1.1 集合映射与函数 · 《工科数学分析基础（第三版）》

绪论中已经指出，微积分是从量的侧面研究事物运动变化规律的一种基本的数学理论和方法。函数是微积分的研究对象，极限是研究微积分的重要工具和思想方法，连续性是通过极限揭示出来的函数的一种基本变化性态，连续函数是微积分所讨论的函数的主要类型。因此，函数、极限与函数的连续性是本章的主要内容，也是学习微积分的理论基础。

在中学已经学习过函数的一些基本知识，为了加深对函数概念的理解，本节将在集合与映射的基础上进一步介绍函数及其相关的概念、函数的运算性质（包括复合运算与逆运算）以及初等函数等。

1.1 集合及其运算

集合是现代数学中的一个重要概念。所谓集合（简称集）是指具有某种确定性质的对象的全体，组成集合的个别对象称为该集合的元素（或元）。习惯上，用大写拉丁字母 $A, B, C, \cdots$ 表示集合，用小写拉丁字母 $a, b, c, \cdots$ 表示集合的元素。用 $a \in A$ 表示 $a$ 是集 $A$ 中的元素（读作“ $a$ 属于 $A$ ”），用 $a \notin A$ （或 $a \overline{\in} A$ ）表示 $a$ 不是集 $A$ 中的元素（读作“ $a$ 不属于 $A$ ”）。含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，记作 $\varnothing$ 。既不是有限集又不是空集的集合称为无限集。例如，由自然数 $0, 1, 2, \cdots, n, \cdots$ 的全体组成的集合称为自然数集，记作 $\mathbf{N}$ ；由整数的全体构成的集合称为整数集，记作 $\mathbf{Z}$ ；由全体有理数构成的集合称为有理数集，记作 $\mathbf{Q}$ ；用 $\mathbf{R}$ 表示全体实数构成的实数集。

应当注意，组成集合的元素不仅可以是数，而且可以是所研究的任何对象。例如，为了研究某地区的人口构成和变化规律，可以将该地区中所有人口组成一个集合；为了合理地调度某地区的电力资源，可以将该地区的所有发电厂的全体作为一个集合；为了研究平面上两点间的最短路径，可以将连接这两点的所有曲线（含直线）看成一个集合。这些例中的人口、发电厂和曲线分别为构成各集合的元素。

表示集合的方法有两种：一种是列举法，就是把它的所有元素一一列举出来，写在一个花括号内。例如，方程 $x^2 - 1 = 0$ 的解集可以表示为 $S = \{-1, 1\}$ 。另一种方法是指明集合中元素所具有的确定性质，将具有性质 $P(x)$ 的全体对象 $x$ 所构成的集合表示为

A = \{x \mid x \text{ 具有性质 } P(x)\} .

例如，方程 $x^2 - 1 = 0$ 的解集也可表示为 $S = \{x \mid x^2 - 1 = 0\}$ ，集合

C = \{l \mid l \text{ 是连接 } M \text{ 与 } N \text{ 两点的平面曲线}\}

表示连接 $M$ 与 $N$ 两点的所有平面曲线所构成的集合。

设 $A, B$ 是两个集合。若 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，则称 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$ （或 $B \supseteq A$ ），读作“ $A$ 含于 $B$ ”（或“ $B$ 包含 $A$ ”）；若 $A \subseteq B$ 且 $A \supseteq B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A = B$ ；若 $A \subseteq B$ 且 $A \neq B$ ，则称 $A$ 为 $B$ 的真子集，记作 $A \subsetneq B$ 。

对任何集合 $A$ ，规定 $\varnothing \subseteq A$ 。显然 $A \subseteq A, \mathbf{N} \varsubsetneq \mathbf{Z} \varsubsetneq \mathbf{Q} \varsubsetneq \mathbf{R}$ 。

集合的基本运算有三种：并、交、差。

设 $A, B$ 是两个集合。由属于 $A$ 或属于 $B$ 的所有元素构成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的并集（简称并），记作 $A \cup B$ ，即

A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\} . \tag{1.1}

由同时属于 $A$ 与 $B$ 的元素构成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的交集（简称交），记作 $A \cap B$ ，即

A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\} . \tag{1.2}

由属于 $A$ 但不属于 $B$ 的元素构成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的差集（简称差），记作 $A \setminus B$ ，即

A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ 但 } x \notin B\} . \tag{1.3}

两个集合的并、交、差可以用图 1.1 中的阴影部分来表示。

特别，若 $B \subseteq A$ ，则称差 $A \setminus B$ 为 $B$ 关于 $A$ 的余（或补）集，记作 $\complement_A B$ 。通常我们所讨论的问题在某集合 $X$ （称为基本集或全集）中进行，所研究的其他集合都是 $X$ 的子集，此时称 $X \setminus A$ 为 $A$ 的余（或补）集，记作 $\complement A$ 或 $A^c$ 。显然， $(A^c)^c = A$ 。

若 $A \cap B = \varnothing$ ，则说 $A$ 与 $B$ 不相交，否则称 $A$ 与 $B$ 相交。

想一想

下列三种陈述中，哪一个可以作为集合 $A \neq B$ 的定义： (1) $A$ 的每个元素都不属于 $B$ ，且 $B$ 的每个元素都不属于 $A$ ； (2) $A$ 中至少有一个元素不属于 $B$ ，反之亦然； (3) $A$ 中至少有一个元素不属于 $B$ ，或 $B$ 中至少有一个元素不属于 $A$ 。

想一想

举一个 $(A \setminus B) \cup B \neq A$ 的例子。

集合的运算法则

法则 1 设 $A, B, C$ 为三个任意集合，则下列法则成立： (1) 交换律 $A \cup B = B \cup A, A \cap B = B \cap A$ ； (2) 结合律 $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$ , $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ ； (3) 分配律 $(A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)$ , $(A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)$ , $(A \setminus B) \cap C = (A \cap C) \setminus (B \cap C)$ ； (4) 幂等律 $A \cup A = A, A \cap A = A$ ； (5) 吸收律 $A \cup \varnothing = A, A \cap \varnothing = \varnothing$ ，若 $A \subseteq B$ ，则 $A \cup B = B, A \cap B = A$ 。

法则 2（对偶原理） 若 $X$ 为基本集， $A, B$ 是它的两个子集，则 (1) $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ ； \tag1.4 (2) $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ 。 \tag1.5

这就是说，两个集合并的余集等于它们余集的交，两个集合交的余集等于它们余集的并。

上述法则都可利用集合并、交、差（余）和相等的定义来验证。下面仅以法则 2 为例说明证明法，其余留给读者练习。

证明

(1) 为了证明 (1.4) 式，根据集合相等的定义，只要证明 $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$ 且 $A^c \cap B^c \subseteq (A \cup B)^c$ 。事实上，因为 $\forall x \in (A \cup B)^c \Rightarrow x \notin (A \cup B) \Rightarrow x \notin A$ 且 $x \notin B \Rightarrow x \in A^c$ 且 $x \in B^c \Rightarrow x \in A^c \cap B^c$ ，所以 $(A \cup B)^c \subseteq A^c \cap B^c$ 。显然，上面的推理可以反方向进行，因此相反的包含关系也成立，从而 (1.4) 式得证。

(2) 由 (1) 知，

(A^c \cup B^c)^c = (A^c)^c \cap (B^c)^c = A \cap B,

对上式两边取余即得 (1.5) 式。

想一想

集合的并与交的运算以及对偶原理都可以推广到有限多个和无穷多个集合的情形。试将对偶原理对无穷多个集合的推广形式写出来。

乘积集合设 $A, B$ 为两个非空集合，称由 $A$ 中的任一元素 $x$ 与 $B$ 中的任一元素 $y$ 组成的所有有序偶 $(x, y)$ 构成的集合为 $A$ 与 $B$ 的乘积集合（简称积集），记作 $A \times B$ ，即

A \times B = \{(x, y) \mid x \in A, y \in B\} .

设 $A = [0, 1], B = [-1, 1]$ ，则

A \times B = \{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, -1 \leqslant y \leqslant 1\},

它就是图 1.2 中的阴影部分所有点所构成的集合。 $\mathbf{R} \times \mathbf{R} = \{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{R}\}$ 就是整个坐标平面，记作 $\mathbf{R}^2$ ，即 $\mathbf{R}^2 = \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ 。

1.2 实数集的完备性与确界存在定理

实数集有一些简单而常用的重要性质：

关于有理运算的封闭性：对任意两个实数施行有理运算（即加、减、乘、除，除法要求分母不为零）后仍为实数。
有序性：对任意两个实数 $a$ 与 $b$ ，有且仅下列关系之一成立：
$a < b, \quad a = b, \quad a > b$
并且，若 $a < b, b < c$ ，则必有 $a < c$ 。
稠密性：任意两个实数之间（不含这两个实数）必存在另一个实数，因而，任意两个实数之间必存在无穷多个实数。

其实，有理数集也具有上述三个性质。然而，有理数集却没有实数集的另一个重要性质——完备性。下面，我们从直观上来介绍实数的完备性。

一条规定了原点和单位长度的有向直线，称为坐标轴。有了坐标轴，就能将有理数与坐标轴上的点对应起来。不难看出，任一有理数必能与坐标轴上的唯一一个点（称为有理点）相对应。有理数的稠密性表现在坐标轴上，就是任何两个有理点之间必有无穷多个有理点。因此，有理点在坐标轴上的分布是处处稠密的。然而，有理点是否布满了整个坐标轴呢？也就是说，坐标轴上的所有点是否都是有理点呢？实际上，早在古希腊时期人们就发现，尽管有理点在坐标轴上是处处稠密的，但是，在坐标轴上还存在着许多不是有理点的空隙（点）。例如，以原点为中心，单位正方形对角线的长度 $\sqrt{2}$ 为半径画一圆弧（图 1.3），它与坐标轴相交于一点 $A$ ， $A$ 就不是有理点，因为 $\sqrt{2}$ 不是有理数。不仅如此， $\sqrt{2} \pm 1, \sqrt{2} \pm 2, \cdots$ 都不对应坐标轴上的有理点。人们把这种点称为无理点，它们所对应的数称为无理数。

实数是有理数和无理数的总称。实数的全体布满了坐标轴（因此也称坐标轴为实数轴），坐标轴上不存在不是实数的点。也就是说，实数 $\mathbf{R}$ 与坐标轴上的所有点是一一对应的。实数集的这个特性称为实数的连续性或完备性。而有理数集不能与坐标轴上的所有点一一对应，因此，有理数集是不完备的。

完备性是实数集的本质属性。为了从数学上更深刻地揭示它的内涵，数学家从不同的侧面对它进行研究。下面介绍的确界存在定理就是刻画实数完备性的一个常用定理。

注

为表述简洁起见，今后常用逻辑符号“ $\exists$ ”表示“存在”或“有”，用“ $\forall$ ”表示“对给定的”或“对所有的”，“ $P \iff Q$ ”表示“命题 $P$ 成立的充要条件是命题 $Q$ 成立”，“ $P$ 等价于 $Q$ ”。

想一想

试写出实数集 $A$ 无上界、无下界与无界的定义。

定义 1.1（实数集的有界性）

设 $A$ 为非空实数集，若

\exists L \in \mathbf{R}, \text{ 使得 } \forall x \in A, \text{ 恒有 } x \leqslant L, \tag{1.6}

则称 $A$ 有上界（或上有界）， $L$ 为 $A$ 的一个上界。若

\exists l \in \mathbf{R}, \text{ 使得 } \forall x \in A, \text{ 恒有 } x \ge l, \tag{1.7}

则称 $A$ 有下界（或下有界）， $l$ 为 $A$ 的一个下界。若 $A$ 既有上界又有下界，则称 $A$ 有界，否则，称 $A$ 无界。

由定义1.1 易证： $A$ 有界 $\iff \exists M \in \mathbf{R}, M > 0$ ，使得 $\forall x \in A, \text{ 恒有 } |x| \leqslant M$ 。

显然，有界（下界）数集的上界（下界）不是唯一的，而且有无穷多。

例 1.1

$A = \{x \mid x = \sin t, -\frac{\pi}{2} \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\}$ 是一个有界数集， $L = 1$ 是它的一个上界， $l = -1$ 是它的一个下界，并且任何大于 $1$ 的数也是它的上界，任何小于 $-1$ 的数也是它的下界。

例 1.2

$B = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{n}, \cdots\}$ 是有界数集， $L = 1$ 是它的一个上界， $l = 0$ 是它的一个下界，而且它的上界与下界都有无穷多个。

自然要问，在有界数集 $A$ 的无穷多个上界中，是否存在一个最小的上界？如果存在，那么最小的那个上界就具有特别的重要性。所谓 $A$ 的最小上界 $s$ 有两层含义： (1) $s$ 是 $A$ 的一个上界，即对任何 $x \in A$ 恒有 $x \leqslant s$ ； (2) $s$ 是 $A$ 的所有上界中最小的一个，任何比 $s$ 小的数都不是 $A$ 的上界。换句话说，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$ ，不论如何小， $s - \varepsilon$ 都不是 $A$ 的上界。因而必存在 $x_0 \in A$ ，使 $x_0 > s - \varepsilon$ 。由此得到如下定义。

想一想

(1) 写出数集 $A$ 下确界的定义； (2) 证明若数集 $A$ 的上（下）确界存在，则必是唯一的； (3) 说明数集的上（下）确界与它的最大（小）值之间的区别与联系。

定义 1.2（确界）

设 $A$ 为非空实数集，若 $\exists s \in \mathbf{R}$ ，满足： (1) $\forall x \in A$ ，恒有 $x \leqslant s$ ； (2) $\forall \varepsilon > 0, \exists x_0 \in A$ ，使 $x_0 > s - \varepsilon$ ，则称 $s$ 是 $A$ 的上确界（或最小上界），记作 $\sup A$ 。类似地可以定义 $A$ 的下确界（或最大下界），记作 $\inf A$ 。

由定义1.2；例1.2 中，例1.1 中， $\sup A = 1, \inf A = -1$ ；例 1.2 中， $\sup B = 1, \inf B = 0$ 。

应当注意，一个数集的上（下）确界与它的最大（小）值是有区别的。数集 $A$ 的最大值（最小值）是指含于 $A$ 中的所有实数的最大者（最小者），记作 $\max A$ （ $\min A$ ）。因此，若 $A$ 有最大值，那么它就是 $A$ 的上确界。反之不一定成立，因为上确界可能属于 $A$ ，也可能不属于 $A$ 。关于下确界与最小值有类似的结论。在例1.1；在例1.2 中 $\sup A = \max A = 1, \inf A = \min A = -1$ ；在例 1.2 中 $\inf B = 0 \notin B, B$ 没有最小值。

如果数集 $A$ 没有上（下）界，自然也没有上（下）确界，对于这种情况，我们规定 $\sup A = +\infty$ （ $\inf A = -\infty$ ）。如果数集 $A$ 有上（下）界，那么它是否一定有上（下）确界呢？更详细地说，如果 $A$ 是有上（下）界的实数集，那么它是否一定有实数的上（下）确界呢？如果 $A$ 是其他数集，例如 $A$ 是有上（下）界的有理数集，那么它是否一定有有理数的上（下）确界呢？这个问题的答案与 $A$ 是什么数集有关。下面从几何直观上来说明，对于实数集来说，答案是肯定的。

设 $A$ 是一个非空的有上界的实数集，当 $A$ 中的数在数轴上向大的方向增加时，由于 $A$ 是有上界的，而且所有上界在数轴上是连续分布的，因此，直观上不难想象，在数轴上必定存在一点，在它的右边不再有 $A$ 中的数，它的左边与该点任意接近处都含有 $A$ 中的数，这个点所对应的实数便是 $A$ 的上确界。对非空有下界的实数集也有同样的情况。我们把这个事实称为确界存在定理，并且不加证明地叙述如下。

定理 1.1（确界存在定理）

任一有上（下）界的非空实数集 $A$ 必有上（下）确界。

确界存在定理仅对实数集成立，对有理数集不成立。例如，设 $A$ 为 $\sqrt{2}$ 的所有不足近似值构成的有理数集，易见， $A$ 的上确界为 $\sqrt{2}$ ，但 $\sqrt{2}$ 不是有理数。因此，该定理是刻画实数集完备性的一个基本定理。

想一想

(1) 左边这段话是否可表述为如下命题：设 $s$ 是实数集 $A$ 的一个上界，且 $\forall n \in \mathbf{N}_+$ ，在区间 $(s - \frac{1}{n}, s]$ 中总含有 $A$ 中的数，则 $s$ 必是 $A$ 的上确界。 (2) 你能用上确界的定义证明上述命题吗？

1.3 映射与函数的概念

定义 1.3（映射）

设 $A, B$ 是两个任意非空集合。若存在一确定的法则 $f$ ，使得对每个 $x \in A$ ，按此法则有唯一确定的 $y \in B$ 与它对应，则称 $f$ 为从 $A$ 到 $B$ 的一个映射，记作

f: A \to B, \quad \text{或 } f: x \mapsto y = f(x), \quad x \in A .

其中， $y$ 称为 $x$ 在映射 $f$ 下的象， $x$ 称为 $y$ 在映射 $f$ 下的一个原象， $A$ 称为映射 $f$ 的定义域，记作 $D(f)$ 。 $A$ 中所有元素 $x$ 的象 $y$ 构成的集合称为 $f$ 的值域，记作 $R(f)$ 或 $f(A)$ ，即

R(f) = f(A) = \{y \mid y = f(x), x \in A\}. \tag{1.8}

映射的定义中有两个基本要素: 定义域 $D(f)$ 和对应法则 $f$ ．定义域表示映射存在的范围，对应法则 $f$ 是由 $A$ 中的元素 $x$ 确定 $R(f)$ 中对应元素 $y$ 的方法，是映射的具体表现．因此，若 $f$ 与 $g$ 的定义域相同，并且 $\forall x \in D(f) = D(g)$ ，都有 $f(x) = g(x)$ ，则称映射 $f$ 与 $g$ 相等，记作 $f = g$ .

映射又称为算子，是现代数学中内涵非常丰富的一个基本概念．若其中 $B \subseteq \mathbf{R}$ ，则称映射 $f: A \to B$ 为泛函; 若 $A, B \subseteq \mathbf{R}$ ，则称映射 $f: A \to B$ 就是下面要着重研究的函数．若映射 $f$ 将 $A$ 中的每个元都恒映为自身，则称该映射为 $A$ 上的恒等映射或单位映射，记作 $I_A$ 或 $I$ ，即 $\forall x \in A, I_x = x$ .

例 1.3

设 $A$ 是某校某班全体学生构成的集合， $B$ 表示该校所有学生学号构成的集合， $\varphi$ 表示编学号的方法，按定义， $\varphi$ 就是一个从 $A$ 到 $B$ 的映射．

例 1.4

设 $A = \mathbf{N}_+ = \{1, 2, \cdots, n, \cdots\}, B = \{2, 4, \cdots, 2n, \cdots\}$ ，令

f: n \mapsto 2n, \quad n \in A,

则 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一个映射．

例 1.5

设 $A = \mathbf{R}^2$ , $B$ 为坐标平面上的 $x$ 轴，即 $B = \{(x, 0) \mid x \in \mathbf{R}\} = \mathbf{R} \times \{0\}$ ，其中 $\{0\}$ 表示仅由数 $0$ 构成的集合，令

p: (x, y) \in \mathbf{R}^2 \mapsto (x, 0) \in \mathbf{R} \times \{0\},

则 $p$ 是一个从 $\mathbf{R}^2$ 到 $\mathbf{R} \times \{0\}$ 上的映射．在几何上，它就是从平面 $\mathbf{R}^2$ 到 $x$ 轴上的投影．

应当注意的是，在映射的定义中，定义域 $D(f) = A$ 中每个元 $x$ 的象 $y$ 都是唯一的，但 $y$ 的原象 $x$ 却不一定唯一，并且值域 $R(f)$ 是 $B$ 的一个子集．若 $R(f) = B$ ，则称 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的满射(或 $A$ 到 $B$ 上的映射); 若对每个 $y \in R(f)$ 都存在唯一的原象 $x \in A$ ，则称 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的单射; 若 $f$ 既是满射，又是单射，则称 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一一映射(图 1.4). 因此，单射实际上是从定义域到值域的一一映射．易见，例1.3 是单射，但不是满射; 例1.5 是满射，但不是单射; 例1.4 中的 $\varphi$ 是单射，但不是满射; 例 1.5 中的 $p$ 是满射，但不是单射; 例 1.4 中的 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的一一映射．

按照上述定义易知，满射的特点是值域 $R(f)$ 充满了集 $B$ ; 单射的特点是不同的原象有不同的象，即若 $x_1, x_2 \in D(f)$ ，且 $x_1 \neq x_2$ ，则 $y_1 = f(x_1) \neq f(x_2) = y_2$ (用反证法易证). 所谓 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一一映射，不但要求 $\forall x \in A$ 存在唯一的 $y = f(x)$ 与 $x$ 相对应，而且要求 $\forall y \in B$ ，存在唯一的 $x \in A$ ( $f(x) = y$ ) 与 $y$ 相对应．因此，若 $A$ 与 $B$ 之间存在着一个一一映射，则称集合 $A$ 与 $B$ 是一一对应的．由例1.4 知，偶数集与正整数集 $\mathbf{N}_+$ 是一一对应的．这是一件很有趣的事情! 直观上看，偶数集中的数似乎比正整数集中的数“少得多”, 但它们却是一一对应的．能与自己的一个真子集建立一一对应关系是无限集的一个重要特性．

想一想

试证明 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的单射的充要条件为: 对于任意的 $x_1, x_2 \in D(f)$ , $x_1 \neq x_2$ ，则 $f(x_1) \neq f(x_2)$ .

定义 1.4 (函数)

设 $A, B$ 是两个非空的实数集，则称映射 $f: A \to B$ 为定义在 $A$ 上的一元函数，简称函数，记作

f: x \mapsto y = f(x), \quad x \in A.

其中 $x$ 称为自变量， $y$ 称为因变量， $f(x)$ 表示函数 $f$ 在 $x$ 处的值， $A$ 称为 $f$ 的定义域，记作 $D(f)$ , $f(A) = \{y \mid y = f(x), x \in A\}$ 称为 $f$ 的值域，记作 $R(f)$ .

注意

按定义，“函数”一词指的是对应法则 $f$ ，但习惯上常用 “ $y = f(x), x \in A$ ” 来表示定义在 $A$ 上的函数．这时，应理解为“对于每个 $x \in A$ ，由对应关系 $y = f(x)$ 所确定的函数 $f$ ”.

既然函数就是两个实数集之间的映射，因此关于映射的一些知识与相关概念对函数自然也适用．由于函数的定义域与值域都是实数集，所以需要对它们作一些更具体的说明．

同映射一样，定义域和对应法则也是函数定义中的两个基本要素．所谓定义域 $D(f)$ ，指的是自变量所能取得的那些数构成的数集，也就是自变量的变化范围．例如，函数

y = \sqrt{1 - \mid x \mid} + \lg(2x - 1)

的定义域是使右端两项都有意义的那些 $x$ 构成的数集，即 $D(f) = [-1, 1] \cap (\frac{1}{2}, +\infty) = (\frac{1}{2}, 1]$ ．若定义域是数轴上的区间，则称之为定义区间．在研究实际问题时，定义域可由函数的实际意义来确定．例如，

数字资源 1.1.1对应法则是函数定义中的根本要素

真空中自由落体运动 $s = \frac{1}{2}gt^2$ 确定了物体下落的距离 $s$ 和时间 $t$ 之间的一个函数关系，其中自变量 $t$ 的变化范围是从物体开始下落的时刻 (设 $t = 0$ ) 到物体到达地面的时刻 (设 $t = T$ ), 故该函数的定义域 $D(f) = [0, T]$ .

对应法则 $f$ 是因变量与自变量间函数关系的具体表现，它刻画了在运动变化过程中变量之间相互联系相互依赖的关系，因此是函数概念中的本质要素．表示对应法则的方法很多，常用的有三种: 列表法、图示法和公式法．列表法就是将自变量与因变量的对应数据制成表格，它们之间的函数关系从表格上一目了然．气象站用仪表记录下的气温曲线表示气温随时间变化的函数关系，这就是图示法．在理论研究中常用公式法，就是写出函数的数学表达式和定义域．例如，中学已经学过的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，它们统称为基本初等函数，都是用具体的数学表达式表示的函数．在用公式法进行理论研究时，画出函数的图像往往能使我们得到许多直观的启示．在平面直角坐标系中，称集

\text{Gr} f = \{(x, y) \mid y = f(x), x \in D(f)\}

为函数 $f$ 的图像，通常它是一条平面曲线．值得注意的是，用公式法表示函数时，并不要求在函数的整个定义域上只能用一个表达式来表示对应法则．实际问题中，常常遇到在定义域的不同子集上用不同表达式来表示对应法则的函数，习惯上称这种函数为分段函数．

例 1.6

在电子技术中经常遇到的三角波，它的一个波形的解析表达式为

u(t) = \begin{cases} t, & 0 \le t \le 1, \\ 2 - t, & 1 < t \le 2. \end{cases}

它是一个分段函数，不能看成两个函数(图 1.5).

例 1.7

取整函数．设 $x \in \mathbf{R}$ , $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则称 $y = [x], x \in (-\infty, +\infty)$ 为取整函数，它的图形如图 1.6 所示．

例 1.8

符号函数(图 1.7)

y = \operatorname{sgn} x = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ 0, & x = 0, \\ -1, & x < 0. \end{cases}

易见，对任何 $x \in \mathbf{R}$ ，都有 $x = \mid x \mid \operatorname{sgn} x$ 或 $\mid x \mid = x \operatorname{sgn} x$ ，这正是称它为符号函数的原因所在．

例 1.9

Dirichlet 函数

y = D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbf{Q}, \\ 0, & x \in \mathbf{R} \setminus \mathbf{Q}. \end{cases}

今后会看到，这是一个性质非常奇特的函数．

其实，在中学已经讲过的数列 $\{a_n\}$ :

a_1, a_2, \cdots, a_n, \cdots \tag{1.9}

也可以看作是定义在正整数集 $\mathbf{N}_+$ 上的函数 $f: \mathbf{N}_+ \to \mathbf{R}$ ．就是说，对于每个 $n \in \mathbf{N}_+$ ，由法则 $f$ ，恒有唯一的实数 $a_n = f(n)$ 与之相对应．将所有的函数值 $a_n$ 按正整数的顺序排列出来便得到数列 (1.9). 这种函数俗称整标函数．

根据映射相等的概念，如果函数 $f$ 与 $g$ 的定义域相同，并且

\forall x \in D(f) = D(g), \quad \text{恒有 } f(x) = g(x),

则称函数 $f$ 与 $g$ 相等，记作 $f = g$ .

1.4 线性函数的基本属性

线性函数是最简单的一类常见函数，它的表达式为

y = ax + b, \quad \text{或 } f(x) = ax + b, \quad x \in \mathbf{R},

其中 $a, b$ 为常数．在几何上，它表示 $xOy$ 平面上一条斜率为 $a, y$ 轴上截距为 $b$ 的直线．线性函数的基本特性是函数值随自变量的变化是均匀的，这一特性是现实世界事物在运动中数量关系是均匀变化(或均匀分布)的反演．为了说明这个性质，我们先介绍今后常用的改变量的概念．

设有函数 $y = f(x)$ ，当自变量由 $x_0$ 变为不同于 $x_0$ 的值 $x$ 时，对应地，函数值从 $y_0 = f(x_0)$ 变为 $y = f(x)$ ，则称 $x - x_0$ 为自变量在 $x_0$ 处的改变量，简称自变量的改变量，记作 $\Delta x = x - x_0$ ; 称 $y - y_0 = f(x) - f(x_0)$ 为该函数在 $y_0$ 处对应的改变量，简称函数的改变量，记作 $\Delta y = y - y_0 = f(x) - f(x_0)$ ．由 $\Delta x = x - x_0$ 得 $x = x_0 + \Delta x, \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ (图 1.8).

利用改变量很容易说明线性函数均匀变化的特性．事实上，设线性函数 $y = ax + b$ 的自变量 $x$ 在 $x_0$ 处有改变量 $\Delta x$ ，则对应的函数改变量为

\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = a(x_0 + \Delta x) + b - (ax_0 + b) = a\Delta x.

上式表明，无论自变量 $x$ 从什么值 $x_0$ 开始变化，只要其改变量 $\Delta x$ 相等，对应的函数改变量 $\Delta y$ 也相等，因此线性函数随自变量的变化是均匀的．将上式改写为

\frac{\Delta y}{\Delta x} = a,

这就是说，当自变量改变一个单位长度时，对应的函数改变量始终为常数 $a$ ，与 $x$ 变化的起点 $x_0$ 无关，称 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 为该函数的变化率，即它所表示的直线的斜率．因此，线性函数的基本特性也可表述为它的变化率为常数，这是线性函数随自变量均匀变化的反映．

下面说明，变化率是常数的函数只能是线性函数．事实上，设函数 $y = f(x)$ 的变化率为常数 $a$ ，即 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = a$ ，或者

\frac{y - y_0}{x - x_0} = a \quad (\text{其中 } y_0 = f(x_0)),

则

y - y_0 = a(x - x_0), \quad \text{或 } y = ax + y_0 - ax_0.

令 $y_0 - ax_0 = b$ ，则 $y = ax + b$ ，即该函数是线性函数．

综上可知: 线性函数只有线性函数是均匀变化的(或变化率为常数). 除线性函数外，其他任何函数都是非均匀变化的．例如，考察最简单的非线性函数 $y = x^2$ ，它的几何图像是一条曲线 (抛物线). 若自变量 $x$ 在 $x_0$ 处有改变量 $\Delta x \neq 0$ ，则该函数对应的改变量为

\Delta y = (x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2 = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2.

上式表明，对于数值大小相等的 $\Delta x$ ，当变化的起点 $x_0$ 不同时，对应的函数改变量 $\Delta y$ 是不相等的．因此，该函数是非均匀变化的，并且其变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x$ 不是常数，不仅与 $x_0$ 有关，而且还与 $\Delta x$ 有关．

通过以上分析，我们得到如下结论: 线性函数的图像是直线，均匀变化应该也只能用线性函数来描述．今后会看到，属于均匀变化的问题，都可用初等数学的方法去解决．非线性函数的图像是曲线，非线性变化只能用非线性函数来描述，正是对于非线性变化的一类问题研究的需要产生了微积分方法，非线性函数是微积分研究的主要对象．

1.5 复合映射与复合函数

设有映射 $g: A \to B$ 与 $f: B \to C$ ，则 $\forall x \in A$ ，由映射 $g$ ，存在唯一的 $u = g(x) \in B$ 与 $x$ 相对应; 再由映射 $f$ ，又存在唯一的 $y = f(u) \in C$ 与 $u$ 相对应．从而， $\forall x \in A$ ，由映射 $g$ 与 $f$ 就确定了唯一的 $y \in C$ 与 $x$ 相对应．这样，由上述两个映射就确定了一个从 $A$ 到 $C$ 的新映射，称该映射为 $g$ 与 $f$ 构成的复合映射(图 1.9), 记作 $f \circ g: A \to C$ ，即

(f \circ g)(x) = f[g(x)], \quad x \in A,

其中 $u = g(x) \in B$ 称为中间元素，并称 “ $\circ$ ” 为复合运算．

由复合映射的定义易见，对给定的两个映射，当且仅当其中的一个映射的值域是另一个映射定义域的子集时，才能构成一个复合映射．读者不难将复合映射的概念和复合运算推广到有限个映射的情形．

在复合映射的定义中，若 $A, B, C$ 都是实数集，从而 $g$ 与 $f$ 是两个函数，则称由它们所构成的复合映射为 $g$ 与 $f$ 的复合函数．这就是说，设 $A, B \subseteq \mathbf{R}, g: A \to B, f: B \to \mathbf{R}$ ，则 $\forall x \in A$ ，由函数 $g$ 得到唯一的 $u = g(x) \in B$ 与 $x$ 相对应，再由函数 $f$ 又得到唯一的 $y = f(u) \in \mathbf{R}$ 与 $u$ 相对应．于是， $\forall x \in A$ ，由 $g$ 与 $f$ 得到唯一的 $y \in \mathbf{R}$ 与 $x$ 相对应，从而得到了一个从 $A$ 到 $\mathbf{R}$ 的新函数，就是 $g$ 与 $f$ 的复合函数，记作 $f \circ g: A \to \mathbf{R}$ ，即

y = (f \circ g)(x) = f[g(x)], \quad x \in A,

称 $u$ 为该函数的中间变量．

同复合映射一样，当且仅当一个函数的值域是另一个函数定义域的子集时，这两个函数才能构成一个复合函数，并且也可推广到有限个函数的情形．

例 1.10

设 $g: x \mapsto \sqrt{x}, f: x \mapsto \sin x$ ．由于 $R(g) = [0, +\infty) \subseteq D(f)$ ，故 $g$ 与 $f$ 能进行复合得到复合函数

(f \circ g)(x) = f[g(x)] = \sin\sqrt{x}, \quad x \in [0, +\infty).

反之，由于 $R(f) = [-1, 1] \not\subseteq D(g)$ ，故 $f$ 与 $g$ 不能复合．但若限制 $f$ 的定义域，例如限制 $D(f) = [0, \pi]$ ，则 $R(f) = [0, 1] \subseteq D(g)$ ，从而 $f$ 与 $g$ 能够复合得到复合函数

(g \circ f)(x) = g[f(x)] = \sqrt{\sin x}, \quad x \in [0, \pi].

读者还可进一步讨论 $f \circ f$ 与 $g \circ g$ 是否有意义．

读者不仅要掌握两个函数构成的复合函数的条件，会将几个简单函数复合合成一个复杂的新函数，还应当能将一个复杂的复合函数熟练地分解为几个简单函数(例如基本初等函数), 以便利用这些简单函数的性质研究复合函数的相应性质(例如连续性、可导性等). 例如，函数 $y = e^{\sin\sqrt{1 - x^2}}$ ( $x \in [-1, 1]$ ) 可分解为下列四个简单函数:

y = e^u \quad (u \in \mathbf{R}), \quad u = \sin v \quad (v \in \mathbf{R}),

v = \sqrt{w} \quad (w \in [0, +\infty)), \quad w = 1 - x^2 \quad (x \in [-1, 1]).

1.6 逆映射与反函数

设有映射 $f: A \to B$ ．若存在另一映射 $g: B \to A$ , $\forall y \in B$ ，由该映射 $g$ ，有唯一的 $x \in A$ 与 $y$ 相对应，并且 $f(x) = y$ ，则称 $f$ 是可逆映射，且称 $g$ 为 $f$ 的逆映射，记作 $g = f^{-1}$ .

由逆映射的上述定义易证，设 $f: A \to B$ 是一映射，则映射 $g: B \to A$ 是 $f$ 的逆映射的充要条件是 $g \circ f = I_A, f \circ g = I_B$ .

我们知道，若 $f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的一一映射，则 $f$ 既是满射又是单射．因为 $f$ 是满射，所以 $\forall y \in B$ ，必存在 $x \in A$ 与 $y$ 相对应，且 $f(x) = y$ ．又因为 $f$ 是单射，所以 $y$ 的原象 $x \in A$ 是唯一的．于是有， $\forall y \in B$ ，存在唯一的 $x \in A$ 与 $y$ 相对应，且 $f(x) = y$ ．从而确定了一个从 $B$ 到 $A$ 的映射 $g$ ．按上述定义， $f$ 是可逆映射，并且 $g$ 就是 $f$ 的逆映射．这就证明了

定理 1.2 (逆映射存在定理)

若映射 $f: A \to B$ 是一一映射，则 $f$ 必存在一个逆映射 $f^{-1}: B \to A$ .

不难证明，该定理的逆定理也成立．

与复合函数是复合映射的特例一样，反函数也是逆映射的特例．设有函数 $f: A \to R(f)$ (其中 $A, R(f) \subseteq \mathbf{R}$ ), 作为一个映射，称它的逆映射 $f^{-1}: R(f) \to A$ 为 $f$ 的反函数．由此知，函数 $f$ 和它的反函数 $f^{-1}$ 的定义域与值域是互换的．因此函数 $y = f(x)$ 与其反函数 $x = f^{-1}(y)$ 在 $xOy$ 平面上具有相同的图像，表示同一条曲线．但按照习惯，常用 $x$ 作为自变量，用 $y = f^{-1}(x)$ 表示 $y = f(x)$ 的反函数．这样，若 $P(x, f(x))$ 是 $f$ 的图像上的点，则因

f^{-1}[f(x)] = x, \quad x \in A,

即 $f^{-1}: f(x) \mapsto x, f(x) \in R(f)$ ，故 $Q(f(x), x)$ 是 $f^{-1}$ 的图像上的点; 反之亦然．因此，在同一坐标平面内函数 $y = f(x)$ 与其反函数 $y = f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y = x$ 是对称的(图 1.10).

在中学已经讲过很多具体函数的反函数，例如，指数函数的反函数是对数函数，三角函数的反函数是反三角函数等．但是，并非所有的函数都存在着反函数(请读者举出这种函数的例子). 那么，在什么条件下，一个函数才有反函数呢? 根据逆映射存在定理，只要知道什么样的函数构成一一映射就行了．为此，下面介绍单调函数的概念．

定义 1.5 (单调函数)

设有函数 $f: A \subseteq \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ . $\forall x_1, x_2 \in A$ ，若 $x_1 < x_2$ ，则

f(x_1) \le f(x_2) \quad (f(x_1) \ge f(x_2)), \tag{1.10}

则称 $f$ 在 $A$ 上单调增 (减). 若(1.10)式对严格不等号 “ $<$ ” (“ $>$ ”) 成立，则称 $f$ 在 $A$ 上严格单调增 (减). (严格) 单调增与 (严格) 单调减函数统称为 (严格) 单调函数．

数字资源 1.1.2非严格单调函数是否一定没有单值反函数

显然，严格单调函数是单调函数，反之不然．

由严格单调函数的上述定义，不难说明，若 $f$ 是 $A$ 上的严格单调增 (减) 函数，则 $f$ 必是从 $A$ 到 $R(f)$ 的一一映射．于是得到

定理 1.3 (反函数存在定理)

若 $f$ 是 $A$ 上的严格单调增 (减) 函数，则它必存在反函数 $f^{-1}$ ，且反函数 $f^{-1}$ 也是值域 $f(A)$ 上的严格单调增 (减) 函数．

1.7 初等函数与双曲函数

由六类基本初等函数经过有限次的有理运算与复合运算所产生并能用一个解析表达式表示的函数称为初等函数．例如，

\frac{1 + 2^x \sin x}{\arccos x}, \quad \lg(x + \sqrt{1 + x^2})

都是初等函数．一般来说，分段函数不是初等函数．

数字资源 1.1.3分段函数一定不是初等函数吗

科学技术中经常用到一种由指数函数 $e^x$ 与 $e^{-x}$ (其中底数 $e$ 是无理数，它的定义在第二节中介绍) 构成的初等函数，就是所谓双曲函数，主要包括:

双曲正弦:

\operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \quad (-\infty < x < + \infty),

双曲余弦:

\operatorname{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \quad (-\infty < x < + \infty),

双曲正切:

\operatorname{th} x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \quad (-\infty < x < + \infty),

想一想

试分别写出三类双曲函数的单调性、奇偶性．

它们的图像如图 1.11 所示．

双曲函数有许多与三角函数类似的恒等公式，现罗列于下，由读者去证明:

\operatorname{sh}(x \pm y) = \operatorname{sh} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{ch} x \operatorname{sh} y,

\operatorname{ch}(x \pm y) = \operatorname{ch} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y,

\operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1, \quad \operatorname{sh} 2x = 2\operatorname{sh} x \operatorname{ch} x,

\operatorname{ch} 2x = \operatorname{ch}^2 x + \operatorname{sh}^2 x, \quad \operatorname{th} x = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x}.

双曲函数的反函数称为反双曲函数．根据反函数的定义，容易推得如下表达式:

反双曲正弦:

\operatorname{arsh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad (-\infty < x < +\infty),

反双曲余弦:

\operatorname{arch} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \quad (1 \le x < +\infty),

反双曲正切:

\operatorname{arth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x} \quad (-1 < x < 1).

下面以反双曲正弦为例说明推导方法．设 $y = \operatorname{arsh} x$ ，则有

x = \operatorname{sh} y = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \frac{e^{2y} - 1}{2e^y},

令 $e^y = u$ ，则上式变为关于 $u$ 的二次方程 $u^2 - 2xu - 1 = 0$ ．解此方程可得

e^y = u = x \pm \sqrt{x^2 + 1}.

由于 $e^y > 0$ ，应舍去 “ $-$ ” 号，从而得

y = \operatorname{arsh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad (-\infty < x < +\infty).