有 }|f(x)-a|<\epsilon ,\text{\hspace{1em}(3.1)}$$

那么称 $a$ 是当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)$ 的极限，记作

limₓ → +∞ f(x) = a 或 f(x) → a (x → +∞).$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=a\text{或}f(x)\to a(x\to +\infty ).$$

此时又称当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)$ 极限存在或有极限。

想一想

AI 解答

仿照数列极限定义2.1 的四点说明，对定义3.1 的函数极限 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=a$ 做类似的说明。

与数列极限类似，也可以用邻域来定义函数极限。设 $M>0$，称开区间 $(M,+\infty )$ 为 $+\infty$ 的邻域，$(-\infty ,-M)$ 为 $-\infty$ 的邻域，$(-\infty ,-M)\cup (M,+\infty )$ 为 $\infty$ 的邻域，分别记作 $U(+\infty ,M)$，$U(-\infty ,M)$ 与 $U(\infty ,M)$，简记为 $U(+\infty )$，$U(-\infty )$ 与 $U(\infty )$。于是，定义3.1 可以用邻域来表述：如果

∀ ε > 0, ∃ X > 0, 使得 ∀ x ∈ U(+∞), 恒有 f(x) ∈ U(a, ε), (3.2)$$\forall \epsilon >0,\exists X>0,\text{使得 }\forall x\in U(+\infty ),\text{恒有 }f(x)\in U(a,\epsilon ),\text{\hspace{1em}(3.2)}$$

那么称 $a$ 是当 $x\to +\infty$ 时 $f(x)$ 的极限。

上述定义的几何意义是：对任意的 $\epsilon >0$，无论如何小，总能在 $x$ 轴上找到一点 $(X,0)$，使得函数 $f$ 的图像 $\text{Gr}f=\{(x,y)\mid y=f(x),x\in [\alpha ,+\infty )\}$ 在直线 $x=X$ 右边的部分全部位于平面带形 $(X,+\infty )\times (a-\epsilon ,a+\epsilon )$ 内（图 1.16）。

图 1.16

当 $x\to -\infty$ 时，函数 $f:(-\infty ,\beta ]\to \mathbf{R}$（$\beta \in \mathbf{R}$）的极限（记作 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)$）与当 $x\to \infty$ 时 $f:(-\infty ,-\beta ]\cup [\alpha ,+\infty )\to \mathbf{R}$（$\alpha \in \mathbf{R}$）的极限（记作 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)$）可类似地定义，由读者自己写出。不难证明：

limₓ → ∞ f(x) = a iff limₓ → -∞ f(x) = limₓ → +∞ f(x) = a. (3.3)$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=a⟺\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=a.\text{\hspace{1em}(3.3)}$$

例 3.1

用定义3.1 证明 ${\lim }_{x\to +\infty }\sin \frac{1}{x}=0$。

证

不妨设 $x>0$。按定义，只要对任给的 $\epsilon >0$，求得 $M>0$，使得 $\forall x>M$，恒有

| sin 1/x - 0 | < ε$$\left|\sin \frac{1}{x}-0\right|<\epsilon$$

就行了。由于

| sin 1/x - 0 | = | sin 1/x | ≤ 1/x,$$\left|\sin \frac{1}{x}-0\right|=\left|\sin \frac{1}{x}\right|\le \frac{1}{x},$$

因此，只要取 $X=\frac{1}{\epsilon }$。易见，当 $x>M$ 时，就有

| sin 1/x - 0 | < ε,$$\left|\sin \frac{1}{x}-0\right|<\epsilon ,$$

故 ${\lim }_{x\to +\infty }\sin \frac{1}{x}=0$。

2. 自变量 $x$ 趋于有限值时函数的极限

许多实际问题需要研究自变量 $x$ 趋于有限值 $x_0$ 时函数的极限。例如，在绪论中已讲过的求变速直线运动的瞬时速度

v(t₀) = limₜ → t₀ (s(t) - s(t₀))/(t - t₀)$$v(t_0)=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$$

就属于这类极限。

$x$ 趋近于 $x_0$ 也包括三种情形：$x>x_0$ 且 $x$ 趋近于 $x_0$，它表示在数轴上 $x$ 从 $x_0$ 的右侧趋近于 $x_0$，记作 $x\to x_0^{+}$；$x<x_0$ 且 $x$ 趋近于 $x_0$，它表示在数轴上 $x$ 从 $x_0$ 的左侧趋近于 $x_0$，记作 $x\to x_0^{-}$；$x$ 既可大于 $x_0$ 也可小于 $x_0$ 且 $x$ 趋近于 $x_0$，它表示在数轴上 $x$ 从 $x_0$ 的左右两侧趋近于 $x_0$，记作 $x\to x_0$。

下面主要讨论 $x\to x_0$ 时的函数极限。对于这类极限，我们关心的是当 $x\to x_0$ 的变化过程中函数值 $f(x)$ 的变化趋势。为此，一方面需要知道在 $x_0$ 附近函数值 $f(x)$ 的变化状况，这就要求 $f$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义；另一方面只要知道 $x\to x_0$ 时函数值 $f(x)$ 无限趋近于什么数，与该函数在 $x_0$ 处有无定义以及若有定义与它在 $x_0$ 处值的大小无关，因此，只需假定 $f$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有定义，如同上面求瞬时速度 $v(t_0)$ 中的函数 $\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}$ 那样。

注

定义3.2 中之所以采用不等式 $0<|x-x_0|<\delta$ 而不用 $|x-x_0|<\delta$，一方面是因为满足 $|x-x_0|<\delta$ 的 $x$ 当然包括 $x_0$，若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处无定义，则 $|f(x_0)-a|<\epsilon$ 是毫无意义的；另一方面，即使 $f(x)$ 在 $x_0$ 有定义，例如讨论

f(x) = (x² - 1)/(x - 1), & x ≠ 1, 0, & x = 1$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{x-1},& x\ne 1,\\ 0,& x=1\end{array}$$

当 $x\to 1$ 时的极限，直观上易见 $f(x)\to 2$。定义中若采用 $|x-1|<\delta$，则满足该不等式的 $x$ 包括 $x=1$。由于 $|f(1)-2|=|0-2|=2$，不可能任意小。从而从定义3.2 就将这类函数排除在外，失去了一般性。

与前面类似，若当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 无限接近于某常数 $a$，则称 $a$ 是 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限。为了给出极限的精确定义，可以像定义3.1 那样，用 “$\forall \epsilon >0$， $|f(x)-a|<\epsilon$”来刻画“$f(x)\to a$”，但此处还要刻画 $x$ 接近于 $x_0$ 的程度，为此可用它们在数轴上的距离 $|x-x_0|$ 的大小，选取 $\delta >0$，通过 $|x-x_0|<\delta$ 来描述。由于满足此不等式的 $x$ 当然包括 $x_0$，但前面已经指出，讨论 $x\to x_0$ 时函数 $f$ 的极限实际上是考察 $x$ 无限接近于 $x_0$ 时 $f(x)$ 变化的最终趋势，与 $f$ 在 $x_0$ 处是否有定义，以及 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的值是什么无关，因此，为保证定义的一般性，还应去掉 $x_0$，将“$|x-x_0|<\delta$”改为“$0<|x-x_0|<\delta$”，从而有

定义 3.2 ($x \to x_0$ 时的函数极限)

设 $f:\mathring{U}(x_0)\to \mathbf{R}$ 是任一函数，若存在常数 $a\in \mathbf{R}$，它与 $f(x)$ 满足如下关系：

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 使得当 0 < |x - x₀| < δ 时，恒有 |f(x) - a| < ε, (3.4)$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{使得当 }0<|x-x_0|<\delta \text{时，恒有 }|f(x)-a|<\epsilon ,\text{\hspace{1em}(3.4)}$$

则称 $a$ 是当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限，记作

limₓ → x₀ f(x) = a 或 f(x) → a (x → x₀).$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a\text{或}f(x)\to a(x\to x_0).$$

此时，称当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限存在或有极限。

想一想

AI 解答

(1) 将定义3.2 用邻域表述出来； (2) 试用 $\epsilon \text{-}\delta$ 语言表述 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\ne a$。

定义3.2 的几何意义是：对于给定的 $\epsilon >0$，总存在一个 $\delta >0$，使得函数 $f$ 的图像 $\text{Gr}f=\{(x,y)\mid y=f(x),x\in \mathring{U}(x_0)\}$ 在宽为 $2\delta$ 的竖直带形内的部分全部落在长方形 内（图 1.17）。 内（图 1.17）。

图 1.17

与数列极限类似，利用定义来验证当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限是 $a$，关键在于设法由任意给定的 $\epsilon >0$，求出一个仅与 $\epsilon$ 有关而与 $x$ 无关（不唯一）的 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，不等式 $|f(x)-a|<\epsilon$ 恒成立。在证明中也常常需要利用不等式的放大技巧。

例 3.2

用定义验证 ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$。

证

任给 $\epsilon >0$，为使

| (x² - 4)/(x - 2) - 4 | = |x - 2| < ε,$$\left|\frac{x^2-4}{x-2}-4\right|=|x-2|<\epsilon ,$$

只要取 $\delta =\epsilon$ 就行了。因此，当 $0<|x-2|<\delta$ 时，就有

| (x² - 4)/(x - 2) - 4 | < ε.$$\left|\frac{x^2-4}{x-2}-4\right|<\epsilon .$$

由定义知 ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}=4$。

例 3.3

用定义验证 ${\lim }_{x\to 2}\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{1}{4}$。

证

任给 $\epsilon >0$，由不等式

| (x - 2)/(x² - 4) - 1/4 | = | (x - 2)/(4(x + 2)) | < ε$$\left|\frac{x-2}{x^2-4}-\frac{1}{4}\right|=\left|\frac{x-2}{4(x+2)}\right|<\epsilon$$

很难求出相应的 $\delta$。但是，由于题中讨论的是当 $x\to 2$ 时的函数极限，因此可以限制 $x$ 在 $x_0=2$ 的一个小邻域内。例如，限定 $|x-2|<1$，解之可得 $1<x<3$，故 $|x+2|>3$。这样就有

| (x - 2)/(x² - 4) - 1/4 | < (|x - 2|)/(12)。$$\left|\frac{x-2}{x^2-4}-\frac{1}{4}\right|<\frac{|x-2|}{12}。$$

因此，只要 $\frac{1}{12}|x-2|<\epsilon$，即 $|x-2|<12\epsilon$，并且 $|x-2|<1$ 就行了。于是我们取 $\delta =\min \{1,12\epsilon \}$，则当 $0<|x-2|<\delta$ 时，就有

| (x - 2)/(x² - 4) - 1/4 | < ε,$$\left|\frac{x-2}{x^2-4}-\frac{1}{4}\right|<\epsilon ,$$

所以结论成立。

注

在例3.3 中为了方便求得满足 (3.4) 式的 $\delta$，将 $x$ 限制在 $x_0-2$ 的一个充分小邻域内，这是用定义验证函数极限的常用方法。之所以能这样做，是因为我们研究的是 $x\to 2$ 时的极限，不需要考虑远离 $x_0=2$ 处函数数值的变化情况。

数字资源 1.3.1函数极限定义的推广 ↗

类似地，可以定义当 $x\to x_0^{-}$ 或 $x\to x_0^{+}$ 时函数的极限，这就是所谓的左极限与右极限，统称单侧极限。

设有函数 $f:(x_0-\alpha ,x_0)\to \mathbf{R}$（$\alpha >0$ 是常数），若存在常数 $a\in \mathbf{R}$，它与 $f(x)$ 满足如下关系：

∀ ε > 0, ∃ δ ∈ (0, α), 使得 ∀ x ∈ (x₀ - δ, x₀), 恒有 |f(x) - a| < ε,$$\forall \epsilon >0,\exists \delta \in (0,\alpha ),\text{使得 }\forall x\in (x_0-\delta ,x_0),\text{恒有 }|f(x)-a|<\epsilon ,$$

则称 $a$ 为当 $x\to x_0^{-}$ 时的左极限，记作

f(x₀ - 0) = limₓ → x₀⁻ f(x) = a 或 f(x) → a (x → x₀⁻).$$f(x_0-0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=a\text{或}f(x)\to a(x\to x_0^{-}).$$

仿此，读者不难定义当 $x\to x_0^{+}$ 时函数 $f:(x_0,x_0+\beta )\to \mathbf{R}$（$\beta >0$ 为常数）的右极限，记作

f(x₀ + 0) = limₓ → x₀⁺ f(x) = a 或 f(x) → a (x → x₀⁺).$$f(x_0+0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=a\text{或}f(x)\to a(x\to x_0^{+}).$$

与 $x\to \infty$ 的情形类似，也有如下结论：

limₓ → x₀ f(x) = a iff limₓ → x₀⁻ f(x) = limₓ → x₀⁺ f(x) = a. (3.5)$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a⟺\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=a.\text{\hspace{1em}(3.5)}$$

数字资源 1.3.2单侧极限在研究函数极限时有什么作用 ↗

这就是说，当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限是 $a$ 的充要条件为 $f(x)$ 的左、右极限都存在，而且都是 $a$。因此，如果 $f(x)$ 的左、右极限中有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，那么当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限不存在。例如，当 $x\to 0$ 时符号函数

sgn x = 1, & x > 0, 0, & x = 0, -1, & x < 0$$\text{sgn }x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0,\\ 0,& x=0,\\ -1,& x<0\end{array}$$

的极限不存在，这是因为 ${\lim }_{x\to 0^{-}}\text{sgn }x=-1$，${\lim }_{x\to 0^{+}}\text{sgn }x=1$。

上述情况也是函数极限不存在的一种，即

∀ M > 0, ∃ δ > 0, 使得当 0 < |x - x₀| < δ 时，恒有 |f(x)| > M, (3.6)$$\forall M>0,\exists \delta >0,\text{使得当 }0<|x-x_0|<\delta \text{ 时，恒有 }|f(x)|>M,\text{\hspace{1em}(3.6)}$$

但习惯上常称之为当 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限为无穷大，记作 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$。

3. 函数极限的归并原理

在本章第二节，我们介绍了数列极限的归并原理，它沟通了数列与其子列的极限之间的关系。下面说明，函数极限与数列极限之间也存在着密切的联系。这种联系是由著名的 Heine 定理建立的，常称之为函数极限的归并原理。

定理 3.1 (Heine 定理)

设 $f:\mathring{U}(x_0)\to \mathbf{R}$ 为一函数，$a$ 为一常数，则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$ 的充要条件为对于 $\mathring{U}(x_0)$ 中的任何数列 $\{x_n\}$，当 $x_n\to x_0$ ($n\to \infty$) 时，相应的函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 都收敛于 $a$（$a$ 为有限或 $\infty$）。

证

必要性 设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$，由定义3.2，

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 使得当 0 < |x - x₀| < δ 时，恒有 |f(x) - a| < ε. (3.7)$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{使得当 }0<|x-x_0|<\delta \text{ 时，恒有 }|f(x)-a|<\epsilon .\text{\hspace{1em}(3.7)}$$

又由于 $x_n\in \mathring{U}(x_0)$，且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0$，故对上面的 $\delta$，

∃ N ∈ N_+ ，使得 ∀ n > N, 恒有 0 < |xₙ - x₀| < δ. (3.8)$$\exists N\in {\mathbf{N}}_{+}\text{，使得 }\forall n>N,\text{恒有 }0<|x_n-x_0|<\delta .\text{\hspace{1em}(3.8)}$$

联合 (3.7) 式与 (3.8) 式可得

∀ ε > 0, ∃ N ∈ N_+ ，使得 ∀ n > N, 恒有 |f(xₙ) - a| < ε,$$\forall \epsilon >0,\exists N\in {\mathbf{N}}_{+}\text{，使得 }\forall n>N,\text{恒有 }|f(x_n)-a|<\epsilon ,$$

故 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=a$。

充分性 用反证法。假若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$ 不成立，也就是说，当 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 不以 $a$ 为极限。根据定义3.2，

∃ ε₀ > 0, ∀ δ > 0, ∃ x ∈ mathringU(x₀, δ), 使得 |f(x) - a| ≥ ε₀.$$\exists {\epsilon }_0>0,\forall \delta >0,\exists x\in \mathring{U}(x_0,\delta ),\text{使得 }|f(x)-a|\ge {\epsilon }_0.$$

取 ${\delta }_n=\frac{1}{n}$（$n\in {\mathbf{N}}_{+}$），则

∀ n ∈ N_+ ，都 ∃ xₙ ∈ mathringU(x₀, δₙ), 使得 |f(xₙ) - a| ≥ ε₀.$$\forall n\in {\mathbf{N}}_{+}\text{，都 }\exists x_n\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_n),\text{使得 }|f(x_n)-a|\ge {\epsilon }_0.$$

由于当 $n\to \infty$ 时 ${\delta }_n\to 0$，因此就得到 $\mathring{U}(x_0)$ 中的一个数列 $\{x_n\}$，${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0$，但是 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=a$ 却不成立。这与已知条件相矛盾，故必有 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$。

注

在“必要性”的证明中，将 (3.7) 式中的“$\delta$”作为 (3.8) 式中不等式 $0<|x-x_0|<\epsilon$ 中的“$\epsilon$”。这样做的目的是建立已知条件 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$ 与 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0$ 之间的联系（“搭桥”），从而用这两个已知条件证明结论 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=a$ 是一种常用的思想方法。

由定理的证明过程可见，该定理对于 $x\to x_0^{+},x\to x_0^{-}$ 及 $x\to +\infty ,x\to -\infty ,x\to \infty$ 等情形都成立。同数列极限的归并原理一样，也可以用定理3.1 的必要性来证明某些函数的极限不存在。

数字资源 1.3.3函数极限归并原理的重要作用 ↗

例 3.4

证明：当 $x\to 0$ 时函数 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$（$x\ne 0$）的极限不存在。

证

根据归并原理，为了证明当 $x\to 0$ 时该函数的极限不存在，只要在 $\mathring{U}(0)$ 内找到两个都收敛于 $0$ 的不同的数列 $\{x_n\}$，使对应的函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 收敛于不同的常数就可以了。为此，取 $x_n^{(1)}=\frac{1}{n\pi }$（$n\in {\mathbf{N}}_{+}$），则 $x_n^{(1)}\to 0$，且 $x_n^{(1)}\ne 0$，从而

limₙ → ∞ sin frac1xₙ^((1)) = limₙ → ∞ sin nπ = 0.$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sin \frac{1}{x_n^{(1)}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sin n\pi =0.$$

再取 $x_n^{(2)}=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}$（$n\in {\mathbf{N}}_{+}$），则 $x_n^{(2)}\to 0$，且 $x_n^{(2)}\ne 0$，从而

limₙ → ∞ sin frac1xₙ^((2)) = limₙ → ∞ sin (2nπ + (π)/(2)) = 1.$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sin \frac{1}{x_n^{(2)}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sin \left(2n\pi +\frac{\pi }{2}\right)=1.$$

故当 $x\to 0$ 时 $f(x)$ 的极限不存在。

利用 Heine 定理不但可以判断某些函数的极限不存在，而且下面将要看到，它还可以把许多函数极限的问题转化为数列极限的相应问题，然后利用数列极限中已有的相关问题的结论，推得函数极限的相应结论。

3.2 函数极限的性质

函数极限与数列极限有相类似的一些性质，这些性质既可以用证明数列极限相应性质的方法来证明，也可以利用 Heine 定理转化为数列极限的相应命题来证明。下面仅给出部分性质的证明，其余读者完成。

定理 3.2

设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$，则 (1) (唯一性) 当 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 的极限是唯一的； (2) (局部有界性) $f$ 在 $x_0$ 处是局部有界的，即 $\exists M>0$ 与 $\delta >0$，使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，恒有 $|f(x)|\le M$。

证

(1) 用归并原理。假设极限不唯一，就是说，若既有 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$，又有 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=b\ne a$。任取 $\{x_n\}\in \mathring{U}(x_0)$，$x_n\to x_0$ ($n\to \infty$)，则由归并原理，函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 既收敛于 $a$，又收敛于 $b$，这与数列极限的唯一性矛盾。

(2) 根据函数极限定义，对于 $\epsilon =1$，$\exists \delta >0$，使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，恒有 $|f(x)-a|<1$，从而有 $|f(x)|=|f(x)-a+a|\le |f(x)-a|+|a|\le 1+|a|$，故 $f$ 在 $x_0$ 处局部有界。

定理 3.3

设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$，${\lim }_{x\to x_0}g(x)=b$。

数字资源 1.3.4应用极限的保号性与保序性时应当注意的问题 ↗

(1) (局部保号性) 若 $a\ne 0$，则 $\exists \delta >0$，使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，$f(x)$ 都与 $a$ 同号。特别若 $a>0$（$a<0$），则 $\exists \delta >0$，使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，恒有 $f(x)>0$（$f(x)<0$）； (2) (局部保序性) 若 $\exists \delta >0$，使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，恒有 $f(x)\le g(x)$，则 $a\le b$； (3) (夹逼性) 若 $\exists \delta >0$，使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，恒有 $f(x)\le \phi (x)\le g(x)$，且 $a=b$，则 ${\lim }_{x\to x_0}\phi (x)=a$。

证

仅用 Heine 定理证明夹逼性，其余的性质由读者补证。任取数列 $\{x_n\}\in \mathring{U}(x_0)$，使 $x_n\to x_0$ ($n\to \infty$)，则由数列极限定义，对已知条件中的 $\delta >0$，$\exists N\in {\mathbf{N}}_{+}$，使得 $\forall n>N$，恒有 $x_n\in \mathring{U}(x_0,\delta )$。又由已知条件，

f(xₙ) ≤ φ(xₙ) ≤ g(xₙ),$$f(x_n)\le \phi (x_n)\le g(x_n),$$

并且根据 Heine 定理的必要条件，${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)={\lim }_{n\to \infty }f(x)=a$，${\lim }_{n\to \infty }g(x_n)={\lim }_{n\to \infty }g(x)=a$。故由数列极限的夹逼性得知 ${\lim }_{n\to \infty }\phi (x_n)=a$。因为 $\{x_n\}$ 是 $\mathring{U}(x_0)$ 内收敛于 $x_0$ 的任一数列，故由 Heine 定理的充分条件得 ${\lim }_{x\to x_0}\phi (x)={\lim }_{n\to \infty }\phi (x_n)=a$。

注

由于函数极限的有界性、保号性、保序性仅在 $x_0$ 的某邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内成立，因此这些性质的前面都加上了“局部”二字。实际上，数列极限对应的上述性质除有界性外，其余性质也是“局部的”，因为仅当 $n\ge N$ 时它们才成立。

定理 3.4 (有限运算法则)

设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$，${\lim }_{x\to x_0}g(x)=b$，则 (1) ${\lim }_{x\to x_0}[f(x)\pm g(x)]={\lim }_{x\to x_0}f(x)\pm {\lim }_{x\to x_0}g(x)=a\pm b$； (2) ${\lim }_{x\to x_0}f(x)g(x)={\lim }_{x\to x_0}f(x){\lim }_{x\to x_0}g(x)=ab$； (3) ${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to x_0}f(x)}{{\lim }_{x\to x_0}g(x)}=\frac{a}{b}$，其中 $b\ne 0$。

想一想

AI 解答

(1) 试用函数极限的归并原理证明函数极限的有理运算法则； (2) 对照数列极限的有理运算法则，说明使用函数极限有理运算法则时应当注意哪些问题。

由定理3.4 得函数极限的线性运算法则：

limₓ → x₀ [α f(x) + β g(x)] = α limₓ → x₀ f(x) + β limₓ → x₀ g(x) = α a + β b,$$\underset{x\to x_0}{\lim }[\alpha f(x)+\beta g(x)]=\alpha \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)+\beta \underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=\alpha a+\beta b,$$

其中 $\alpha ,\beta \in \mathbf{R}$ 为常数。

以上几个定理，对于 $x\to \infty ,x\to \pm \infty ,x\to x_0^{+}$ 等情形也成立。

有了函数极限的有理运算法则，我们就可以求一些函数的极限了。

例 3.5

求 ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x^3-1}$。

解

由于

(x² - 1)/(x³ - 1) = ((x + 1)(x - 1))/((x - 1)(x² + x + 1)) = (x + 1)/(x² + x + 1),$$\frac{x^2-1}{x^3-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}=\frac{x+1}{x^2+x+1},$$

所以

limₓ → 1 (x² - 1)/(x³ - 1) = limₓ → 1 (x + 1)/(x² + x + 1) = 2/3。$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x^3-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{2}{3}。$$

注意

当 $x\to 1$ 时，由于分子与分母的极限都是 $0$，因此不能直接利用有理运算法则 (3)。这类极限常称为 $\frac{0}{0}$ 型不定式。之所以叫不定式，是因为对于这类极限，它是否存在，如果存在，极限值是什么，应具体分析，不能一概而论。对 $\frac{0}{0}$ 型不定式，通常应先设法消去分子与分母中极限为 $0$ 的因子（称为零因子），然后再用有理运算法则求其极限值。

例 3.6

求 ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x^2+2x+5}{x^2+x+4}$。

解

由于

(x² + 2x + 5)/(x² + x + 4) = (1 + 2/x + (5)/(x²))/(1 + 1/x + (4)/(x²)),$$\frac{x^2+2x+5}{x^2+x+4}=\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}},$$

所以

limₓ → +∞ (x² + 2x + 5)/(x² + x + 4) = fraclimₓ → +∞ (1 + 2/x + (5)/(x²))limₓ → +∞ (1 + 1/x + (4)/(x²)) = 1.$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+5}{x^2+x+4}=\frac{{\lim }_{x\to +\infty }\left(1+\frac{2}{x}+\frac{5}{x^2}\right)}{{\lim }_{x\to +\infty }\left(1+\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}=1.$$

注意

当 $x\to +\infty$ 时，由于分子与分母的极限都为 $+\infty$，因此也不能直接利用有理运算法则，这类极限常称为 $\frac{\infty }{\infty }$ 型不定式。对这类不定式，通常先对分子与分母同除以它们所含的最高次幂，然后再用有理运算法则来计算。

例 3.7

求 ${\lim }_{x\to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{12}{x^3-8}\right)$。

解

将待求极限的函数先通分再消去零因子，得

(1)/(x - 2) - (12)/(x³ - 8) = (x² + 2x - 8)/(x³ - 8) = (x + 4)/(x² + 2x + 4),$$\frac{1}{x-2}-\frac{12}{x^3-8}=\frac{x^2+2x-8}{x^3-8}=\frac{x+4}{x^2+2x+4},$$

故

limₓ → 2 ( (1)/(x - 2) - (12)/(x³ - 8) ) = 1/2.$$\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-2}-\frac{12}{x^3-8}\right)=\frac{1}{2}.$$

注意

由于当 $x\to 2$ 时，括号中的两项都以 $\infty$ 为极限，因此不能直接利用减法法则，这类极限称为 $\infty -\infty$ 型不定式。对这类不定式利用通分可以化为 $\frac{0}{0}$ 型不定式，然后再采用例3.5 的方法求出极限。

例 3.8

证明 ${\lim }_{x\to 0}\cos x=1$。

证

为了证明此题，只要先证 ${\lim }_{x\to 0}(1-\cos x)=0$。由于

0 ≤ 1 - cos x = 2sin² x/2 < 2(x/2)² = (x²)/(2),$$0\le 1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}<2{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{x^2}{2},$$

利用夹逼性得 ${\lim }_{x\to 0}(1-\cos x)=0$，所以

limₓ → 0 cos x = limₓ → 0 [1 - (1 - cos x)] = 1 - limₓ → 0 (1 - cos x) = 1。$$\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=\underset{x\to 0}{\lim }[1-(1-\cos x)]=1-\underset{x\to 0}{\lim }(1-\cos x)=1。$$

由于在理论研究和实际应用中经常碰到的是由多个比较简单的函数构成的复合函数，因此需要讨论求复合函数极限的方法。例如，为了求函数 $y=\cos (x^3+x-2)$ 当 $x\to 1$ 时的极限，该函数可以看成是由 $y=f(u)=\cos u$ 与 $u=g(x)=x^3+x-2$ 构成的复合函数，因为 ${\lim }_{x\to 1}g(x)={\lim }_{x\to 1}(x^3+x-2)=0$，又由例3.8 可知 ${\lim }_{u\to 0}f(u)={\lim }_{u\to 0}\cos u=1$，试问复合函数 $y=f(u)=f[g(x)]$ 当 $x\to 1$ 时的极限与构成它的上述两个简单函数的极限：${\lim }_{x\to 1}g(x)=0$，${\lim }_{u\to 0}f(u)=1$ 之间有什么关系呢？下面的结论回答了这个问题。

定理 3.5 (复合函数极限的运算法则)

设 $y=(f\circ g)(x)=f[g(x)]$ 是由 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 复合而成的，复合函数 $f\circ g$ 定义在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 中。若 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0$，${\lim }_{u\to u_0}f(u)=a$，并且 $\exists {\delta }_0>0$，使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$，恒有 $g(x)\ne u_0$，则

limₓ → x₀ f[g(x)] = a = limᵤ → u₀ f(u)。 (3.9)$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[g(x)]=a=\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)。\text{\hspace{1em}(3.9)}$$

证

由于 ${\lim }_{u\to u_0}f(u)=a$，故 $\forall \epsilon >0$，

∃ η > 0, 使得 ∀ u ∈ mathringU(u₀, η), 恒有 |f(u) - a| < ε, (3.10)$$\exists \eta >0,\text{使得 }\forall u\in \mathring{U}(u_0,\eta ),\text{恒有 }|f(u)-a|<\epsilon ,\text{\hspace{1em}(3.10)}$$

又由于 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0$，故对上式中的 $\eta >0$，

∃ δ₁ > 0, 使得 ∀ x ∈ mathringU(x₀, δ₁), 恒有 |g(x) - u₀| < η。$$\exists {\delta }_1>0,\text{使得 }\forall x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_1),\text{恒有 }|g(x)-u_0|<\eta 。$$

再注意到已知条件：$\exists {\delta }_0>0$，使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$，恒有 $u=g(x)\ne u_0$，若取 $\delta =\min \{{\delta }_0,{\delta }_1\}$，则 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，恒有 $0<|u-u_0|<\eta$，即 $u\in \mathring{U}(u_0,\eta )$，从而由 (3.10) 式得

|f[g(x)] - a| < ε,$$|f[g(x)]-a|<\epsilon ,$$

所以 (3.9) 式成立。

想一想

AI 解答

根据定义，由于 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=u_0$，故 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$（此处用 ${\delta }_1>0$），使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_1)$，恒有 $|g(x)-u_0|<\epsilon$。但在此处的证明中为什么选取 $\eta$ 为 (3.10) 式中的 $\eta$？

此定理回答了上面提出的问题。就是说，求上述例子中的复合函数的极限时可根据定理3.5 通过变量代换法进行，即对 $y=f[g(x)]=\cos (x^3+x-2)$ 作变量代换 $u=g(x)=x^3+x-2$，从而由

x → x₀ = 1 时 u = g(x) = x³ + x - 2 → u₀ = 0, 从而 y = f(u) = cos u → 1 = a,$$x\to x_0=1\text{ 时 }u=g(x)=x^3+x-2\to u_0=0,\text{从而 }y=f(u)=\cos u\to 1=a,$$

所以

limₓ → 1 f[g(x)] = limᵤ → 0 f(u) = limᵤ → 0 cos u = 1.$$\underset{x\to 1}{\lim }f[g(x)]=\underset{u\to 0}{\lim }f(u)=\underset{u\to 0}{\lim }\cos u=1.$$

但在使用该法则时，应注意必须满足条件：“$\exists {\delta }_0>0$，使得 $\forall x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$，恒有 $u=g(x)\ne u_0$。”在此例中，易见存在 $x_0=1$ 的一个去心 ${\delta }_0$ 邻域，使 $g(x)=x^3+x-2\ne 0$。在通常的情况下，大多能满足这个条件，所以可以不要求去一一验证。

想一想

AI 解答

试利用复合函数极限的运算法则证明 ${\lim }_{x\to x_0}\sin x=\sin x_0$，其中 $x_0\in \mathbf{R}$。

例 3.9

证明：${\lim }_{x\to 0}{e}^x=1$，${\lim }_{x\to x_0}{a}^x=a^{x_0}(a>0)$。

证

用定义先证 ${\lim }_{x\to 0^{+}}{e}^x=1$。对于任给的 $\epsilon >0$，为使 $|e^x-1|=e^x-1<\epsilon$，只要 $x<\ln (1+\epsilon )$。取 $\delta =\ln (1+\epsilon )$，则当 $0<x<\delta$ 时，就有 $|e^x-1|<\epsilon$，因此

limₓ → 0⁺ eˣ = 1.$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{e}^x=1.$$

再证 ${\lim }_{x\to 0^{-}}{e}^x=1$。由于 $x\to 0^{-}$ 等价于 $-x\to 0^{+}$，所以

limₓ → 0⁻ eˣ = lim_(-x → 0⁺ frac1)e⁻x = 1,$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{e}^x=\underset{-x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{e^{-x}}=1,$$

故 ${\lim }_{x\to 0}{e}^x=1$。

用类似的方法可以证明 ${\lim }_{x\to 0}{a}^x=1(a>0)$。又因为

limₓ → x₀ aˣ = limₓ → x₀ aˣ₀ aˣ - x₀ = aˣ₀ limₓ → x₀ aˣ - x₀,$$\underset{x\to x_0}{\lim }{a}^x=\underset{x\to x_0}{\lim }{a}^{x_0}{a}^{x-x_0}=a^{x_0}\underset{x\to x_0}{\lim }{a}^{x-x_0},$$

令 $u=x-x_0$，则当 $x\to x_0$ 时 $u\to 0$，故由复合函数极限的运算法则得

limₓ → x₀ aˣ = aˣ₀ limᵤ → 0 a^u = aˣ₀. (3.11)$$\underset{x\to x_0}{\lim }{a}^x=a^{x_0}\underset{u\to 0}{\lim }{a}^u=a^{x_0}.\text{\hspace{1em}(3.11)}$$

数字资源 1.3.5怎样正确运用复合函数极限的运算法则 ↗

3.3 两个重要极限

下面介绍微积分中两个重要的极限公式，它们不仅可以用来求一些更复杂函数的极限，而且是第二章中建立一些重要导数公式的基础，读者应当牢记并能熟练地运用它们。

limₓ → 0 (sin x)/(x) = 1 (3.12)$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1\text{\hspace{1em}(3.12)}$$

证

先设 $0<x<\frac{\pi }{2}$。作一单位圆如图 1.18 易见： $△AOB$ 面积 $<$ 扇形 $AOB$ 面积 $<$ $△AOC$ 面积，从而有

1/2sin x < x/2 < 1/2tan x$$\frac{1}{2}\sin x<\frac{x}{2}<\frac{1}{2}\tan x$$

因为 $\sin x>0$，上式两边同除以 $\frac{1}{2}\sin x$，得

1 < (x)/(sin x) < (1)/(cos x) 或 cos x < (sin x)/(x) < 1$$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\text{或}\cos x<\frac{\sin x}{x}<1$$

图 1.18

注意

在推导式 (3.12) 的过程中，使用了计算圆弧长的公式 $s=xR$，而圆心角 $x$ 必须用弧度来量度，因此，公式 (3.12) 中仅当 $x$ 用弧度度量时才成立。由于后面的许多公式都是利用公式 (3.12) 导出的，所以，微积分中三角函数的角度都必须采用弧度制，而不能用角度制。

由于此不等式中各项都是偶函数，故对满足 $0<|x|<\frac{\pi }{2}$ 的所有 $x$ 都成立。利用夹逼性与例3.8，立即得 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。

利用极限公式 (3.12) 得：圆周上一弦与其对应弧的长度之比当弧长趋于 $0$ 时的极限值等于 $1$。事实上，在图 1.18 中，弧 $\widehat{AB}=x$，弦 $\overline{AB}=2\sin \frac{x}{2}$，所以

lim_(widehatAB) → 0 fracoverlineABwidehatAB = limₓ → 0 (2sin x/2)/(x) = limₓ → 0 (sin x/2)/(x/2)$$\underset{\widehat{AB}\to 0}{\lim }\frac{\overline{AB}}{\widehat{AB}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\sin \frac{x}{2}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}$$

令 $u=\frac{x}{2}$，则当 $x\to 0$ 时，$u\to 0$。根据定理3.5 与公式 (3.12)，

lim_(widehatAB) → 0 fracoverlineABwidehatAB = limᵤ → 0 (sin u)/(u) = 1$$\underset{\widehat{AB}\to 0}{\lim }\frac{\overline{AB}}{\widehat{AB}}=\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}=1$$

例 3.10

求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}$。

解

limₓ → 0 (tan x)/(x) = limₓ → 0 (sin x)/(x) · (1)/(cos x) = limₓ → 0 (sin x)/(x) · limₓ → 0 (1)/(cos x) = 1$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos x}=1$$

例 3.11

求 ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$。

解

由于

limₓ → 0 (1 - cos x)/(x²) = limₓ → 0 (2sin² x/2)/(x²) = limₓ → 0 1/2 ((sin x/2)/(x/2))²$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2$$

令 $t=\frac{x}{2}$，则当 $x\to 0$ 时，$t\to 0$，从而得

limₓ → 0 (1 - cos x)/(x²) = 1/2 limₜ → 0 ((sin t)/(t))² = 1/2$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\underset{t\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin t}{t}\right)}^2=\frac{1}{2}$$

例 3.12

求 ${\lim }_{x\to \infty }x\arcsin \frac{n}{x}(n\in {\mathbf{N}}_{+})$。

解

这个极限属于 $0\cdot \infty$ 型不定式。令 $\arcsin \frac{n}{x}=t$，则 $\sin t=\frac{n}{x}$。由于 $x\to \infty$ 时 $t\to 0$，故可限制 $|t|<\frac{\pi }{2}$。从而当 $x\to \infty$ 时，$\sin t\to 0$，因此只能有 $t\to 0$。于是得

limₓ → ∞ x arcsin n/x = limₜ → 0 (nt)/(sin t) = limₜ → 0 (n)/((sin t)/(t)) = fracnlimₜ → 0 (sin t)/(t) = n$$\underset{x\to \infty }{\lim }x\arcsin \frac{n}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{nt}{\sin t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{n}{\frac{\sin t}{t}}=\frac{n}{{\lim }_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}}=n$$

limₓ → ∞ (1 + 1/x)ˣ = e (3.13)$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e\text{\hspace{1em}(3.13)}$$

证明

此公式是数列极限公式 (2.7) 的推广，我们利用公式 (2.7) 和夹逼性来证明它。先证 ${\lim }_{x\to +\infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$。为了利用极限公式 (2.7)，设 $n=[x]$，则 $n⩽x<n+1$，从而有

(1 + (1)/(n + 1))ⁿ < (1 + 1/x)ˣ < (1 + 1/n)ⁿ+1$${\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n<{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$$

由于当 $x\to +\infty$ 时，$n\to +\infty$，并且

limₙ → +∞ (1 + (1)/(n + 1))ⁿ = limₙ → +∞ frac(1 + (1)/(n + 1))ⁿ+11 + (1)/(n + 1) = e$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)}^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}=e$$limₙ → +∞ (1 + 1/n)ⁿ+1 = limₙ → +∞ (1 + 1/n)ⁿ (1 + 1/n) = e$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\left(1+\frac{1}{n}\right)=e$$

所以由夹逼性立即可得 ${\lim }_{x\to +\infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$。

再证 ${\lim }_{x\to -\infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$。令 $t=-x$，则当 $x\to -\infty$ 时，$t\to +\infty$。从而有

limₓ → -∞ (1 + 1/x)ˣ = limₜ → +∞ (1 - 1/t)⁻t = limₜ → +∞ ((t)/(t - 1))^t$$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{t}\right)}^{-t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{t}{t-1}\right)}^t$$= limₜ → +∞ [(1 + (1)/(t - 1))^(t-1) (1 + (1)/(t - 1))] = e · 1 = e$$=\underset{t\to +\infty }{\lim }\left[{\left(1+\frac{1}{t-1}\right)}^{t-1}\left(1+\frac{1}{t-1}\right)\right]=e\cdot 1=e$$

综合上述两种情况即得所要证明的公式 (3.13)。

注意

由于当 $x\to \infty$ 时，$1+\frac{1}{x}\to 1$，故公式 (3.13) 的左端属于 $1^{\infty }$ 型不定式，它常被用于求其他一些 $1^{\infty }$ 型不定式的极限。

例 3.13

求 ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1-\frac{2}{x}\right)}^x$。

解

易见，该极限属于 $1^{\infty }$ 型不定式。只要作变换 $-\frac{2}{x}=\frac{1}{t}$（即 $x=-2t$），则当 $x\to \infty$ 时，就有 $t\to \infty$。于是所求极限就可利用公式 (3.13) 得到

limₓ → ∞ (1 - 2/x)ˣ = limₜ → ∞ (1 + 1/t)⁻2t = limₜ → ∞ (1)/([(1 + 1/t)^t]²) = e⁻2$$\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{2}{x}\right)}^x=\underset{t\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^{-2t}=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{1}{{\left[{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\right]}^2}=e^{-2}$$

例 3.14

求 ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$。

解

该极限也属于 $1^{\infty }$ 型不定式。令 $\frac{1}{x}=t$，即 $x=\frac{1}{t}$，则当 $x\to 0$ 时，$t\to \infty$。故

limₓ → 0 (1 + x)¹/x = limₜ → ∞ (1 + 1/t)^t = e$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\underset{t\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$$

数字资源 1.3.6两个重要极限公式的作用 ↗

此例中的极限公式可以看成公式 (3.13) 的另一种形式，可以直接使用。

3.4 函数极限的存在准则

本段将数列极限中单调有界准则和 Cauchy 收敛原理推广到函数极限中来。为此，先介绍函数的有界性。

设有函数 $f:A\subseteq \mathbf{R}\to \mathbf{R}$，若其值域 $R(f)=f(A)$ 有上（下）界，换句话说，若 $\exists M(m)\in \mathbf{R}$，使得 $\forall x\in A$，恒有 $f(x)⩽M(⩾m)$，则称 $f$ 在 $A$ 上有上（下）界，并称 $R(f)$ 的上界 $M$（下界 $m$）是 $f$ 在 $A$ 上的一个上（下）界。若 $\exists M>0$，使得 $\forall x\in A$，恒有 $|f(x)|⩽M$，则称 $f$ 在 $A$ 上有界。称 $f$ 的值域 $R(f)=f(A)$ 的上（下）确界是 $f$ 在 $A$ 上的上（下）确界，也就是说，若 $\exists s\in \mathbf{R}$，使得 $\forall x\in A$，恒有 $f(x)⩽s(⩾s)$，并且 $\forall \epsilon >0$，$\exists x_0\in A$，使得 $f(x_0)>s-\epsilon (<s+\epsilon )$，则称 $s$ 为 $f$ 在 $A$ 上的上（下）确界，记作

supₓ ∈ A f(x) (∈fₓ ∈ A f(x))$$\underset{x\in A}{\sup }f(x)(\underset{x\in A}{\inf }f(x))$$

今后，常用 $I$ 表示任意的有限或无限区间、开或闭区间、半开（半闭）区间。

定理 3.6（单调有界准则）

(1) 设函数 $f$ 在区间 $[\alpha ,+\infty )(\alpha \in \mathbf{R})$ 上单调递增（减）有上（下）界，则 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)$ 存在； (2) 设函数 $f$ 是区间 $I$ 上的单调函数，则 $f$ 在 $I$ 内每一点的单侧极限存在。

证

(1) 不妨设 $f$ 在 $[\alpha ,+\infty )$ 上单调递增有上界。因 $f$ 有上界，故必有上确界，设 ${\sup }_{x\in [\alpha ,+\infty )}f(x)=a$。下面证明 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=a$。根据上确界的定义，$\forall \epsilon >0$，$\exists x_0\in (\alpha ,+\infty )$，使 $f(x_0)>a-\epsilon$。由于 $x\to +\infty$，故必存在 $x\in [\alpha ,+\infty )$，使 $x>x_0$。由已知 $f$ 单调递增，从而有

∀ x ∈ (x₀, +∞), a - ε < f(x₀) ≤slant f(x) ≤slant a < a + ε$$\forall x\in (x_0,+\infty ),a-\epsilon <f(x_0)⩽f(x)⩽a<a+\epsilon$$

于是 $\forall x\in (x_0,+\infty )$，$|f(x)-a|<\epsilon$，所以 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=a$。

(2) 仍假定 $f$ 是单调增的。设 $x_0$ 是 $I$ 内的任意一点，为证左极限 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)$ 存在，关键在于证明 $f$ 有上界。由于 $f$ 单调增，所以 $\forall x\in {\mathring{U}}_{-}(x_0,\eta )=(x_0-\eta ,x_0)(\eta \in \mathbf{R})$，都有 $f(x)⩽f(x_0)$，从而 $f$ 在 ${\mathring{U}}_{-}(x_0,\eta )$ 上有上界，故有上确界。以下仿照 (1) 中的证明步骤，不难得到所要证明的结论。类似可证 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$ 也存在。

想一想

AI 解答

你能用类似的方法证明 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$ 存在吗？若 $x_0$ 是区间 $I$ 的左端点，上述结论也成立吗？

在定理3.6 中，若 $I$ 是半开（半闭）或闭区间，则在闭的那端点处单侧极限也存在。

定理 3.7（Cauchy 收敛原理）

设 $f:\mathring{U}(x_0)\to \mathbf{R}$ 是任一函数，则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在的充要条件为

∀ ε > 0, ∃ δ > 0, 使得 ∀ x₁, x₂ ∈ mathringU(x₀, δ), 恒有 |f(x₁) - f(x₂)| < ε (3.14)$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\text{使得 }\forall x_1,x_2\in \mathring{U}(x_0,\delta ),\text{恒有 }|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon \text{\hspace{1em}(3.14)}$$

其中 $\mathring{U}(x_0,\delta )\subseteq \mathring{U}(x_0)$。

证

必要性 设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$，则 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x_1,x_2\in \mathring{U}(x_0,\delta )$，恒有

|f(x₁) - a| < (ε)/(2), |f(x₂) - a| < (ε)/(2)$$|f(x_1)-a|<\frac{\epsilon }{2},|f(x_2)-a|<\frac{\epsilon }{2}$$

从而

|f(x₁) - f(x₂)| ≤slant |f(x₁) - a| + |f(x₂) - a| < ε$$|f(x_1)-f(x_2)|⩽|f(x_1)-a|+|f(x_2)-a|<\epsilon$$

充分性 假定条件 (3.14) 成立，我们利用 Heine 定理来证明 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在。为此，任取 $\{x_n\}\in \mathring{U}(x_0)$，$x_n\to x_0(n\to \infty )$。根据数列极限的定义，对于 (3.14) 式中的 $\delta >0$，$\exists N\in {\mathbf{N}}_{+}$，$\forall m,n>N$，恒有 $x_m,x_n\in \mathring{U}(x_0,\delta )$。由于 (3.14) 式成立，因而有 $|f(x_m)-f(x_n)|<\epsilon$。根据数列极限的 Cauchy 收敛原理，$\{f(x_n)\}$ 是一个收敛数列，设 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=a$。这就证明了，任取 $\{x_n\}\subseteq \mathring{U}(x_0)$，只要 $x_n\to x_0$，对应的函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 都是收敛的。下面证明，对于 $\mathring{U}(x_0)$ 中任何与 $\{x_n\}$ 不同的数列 $\{{\tilde{x}}_n\}\subseteq \mathring{U}(x_0)$，当 ${\tilde{x}}_n\to x_0$ 时，对应的函数值数列 $\{f({\tilde{x}}_n)\}$ 极限也是 $a$，即 ${\lim }_{n\to \infty }f({\tilde{x}}_n)=a$。用反证法。若 ${\lim }_{n\to \infty }f({\tilde{x}}_n)=b\ne a$，作一新数列

x₁, tildex₁, x₂, tildex₂, …, xₙ, tildexₙ, …$$x_1,{\tilde{x}}_1,x_2,{\tilde{x}}_2,\cdots ,x_n,{\tilde{x}}_n,\cdots$$

显然，它也包含在 $\mathring{U}(x_0)$ 中，并且收敛于 $x_0$（习题1.2($A$) 第 9 题）。但与该数列相对应的函数值数列

f(x₁), f(tildex₁), f(x₂), f(tildex₂), …, f(xₙ), f(tildexₙ), …$$f(x_1),f({\tilde{x}}_1),f(x_2),f({\tilde{x}}_2),\cdots ,f(x_n),f({\tilde{x}}_n),\cdots$$

却不收敛（因为它由奇数项和偶数项构成的两个子列分别收敛于 $a$ 与 $b$），这与上面已证明的对于 $\mathring{U}(x_0)$ 中的任何 $\{x_n\}$，只要 $x_n\to x_0$，对应的 $\{f(x_n)\}$ 都收敛的结论相矛盾。因此，必有 ${\lim }_{n\to \infty }f({\tilde{x}}_n)=a$，根据 Heine 定理得 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a$。

在几何上，Cauchy 收敛原理表明：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在，则随着 $x\to x_0$，函数 $f$ 的图像振动的振幅趋于零，否则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 不存在。

例如，函数 $f(x)=\sin \frac{1}{x}(x\in \mathbf{R}\setminus \{0\})$ 的图像在 $x=0$ 附近在 $-1$ 与 $1$ 之间不停地振荡，且在 $x=0$ 的任意小的 $\epsilon$ 邻域内，函数值既能取 $1$，也能取 $-1$（图 1.19），不满足 Cauchy 收敛原理，因此，当 $x\to 0$ 它的极限不存在。

图 1.19

1.3 函数的极限